新高考數學一輪復習講練測第3章第03講 極值與最值（講義）（原卷版）

第03講極值與最值知識點一：極值與最值1、函數的極值函數SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0附近有定義，如果對SKIPIF1<0附近的所有點都有SKIPIF1<0，則稱SKIPIF1<0是函數的一個極大值，記作SKIPIF1<0．如果對SKIPIF1<0附近的所有點都有SKIPIF1<0，則稱SKIPIF1<0是函數的一個極小值，記作SKIPIF1<0．極大值與極小值統稱為極值，稱SKIPIF1<0為極值點．求可導函數SKIPIF1<0極值的一般步驟（1）先確定函數SKIPIF1<0的定義域；（2）求導數SKIPIF1<0；（3）求方程SKIPIF1<0的根；（4）檢驗SKIPIF1<0在方程SKIPIF1<0的根的左右兩側的符號，如果在根的左側附近為正，在右側附近為負，那么函數SKIPIF1<0在這個根處取得極大值；如果在根的左側附近為負，在右側附近為正，那么函數SKIPIF1<0在這個根處取得極小值．注：①可導函數SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處取得極值的充要條件是：SKIPIF1<0是導函數的變號零點，即SKIPIF1<0，且在SKIPIF1<0左側與右側，SKIPIF1<0的符號導號．②SKIPIF1<0是SKIPIF1<0為極值點的既不充分也不必要條件，如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，但SKIPIF1<0不是極值點．另外，極值點也可以是不可導的，如函數SKIPIF1<0，在極小值點SKIPIF1<0是不可導的，于是有如下結論：SKIPIF1<0為可導函數SKIPIF1<0的極值點SKIPIF1<0；但SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的極值點．2、函數的最值函數SKIPIF1<0最大值為極大值與靠近極小值的端點之間的最大者；函數SKIPIF1<0最小值為極小值與靠近極大值的端點之間的最小者．導函數為SKIPIF1<0（1）當SKIPIF1<0時，最大值是SKIPIF1<0與SKIPIF1<0中的最大者；最小值是SKIPIF1<0與SKIPIF1<0中的最小者．（2）當SKIPIF1<0時，最大值是SKIPIF1<0與SKIPIF1<0中的最大者；最小值是SKIPIF1<0與SKIPIF1<0中的最小者．一般地，設SKIPIF1<0是定義在SKIPIF1<0上的函數，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內有導數，求函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值與最小值可分為兩步進行：（1）求SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內的極值（極大值或極小值）；（2）將SKIPIF1<0的各極值與SKIPIF1<0和SKIPIF1<0比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值．注：①函數的極值反映函數在一點附近情況，是局部函數值的比較，故極值不一定是最值；函數的最值是對函數在整個區(qū)間上函數值比較而言的，故函數的最值可能是極值，也可能是區(qū)間端點處的函數值；②函數的極值點必是開區(qū)間的點，不能是區(qū)間的端點；③函數的最值必在極值點或區(qū)間端點處取得．【解題方法總結】（1）若函數SKIPIF1<0在區(qū)間D上存在最小值SKIPIF1<0和最大值SKIPIF1<0，則不等式SKIPIF1<0在區(qū)間D上恒成立SKIPIF1<0；不等式SKIPIF1<0在區(qū)間D上恒成立SKIPIF1<0；不等式SKIPIF1<0在區(qū)間D上恒成立SKIPIF1<0；不等式SKIPIF1<0在區(qū)間D上恒成立SKIPIF1<0；（2）若函數SKIPIF1<0在區(qū)間D上不存在最大（?。┲担抑涤驗镾KIPIF1<0，則不等式SKIPIF1<0在區(qū)間D上恒成立SKIPIF1<0．不等式SKIPIF1<0在區(qū)間D上恒成立SKIPIF1<0．（3）若函數SKIPIF1<0在區(qū)間Ｄ上存在最小值SKIPIF1<0和最大值SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則對不等式有解問題有以下結論：不等式SKIPIF1<0在區(qū)間D上有解SKIPIF1<0；不等式SKIPIF1<0在區(qū)間D上有解SKIPIF1<0；不等式SKIPIF1<0在區(qū)間D上有解SKIPIF1<0；不等式SKIPIF1<0在區(qū)間D上有解SKIPIF1<0；（4）若函數SKIPIF1<0在區(qū)間D上不存在最大（?。┲?，如值域為SKIPIF1<0，則對不等式有解問題有以下結論：不等式SKIPIF1<0在區(qū)間D上有解SKIPIF1<0不等式SKIPIF1<0在區(qū)間D上有解SKIPIF1<0（5）對于任意的SKIPIF1<0，總存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0；（6）對于任意的SKIPIF1<0，總存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0；（7）若存在SKIPIF1<0，對于任意的SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0；（8）若存在SKIPIF1<0，對于任意的SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0；（9）對于任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0；（10）對于任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0；（11）若存在SKIPIF1<0，總存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0（12）若存在SKIPIF1<0，總存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0．題型一：求函數的極值與極值點【例1】（2023·全國·高三專題練習）若函數SKIPIF1<0存在一個極大值SKIPIF1<0與一個極小值SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0至少有（

