2025年高考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)訓(xùn)練：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系【七大題型】原卷版+解析版

專題8.8直線與圓錐曲線的位置關(guān)系【七大題型】

【新高考專用】

?熱點(diǎn)題型歸納

【題型1直線與圓錐曲線的位置關(guān)系】..........................................................4

【題型2圓錐曲線的弦長問題】................................................................4

【題型3圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題】..............................................................6

【題型4圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積問題】..............................................7

【題型5圓錐曲線中的最值問題】..............................................................8

【題型6圓錐曲線中的向量問題1...............................................................................................9

【題型7圓錐曲線中的探索性問題】...........................................................11

?考情分析

1、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計考情分析

2022年新高考全國I卷：第

22題，12分

2022年新高考全國II卷:第22

題，12分圓錐曲線是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，直線

2023年新高考I卷：第22題，與圓錐曲線的位置關(guān)系是每年高考必考

（1）了解直線與圓錐曲線

12分內(nèi)容.從近幾年的高考情況來看，本節(jié)內(nèi)

位置關(guān)系的判斷方法

2023年新高考H卷:第21題，容主要以解答題的形式考查，考查方向

⑵掌握直線被圓錐曲線

12分主要有兩個方面：一是平面解析幾何通

所截的弦長公式

2023年全國甲卷（理數(shù)）：性通法的研究；二是圓錐曲線中的弦長、

⑶能利用方程及數(shù)形結(jié)

第20題，12分面積、最值、定點(diǎn)、定值或定直線等問

合思想解決焦點(diǎn)弦、中點(diǎn)

2024年新高考I卷：第16題，題的求解；有時會與向量、數(shù)列等知識

弦問題

15分結(jié)合考查，其思維要求高，計算量較大，

2024年新高考II卷：第10題，需要靈活求解.

6分

2024年新高考II卷：第19題，

17分

?知識梳理

【知識點(diǎn)1直線與圓錐曲線的位置關(guān)系】

1.直線與圓錐曲線的位置判斷

將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去y（或x）,得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程，則直線與圓錐曲線

相交u臺△>（）；直線與圓錐曲線相切u》A=。；直線與圓錐曲線相離u今△<0.

特別地，①與雙曲線漸近線平行的直線與雙曲線相交，有且只有一個交點(diǎn).

②與拋物線的對稱軸平行的直線與拋物線相交，有且只有一個交點(diǎn).

【知識點(diǎn)2圓錐曲線中的弦長問題】

1.橢圓的弦長問題

(1)定義：直線與橢圓的交點(diǎn)間的線段叫作橢圓的弦.

工2V2

(2)弦長公式：設(shè)直線/:y=foc+加交橢圓后+方?=：!(a>6>0)于尸I(XQI),尸2(如”)兩點(diǎn)，

則出尸21=0+左[Xi—句或l^lAl=J+%|凹—.

2.雙曲線的弦長問題

2

①弦長公式：直線>=息+6與雙曲線相交所得的弦長d=\^\+k\xi—x2\=十%|%-R.

②解決此類問題時要注意是交在同一支，還是交在兩支上.

③處理直線與圓錐曲線相交弦有關(guān)問題時，利用韋達(dá)定理、點(diǎn)差法的解題過程中，并沒有條件確定直

線與圓錐曲線一定會相交，因此，最后要代回去檢驗.

④雙曲線的通徑：

過焦點(diǎn)且與焦點(diǎn)所在的對稱軸垂直的直線被雙曲線截得的線段叫作雙曲線的通徑.無論焦點(diǎn)在x軸上還

是在〉軸上，雙曲線的通徑總等于笠

3.拋物線的弦長問題

設(shè)直線與拋物線交于/(%,%),夙X"乃)兩點(diǎn)，貝U

2

\AB\=\/(1+k~\xx—x2)=+尸?7(X]+.2)2-4氏工2或

\AB\={(1+表)(M—乃丁=J1+表?,(%+于>一4川為(左為直線的斜率，際0).

【知識點(diǎn)3圓錐曲線中的中點(diǎn)弦與焦點(diǎn)弦問題】

1.橢圓的“中點(diǎn)弦問題”

(1)解決橢圓中點(diǎn)弦問題的兩種方法

①根與系數(shù)的關(guān)系法：聯(lián)立直線方程和橢圓方程構(gòu)成方程組，消去一個未知數(shù)，利用一元二次方程根

與系數(shù)的關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決.

②點(diǎn)差法：利用端點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將端點(diǎn)坐標(biāo)分別代入橢圓方程，然后作差，構(gòu)造出中

點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系.

22

設(shè)/(%,珀，3(%2,歹2)，代入橢圓方程%+方=1(a>6>0),

①.②可得3+X2）'I—必）+（凹+Rj…）巾,

ab

設(shè)線段的中點(diǎn)為尸（X。/。），當(dāng)x#X2時，有￡+W=°.

因為尸（X。0。）為弦的中點(diǎn)，從而轉(zhuǎn)化為中點(diǎn)尸（x。,%）與直線N2的斜率之間的關(guān)系，這就是處理弦

中點(diǎn)軌跡問題的常用方法.

