2025年高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)突破訓(xùn)練：平面向量中的最值與范圍問題【十大題型】（含答案及解析）

重難點(diǎn)15平面向量中的最值與范圍問題【十大題型】

【新高考專用】

?題型歸納

【題型1定義法求最值（范圍）問題】..........................................................4

【題型2基底法求最值（范圍）問題】..........................................................4

【題型3坐標(biāo)法求最值（范圍）問題】..........................................................5

【題型4與平面向量基本定理有關(guān)的最值（范圍）問題】.........................................6

【題型5與數(shù)量積有關(guān)的最值（范圍）問題】....................................................7

【題型6與模有關(guān)的最值（范圍）問題】........................................................8

【題型7平面向量中參數(shù)的最值（范圍）問題】..................................................8

【題型8極化恒等式】.........................................................................9

【題型9矩形大法】..........................................................................10

【題型10等和（高）線定理】....................................................................11

?命題規(guī)律

1、平面向量中的最值與范圍問題

平面向量中的范圍、最值問題是高考的熱點(diǎn)問題，也是難點(diǎn)問題，此類問題綜合性強(qiáng)，體現(xiàn)了知識(shí)的

交匯組合；其基本題型是根據(jù)已知條件求某個(gè)變量的范圍、最值，比如向量的模、數(shù)量積、向量夾角、系

數(shù)的范圍等.

?方法技巧總結(jié)

【知識(shí)點(diǎn)1平面向量中的最值與范圍問題的解題策略】

1.平面向量中的最值（范圍）問題的兩類求解思路：

（i）“形化”，即利用平面向量的相關(guān)知識(shí)將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問題，然后結(jié)合平面圖

形的特征直接進(jìn)行判斷；

（2）“數(shù)化"，即利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方

程有解等問題，然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關(guān)知識(shí)來解決.

2.平面向量中的最值（范圍）問題的常用解題方法：

（1）定義法

①利用向量的概念及其運(yùn)算將所求問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得到相應(yīng)的等式關(guān)系；

②運(yùn)用基木不等式、二次函數(shù)求其最值（范圍）問題，即可得出結(jié)論.

（2）坐標(biāo)法

①建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，把幾何圖形放在坐標(biāo)系中，就賦予了有關(guān)點(diǎn)與向量具體的坐標(biāo)；

②將平面向量的運(yùn)算坐標(biāo)化，進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算；

③運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思想方法如：二次函數(shù)、基本不等式、三角函數(shù)等思想方法來求解最值(范圍).

(3)基底法

①適當(dāng)選取一組基底，利用基底轉(zhuǎn)化向量；

②寫出向量之間的聯(lián)系，根據(jù)向量運(yùn)算律化簡(jiǎn)目標(biāo)，構(gòu)造關(guān)于設(shè)定未知量的關(guān)系式來進(jìn)行求解；

③運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思想方法如：二次函數(shù)、基本不等式、三角函數(shù)等思想方法來求解最值(范圍)，

即可得出結(jié)論.

【知識(shí)點(diǎn)2極化恒等式】

1.極化恒等式的證明過程與幾何意義

(1)平行四邊形對(duì)角線的平方和等于四邊的平方和：

|￡+斤+耳_斤=2(|浦+時(shí)).

證明：不妨設(shè)在=￡,而=3,貝!］又=%+B,DB=a-b,

匹卜定=R+.第2+2a4+W①，

|喝2=麗?=(1可=@-2屋3+同2②，

①②兩式相加得：

\AC［+\DB［=2(@+W卜2(畫2+1石0.

(2)極化恒等式：

上面兩式相減，得：［君=+一--------極化恒等式

平行四邊形模式：=「-|0同［.

2.幾何解釋：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”與“差對(duì)角線”平

方差的

4

(1)平行四邊形模型：向量的數(shù)量積等于以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線長(zhǎng)”與“差對(duì)角

線長(zhǎng)”平方差的;，即:.I=(如圖).

⑵三角形模型：向量的數(shù)量積等于第三邊的中線長(zhǎng)與第三邊長(zhǎng)的一半的平方差，即=

/2一應(yīng)聲(〃為2C的中點(diǎn)X如圖).

極化恒等式表明，向量的數(shù)量積可以由向量的模來表示，可以建立起向量與幾何長(zhǎng)度之間的等量關(guān)

【知識(shí)點(diǎn)3矩形大法】

1.矩形大法

矩形所在平面內(nèi)任一點(diǎn)到其對(duì)角線端點(diǎn)距離的平方和相等.

即：已知點(diǎn)。是矩形/BCD與所在平面內(nèi)任一點(diǎn)，可以得到：O^+OC2=OB2+OD2.