）個單調區(qū)間.A．3 B．4 C．5 D．6【對點訓練1】（2023·全國·高三專題練習）已知定義在R上的函數f（x），其導函數SKIPIF1<0的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的是（

）A．SKIPIF1<0B．函數SKIPIF1<0在x＝c處取得最大值，在SKIPIF1<0處取得最小值C．函數SKIPIF1<0在x＝c處取得極大值，在SKIPIF1<0處取得極小值D．函數SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0【對點訓練2】（2023·全國·模擬預測）已知函數SKIPIF1<0的導函數為SKIPIF1<0，則“SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有兩個零點”是“SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有兩個極值點”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【對點訓練3】（2023·廣西南寧·南寧三中?？家荒＃┰O函數SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的導函數．(1)當SKIPIF1<0時，過點SKIPIF1<0作曲線SKIPIF1<0的切線，求切點坐標；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的零點均在集合SKIPIF1<0中，求SKIPIF1<0的極小值．【對點訓練4】（2023·河北·統考模擬預測）已知函數SKIPIF1<0．(1)證明：當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0有唯一的極值點為SKIPIF1<0，并求SKIPIF1<0取最大值時SKIPIF1<0的值；(2)當SKIPIF1<0時，討論SKIPIF1<0極值點的個數．【對點訓練5】（2023·江蘇無錫·校聯考三模）已知函數SKIPIF1<0.求SKIPIF1<0的極值；【解題方法總結】1、因此，在求函數極值問題中，一定要檢驗方程SKIPIF1<0根左右的符號，更要注意變號后極大值與極小值是否與已知有矛盾．2、原函數出現極值時，導函數正處于零點，歸納起來一句話：原極導零．這個零點必須穿越SKIPIF1<0軸，否則不是極值點．判斷口訣：從左往右找穿越（導函數與SKIPIF1<0軸的交點）；上坡低頭找極小，下坡抬頭找極大．題型二：根據極值、極值點求參數【例2】（2023·貴州·校聯考模擬預測）已知函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處取得極大值4，則SKIPIF1<0（

）A．8 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<0【對點訓練6】（2023·陜西商洛·統考三模）若函數SKIPIF1<0無極值，則SKIPIF1<0的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【對點訓練7】（2023·湖南長沙·高三長沙一中?？茧A段練習）函數SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上存在極值，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【對點訓練8】（2023·全國·高三專題練習）已知函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處取得極小值，則實數SKIPIF1<0的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【對點訓練9】（2023·廣東梅州·梅州市梅江區(qū)梅州中學校考模擬預測）已知函數SKIPIF1<0有兩個極值點，則實數a的取值范圍（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【對點訓練10】（2023·江蘇揚州·高三揚州市新華中學?？奸_學考試）若x＝a是函數SKIPIF1<0的極大值點，則a的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解題方法總結】根據函數的極值（點）求參數的兩個要領（1）列式：根據極值點處導數為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數法求解；（2）驗證：求解后驗證根的合理性．題型三：求函數的最值（不含參）【例3】（2023·山東淄博·山東省淄博實驗中學校考三模）已知函數SKIPIF1<0.(1)求曲線SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處的切線方程；(2)求SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上的最大值；【對點訓練11】（2023·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習）已知函數SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上最大值為M，最小值為m，則SKIPIF1<0的值是_______.【對點訓練12】（2023·遼寧葫蘆島·統考二模）已知函數SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值是________．【對點訓練13】（2023·湖北武漢·統考模擬預測）已知函數SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則函數SKIPIF1<0的最小值為______.【對點訓練14】（2023·山西·高三校聯考階段練習）已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為__________.【對點訓練15】（2023·海南?？凇そy考模擬預測）已知正實數SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為______.【解題方法總結】求函數SKIPIF1<0在閉區(qū)間SKIPIF1<0上的最值時，在得到極值的基礎上，結合區(qū)間端點的函數值SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的各極值進行比較得到函數的最值．題型四：求函數的最值（含參）【例4】（2023·天津和平·統考三模）已知函數SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.