第八單元數(shù)學廣角-數(shù)與形（單元復習講義）-2024-2025學年六年級上冊（人教版）

第第頁2024-2025學年六年級數(shù)學上冊單元復習講義（人教版）第八單元數(shù)學廣角——數(shù)與形（思維架構(gòu)+知識精講+習題精練+知識拓展）知識點01：探索并發(fā)現(xiàn)規(guī)律數(shù)與形是有聯(lián)系的，這種聯(lián)系稱之為數(shù)形結(jié)合。數(shù)與形常常從各自不同的角度互通互助，數(shù)用來揭示圖形的本質(zhì)，圖形可以蘊含數(shù)量關(guān)系。數(shù)形結(jié)合的方法是一種很好的數(shù)學思想方法，它能幫助我們把復雜的問題簡單化，把抽象的問題直觀化、形象化。1.有些問題利用畫圖的方法解決起來更簡單。從上圖中可以直觀地看出隨著加數(shù)的不斷增加，圓的面積和線段的長度越來越接近1,當有無限多項相加時其結(jié)果為1。2.數(shù)形結(jié)合的方法確實是一種很好的數(shù)學方法，它能幫助我們把復雜的問題簡單化，把簡單的問題直觀化、形象化。【例1】用小棒按照如下方式擺圖形，用2024根小棒可擺()個正八邊形?！敬鸢浮?89【分析】擺1個正八邊形需要的小棒數(shù)為8根，即7×1＋1；擺2個正八邊形需要的小棒數(shù)為15根，即7×2＋1；擺3個正八邊形需要的小棒數(shù)為22根，即7×3＋1；……擺n個正八邊形需要的小棒數(shù)為：7n＋1。求用2024根小棒可擺多少個正八邊形，就是當7n＋1＝2024時，求n的值。【詳解】擺n個正八邊形需要的小棒數(shù)為：7n＋1，由此列方程得：7n＋1＝2024解：7n＋1－1＝2024－17n＝20237n÷7＝2023÷7n＝289所以用2024根小棒可擺289個正八邊形?！纠?】觀察下面的圖形，按照規(guī)律，第6堆有()個棋子；第n堆有()棋子。【答案】142n＋2/2＋2n【分析】每堆有兩排棋子，第一排棋子個數(shù)分別是1、2、3、4……，第二排棋子個數(shù)分別比第一排多2個即3、4、5、6……。根據(jù)棋子的數(shù)量關(guān)系解答?！驹斀狻康趎堆的第一排有n個棋子，第二排有（n＋2）個棋子，共有（2n＋2）個棋子。當n＝6時，棋子數(shù)是（個）第6堆有14個棋子，第n堆有（2n＋2）個棋子。【例3】一張長方形桌子可坐6人，按下列方式將桌子拼在一起。（1）3張桌子拼在一起可坐（

）人，5張桌子拼在一起可坐（

）人。（2）依據(jù)上面桌子的拼擺規(guī)律，如果是n張桌子拼在一起，那么可以坐多少人？【答案】（1）10；14（2）（2n＋4）人【分析】1張長方形桌子可坐6人，6＝2×1＋4；2張桌子拼在一起可坐8人，8＝2×2＋4；依此類推，每多一張桌子可多坐2人，所以n張桌子拼在一起可坐（2n＋4）人。據(jù)此解答即可?！驹斀狻浚?）2×3＋4＝6＋4＝10（人）2×5＋4＝10＋4＝14（人）則3張桌子拼在一起可坐10人，5張桌子拼在一起可坐14人。（2）n×2＋4＝（2n＋4）人答：如果是n張桌子拼在一起，那么可以坐（2n＋4）人。

一、選擇題1．將同樣大小的棋子按下圖所示的方式擺放，則接下來的第20個圖形需要擺（

）個棋子。7

13

21

31A．463 B．191 C．441 D．4202．觀察下列的圖形，照這樣擺下去，第n個圖形中有（

）個白色方塊。……A．n＋4 B．3n C．3n＋2 D．6n－13．如圖，圖1有1個陰影三角形，圖2有3個陰影三角形，圖3有6個陰影三角形，……按此規(guī)律，圖11有（