（2）弦的中點(diǎn)與直線的斜率的關(guān)系

線段48是橢圓￡+，=1（。>6>0）的一條弦，當(dāng)弦所在直線的斜率存在時，弦AB的中點(diǎn)”的坐標(biāo)

為,則弦AB所在直線的斜率為-孕，即心心kAB=~~.

aJ。Q

2.雙曲線的“中點(diǎn)弦問題”

“設(shè)而不求”法解決中點(diǎn)弦問題：

①過橢圓內(nèi)一點(diǎn)作直線，與橢圓交于兩點(diǎn)，使這點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，這樣的直線一定存在，但在雙曲線的

這類問題中，則不能確定.要注意檢驗.

②在解決此類問題中，常用韋達(dá)定理及垂直直線的斜率關(guān)系.常用的解題技巧是如何應(yīng)用直線方程將

乃必轉(zhuǎn)化為能用韋達(dá)定理直接代換的4+刈戶產(chǎn)2.垂直關(guān)系有時用向量的數(shù)量關(guān)系來刻畫，要注意轉(zhuǎn)化.

3.拋物線的焦點(diǎn)弦問題

拋物線y2=2/M>0）上一點(diǎn)/（無0,%）與焦點(diǎn)廠（彳,0）的距離為l"1=Xo+-y，若MV為拋物線y2=20x（f?>0）

的焦點(diǎn)弦，則焦點(diǎn)弦長為|MV|=Xi+x?+p（Xi,x2分別為MN的橫坐標(biāo)）.

設(shè)過拋物線焦點(diǎn)的弦的端點(diǎn)為/（磯弘）乃（向,g），則四種標(biāo)準(zhǔn)方程形式下的弦長公式為：

標(biāo)準(zhǔn)方程弦長公式

y2=2px(p>0)\AB\=x\+x0+p

y2=-2px(p>0)M=p-(X1+X2)

2

x=2py(p>0)\AB\=yi+y2+p

x2=-2py(p>0)\AB^p-(yx+y^

【知識點(diǎn)4圓錐曲線中最值問題的解題策略】

1.處理圓錐曲線最值問題的求解方法

圓錐曲線中的最值問題類型較多，解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法：

一是利用幾何法，即通過利用曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進(jìn)行求解；

二是利用代數(shù)法，即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達(dá)式表示為某個（些）參數(shù)的函數(shù)（解析式），然后利用

函數(shù)方法、不等式方法等進(jìn)行求解.

【知識點(diǎn)5圓錐曲線中的探索性問題的解題策略】

1.圓錐曲線中的探索性問題

此類問題一般分為探究條件、探究結(jié)論兩種.若探究條件，則可先假設(shè)條件成立，再驗證結(jié)論是否成立,

成立則存在，否則不存在；若探究結(jié)論，則應(yīng)先求出結(jié)論的表達(dá)式，再針對其表達(dá)式進(jìn)行討論，往往涉及

對參數(shù)的討論.

【方法技巧與總結(jié)】

Y-p2

1.已知M,N是橢圓C：后+泉=1（Q>6>0）上的兩點(diǎn)，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，且尸是M,N的中點(diǎn)，則

.._b2

^MN.k（jp―2?

a

Z）2

2.若曲線為雙曲線，其余條件不變，貝曝肱v?生戶=后.

3.若曲線為拋物線，P（x。,%）為弦MV的中點(diǎn)：左加=3（開口向右），心加=一二（開口向左）,

，0歹0

kMN—萬（開口向上），kMN=—萬（開口向下）.

?舉一反三

【題型1直線與圓錐曲線的位置關(guān)系】

【例1】（2024?山東?模擬預(yù)測）已知直線1：y=kx+l,橢圓C：9+必=1,貝『%=0”是“I與C相切”的

()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【變式1-1］（2024?廣東肇慶?模擬預(yù)測）已知雙曲線則過點(diǎn)（2,西）與E有且只有一個公共點(diǎn)的

直線共有（）

A.4條B.3條C.2條D.1條

【變式1-2］（2024?江蘇宿遷?三模）已知拋物線C:久2=y,點(diǎn)則“爪>1”是“過M且與C僅有一個公

共點(diǎn)的直線有3條”的（）

A.充分條件B.必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【變式1-3］（2024?上海?模擬預(yù)測）已知直線嗚橢圓r,點(diǎn)％尸2分別為橢圓吟+必=1的左右焦點(diǎn)，直線

FiMll,F2N11,垂足分別為點(diǎn)MN（M,N不重合），那么“直線，與橢圓「相切”是“|2M|?丹州=1”的

（）

A.充分非必要B.必要非充分

C.充分必要D.既非充分又非必要

【題型2圓錐曲線的弦長問題】

【例2】（2024?安徽蚌埠?模擬預(yù)測）已知雙曲線值/一，=1（￡1>0,6>0）的左頂點(diǎn)是2（-1,0）,一條漸近線

的方程為丫=乂.

（1）求雙曲線￡的離心率;

⑵設(shè)直線y=與雙曲線E交于點(diǎn)PQ，求線段P。的長.

22

【變式2-1](2024?河南?模擬預(yù)測)己知橢圓。云+藍(lán)=l(a>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為2,打，點(diǎn)「(但舊)

為橢圓C上一點(diǎn)，且△0％出的面積為2遍.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若傾斜角為;的直線/與C相交于兩個不同的點(diǎn)4B,求|4B|的最大值.

【變式2-2](2024?全國?模擬預(yù)測)已知雙曲線喏—'=l(a>0,6〉0)一個焦點(diǎn)F到漸近線的距離為房

且離心率為2.