【知識(shí)點(diǎn)4等和(高)線定理】

1.等和(高)線定理

(1)由三點(diǎn)共線結(jié)論推導(dǎo)等和(高)線定理：如圖，由三點(diǎn)共線結(jié)論可知，若蘇=%51+〃加Q,〃eR),

則%+〃=1,由△048與40AE相似，必存在一個(gè)常數(shù)k,kER,使得OP'^kOP,則

OP'=kOP=k^OA+k^iOB,又OP'=xOA+yOB(x,yGR),-'-x+y=k^+k/i=k；反之也成立.

(2)平面內(nèi)一個(gè)基底｛51,而｝及任一向量而，OP'=XOA+//O3(/,Z/eR),若點(diǎn)P在直線N8上或在平

行于N8的直線上，貝IU+〃=M定值)；反之也成立，我們把直線48以及與直線N8平行的直線稱為等和(高)

線.

①當(dāng)?shù)群途€恰為直線時(shí)，k=\-,

②當(dāng)?shù)群途€在。點(diǎn)和直線之間時(shí)，蛇(0,1)；

③當(dāng)直線4B在。點(diǎn)和等和線之間時(shí)，任(1,+8)；

④當(dāng)?shù)群途€過。點(diǎn)時(shí)，A=0；

⑤若兩等和線關(guān)于。點(diǎn)對(duì)稱，則定值左1，左2互為相反數(shù)；

⑥定值k的變化與等和線到0點(diǎn)的距離成正比.

?舉一反三

【題型1定義法求最值（范圍）問題】

【例1】（24-25高三上?廣東?開學(xué)考試）已知單位向量無修的夾角為泰則|瓦-1（互-五）|（teR）的最小值為

()

A.|B.爛C.1D.1

Z24

【變式1-1]（23-24高一下?安徽蕪湖?期中）如圖，已知點(diǎn)G是△4BC的重心，過點(diǎn)G作直線分別與ZB,AC

兩邊交于M,N兩點(diǎn)，設(shè)彳而=%同，AN=yAC,貝!|x+4y的最小值為（）

A.9B.4C.3D.|

【變式1-2]（23-24高一下?陜西西安?階段練習(xí)）點(diǎn)。是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若出+方+而=0,AM

=久屈，AN=yAC,MO=AON,貝by的最小值為（）

124

A.-B.1C.-D.-

【變式1-3]（23-24高一下?上海?期末）已知向量2,注，滿足同=同=1,a-b=-|,c=xa+yb

（x、y￡R,y>0）,則下列四個(gè)命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是（）.

①若x=l,則目的最小值為冬

②若久=1，則存在唯一的力使得方?工=0；

③若晅|=1,貝放+y的最小值為一1；

④若?=1,貝皈?c+c?石的最小值為一看

A.1B.2C.3D.4

【題型2基底法求最值（范圍）問題】

【例2】（23?24高一下?重慶巴南?階段練習(xí)）在矩形ZBCD中，已知瓦F分別是BC,CD上的點(diǎn)，且滿足族=麗

存=2萬.若點(diǎn)P在線段BD上運(yùn)動(dòng)，且”=〃!E+m4/”,〃ER）,則1+4的取值范圍為（）

A[一級(jí)]B.[|,|]C.[|,1]D,[-1.|]

【變式2-1]（23-24高一下?浙江?期中）如圖，在四邊形48CD中，AB\\CD,AB=2CD,P為線段CD上一個(gè)

動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），AC=mDB+nAPf則m+九的取值范圍是（）

A.（0,1]B.[2,3]C.[1,2]D.[2,4）

【變式2-2]（23-24高一下?河南?階段練習(xí)）已知口45。。中，點(diǎn)尸在對(duì)角線4。上（不包括端點(diǎn)4C）,

點(diǎn)。在對(duì)角線5。上（不包括端點(diǎn)3,。），若羽=九荏+%而，而=超四+〃2前，記2周一〃1的最小

17

值為次，彳+丁的最小值為〃，則（）

19-19

AA.m=n=-B.m=n=-

oZ4Z

19-19

C.m=~-,n=-D.m=--,n=-

【變式2-3]（23-24高三下?云南?階段練習(xí)）已知。為△ABC的內(nèi)心，角/為銳角，sin&=q，若而=〃

O

AB+AAC,貝!J〃+a的最大值為（）

A.-ZB.74C.~5D.6

【題型3坐標(biāo)法求最值（范圍）問題】

【例3】（2024?河北滄州?一模）如圖，在等腰直角△2BC中，斜邊48=4a,點(diǎn)。在以8c為直徑的圓上

運(yùn)動(dòng)，貝獷話+而|的最大值為（）

A.4V6B.8C.6V3D.12

【變式3-1]（2024?四川成都三模）在矩形48CD中，48=5,2。=4,點(diǎn)E滿足2族=3而，在平面48CD

中，動(dòng)點(diǎn)P滿足無?麗=0,則麗.加的最大值為（）

A.V41+4B.V41-6C.2V13+4D.2413—6

【變式3-2]（2024?湖南永州?三模）在△48C中，N"B=120。，|XC|=3,|BC|=4,DC-~DB^0,^\\AB+AD\

的最小值為（）

A.6V^—2B.25/19—4C.3V3-1D.V19-2

【變式3-3]（2024?貴州貴陽(yáng)?一模）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形4BCD中.以C為圓心，1為半徑的圓分別