）個陰影三角形。A．72 B．66 C．55 D．504．如圖，按照規(guī)律，在圖10中，陰影小正方形與空白小正方形相差（

）個。圖1

圖2

圖3

圖4A．49 B．47 C．41 D．39二、填空題5．如圖，3個同樣的杯子疊在一起高20厘米，5個這樣的杯子疊起來高24厘米，7個這樣的杯子疊起來的高度是厘米，n個這樣的杯子疊在一起的高度是厘米。6．如圖所示圖案是我國古代窗格的一部分，其中“〇”代表窗紙上所貼的剪紙，則第5幅圖中“〇”的個數(shù)為個，第n幅圖中“〇”的個數(shù)為個。7．根據(jù)下圖中的規(guī)律，括號里應該填()。2層

3層

4層

6層

（

）三、判斷題8．下面圖案由邊長相等的黑、白兩色正方形按一定規(guī)律拼接而成。照這樣畫下去，第8個圖形中白色小正方形的個數(shù)是43。()9．如圖，用小棒擺圖形，擺第8個用了17根小棒。()10．同一平面內(nèi)的6條直線，最多有15個交點。()四、解答題11．

（1）找規(guī)律，在橫線上畫出第四幅圖。（2）第12幅圖中有（

）個○，有（

）個●。12．為慶祝國慶，某學校舉行用火柴棒擺“金魚”比賽，如下圖所示。(1)按照上面的規(guī)律，擺6條“金魚”需要()根火柴棒，擺n條“金魚”需要()根火柴棒。(2)如果要擺4組“金魚”，每組擺8條，按照上面的擺法，需要準備()根火柴棒。(3)準備88根火柴棒最多能擺()條這樣的“金魚”。13．下面每個圖中最外圈各有多少個小正方形？照這樣的規(guī)律接著畫下去，第5個圖形最外圈有多少個小正方形？