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)M,N分別是雙曲線C左、右兩支上的動點(diǎn)，4為雙曲線C的左頂點(diǎn)，若直線力M,AN的斜率分別為的,七，

且的??==9近，求直線MN的方程.

22

【變式2-3](2024?四川成都?模擬預(yù)測)已知橢圓+標(biāo)=l(a>6>0)與拋物線C2：V=4以的圖象在

第一象限交于點(diǎn)P.若橢圓的右頂點(diǎn)為3,且|PB|=9a.

(1)求橢圓的的離心率.

(2)若橢圓的的焦距長為2,直線/過點(diǎn)反設(shè)/與拋物線。2相交于不同的兩點(diǎn)〃、N,且AOMN的面積為

24,求線段|MN|的長度.

【題型3圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題】

22

【例3】(2024?陜西西安?模擬預(yù)測)已知橢圓C:芯+左=l(a>b>0)的一個焦點(diǎn)與拋物線產(chǎn)=4x的焦點(diǎn)重

合，離心率為:

(1)求橢圓C的方程；

(2)過點(diǎn)尸(-，0)作斜率為|的直線交橢圓C于P,Q兩點(diǎn)，求弦PQ中點(diǎn)坐標(biāo).

【變式3-1](2024?廣東?二模)已知雙曲線C:*看=l(a>0/>0)的焦點(diǎn)與橢圓9+%=1的焦點(diǎn)重合,

其漸近線方程為丫=士爭.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)若48為雙曲線C上的兩點(diǎn)且不關(guān)于原點(diǎn)對稱，直線1丁=9過48的中點(diǎn)，求直線4B的斜率.

【變式3-2](2024?陜西西安?三模)已知橢圓C：5+，=l(a>6>0)的長軸長是短軸長的四倍，且右焦點(diǎn)

為F(l,0).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)直線l:y=k(x+2)交橢圓C于4B兩點(diǎn)，若線段4B中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-1.求直線I的方程.

【變式3-3](2024?陜西渭南?模擬預(yù)測)已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線=2p久(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)

X(x0,2p)在C上，且sinN04F=零.

(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知直線/交C于M,N兩點(diǎn),且MN的中點(diǎn)為(2,1),求直線/的方程.

【題型4圓錐曲線中的三角形(四邊形)面積問題】

【例4】(2024?河北?模擬預(yù)測)已知直線/過橢圓。技+工=1(￡1>0乃>0)的右焦點(diǎn)尸(1,0),且交C于4&，9

,B兩點(diǎn).

(1)求C的離心率;

(2)設(shè)點(diǎn)P(3,l),求△4BP的面積.

2

【變式4-1](2024?山東濟(jì)南?二模)己知點(diǎn)B(4,板)是雙曲線行今-步=1上一點(diǎn)，7在點(diǎn)B處的切線與x軸交

于點(diǎn)4

⑴求雙曲線T的方程及點(diǎn)4的坐標(biāo)；

(2)過4且斜率非負(fù)的直線與T的左、右支分別交于N,M.過N做NP垂直于x軸交T于P(當(dāng)N位于左頂點(diǎn)時認(rèn)為N

與P重合).C為圓E:(x—1產(chǎn)+(y+2產(chǎn)=1上任意一點(diǎn)，求四邊形MBPC的面積S的最小值.

【變式4-2](2024?浙江?模擬預(yù)測)已知點(diǎn)4(4,4),B,C,。均在拋物線W：x2=2py(p>0)±,A,C關(guān)

于y軸對稱，直線48,4。關(guān)于直線4C對稱，點(diǎn)。在直線AC的上方，直線2。交y軸于點(diǎn)E,直線4B斜率小于

2.

(1)求△2BE面積的最大值；

(2)記四邊形BCDE的面積為Si，UBE的面積為S2，若|j=2,求sinNBAD.

【變式4-3](2024?陜西寶雞?三模)已知橢圓E：g+1(a>b>0)和圓C：x2+y2=1,C經(jīng)過￡

的右焦點(diǎn)R點(diǎn)),8為￡的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，原點(diǎn)。到直線N8的距離為零.

(1)求橢圓E的方程；

(2)設(shè)。，/是橢圓￡的左、右頂點(diǎn)，過歹的直線/交E于〃，N兩點(diǎn)(其中M點(diǎn)在x軸上方)，求aMaF

與△DNF的面積之比的取值范圍.

【題型5圓錐曲線中的最值問題】

22

【例5】(2024?新疆?二模)已知橢圓。宏+:=l(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,C上任意一點(diǎn)到F的距離的最大

值和最小值之積為1,離心率為奈

⑴求C的方程；

(2)設(shè)過點(diǎn)R(l()的直線/與C交于M,N兩點(diǎn),若動點(diǎn)P滿足兩=4嬴，PN=-ANR,動點(diǎn)Q在橢圓C上，求|PQ|

的最小值.

【變式5-1]（2024?陜西西安?模擬預(yù)測）已知為拋物線C：*=2px（p>0）上的一點(diǎn)，直線x=my+幾

交C于4,3兩點(diǎn)，且直線P4PB的斜率之積為2.

（1）求C的準(zhǔn)線方程；

（2）求?。ň乓?的最小值.