交CD,BC于點(diǎn)E,F.當(dāng)點(diǎn)尸在劣弧EF上運(yùn)動(dòng)時(shí)，麗?市的取值范圍為（）

A.[1_-JB.[1-2^2,-1]

C.[-1,1-V2]D.[1-2vxi-

【題型4與平面向量基本定理有關(guān)的最值（范圍）問題】

【例4】（2024?四川遂寧?模擬預(yù)測(cè)）在△4BC中，點(diǎn)歹為線段2C上任一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），^AF=xAB+2y

AC（x>0,y>0）,貝嶺+：的最小值為（）

A.3B.4C.8D.9

【變式4-1]（23-24高一下?廣西南寧?階段練習(xí)）在△ABC中，點(diǎn)。滿足麗=2沆，過點(diǎn)。的直線分別交

射線ZB,AC于不同的兩點(diǎn)跖N.設(shè)前='荏，麗=/，則在+九的最小值是（）

323

A.3B.1C.—D.—

loIO

【變式4-2]（23-24高一下?安徽六安?期末）在△A8C中，已知布?前=9,sinB=cosZsinC,SAABC=6,P

為線段4B上的一點(diǎn)，且而="嗇+嚕j，貝嶺+和勺最小值為（）

【變式4-3]（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在△ABC中，M為線段8c的中點(diǎn)，G為線段4M上一點(diǎn)，

AG=2GM,過點(diǎn)G的直線分別交直線AB,4C于P,Q兩點(diǎn).設(shè)屈=%而（久>。），左=y湎（y>0）,則京+崇

的最小值為（）

A

C36

D.

【題型5與數(shù)量積有關(guān)的最值（范圍）問題】

【例5】（2024?陜西渭南?二模）已知菱形4BCD的邊長(zhǎng)為L(zhǎng)cosNB4D=初1為菱形的中心，E是線段AB上的

動(dòng)點(diǎn)，則麗?麗的最小值為（）

【變式5-1]（2024?重慶?模擬預(yù)測(cè)）如圖，圓。內(nèi)接邊長(zhǎng)為1的正方形4BCD,P是弧BC（包括端點(diǎn)）上一

A.[1符B.[1,呼C.[1,用D.片,1]

【變式5-2]（2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面四邊形4BCD中，△4BD為等邊三角形,

CB=CD=2BD=2,當(dāng)點(diǎn)E在對(duì)角線AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，無?麗的最小值為（）

【變式5-3]（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正六邊形2BCDEF的邊長(zhǎng)為2,對(duì)稱中心為。，以。為圓心

作半徑為1的圓，點(diǎn)M為圓。上任意一點(diǎn)，則而?屈的取值范圍為（）

E

C.[—8,0]D.[-6^/3^,0]

【題型6與模有關(guān)的最值（范圍）問題】

【例6】（2024?安徽六安?模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量入b,不滿足同=1,㈤=8，a-b=-l，（a-c^-c）

=30°,則?的最大值等于（）

A.2V7B.V7C.2V3D.3V3

【變式6-1］（2024?湖南長(zhǎng)沙?三模）在平行四邊形4BCD中，AC=2BD=4,點(diǎn)P為該平行四邊形所在平面

內(nèi)的任意一點(diǎn)，貝1||訶|2+|麗仔+|而『+|而『的最小值為（）

A.6B.8C.10D.12

【變式6-2］（23-24高一下?天津?期末）如圖，在△4BC中，己知2B=2,AC=3,NA=120。，E,F分別

是力B,AC邊上的點(diǎn)，且族=久而，AF=yAC,且2久+y=l,若線段EF,BC的中點(diǎn)分別為M,N,則|而

|的最小值為（）

A.孝B.啜C.fD.需

【變式6-3］（23-24高一下?廣東廣州?期末）已知平面向量出b,e,且同=1,同=2.已知向量后與］所成

的角為60°,且后一同卻%|對(duì)任意實(shí)數(shù)唯成立，則同+磯+跟一同的最小值為（）

A.V3+1B.2V3C.V3+V5D.2V5

【題型7平面向量中參數(shù)的最值（范圍）問題】

【例7】（23-24高一下?甘肅隴南?期末）已知平面向量為而滿足同=同=4,|4=21=-8,若E=4五+〃

貝眨4+〃的取值范圍是（）

A.[-竽，陷B.上亨,亨]C.卜亨，亨]D.[-2V6,2V6]

【變式7-1]（23-24高一下?黑龍江哈爾濱?期末）在△48C中，AB=6/C=8,48"=9/是N84C的平分

線上一點(diǎn)，且4/=8，若△ABC內(nèi)（不包含邊界）的一點(diǎn)D滿足而=%四+"，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是