參考答案：1．A【分析】根據(jù)圖示可知：第1幅圖棋子個數(shù)：22＋3＝4＋3＝7個；第2幅圖棋子個數(shù)：32＋4＝9＋4＝13個；第3幅圖棋子個數(shù)：42＋5＝16＋5＝21個；第4幅圖棋子個數(shù)：52＋6＝25＋6＝31個；第n幅圖棋子個數(shù)：（n＋1）2＋（n＋2），據(jù)此解答?！驹斀狻坑煞治隹傻茫旱趎幅圖棋子個數(shù)：（n＋1）2＋（n＋2）。當n＝20時，（20＋1）2＋（20＋2）＝441＋22＝463（個）第20個圖形需要擺463個棋子。故答案為：A【點睛】本題考查了圖形的變化類問題，主要培養(yǎng)學生的觀察能力和總結(jié)能力。2．C【分析】第一個圖形有5個白色方塊，第二個圖形由8個白色方塊，第三個圖形由11個白色方塊；5、8、11、……后面每個圖形依次增加3個白色方塊。【詳解】5＝3×1＋28＝3×2＋211＝3×3＋2……第n個圖形是（3n＋2）個。照這樣擺下去，第n個圖形中有（3n＋2）個白色方塊。故答案為：C【點睛】解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形的序數(shù)與白色方塊的個數(shù)找出規(guī)律，然后再根據(jù)規(guī)律解答。3．B【分析】根據(jù)圖形的規(guī)律：圖1：陰影三角形有1個；圖2：陰影三角形有1＋2＝3（個）；圖3：陰影三角形有1＋2＋3＝6（個）；圖4：陰影三角形有1＋2＋3＋4＝10（個）；…圖n：陰影三角形有1＋2＋3＋……＋n（個）幾個連續(xù)的自然數(shù)相加＝（首項＋末項）×項數(shù)÷2【詳解】1＋2＋3＋4＋…＋11＝（1＋11）×11÷2＝12×11÷2＝66（個）按此規(guī)律，圖11有66個陰影三角形。故答案為：B4．C【分析】從圖中分析：圖1：陰影小正方形有8個，空白小正方形有1個；圖2：陰影小正方形有8個，空白小正方形有16個；圖3：陰影小正方形有24個，空白小正方形有16個；圖4：陰影小正方形有24個，空白小正方形有32個；……從圖中發(fā)現(xiàn)，從圖2開始，新增的外圈都比內(nèi)圈增加了8個。圖2：有3層，除了第一層，有2層，順序是：陰影部分、空白部分，增加了8個，則相差9個；圖3：有4層，除了第一層，有3層，順序是：陰影部分、空白部分、陰影部分，空白的部分沒有變，則相差9個；圖4：有5層，除了第一層，有4層，順序是：陰影部分、空白部分、陰影部分、空白部分，陰影的部分沒有變，則相差17個；也就是當圖n中，n是偶數(shù)的情況下，相差的數(shù)量＝4n＋1；如果是奇數(shù)的情況下，相差的數(shù)量是4（n－1）＋1圖10時，10是偶數(shù)，利用4n＋1公式得出相差的數(shù)量。【詳解】4×10＋1＝40＋1＝41（個）陰影小正方形與空白小正方形相差41個。故答案為：C5．2814＋2n【分析】（1）具體思路是先求出單個杯子的高度，再根據(jù)與已知條件的關(guān)系逐步計算其他情況的高度。求單個杯子的高度：5個杯子比3個杯子多了2個杯子，高度多了24－20＝4厘米，所以一個杯子的高度是4÷2＝2厘米。求7個杯子的高度：3個杯子高20厘米，那么7個杯子比3個杯子多4個杯子，多4×2＝8厘米，所以7個杯子疊起來的高度是20＋8＝28厘米。（2）已知杯子總高度為20厘米，第一個杯子的高度是：杯子總高度?間隔高度即為：20?4＝16厘米，已知杯子與杯子間隔高度是2厘米，3個杯子有2個間隔，以此類推，n個杯子就有n－1個間隔，每個間隔的高度是2厘米，有n－1個間隔，所以間隔的總高度就是（n－1）×2，最后可列式為：16＋（n－1）×2，算出結(jié)果即可。【詳解】（1）兩個杯子的高度為：24－20＝4（厘米）一個杯子的高度為：4÷2＝2（厘米）3個杯子疊一起20厘米，那么最下面一個杯子的高度為20－2×2＝16（厘米）7個杯子疊起來的高度為16＋2×（7－1）＝16＋12＝28（厘米）7個這樣的杯子疊起來的高度是28厘米。（2）16＋（n－1）×2＝16＋2n－2＝14＋2nn個這樣的杯子疊在一起的高度是14＋2n厘米6．173n＋2【分析】根據(jù)題意發(fā)現(xiàn)：一個窗格需要5個“〇”，每多1個窗格就增加3個“〇”，則第n個圖形有〇：5＋（n－1）×3＝（3n＋2）個，據(jù)此解答即可?！驹斀狻?×5＋2＝15＋2＝17（個）第n個圖形有〇：5＋（n－1）×3＝5＋3n－3＝（3n＋2）個第5幅圖中“〇”的個數(shù)為17個，第n幅圖中“〇”的個數(shù)為（3n＋2）個。7．【分析】由圖可知，分數(shù)的分母表示三角形的總數(shù)，分子表示陰影三角形的總數(shù)。第1個圖中共有（2×2＝4）個小三角形，陰影的三角形有3個，陰影三角形占三角形總數(shù)的；第2個圖中共有（3×3＝9）個小三角形，陰影的三角形有5個，陰影三角形占三角形總數(shù)的；第3個圖中共有（4×4＝16）個小三角形，陰影的三角形有7個，陰影三角形占三角形總數(shù)的；由此可知第4個圖中共有（5×5＝25）個小三角形，陰影的三角形有7＋2＝9個，陰影三角形占三角形總數(shù)的，……，據(jù)此再用同樣的方法寫出分數(shù)。【詳解】6×6＝369＋2＝11所以用分數(shù)表示是，括號里應該填?！军c睛】此題的關(guān)鍵是了解分數(shù)分母表示的是三角形總數(shù)，分數(shù)分子表示的是陰影三角形的個數(shù)。8．√【分析】根據(jù)題意，黑色正方形的數(shù)量＝圖形序號數(shù)，第n個圖形就有n個黑色正方形；白色正方形數(shù)量與序號數(shù)n（黑色數(shù)量）的數(shù)量關(guān)系是：白色數(shù)量＝5n＋3，據(jù)此解答?！驹斀狻慨攏＝8是，5×8＋3＝43；照這樣畫下去，第8個圖形中白色小正方形的個數(shù)是43，故說法正確?！军c睛】此題考查了數(shù)與形的知識，關(guān)鍵能夠根據(jù)已知圖形數(shù)量找出數(shù)量關(guān)系。9．√【分析】根據(jù)圖示發(fā)現(xiàn)：擺1個三角形需要小棒：3根；擺2個三角形需要小棒（3＋2）根；擺3個三角形需要小棒（3＋2＋2）根；……擺n個三角形需要小棒的根數(shù)是3＋2（n－1）。據(jù)此解答?！驹斀狻繑[n個三角形需要小棒3＋2（n－1）＝3＋2n－2＝（2n＋1）根當n＝8時，2×8＋1＝16＋1＝17（根）用小棒擺圖形，擺第8個用了17根小棒。此說法正確。故答案為：√【點睛】本題主要考查數(shù)與形結(jié)合的規(guī)律，關(guān)鍵根據(jù)圖示發(fā)現(xiàn)這組圖形的規(guī)律，并運用規(guī)律做題。10．√【分析】2條直線相交，最多有1個交點。3條直線兩兩相交，最多增加2個交點，最多有3個交點。1＋2＝3個。4條直線兩兩相交，最多增加3個交點，最多有6個交點。1＋2＋3＝6個。5條直線兩兩相交，最多增加4個交點，最多有10個交點。1＋2＋3＋4＝10個。6條直線兩兩相交，最多增加5個交點，最多有15個交點。1＋2＋3＋4＋5＝15個。根據(jù)以上規(guī)律可知，n條直線兩兩相交，最多有1＋2＋3＋4＋…＋（n－1）個交點?！驹斀狻坑煞治隹芍?＋2＋3＋4＋5＝3＋3＋4＋5＝6＋4＋5＝10＋5＝15（個）則同一平面內(nèi)的6條直線，最多有15個交點。原題干說法正確。故答案為：√11．（1）見詳解；（2）52；144【分析】（1）觀察圖形可知，第①幅圖中一共有9個圖形，表示為32，●有1個，表示為12；○有8個，表示為32－12；第②幅圖中一共有16個圖形，表示為42，●有4個，表示為22；○有12個，表示為42－22；第③幅圖中一共有25個圖形，表示為52，●有9個，表示為32；○有16個，表示為52－32；由此可知，第n幅圖●有n2，○有（n＋2）2－n2；第四幅圖●有42＝16個，○有62－42＝20個，據(jù)此畫出第④幅圖；（2）根據(jù)以上規(guī)律，第12幅圖中，○個數(shù)有（12＋2）2－122個；●個數(shù)有122個，據(jù)此解答。【詳解】分析可知：（1）

