湖南省岳陽市云溪區(qū)2024-2025學年高二上學期11月期中考試數(shù)學試題（含答案）

2024年高二上學期數(shù)學期中考試試卷一、單選題（共8小題，每小題5分，總分40分）1．過點且傾斜角為的直線方程為（

）A． B．C． D．2．“”是“直線與直線垂直”的（

）A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知點A，B，C為橢圓D的三個頂點，若是正三角形，則D的離心率是（

）A． B． C． D．4．在長方體中，已知，，為的中點，則直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．5．瑞士數(shù)學家歐拉在《三角形的幾何學》一書中提出：三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上.這條直線被稱為“歐拉線”.已知的頂點，，，則的歐拉線方程為（

）A． B．C． D．6．已知圓與圓，過動點分別作圓、圓的切線，（，分別為切點），若，則的最小值是（

）A． B． C． D．7．芻甍是中國古代算數(shù)中的一種幾何體，是底面為矩形的屋脊狀的楔體.現(xiàn)有一個芻甍如圖所示，底面BCDE為矩形，平面BCDE，和是全等的正三角形，，，，則異面直線AE與BD所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．8．已知，分別為雙曲線C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點，為第一象限內一點，且滿足，，線段與雙曲線交于點，若，則雙曲線的離心率為（

A． B． C． D．二、多選題（共4小題，每小題5分，總分20分）9．滿足下列條件的直線與，其中的是（

）A．的傾斜角為，的斜率為B．的斜率為，經過點，C．經過點，，經過點，D．的方向向量為，的方向向量為10．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．點是圖象的一個對稱中心B．的單調遞增區(qū)間為，C．在上的值域為D．將的圖象先向右平移個單位長度，再將所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象，則11．曲線是平面內與兩個定點，的距離的積等于的點的軌跡，則下列結論正確的是（

）A．點到軸距離的最大值為 B．點到原點距離的最大值為C．周長的最大值為 D．最大值為12．在直三棱柱中，，，D是AC的中點，下列判斷正確的是（

）A．∥平面B．面⊥面C．直線到平面的距離是D．點到直線的距離是三、填空題（共4小題，每小題5分，總分20分）13．已知向量與的夾角為，，，則，14．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若，則AB1與C1B所成的角的大小為.15．已知為拋物線上的任意一點，為其焦點，為圓上的一點，則的最小值為、16．已知，分別是雙曲線的左、右焦點，過點且斜率為2的直線與的一條漸近線在第四象限相交于點，四邊形為平行四邊形.若直線的斜率，則的離心率的取值范圍為.四、解答題（共4小題，總分70分）17．如圖，已知平面，為矩形，，分別為的中點，求證：（1）平面；（2）平面平面.18．某公司的入職面試中有4道難度相當?shù)念}目，王陽答對每道題的概率都是0.7，若每位面試者共有4次機會，一旦某次答對抽到的題目、則面試通過，否則就一直抽題到第4次為止，假設對抽到的不同題目能否答對是獨立的.(1)求王陽第三次答題通過面試的概率；(2)求王陽最終通過面試的概率.19．已知雙曲線的實軸長為，且過點(1)求雙曲線C的方程.(2)過雙曲線C的右焦點F作斜率為的直線l，l與雙曲線C交于A，B兩點，求(3)若M，N是雙曲線C上不同的兩點.且直線MN的斜率為，線段MN的中點為P，證明：點P在直線上.20．已知為坐標原點，橢圓：的兩個頂點坐標為，，短軸長為2，直線交橢圓于，兩點，直線與軸不平行，記直線的斜率為，直線的斜率為，已知.(1)求橢圓C的方程(2)求證：直線恒過定點；(3)斜率為的直線交橢圓于，兩點，記以，為直徑的圓的面積分別為，，的面積為，求的最大值.21．如圖，軸垂足為點，點在的延長線上，且.當點在圓上運動時，點的軌跡方程為.

(1)求點的軌跡的方程；(2)當時，點的軌跡方程記為.（i）若動點為軌跡外一點，且點到軌跡的兩條切線互相垂直，記點的軌跡方程記為，試判斷與圓是否存在交點？若存在，求出交點的坐標；若不存在，請說明理由；（ii）軌跡的左右頂點分別記為，圓上有一動點，在軸上方，，直線交軌跡于點，連接，，設直線，的斜率存在且分別為，，若，求的取值范圍.參考答案：題號12345678910答案DACCCBACBCDAC題號1112答案BDABD1．D2．A3．C4．C5．C6．B

7．A8．C9．BCD10．AC11．BD12．ABD13．214．90015．

16．

17．如圖，以為坐標原點，所在的直線分別為、、軸正方向建立空間直角坐標系.設，則有.（1）因為分別為的中點，所以.所以.所以.又因為平面，所以平面.（2）由（1），知，所以.設平面的一個法向量為則，即.解得.令，則.設平面的一個法向量為，則，即.得.令，則，因為，所以.故平面平面18．(1)(2)（1）記“王陽第三次答題通過面試”為事件，若王陽第三次答題通過面試，則前次均不通過，所以王陽第三次答題通過面試的概率為.（2）記“王陽最終通過面試”為事件，王陽未通過面試的概率為，所以王陽最終通過面試的概率.19．（1）根據(jù)題意可得，則將點的坐標代入，得，解得，故雙曲線C的方程為（2）由（1）得，則，則直線l的方程為設，由，得，，，，所以（3）設，，則，兩式相減得設，則，所以，即，所以，即，所以點P在直線上.20．（1）由已知兩個頂點坐標為A-2,0，，短軸長為2，得，，

則橢圓方程：.（2）設直線方程為，Px1,y1由，消去x得，，，則，，，，又點Px1,y則，即，則，即，解得，此時，即直線的方程為，所以直線恒過定點.（3）設直線的方程為，，，

由，消去得，，即，則，，所以點到直線的距離，所以，又，，所以，所以則當即時，取最大值為.21．(1)(2)（i）沒有交點，理由見詳解；（ii）（1）設Mx,y因為，則，又因為點在圓上，則，所以點的軌跡的方程為.（2）若，