【變式5-2]（2024?福建泉州?模擬預(yù)測）己知橢圓C：總+?=1的左右焦點(diǎn)分別是FI，F(xiàn)2,雙曲線E的頂點(diǎn)

恰好是％、F2,且一條漸近線是丫=心

（1）求E的方程：

（2）若E上任意一點(diǎn)H（異于頂點(diǎn)），作直線“％交C于4B,作直線“尸2交C于P,Q,求|4B|+4|PQ|的最小值.

【變式5-3]（2024?安徽?三模）已知雙曲線C:*f|=1（。>0,6>0）的離心率為2,動直線切=依+6與C

的左、右兩支分別交于點(diǎn)MN,且當(dāng)卜=爪=1時，OM-ON=-2（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

⑴求C的方程；

⑵若點(diǎn)。到珀勺距離為1,。的左、右頂點(diǎn)分別為a/2,記直線4M/2N的斜率分別為LM,3N，求小;黑尸

的最小值

【題型6圓錐曲線中的向量問題】

【例6】(2024?四川成都?模擬預(yù)測)橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)。，焦點(diǎn)在y軸上，離心率e=^，橢圓上的點(diǎn)

到焦點(diǎn)的最短距離為1-e,直線I與y軸交于點(diǎn)P(0,m)(m^O),與橢圓C交于相異兩點(diǎn)4B,^OA+MB=4

~0P.

(1)求橢圓方程；

(2)求ZH的取值范圍.

【變式6-1](2024?湖北襄陽?模擬預(yù)測)設(shè)雙曲線￡落居=1缶>0,6>0)的左、右頂點(diǎn)分別為4B,左、

右焦點(diǎn)分別為%,F2，|%&|=2而，且E的漸近線方程為、=±權(quán)，直線咬雙曲線E于P,Q兩點(diǎn).

⑴求雙曲線E的方程；

(2)當(dāng)直線I過點(diǎn)(4,0)時，求而?而的取值范圍.

【變式6-2](2024?福建廈門?二模)已知4(-2,0),B(2,0),P為平面上的一個動點(diǎn).設(shè)直線力P,BP的斜率分

別為七，k2,且滿足七?的=—J.記P的軌跡為曲線匚

(1)求r的軌跡方程；

(2)直線P4PB分別交動直線x=t于點(diǎn)C,。，過點(diǎn)C作PB的垂線交x軸于點(diǎn)H.坑?麗是否存在最大值？若存

在，求出最大值；若不存在，說明理由.

222

【變式6-3](2024?陜西咸陽?模擬預(yù)測)已知橢圓C:叁+與=l(a>b>0)的離心率是雙曲線會一步=1的離

心率的倒數(shù)，橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為尸1F2，上頂點(diǎn)為P，且西?麗=-2.

(1)求橢圓C的方程；

⑵當(dāng)過點(diǎn)Q(0,2)的動直線I與橢圓C相交于兩個不同點(diǎn)4B時，設(shè)而=4詼，求4的取值范圍.

【題型7圓錐曲線中的探索性問題】

【例7】(2024?云南昆明?模擬預(yù)測)已知雙曲線氏9=l(a>0)的右焦點(diǎn)為&(c,0)，一條漸近線方程

為y=*c

⑴求雙曲線E的方程;

(2)是否存在過點(diǎn)七的直線/與雙曲線E的左右兩支分別交于42兩點(diǎn)，且使得NF/B=NF1B4若存在,

求出直線/的方程；若不存在，說明理由.

【變式7-1](2024?上海長寧?二模)已知橢圓「：[+q=1,0為坐標(biāo)原點(diǎn)；

63

(1)求r的離心率e；

(2)設(shè)點(diǎn)N(l,0),點(diǎn)M在「上，求|MN|的最大值和最小值；

(3)點(diǎn)7(2,1),點(diǎn)P在直線x+y=3上，過點(diǎn)P且與。T平行的直線/與「交于4B兩點(diǎn)；試探究：是否存在常數(shù)九

使得|可.麗|=%|而『恒成立；若存在，求出該常數(shù)的值；若不存在，說明理由；

【變式7-2]（2024?全國?二模）橢圓「：《+'=l（a>623）的離心率為孚，左、右頂點(diǎn)分別為/,B,過

點(diǎn)M（3,0）的動直線I與橢圓T相交于尸，。兩點(diǎn)，當(dāng)直線珀勺斜率為1時，|PQ|=等.

（1）求橢圓r的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線/P與直線x=t的交點(diǎn)為N,是否存在定實數(shù)t,使。，B,N三點(diǎn)共線?若存在，求出t的值；若不

存在，請說明理由.

【變式7-3]（2024?全國?模擬預(yù)測）已知雙曲線C:，—'=1（（1>0,6>0）的離心率為*且點(diǎn)（一4魚,3）在雙

曲線C上.