（）

A-。，月B.（得給C.（-1）1）D.（一/

【變式7-2]（23-24高一下?四川成都?期末）在直角梯形4BCD中，AB1AD,DC//AB,AD=DC1,AB=2.E.F

分別為4B/C的中點(diǎn)，點(diǎn)P在以力為圓心，4D為半徑的圓弧0E上運(yùn)動(dòng)（如圖所示）.若麗=4而+〃而，

其中無“ER,則22—〃的取值范圍是（）

C.[—1,2]D.[—2,2]

【變式7-3]（23-24高一下?安徽蕪湖?階段練習(xí)）如圖扇形20B所在圓的圓心角大小為g,P是扇形內(nèi)部（包

括邊界）任意一點(diǎn)，^OP=xOA+yOB,那么2（x+y）的最大值是（）

OA

A.2B.V3C.4D.2V3

【題型8極化恒等式】

【例8】（2024?重慶?模擬預(yù)測(cè)）已知△Q4B的面積為1/8=2,動(dòng)點(diǎn)P,Q在線段AB上滑動(dòng)，且|PQ|=1,則

OP■麗的最小值為.

【變式8-1]（2024?山東?模擬預(yù)測(cè)）邊長(zhǎng)為1的正方形內(nèi)有一內(nèi)切圓，MN是內(nèi)切圓的一條弦，點(diǎn)P為正方

形四條邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)弦MN的長(zhǎng)度最大時(shí)，兩?西的取值范圍是.

【變式8-2]（2024?湖北省直轄縣級(jí)單位?模擬預(yù)測(cè)）如圖直角梯形/BCD中，斯是CD邊上長(zhǎng)為6的可

移動(dòng)的線段，2。=4,AB=8V3,8c=12,則而?前的取值范圍為.

【變式8-3］（23-24高一下?廣東潮州?階段練習(xí)）閱讀以下材料，解決本題：我們知道①@+石）2=原+2a

——2-2772T272tt_?->2_?-*2

-b+b；②（五一B）=a2-2a-b+b.由①■②得（2+B）—（a—fe）=?Bo五?/=（°+“）一（。一>）,我們把最

4

后推出的式子稱為“極化恒等式”，它實(shí)現(xiàn)了沒有夾角參與的情況下將兩個(gè)向量的數(shù)量積化為“?！钡倪\(yùn)算.如

圖所示的四邊形2BCD中，BD=8AB-AD=48,E為BD中點(diǎn).

（1）若COSAB2D=百，求△4BD的面積；

⑵若2族=詼，求而?麗的值；

（3）若P為平面4BCD內(nèi)一點(diǎn)，求麗?（麗+而）的最小值.

【題型9矩形大法】

【例9】（2024?浙江紹興?一模）已知向量五，b,E滿足同二歷尸五七=2,（a-c）-（h-2c）0,則后一耳的

最小值為

V7-V3「V3

A.宇DB-CTD.日

【變式9-1］（23-24高三下?四川成都?階段練習(xí)）已知單位向量乙君滿足|22一引=2,若存在向量不，使得

（工―2①?0—3）=。，則間的取值范圍是（）

A?悸，苧+1]B.印—1月c.悸—1,苧+1]D.[V6-1.V6+1]

【變式9-2]（23-24高三上?四川資陽(yáng)?階段練習(xí)）已知。為單位向量，向量反滿足：（a-e）-（a-5e）=0,則|五+。|

的最大值為（）

A.4B.5C.6D.7

【變式9-3]（23-24高三上?貴州貴陽(yáng)?階段練習(xí)）已知平面向量五，b,c,滿足|可=|瓦=港B=2,且

（a—2c）-（h-c）=0,貝！J|五一百的最小值為（）

【題型10等和（高）線定理】

【例10】（23-24高一下?重慶?階段練習(xí)）在平行四邊形4BCD中，E為CD的中點(diǎn)，BF=^BC,AF與BE交于

點(diǎn)G,過點(diǎn)G的直線分別與射線BA,BC交于點(diǎn)M,N,BM^ABA,BN^fiBC,貝壯+2〃的最小值為（）

A.1B.1C.|D.|

【變式10-1]（23-24高三上?河南?階段練習(xí)）對(duì)稱性是數(shù)學(xué)美的一個(gè)重要特征，幾何中的軸對(duì)稱，中心對(duì)

稱都能給人以美感，在菱形48C。中，乙48。=120°,以菱形4BCD的四條邊為直徑向外作四個(gè)半圓，P是這

四個(gè)半圓弧上的一動(dòng)點(diǎn)，^DP=WA+nDC,則2+〃的最大值為（）

3S

A.5B.3C.-D.-

【變式10-2]（23-24高一下?四川綿陽(yáng)?期中）在扇形。力B中，AAOB=60°,C為弧4B上的一動(dòng)點(diǎn)，若覺=x

OA+yOB,貝歸久+y的取值范圍是.