（2）○的個數(shù)：（12＋2）2－122＝142－144＝196－144＝52（個）●個數(shù)：122＝144（個）第12幅圖中有52個○，有144個●?！军c睛】本題主要考查數(shù)與形，關(guān)鍵是根據(jù)所給圖形找出規(guī)律，并利用規(guī)律解答問題。12．(1)386n＋2(2)200(3)14【分析】（1）根據(jù)題意分析可得：擺1條金魚需8根火柴棒，此后，每條金魚都比前一條金魚多用6根，故按照上面的規(guī)律，擺n條“金魚”需用火柴棒的根數(shù)為8＋（n－1）×6根；據(jù)此解答。（2）根據(jù)（1）求出8條金魚需要多少根火柴棒，即一組需要多少根火柴棒，進而求出4組需要的火柴棒。（3）我們需要用88根火柴棒減去2根火柴棒，因為第一條金魚用的是8根火榮棒。其余都是用的6根。所以減去第一條多的2根，再除以6，就可以得到88根火柴最多可以擺多少這樣的金魚。當剩下不足6根火柴棒是不能組成一條“金魚”?！驹斀狻浚?）8＋（6－1）×6＝8＋5×6＝8＋30＝38（根）8＋（n－1）×6＝8＋（6n－6）＝8＋6n－6＝（6n＋2）根按照上面的規(guī)律，擺6條“金魚”需要38根火柴棒，擺n條“金魚”需要（6n＋2）根火柴棒。（2）當n＝8時，6n＋2＝6×8＋2＝48＋2＝50（根）50×4＝200（根）如果要擺4組“金魚”，每組擺8條，按照上面的擺法，需要準備200根火柴棒。（3）（88－2）÷6＝86÷6≈14（條）準備88根火柴棒最多能擺14條這樣的“金魚”。13．40個【分析】觀察題意可知，圖①的最外圈正方形個數(shù)＝8×1，圖②的最外圈正方形個數(shù)＝8×2，圖③的最外圈正方形個數(shù)＝8×3，……，據(jù)此推出圖n的最外圈正方形個數(shù)＝8n，據(jù)此可得第5個圖形最外圈有多少個小正方形。【詳解】圖①的最外圈正方形個數(shù)：8＝8×1圖②的最外圈正方形個數(shù)：16＝8×2圖③的最外圈正方形個數(shù)：24＝8×3……圖n