（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）過點(diǎn)P（0,l）的直線1與雙曲線C的左、右兩支分別交于點(diǎn)4艮問：在y軸上是否存在定點(diǎn)Q,使直線AQ與BQ

的斜率之和為定值？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

?過關(guān)測試

一、單選題

1.（2024?湖南衡陽?模擬預(yù)測）已知直線依+y+2k=0與橢圓9+?=1相切，則k的值為（）

11

A.2B.-C.±2D.±-

2.（2024?安徽蕪湖?模擬預(yù)測）已知橢圓3+9=1，一組斜率，的平行直線與橢圓相交，則這些直線被橢

圓截得的段的中點(diǎn)所在的直線方程為（）

A.y=-|xB.y=-2xC.y=-|xD.y=2x

3.（2024?全國?模擬預(yù)測）設(shè)拋物線C:y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為尸，直線/與C交于N,8兩點(diǎn)，F(xiàn)A1FB,

\FA\=2\FB\,則l的斜率是()

A.±1B.±V2C.±V3D.±2

4.（2024?北京海淀?三模）已知拋物線產(chǎn)=軌的焦點(diǎn)為產(chǎn)、點(diǎn)M在拋物線上，垂直〉軸于點(diǎn)N,若

\MF\=6,則△MNF的面積為（）

A.8B.4V5C.5V5D.10V5

2

5.（2024?河南信陽三模）已知橢圓白+/=1,P為橢圓上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)尸分別作與直線％：y=3久和已

:y=-3x平行的直線，分別交%，A交于M，N兩點(diǎn)，則|MN|的最大值為（）

A.1B.2C.3D.4

22

6.（2024?黑龍江?二模）雙曲線C:今一左=1的左、右頂點(diǎn)分別為公，A2,左、右焦點(diǎn)分別為廣,F2,過八

作直線與雙曲線C的左、右兩支分別交于M,N兩點(diǎn).若俞=軻后，且cosN%NF2=g則直線與MA?

的斜率之積為（）

A.B.-C.D.

7.（2024?陜西商洛?三模）已知拋物線E:y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為尸，過尸的直線交E于/,3兩點(diǎn)，點(diǎn)尸

滿足而=2而（0<4<1）,其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線4P交E于另一點(diǎn)C,直線AP交￡于另一點(diǎn)。，記

△PAB,△PCD的面積分別為Si，S2,則卷=（）

A.AB.2AC.A2D.2/L2

8.（2024?陜西榆林?模擬預(yù)測）如圖，拋物線￡：y2=2px（p〉o）的焦點(diǎn)為尸，過點(diǎn)M（p,0）的直線八，%與

E分別相交于4（X1，月），3（乂2，丫2）和。，。兩點(diǎn)，直線40經(jīng)過點(diǎn)尸，當(dāng)直線48垂直于x軸時，|4F|=3.下

列結(jié)論正確的是（）

A.p=4

B.yiy2=-6

C.若皿的斜率分別為購，k2f則七=2七

D.若△FAB的面積為2魚，貝q△尸C。的面積為4企

二、多選題

9.（2024?廣東茂名?二模）已知雙曲線。4/—f=1,直線l：y=履+>0）,則下列說法正確的是

（）

A.若k=2,貝”與C僅有一個公共點(diǎn)

B.若k=2近，貝〃與C僅有一個公共點(diǎn)

C.若I與C有兩個公共點(diǎn)，貝。2<卜<2魚

D.若/與C沒有公共點(diǎn)，則k>2四

?2

10.（2024?江西?模擬預(yù)測）己知4（一2,0）,B（2,0）,C（l,0）,動點(diǎn)M滿足MA與MB的斜率之積為一“動點(diǎn)M

的軌跡記為「，過點(diǎn)c的直線交「于p,Q兩點(diǎn)，且p,Q的中點(diǎn)為R,則（）

A.M的軌跡方程為3+9=1

B.|MC|的最小值為1

C.若。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則面積的最大值為|

D.若線段PQ的垂直平分線交%軸于點(diǎn)D,則R點(diǎn)的橫坐標(biāo)是。點(diǎn)的橫坐標(biāo)的4倍

2

11.（2024?浙江金華?模擬預(yù)測）已知橢圓三+必=1,。為原點(diǎn)，過第一象限內(nèi)橢圓外一點(diǎn)P（xo,yo）作橢圓的

兩條切線，切點(diǎn)分別為4B.記直線O4OB,P4PB的斜率分別為的也后%，若七?七=］，則（）

A.直線A8過定點(diǎn)B.（七+瓢）?（的+七）為定值

C.久0-出的最大值為2D.5久0-3yo的最小值為4

三、填空題

12.（2024?海南?模擬預(yù)測）已知拋物線。產(chǎn)=6久的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線Z與拋物線。交于M,N兩點(diǎn)，

若\MN\=54,則直線［的斜率為.

13.（2024?安徽?模擬預(yù)測）已知拋物線。必=4比的焦點(diǎn)為為C上的兩點(diǎn).若直線凡4的斜率為表且

FA-FB^O,延長分別交C于P,Q兩點(diǎn)，則四邊形ABPQ的面積為.

14.（2024?寧夏銀川?三模）已知曲線C:y=4（—3,0）,B（3,0）,尸為C上異于4,8的一點(diǎn)，直線4P

與直線x=5交于直線BP與直線x=6交于點(diǎn)N,則有以下四種說法：

①存在兩個定點(diǎn)，使得尸到這兩個定點(diǎn)的距離之和為定值

②直線4P與直線BP的斜率之差的最小值為,

③|MN|的最小值為等

④當(dāng)直線4P的斜率大于拊，|MN|大于等

其中正確命題的序號為.

四、解答題

22

15.(2024?海南?模擬預(yù)測)已知雙曲線。今一春=l(a>0,b>0)的實軸長為2立，點(diǎn)P(2,竭在雙曲線C

上.

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過點(diǎn)P且斜率為26的直線與雙曲線C的另一個交點(diǎn)為Q,求|PQ|.