【變式10-3]（23-24高二上?上海浦東新?階段練習(xí)）正六邊形/8CDE/中，P是△CDE內(nèi)（包括邊界）的

動(dòng)點(diǎn)，設(shè)而=m同+n而，（m,nG/?）,則m+n的取值范圍是.

?過關(guān)測(cè)試

一、單選題

1.（2024?江蘇泰州?模擬預(yù)測(cè)）在平行四邊形4BCD中4=45。/3=1/。=魚，^AP=AB+xAD{x6/?）,

則|赤|的最小值為（）

A.|B.掾C.1D.V2

2.（2024?寧夏銀川?模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，~BD=2DC,過點(diǎn)。的直線分別交直線45、4C于點(diǎn)E、F,且

AE=mAB,AF=nAC,其中m>0,n>0,則m+2?i的最小值為（）

O

A.2B.V2C.3D.-

3.（2024?廣東東莞?模擬預(yù)測(cè)）己知在同一平面內(nèi)的三個(gè)點(diǎn)4B,C滿足|4B|=2,2-窖>1,貝日尼+麗|

|C4|\CB\

的取值范圍是（）

A.[0,1]B.[0,2]C.[0,V3]D.[0,2V3]

4.（2024?天津河北?二模）△4BC是等腰直角三角形，其中AB12&|同|=1,P是△A8C所在平面內(nèi)的一

點(diǎn)，^CP=XCA+MCB（4N0,〃NO且4+2〃=2）,則8?在而上的投影向量的長(zhǎng)度的取值范圍是（）

A.（0,用B.惇,1]C.[1,V2]D.[V2,2]

5.（2024?安徽蕪湖?三模）已知。C:久2+y2-10%+9=0與直線/交于4B兩點(diǎn)，且。C被/截得兩段圓弧的

長(zhǎng)度之比為1:3,若。為OC上一點(diǎn)，則瓦[?麗的最大值為（）

A.18V2+12B.16V2+16C.12&+20D.10V2+24

6.（2024?河北滄州?三模）對(duì)稱美是數(shù)學(xué)美的重要組成部分，他普遍存在于初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的各個(gè)分

支中，在數(shù)學(xué)史上，數(shù)學(xué)美是數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力.如圖，在等邊△A8C中，AB=2,以三條邊為直徑向外作三

個(gè)半圓，M是三個(gè)半圓弧上的一動(dòng)點(diǎn)，若前=4萬+〃n，貝〃的最大值為（）

7.（2024?湖北?模擬預(yù)測(cè)）向量區(qū)加滿足（五,刃）=也\b\=|V3>且VteR,不等式區(qū)+時(shí)2歷-團(tuán)恒成立.函

數(shù)/（*）=I.一田+|口一同（比6R）的最小值為（）

A.1B.1C.V3D.V5

8.（2024?四川成都?三模）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,M,N分別是邊AB,AD上的點(diǎn)（均不與端

點(diǎn)重合），記△4MN,△CMN的面積分別為Si，S2.若Si=|加?同川而?詬|,則S2的取值范圍

是（）

A.|）B.[V2-1,C,[i,|）D.[V2-1,I）

二、多選題

9.（2024?浙江寧波?二模）若平面向量五，立滿足向=1,回=1,同=3且3?工=B則（）

A.B+3+耳的最小值為2

B.B+B+W的最大值為5

C.忖一刃+才|的最小值為2

D.忸―辦+工|的最大值為履

10.（2024?山西晉中?模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，。為邊4C上一點(diǎn)且滿足而=河，若P為邊上一點(diǎn)，且

滿足而=4屈+〃尼，九〃為正實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）

1

A.川的最小值為1B.加的最大值為五

C?抖擊的最大值為12D.抖5的最小值為4

A3MA

11.（2024,山東濰坊?二模）已知向量2,b,工為平面向量，同=L同=2,a-b=0,\c-a\=貝!]

（）

A.1<|C|<|B.五>白―勵(lì)的最大值為當(dāng)空

Z4

C.—1<b-c<1D.若才=2花+曲，則4+〃的最小值為1—當(dāng)

三、填空題

12.（2024?四川宜賓?模擬預(yù)測(cè)）己知點(diǎn)。,48在同一平面內(nèi)且力為定點(diǎn)，?萬=-2,而?同=2CD分別

是點(diǎn)B軌跡上的點(diǎn)且8C=2,則麗?方的最大值與最小值之和是.

13.（2024?安徽馬鞍山?模擬預(yù)測(cè)）已知△ABC中，角4,8,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,ABAC=^,6=1,

c=V3,若力D=2（m+n）4B+急AC,則|南|的最小值為-------

14.（2024?天津?yàn)I海新?三模）在平行四邊形4BCD中，N&=60。，2D="B,點(diǎn)E在邊DC上，滿足反=/

DC,則向量荏在向量而上的投影向量為（請(qǐng)用而表示）；若4B=3,點(diǎn)M,N分別為線段4B,BC

上的動(dòng)點(diǎn)，滿足BM+BN=1,則前?麗的最小值為.