(1)若曲線SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的切線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的切線SKIPIF1<0平行，求SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0時，求函數SKIPIF1<0的最小值；(3)若SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，證明：當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0.【對點訓練16】（2023·全國·模擬預測）已知函數SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．討論函數SKIPIF1<0的最值；【對點訓練17】（2023·四川成都·成都七中?？寄M預測）已知函數SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．(1)若a=2，求SKIPIF1<0的單調區(qū)間；(2)已知SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值．（參考數據：SKIPIF1<0）【對點訓練18】（2023·全國·高三專題練習）已知函數SKIPIF1<0．(1)當SKIPIF1<0時，討論函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的單調性；(2)當SKIPIF1<0時，求SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內的最大值；【對點訓練19】（2023·湖南長沙·湖南師大附中?？寄M預測）已知函數SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0存在最大值M，證明：SKIPIF1<0；(2)在（1）的條件下，設函數SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值（用含M，k的代數式表示）．【解題方法總結】若所給的閉區(qū)間SKIPIF1<0含參數，則需對函數SKIPIF1<0求導，通過對參數分類討論，判斷函數的單調性，從而得到函數SKIPIF1<0的最值．題型五：根據最值求參數【例5】（2023·四川宜賓·統考三模）已知函數SKIPIF1<0.(1)討論函數SKIPIF1<0的極值點個數；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0，求實數m的所有可能值.【對點訓練20】（2023·山東·山東省實驗中學?？家荒＃┤艉瘮礢KIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上存在最小值，則整數SKIPIF1<0的取值可以是______．【對點訓練21】（2023·全國·高三專題練習）若函數SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上有最小值，則實數SKIPIF1<0的取值范圍為________.【對點訓練22】（2023·福建泉州·高三統考階段練習）已知函數SKIPIF1<0的最小值為0，則a的取值范圍為______________．【對點訓練23】（2023·江蘇南通·高三?？奸_學考試）若函數SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______．【對點訓練24】（2023·全國·高三專題練習）若函數SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上存在最大值，則實數SKIPIF1<0的取值范圍為_______【對點訓練25】（2023·全國·高三專題練習）已知函數SKIPIF1<0，若函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上存在最小值.則實數SKIPIF1<0的取值范圍是________.題型六：函數單調性、極值、最值得綜合應用【例6】（2023·天津河北·統考二模）已知SKIPIF1<0，函數SKIPIF1<0，其中e是自然對數的底數.(1)當SKIPIF1<0時，求曲線SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處的切線方程；(2)當SKIPIF1<0時，求函數SKIPIF1<0的單調區(qū)間；(3)求證：函數SKIPIF1<0存在極值點，并求極值點SKIPIF1<0的最小值.【對點訓練26】（2023·全國·高三專題練習）已知函數SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．(1)當SKIPIF1<0時，求函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內的極值；(2)若函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最小值為5，求實數SKIPIF1<0的取值范圍．【對點訓練27】（2023·全國·高三專題練習）已知SKIPIF1<0．(1)求函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內的極值點；(2)求函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最值．【對點訓練28】（2023·全國·高三專題練習）設函數SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0是函數SKIPIF1<0的極值點．(1)若函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內單調遞減，求實數m的取值范圍；(2)討論函數SKIPIF1<0的零點個數；(3)求SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內的最值．題型七：不等式恒成立與存在性問題【例7】（2023·貴州黔東南·凱里一中校考模擬預測）若存在實數SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），使得關于x的不等式SKIPIF1<0對SKIPIF1<0恒成立，則b的最大值是_________.【對點訓練29】（2023·陜西安康·高三陜西省安康中學校考階段練習）若不等式SKIPIF1<0對SKIPIF1<0恒成立，則a的取值范圍是______.【對點訓練30】（2023·全國·高三專題練習）若存在SKIPIF1<0，使得不等式SKIPIF1<0成立，則m的取值范