16.(2024?福建泉州?模擬預(yù)測)已知橢圓￡：《+居=19>。>0)的左、右焦點(diǎn)分別為鼻尸2，離心率為|,

且經(jīng)過點(diǎn)(2,1).

(1)求E的方程；

(2)過％且不垂直于坐標(biāo)軸的直線/交E于48兩點(diǎn)，點(diǎn)M為4B的中點(diǎn)，記△MF/2的面積為Si,△BF1&的面

積為S2,求言的取值范圍.

17.(2024?山西太原?二模)已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為尸，過點(diǎn)。(2,1)且斜率為1的直線

經(jīng)過點(diǎn)F.

(1)求拋物線C的方程；

(2)若/,2是拋物線C上兩個動點(diǎn)，在x軸上是否存在定點(diǎn)M(異于坐標(biāo)原點(diǎn)。)，使得當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)

M時，滿足。41。8?若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

18.(2024?河南鄭州?模擬預(yù)測)設(shè)拋物線。必=2Px(p>0)的焦點(diǎn)為F，。(配,出)是C上一點(diǎn)且仍尸口―仍巴=

XQ+x0,直線/經(jīng)過點(diǎn)Q(-8,0).

(1)求拋物線C的方程；

(2)①若I與C相切，且切點(diǎn)在第一象限，求切點(diǎn)的坐標(biāo)；

②若I與C在第一象限內(nèi)的兩個不同交點(diǎn)為4B,且Q關(guān)于原點(diǎn)。的對稱點(diǎn)為R,證明：直線4R,BR的傾斜角之

和為7T.

19.(2024?湖南邵陽?三模)已知橢圓C：2+餐=l(a>b〉0)的離心率為今右頂點(diǎn)Q與C的上，下頂點(diǎn)所

圍成的三角形面積為2遮.

⑴求C的方程.

(2)不過點(diǎn)Q的動直線，與C交于4B兩點(diǎn),直線Q4與Q8的斜率之積恒為;.

(i)證明：直線I過定點(diǎn)；

(ii)求AQAB面積的最大值.

專題8.8直線與圓錐曲線的位置關(guān)系【七大題型】

【新高考專用】

?熱點(diǎn)題型歸納

【題型1直線與圓錐曲線的位置關(guān)系】..........................................................4

【題型2圓錐曲線的弦長問題】.................................................................6

【題型3圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題】..............................................................10

【題型4圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積問題】.............................................14

【題型5圓錐曲線中的最值問題】..............................................................19

【題型6圓錐曲線中的向量問題】.............................................................24

【題型7圓錐曲線中的探索性問題】...........................................................28

?考情分析

1、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計考情分析

2022年新高考全國I卷：第

22題，12分

2022年新高考全國II卷:第22

題，12分圓錐曲線是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，直線

2023年新高考I卷：第22題，與圓錐曲線的位置關(guān)系是每年高考必考

（1）了解直線與圓錐曲線

12分內(nèi)容.從近幾年的高考情況來看，本節(jié)內(nèi)

位置關(guān)系的判斷方法

2023年新高考H卷:第21題，容主要以解答題的形式考查，考查方向

⑵掌握直線被圓錐曲線

12分主要有兩個方面：一是平面解析幾何通

所截的弦長公式

2023年全國甲卷（理數(shù)）：性通法的研究；二是圓錐曲線中的弦長、

⑶能利用方程及數(shù)形結(jié)

第20題，12分面積、最值、定點(diǎn)、定值或定直線等問

合思想解決焦點(diǎn)弦、中點(diǎn)

2024年新高考I卷：第16題，題的求解；有時會與向量、數(shù)列等知識

弦問題

15分結(jié)合考查，其思維要求高，計算量較大，

2024年新高考II卷：第10題，需要靈活求解.

6分

2024年新高考II卷：第19題，

17分

?知識梳理

【知識點(diǎn)1直線與圓錐曲線的位置關(guān)系】

1.直線與圓錐曲線的位置判斷

將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去y（或x）,得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程，則直線與圓錐曲線

相交u臺△>（）；直線與圓錐曲線相切u》A=。；直線與圓錐曲線相離u今△<0.

特別地，①與雙曲線漸近線平行的直線與雙曲線相交，有且只有一個交點(diǎn).

②與拋物線的對稱軸平行的直線與拋物線相交，有且只有一個交點(diǎn).

【知識點(diǎn)2圓錐曲線中的弦長問題】

1.橢圓的弦長問題

(1)定義：直線與橢圓的交點(diǎn)間的線段叫作橢圓的弦.

工2V2

(2)弦長公式：設(shè)直線/:y=foc+加交橢圓后+方?=：!(a>6>0)于尸I(XQI),尸2(如”)兩點(diǎn)，

則出尸21=0+左[Xi—句或l^lAl=J+%|凹—.

2.雙曲線的弦長問題

2

①弦長公式：直線>=息+6與雙曲線相交所得的弦長d=\^\+k\xi—x2\=十%|%-R.

②解決此類問題時要注意是交在同一支，還是交在兩支上.

③處理直線與圓錐曲線相交弦有關(guān)問題時，利用韋達(dá)定理、點(diǎn)差法的解題過程中，并沒有條件確定直

線與圓錐曲線一定會相交，因此，最后要代回去檢驗.