四、解答題

15.(23-24高一下?江蘇南京?階段練習(xí))如圖，在△ABC中，點(diǎn)P滿足於=2而，過點(diǎn)P的直線與力B/C所

在的直線分別交于點(diǎn)MN,若前=AABjN=/zXC,(A>O,fi>0).

(1況與〃的關(guān)系;

(2)求4+〃的最小值

16.(23-24高一?浙江?期中)在△2BC中，已知AB=3,AC=1,AB-AC^-1,設(shè)點(diǎn)P為邊BC上一點(diǎn)，點(diǎn)

Q為線段C4延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且而=t而(t<0).

⑴當(dāng)t=_l且P是邊BC上的中點(diǎn)時(shí)，設(shè)PQ與4B交于點(diǎn)M,求線段CM的長(zhǎng)；

(2)若麗?所+3=而?荏，求歷初的最小值.

17.(23-24高一下?湖南長(zhǎng)沙?期末)如圖，設(shè)。%,Oy是平面內(nèi)相交成60。角的兩條數(shù)軸，無，專分別是與x軸、

y軸正方向同向的單位向量.若向量麗=xei+y帶則把有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)叫做向量而在坐標(biāo)系Oxy中的坐

標(biāo)，記作曲=(x,y).在此坐標(biāo)系。孫中，若61=(3,0),礪=(0,2),5?=(3,2),E尸分別是。的中點(diǎn)，AE.AF

分別與。P交于R,7兩點(diǎn).

(1)求：而I；

(2)求市，加的坐標(biāo)；

(3)若點(diǎn)〃在線段4F上運(yùn)動(dòng)，設(shè)麗=(x,y),求xy的最大值.

18.(23-24高二上?上海虹口?期中)在/力BC中，滿足：AB1AC,M是BC的中點(diǎn).

ci)若I荏1=1*I，求向量南+2前與向量2而+前的夾角的余弦值；

(2)若。是線段AM上任意一點(diǎn)，且|南|=|就|=魚，求函?赤+沆?初的最小值：

(3)若點(diǎn)尸是N82C內(nèi)一點(diǎn)，且|而|=2,AP-AC=2,AP-AB^l,求|而+衣+而|的最小值.

19.(23-24高一下?江蘇蘇州?期中)在銳角aaBC中，cosB=￥，點(diǎn)。為△4BC的外心.

(1)若前=萬而+丫就，求x+y的最大值；

⑵若b=V2,

(i)求證：OB+sin2A?。力—cos2A,0C=6；

(ii)求|3赤+2D1+而|的取值范圍.

重難點(diǎn)15平面向量中的最值與范圍問題【十大題型】

【新高考專用】

?題型歸納

【題型1定義法求最值（范圍）問題】..........................................................4

【題型2基底法求最值（范圍）問題】..........................................................6

【題型3坐標(biāo)法求最值（范圍）問題】.........................................................10

【題型4與平面向量基本定理有關(guān)的最值（范圍）問題】.........................................14

【題型5與數(shù)量積有關(guān)的最值（范圍）問題1..............................................................................16

【題型6與模有關(guān)的最值（范圍）問題】.......................................................21

【題型7平面向量中參數(shù)的最值（范圍）問題】.................................................23

【題型8極化恒等式】........................................................................26

【題型9矩形大法】..........................................................................30

【題型10等和（高）線定理】....................................................................33

?命題規(guī)律

1、平面向量中的最值與范圍問題

平面向量中的范圍、最值問題是高考的熱點(diǎn)問題，也是難點(diǎn)問題，此類問題綜合性強(qiáng)，體現(xiàn)了知識(shí)的

交匯組合；其基本題型是根據(jù)已知條件求某個(gè)變量的范圍、最值，比如向量的模、數(shù)量積、向量夾角、系

數(shù)的范圍等.

?方法技巧總結(jié)

【知識(shí)點(diǎn)1平面向量中的最值與范圍問題的解題策略】

1.平面向量中的最值（范圍）問題的兩類求解思路：

（i）“形化”，即利用平面向量的相關(guān)知識(shí)將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問題，然后結(jié)合平面圖

形的特征直接進(jìn)行判斷；

（2）“數(shù)化"，即利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方

程有解等問題，然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關(guān)知識(shí)來解決.

2.平面向量中的最值（范圍）問題的常用解題方法：

（1）定義法

①利用向量的概念及其運(yùn)算將所求問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得到相應(yīng)的等式關(guān)系；

②運(yùn)用基木不等式、二次函數(shù)求其最值（范圍）問題，即可得出結(jié)論.

（2）坐標(biāo)法

①建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，把幾何圖形放在坐標(biāo)系中，就賦予了有關(guān)點(diǎn)與向量具體的坐標(biāo)；

②將平面向量的運(yùn)算坐標(biāo)化，進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算；

③運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思想方法如：二次函數(shù)、基本不等式、三角函數(shù)等思想方法來求解最值(范圍).