④雙曲線的通徑：

過焦點(diǎn)且與焦點(diǎn)所在的對稱軸垂直的直線被雙曲線截得的線段叫作雙曲線的通徑.無論焦點(diǎn)在x軸上還

是在〉軸上，雙曲線的通徑總等于笠

3.拋物線的弦長問題

設(shè)直線與拋物線交于/(%,%),夙X"乃)兩點(diǎn)，貝U

2

\AB\=\/(1+k~\xx—x2)=+尸?7(X]+.2)2-4氏工2或

\AB\={(1+表)(M—乃丁=J1+表?,(%+于>一4川為(左為直線的斜率，際0).

【知識點(diǎn)3圓錐曲線中的中點(diǎn)弦與焦點(diǎn)弦問題】

1.橢圓的“中點(diǎn)弦問題”

(1)解決橢圓中點(diǎn)弦問題的兩種方法

①根與系數(shù)的關(guān)系法：聯(lián)立直線方程和橢圓方程構(gòu)成方程組，消去一個未知數(shù)，利用一元二次方程根

與系數(shù)的關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決.

②點(diǎn)差法：利用端點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將端點(diǎn)坐標(biāo)分別代入橢圓方程，然后作差，構(gòu)造出中

點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系.

22

設(shè)/(%,珀，3(%2,歹2)，代入橢圓方程%+方=1(a>6>0),

①.②可得3+X2）'I—必）+（凹+Rj…）巾,

ab

設(shè)線段的中點(diǎn)為尸（X。/。），當(dāng)x#X2時，有￡+W=°.

因為尸（X。0。）為弦的中點(diǎn)，從而轉(zhuǎn)化為中點(diǎn)尸（x。,%）與直線N2的斜率之間的關(guān)系，這就是處理弦

中點(diǎn)軌跡問題的常用方法.

（2）弦的中點(diǎn)與直線的斜率的關(guān)系

線段48是橢圓￡+，=1（。>6>0）的一條弦，當(dāng)弦所在直線的斜率存在時，弦AB的中點(diǎn)”的坐標(biāo)

為,則弦AB所在直線的斜率為-孕，即心心kAB=~~.

aJ。Q

2.雙曲線的“中點(diǎn)弦問題”

“設(shè)而不求”法解決中點(diǎn)弦問題：

①過橢圓內(nèi)一點(diǎn)作直線，與橢圓交于兩點(diǎn)，使這點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，這樣的直線一定存在，但在雙曲線的

這類問題中，則不能確定.要注意檢驗.

②在解決此類問題中，常用韋達(dá)定理及垂直直線的斜率關(guān)系.常用的解題技巧是如何應(yīng)用直線方程將

乃必轉(zhuǎn)化為能用韋達(dá)定理直接代換的4+刈戶產(chǎn)2.垂直關(guān)系有時用向量的數(shù)量關(guān)系來刻畫，要注意轉(zhuǎn)化.

3.拋物線的焦點(diǎn)弦問題

拋物線y2=2/M>0）上一點(diǎn)/（無0,%）與焦點(diǎn)廠（彳,0）的距離為l"1=Xo+-y，若MV為拋物線y2=20x（f?>0）

的焦點(diǎn)弦，則焦點(diǎn)弦長為|MV|=Xi+x?+p（Xi,x2分別為MN的橫坐標(biāo)）.

設(shè)過拋物線焦點(diǎn)的弦的端點(diǎn)為/（磯弘）乃（向,g），則四種標(biāo)準(zhǔn)方程形式下的弦長公式為：

標(biāo)準(zhǔn)方程弦長公式

y2=2px(p>0)\AB\=x\+x0+p

y2=-2px(p>0)M=p-(X1+X2)

2

x=2py(p>0)\AB\=yi+y2+p

x2=-2py(p>0)\AB^p-(yx+y^

【知識點(diǎn)4圓錐曲線中最值問題的解題策略】

1.處理圓錐曲線最值問題的求解方法

圓錐曲線中的最值問題類型較多，解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法：

一是利用幾何法，即通過利用曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進(jìn)行求解；

二是利用代數(shù)法，即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達(dá)式表示為某個（些）參數(shù)的函數(shù)（解析式），然后利用

函數(shù)方法、不等式方法等進(jìn)行求解.

【知識點(diǎn)5圓錐曲線中的探索性問題的解題策略】

1.圓錐曲線中的探索性問題

此類問題一般分為探究條件、探究結(jié)論兩種.若探究條件，則可先假設(shè)條件成立，再驗證結(jié)論是否成立,

成立則存在，否則不存在；若探究結(jié)論，則應(yīng)先求出結(jié)論的表達(dá)式，再針對其表達(dá)式進(jìn)行討論，往往涉及

對參數(shù)的討論.

【方法技巧與總結(jié)】

Y-p2

1.已知M,N是橢圓C：后+泉=1（Q>6>0）上的兩點(diǎn)，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，且尸是M,N的中點(diǎn)，則

.._b2

^MN.k（jp―2?

a

Z）2

2.若曲線為雙曲線，其余條件不變，貝曝肱v?生戶=后.

3.若曲線為拋物線，P（x。,%）為弦的中點(diǎn)：左加=3（開口向右），心加=一二（開口向左），

歹0歹0

kMN—關(guān)■（開口向上），kMN=—關(guān)'（開口向下）.

?舉一反三

【題型1直線與圓錐曲線的位置關(guān)系】

【例1】（2024?山東?模擬預(yù)測）已知直線1：y=kx+l,橢圓C：9+必=1,貝『%=0”是“I與C相切”的

（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【解題思路】利用“數(shù)形結(jié)合”的思想結(jié)合”一元二次方程根有一解求解的判別式等于零”求解即可.

【解答過程】當(dāng)k=0時，直線I：y=l,直線與橢圓相切，當(dāng)”與C相切”時，

（V=fcx+1rr

聯(lián)立1g+y2-1有（4k2+1）X2+8fcx=0,令A(yù)=（8fc）2-4X（4fc2+1）x0=0,有k=0,

所以k=0是直線與橢圓相切的充要條件.

故選:C.

【變式1-1］（2024?廣東肇慶?模擬預(yù)測）已知雙曲線E:?=1,則過點(diǎn)（2,西）與E有且只有一個公共點(diǎn)的

直線共有（）

A.4條B.3條C.2條D.1條

【解題思路】根據(jù)點(diǎn)和雙曲線的位置關(guān)系確定滿足條件的直線的條數(shù).

【解答過程】分析條件可得：點(diǎn)。（2,但）在雙曲線的漸近線,=學(xué)”上，且位于第一象限，和雙曲線的右頂點(diǎn)

有相同橫坐標(biāo)，如圖:

所以過。（2,而）且與雙曲線E有且只有一個公共點(diǎn)的直線只有兩條：

一條是切線：%=2,一條是過點(diǎn)P（2,而）且與另一條漸近線平行的直線.

故選：C.

【變式1-2］（2024?江蘇宿遷?三模）已知拋物線C:久2=y,點(diǎn)則>1”是“過M且與C僅有一個公

共點(diǎn)的直線有3條”的（）

A.充分條件B.必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解題思路】求出“過M且與拋物線C僅有一個公共點(diǎn)的直線有3條”的充要條件，進(jìn)而判斷.

【解答過程】過M且與拋物線C僅有一個公共點(diǎn)的直線有3條，

則當(dāng)直線的斜率不存在時符合題意，此時直線為x=m；

當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線為y-l=k（x—爪），

則｛，"加），消去y整理得/一依+km-i=0,

??.A=OBp/c2—4/cm+4=0有兩個不同的解，

所以>0BP16m2—16>0,解得m<—1或m>1,

所以-m>1”是“過M且與拋物線C僅有一個公共點(diǎn)的直線有3條”的充分條件.

故選：A.

【變式1-3］（2024?上海?模擬預(yù)測）已知直線/與橢圓r,點(diǎn)尸1/2分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，直線

fiMlZ,F2Nll,垂足分別為點(diǎn)M,N（M,N不重合），那么“直線/與橢圓「相切”是“|%M|?|尸2州=1”的

（）

A.充分非必要B.必要非充分

C.充分必要D.既非充分又非必要

【解題思路】設(shè)直線方程為y=kx+t,將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用判別式和點(diǎn)到直線的距離公式求

出t與k的關(guān)系，再根據(jù)充分性和必要性的概念求解即可.

【解答過程】根據(jù)題意可知直線I斜率存在，設(shè)直線方程為y=kx+3

聯(lián)立［萬）F=1得（2/+i）x2+4ktx+2t2-2=0

（y=k.x?t

當(dāng)直線與橢圓相切時，△=（4履）2-4（2/+1）（2產(chǎn)-2）=0,化簡得產(chǎn)=2k2+1,

由題意尸［（-1,0）,尸2（1,0），

因為F2N11,所以|F1M|=*，尸2%|=器券，

所以當(dāng)|%M|?32州=^^；5|魯=%*=1時，|/一的=k2+1，

解得產(chǎn)=2卜2+1或f2=-1（舍去）,

所以“直線［與橢圓r相切”是“|FM?02州=1”的充要條件.

故選：C.

【題型2圓錐曲線的弦長問題】

【例2】（2024?安徽蚌埠?模擬預(yù)測）已知雙曲線E:5—3=1（。＞0力＞0）的左頂點(diǎn)是4（—1,0）,一條漸近線

的方程為y=%.

（1）求雙曲線￡的離心率；

⑵設(shè)直線y=3-2與雙曲線后交于點(diǎn)尸，Q'求線段尸。的長.

【解題思路】（1）根據(jù)左頂點(diǎn)與漸近線的方程求得a,b,c即可得到離心率；

（2）求出交點(diǎn)縱坐標(biāo)代入弦長公式求解.

【解答過程】⑴由題意知a=l,且2=1,二6=1,

a

???c=Va24-b2=V2,

所以雙曲線的離心率e=^=V2.

（2）由（1）知雙曲線方程為%2-y2=i,

將y=$_'!即％—1=2y代入%2—y2=1,得3y2+4y=0,

4

不妨設(shè)VP=0,yQ=

所以|PQI=V1+22,|乃-加

【變式2-1】(2024?河南?模擬預(yù)測)已知橢圓緇+，=1(。>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為乙,尸2,點(diǎn)P(低回

為橢圓C上一點(diǎn)，且△PF1F2的面積為2痣.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若傾斜角為:的直線/與C相交于兩個不同的點(diǎn)4B,求|4B|的最大值.

【解題思路】(1)借助橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)，△「尸1尸2的面積與&2=/+?2計算即可得；

(2)設(shè)出直線方程，聯(lián)立曲線，借助韋達(dá)定理與弦