(3)基底法

①適當(dāng)選取一組基底，利用基底轉(zhuǎn)化向量；

②寫出向量之間的聯(lián)系，根據(jù)向量運(yùn)算律化簡(jiǎn)目標(biāo)，構(gòu)造關(guān)于設(shè)定未知量的關(guān)系式來進(jìn)行求解；

③運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思想方法如：二次函數(shù)、基本不等式、三角函數(shù)等思想方法來求解最值(范圍)，

即可得出結(jié)論.

【知識(shí)點(diǎn)2極化恒等式】

1.極化恒等式的證明過程與幾何意義

(1)平行四邊形對(duì)角線的平方和等于四邊的平方和：

|￡+斤+耳_斤=2(|浦+時(shí)).

證明：不妨設(shè)在=￡,而=3,貝!］又=%+B,DB=a-b,

匹卜定=R+.第2+2a4+W①，

|喝2=麗?=(1可=@-2屋3+同2②，

①②兩式相加得：

\AC［+\DB［=2(@+W卜2(畫2+1石0.

(2)極化恒等式：

上面兩式相減，得：［君=+一--------極化恒等式

平行四邊形模式：=「-|0同［.

2.幾何解釋：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”與“差對(duì)角線”平

方差的

4

(1)平行四邊形模型：向量的數(shù)量積等于以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線長(zhǎng)”與“差對(duì)角

線長(zhǎng)”平方差的;，即:.I=(如圖).

⑵三角形模型：向量的數(shù)量積等于第三邊的中線長(zhǎng)與第三邊長(zhǎng)的一半的平方差，即=

/2一應(yīng)聲(〃為2C的中點(diǎn)X如圖).

極化恒等式表明，向量的數(shù)量積可以由向量的模來表示，可以建立起向量與幾何長(zhǎng)度之間的等量關(guān)

【知識(shí)點(diǎn)3矩形大法】

1.矩形大法

矩形所在平面內(nèi)任一點(diǎn)到其對(duì)角線端點(diǎn)距離的平方和相等.

即：已知點(diǎn)。是矩形/BCD與所在平面內(nèi)任一點(diǎn)，可以得到：O^+OC2=OB2+OD2.

【知識(shí)點(diǎn)4等和(高)線定理】

1.等和(高)線定理

(1)由三點(diǎn)共線結(jié)論推導(dǎo)等和(高)線定理：如圖，由三點(diǎn)共線結(jié)論可知，若蘇=%51+〃加Q,〃eR),

則%+〃=1,由△048與40AE相似，必存在一個(gè)常數(shù)k,kER,使得OP'^kOP,則

OP'=kOP=k^OA+k^iOB,又OP'=xOA+yOB(x,yGR),-'-x+y=k^+k/i=k；反之也成立.

(2)平面內(nèi)一個(gè)基底｛51,而｝及任一向量而，OP'=XOA+//O3(/,Z/eR),若點(diǎn)P在直線N8上或在平

行于N8的直線上，貝IU+〃=M定值)；反之也成立，我們把直線48以及與直線N8平行的直線稱為等和(高)

線.

①當(dāng)?shù)群途€恰為直線時(shí)，k=\-,

②當(dāng)?shù)群途€在。點(diǎn)和直線之間時(shí)，蛇(0,1)；

③當(dāng)直線4B在。點(diǎn)和等和線之間時(shí)，任(1,+8)；

④當(dāng)?shù)群途€過。點(diǎn)時(shí)，A=0；

⑤若兩等和線關(guān)于。點(diǎn)對(duì)稱，則定值左1，左2互為相反數(shù)；

⑥定值k的變化與等和線到0點(diǎn)的距離成正比.

?舉一反三

【題型1定義法求最值（范圍）問題】

【例1】（24-25高三上?廣東?開學(xué)考試）已知單位向量無修的夾角為泰則|瓦-1（互-五）|（teR）的最小值為

（）

A.|B.爛C.1D.1

Z24

【解題思路】直接利用數(shù)量積與模的關(guān)系結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可.

【解答過程】易知瓦?邏=cos（=今

-1

2

所以|萬T（冕—藥）|2=|（l-t）ej+t*|2=（IT）2+2（i-t）t.-+t

=t2-t+l=（t-|）+%

即當(dāng)t=9時(shí)，同-K冕-初|min=當(dāng)

故選：B.

【變式1-1］（23-24高一下?安徽蕪湖?期中）如圖，已知點(diǎn)G是△4BC的重心，過點(diǎn)G作直線分別與AB,AC

兩邊交于M,N兩點(diǎn)，設(shè)莉=%而，AN=yAC,貝!|x+4y的最小值為（）

A.9B.4C.3D.|

【解題思路】借助平面向量線性運(yùn)算與三點(diǎn)共線定理及基本不等式計(jì)算即可得.

【解答過程】由點(diǎn)G是△ABC的重心，AM=xAB,AN=yAC,

故正=|（AB+而）=|（|AM+iZ/V）=j-AM+j-AN,

由G、M、N三點(diǎn)共線，故5+點(diǎn)=1,

則x+4y=（x+4y）（*+3='+［+M+^|+2jp|=3,

當(dāng)且僅當(dāng)禁=￡即x=l,y=：時(shí)，等號(hào)成立.

故選：C.

【變式1-2］（23-24高一下?陜西西安?階段練習(xí)）點(diǎn)。是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若市+/+方=0,AM

=xAB,AN^yAC,~M0=WN,貝ijxy的最小值為（）

124

A.-B.1C.-D.—

【解題思路】易知。為△ABC的重心，由題意，根據(jù)重心的性質(zhì)可得；+9=罌=,結(jié)合基本不等式計(jì)

xy1+4

算即可求解.

【解答過程】由題意知，OA+OB+OC=0,則。為△ABC的重心，

由府=xABAN=yACjW=%而知,

4MB三點(diǎn)共線，4MC三點(diǎn)共線，M,O,N三點(diǎn)共線,

如圖，。為3C的中點(diǎn)，且而=|前，雨=涼+而，而=方+而，

由麗=4而，得加+而=4（市+而），又府=萬標(biāo)，麗=y而,

所以氯+A)AD=AyAC+xAB,

->Ay---->x>3AV---->3%----->

即“。=?i+a)4C+----------------=2(1+4力C+2(1+4)48,

因?yàn)?。?c的中點(diǎn)，所以而=冠+冠，

31y_1(_1+A

所以嘮一?，解得"=再，所以!+2=膏=3,

=—?v=------xyi+A

、2(1+4)------2V3A

由x>0,y>0,得3=工+：22區(qū)，即

xyyxyy

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=|時(shí)等號(hào)成立，所以xy的最小值為《

故選：D.

【變式1-3］（23-24高一下?上海?期末）已知向量石方總滿足同=出|=1,a-b=-pc=xa+yb

（x、y￡R,y>0）,則下列四個(gè)命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是（）.

①若x=l,則舊的最小值為爭(zhēng)

②若久=1，則存在唯一的力使得乙區(qū)=0；

③若同=1,則x+y的最小值為一1；

④若?=i,則逢2+2i的最小值為一a

A.1B.2C.3D.4

【解題思路】對(duì)于①，對(duì)工=%五+丫9兩邊平方轉(zhuǎn)化為求y2-y+1的最值可判斷①；對(duì)工=法+、石兩邊同乘

以2可判斷②；對(duì)苒=法+好兩邊平方然后利用基本不等式可判斷③；由③知％+y>-1可判斷④.

【解答過程】|a|=\b\=l,a-b=—c=xa+y&(x,yGR,y>0),

對(duì)于①,若久=L則那=x2a2+2xya-b+y2b2=1+2yx(—2)+/

=y2-y+l=(y-1)+^>|,當(dāng)且僅當(dāng)y=T時(shí)，取得等號(hào)，

???理的最小值為3.?.?的最小值為亨???①正確；

對(duì)于②，若％=1,由2?工=0得%彥+y五.刃=%_&=o,l-|y=0,

??.y=2,?,?存在唯一的y=2,使得五?工=0,.,?②正確；

對(duì)于③,若間—1，則1=c2=(xa+yb)2=%2+y2-xy

=(%+y)2—3xy>(%+y)2—3?^=出產(chǎn)■,

當(dāng)且僅當(dāng)汽=y=1時(shí)取得等號(hào)，???生詈工1,?<-%+y<2,

又yNO,?,?%+yN%Z-l,當(dāng)且僅當(dāng)y=0,%=-1時(shí)取得等號(hào)，二③正確；

對(duì)于④，若同=1,則五"?石=%一|丫+(—3%+y=?，

由③知x+yN—1,???N?，:.④正確.

故選：D.

【題型2基底法求最值(范圍)問題】

【例2】(23-24高一下?重慶巴南?階段練習(xí))在矩形ZBCD中，已知瓦尸分別是BC,CO上的點(diǎn)，且滿足族=近

存=2萬.若點(diǎn)P在線段BD上運(yùn)動(dòng)，且”=〃!E+m4/”,〃ER),則1+〃的取值范圍為()

兒卜然]B.[|圖C,[|,|]D,[-|，|]

【解題思路】建立基底，DC^a^DA^b,貝|族=2-歲，而=頡一3,然后將設(shè)而=土屈+(1-。而

,0<t<l,最終表示為而=(—"學(xué)族+R—韻福然后得到4+〃=9才，進(jìn)而求出范圍.

【解答過程】矩形4BCD中，已知E,F分別是B&CD上的點(diǎn)，且滿足而=成而=2而，

AB

設(shè)反=2,瓦1=石，則族=卷+旗=五一步，AF=AD+~DF^^a-b,

{AE=a-^b(a=^AE