正余弦定理解三角形-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案（新高考）

第08講正余弦定理解三角形

（10類核心考點(diǎn)精講精練）

1%.考情探究?

1.5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)

正弦定理解三角形

2024年新I卷，第15題,13分余弦定理解三角形正弦的和差公式

三角形面積公式及其應(yīng)用

正弦定理解三角形

2024年新H卷，第15題,13分輔助角公式

正弦定理邊角互化的應(yīng)用

正弦定理解三角形

2023年新I卷，第17題,10分用和、差角的正弦公式化簡、求值

三角形面積公式及其應(yīng)用

三角形面積公式及其應(yīng)用

2023年新II卷,第17題,10分?jǐn)?shù)量積的運(yùn)算律

余弦定理解三角形

2022年新I卷，第18題,12分正弦定理邊角互化的應(yīng)用基本不等式求和的最小值

正弦定理解三角形

2022年新II卷，第18題,12分三角形面積公式及其應(yīng)用無

余弦定理解三角形

2021年新I卷，第19題,12分正弦定理邊角互化的應(yīng)用幾何圖形中的計(jì)算

正弦定理邊角互化的應(yīng)用

2021年新H卷，第18題,12分三角形面積公式及其應(yīng)用無

余弦定理解三角形

正弦定理解三角形

2020年新I卷，第17題,10分無

余弦定理解三角形

正弦定理解三角形

2020年新II卷,第17題,10分無

余弦定理解三角形

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較中等，分值為13-15分

【備考策略】1掌握正弦定理、余弦定理及其相關(guān)變形應(yīng)用

2會用三角形的面積公式解決與面積有關(guān)的計(jì)算問題.

3會用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決三角形中的綜合問題

【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般給以大題來命題、考查正余弦定理和三角形面積公式

在解三角形中的應(yīng)用，同時(shí)也結(jié)合三角函數(shù)及三角恒等變換等知識點(diǎn)進(jìn)行綜合考查，需重點(diǎn)復(fù)習(xí)。

知識點(diǎn)1正弦定理及其變用

知識點(diǎn)2三角形中三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系

知識點(diǎn)3余弦定理

知識點(diǎn)4三角形的面積公式

考點(diǎn)1正弦定理邊角互化解三角形

考點(diǎn)2利用正弦定理判斷三角形解的個(gè)數(shù)

考點(diǎn)3余弦定理求值

考點(diǎn)4利用正余弦定理判斷三角形的形狀

考點(diǎn)5三角形面積的應(yīng)用

考點(diǎn)6外接圓、內(nèi)切圓半徑問題

考點(diǎn)7雙正弦

考點(diǎn)8雙余弦

考點(diǎn)9解三角形中的證明問題

考點(diǎn)1。解三角形中的實(shí)際應(yīng)用

知識講解

1.正弦定理

(1)基本公式：

nhc

----=2R(其中R為A45C外接圓的半徑)

sinAsinBsinC

（2）變形

abcQ+6+C"bQ+Cb+c

----=-----=-----=2R=-----------------=-----------=-----------=-----------

sin/sin5sinCsin24+sinS+sinCsinA+^mBsin/+sinCsin5+sinC

Q:b:c=sin4:sin5:sinC

2.三角形中三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系

A+B兀c

..?/+3+。=兀--------=—

'222

/.sin(5+C)=sin4,cos(B+C)=-cosA,tan(S+C)=-tanA

sin(W1鳥=sin|7l_C=cos|,cos(^)=cos|K_C=sin|tan(^)=tan|7l_C=cot^

5一萬5一萬萬一萬2

3.余弦定理

(1)邊的余弦定理

a2=b2+c2-2bccosA,b1=a2+c2-2accosB,c2=a1+b2-labcosC

(2)角的余弦定理

b2+c2-a2Q2+02a2+Z>2-c2

cosA=cosB=cosC=

2bc2aclab

4.三角形的面積公式

SMBC=5皿

SMBC=—absinC=—acsinB=—besinA

考點(diǎn)一、正弦定理邊角互化解三角形

典例引領(lǐng)

7T

1.（2023?全國?高考真題）在AZSC中，內(nèi)角4民。的對邊分別是〃也c,若acosB-bcos/=c,且。=5，

則N5=（）

7t713兀2K

A.——B.C.—D.——

105105

【答案】C

【分析】首先利用正弦定理邊化角，然后結(jié)合誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式求得//的值，最后利用三角形

內(nèi)角和定理可得//的值.

【詳解】由題意結(jié)合正弦定理可得sinZcos3-sin3cosZ=sinC,

即sinAcosB-sinBcos/=sin（/+5）=sin/cos5+sin5cosA,

整理可得sin8cos/=0,由于B￡（0,兀），故sin5〉0,

TT

據(jù)此可得cosA=0,A=-

2f

TT兀_3兀

則5=兀_/_0=?！?/p>

2io

故選：C.

2.（2024?湖南永州?三模）已知在。臺。中，角A,5,C所對的邊分別為。，b,。，且

acosB+bcosA=-2ccosC，sin2^+-U-,貝!]cos(A-B)=

I6J8

7

【答案】-/0.875

o

Orrr

【分析】利用正弦定理結(jié)合和角正弦公式可得sin(/+B)=-2sinCcosC,進(jìn)而求得。=彳，從而有

A+B=^,故cos(4_8)=cos(2/—m]=cos(2/+W—]]=sin]24+g；即可求解.

【詳解】因?yàn)閍cosB+bcosZ=-2ccosC,

由正弦定理可得sin/cos5+sin5cos4=-2sinCcosC,

即sin(4+5)=-2sinCcosC,所以sin(兀一C)=-2sinCeosC,

即sinC=-2sinCcosC,因?yàn)閟inC>0,所以cosC=-；,

因?yàn)?<。<兀，所以C=￥，即H+B=

所以cos(^4-3)=cos124—I1=cos124+￡—^]=sin(24+己]=：.

7

故答案為：—.

O

3.(2024?四川涼山?二模)設(shè)。8C的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,若竺竺當(dāng)空+2=1,則

acosB+bcosAc

A=____

【答案】I

【分析】根據(jù)給定等式，利用正弦定理邊化角，再利用和角的正弦公式計(jì)算即得.

【詳解】在“3C中，由竺*等￥+2=1及正弦定理得:sinAcos5-sin5cosAsin5,

------------------------------+-------=1,

acosB+bcosAcsinAcos5+sin5cosAsinC

而sinC=sin(4+5)=sinAcos8+sin5cosA,

r?sin/cos5-sin5cosAsin5_

則二----------;-------+-----------；-------=1,

sinAcos5+sin5cosAsinAcos5+sinBcosA

整理得sinAcos5-sin5cos4+sin5=sinAcos5+sin5cosA,即2sin8cosA=sinB,

1兀

又sinB>0,因此cos4=—,而0<4<兀，所以力=;.

23

故答案為：—

4.(2024?全國?高考真題)記”5C的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sinZ+百cos/=2.

⑴求4

(2)若。=2,揚(yáng)sinC=csin25，求"BC的周長.

【答案】⑴

6

(2)2+V6+35/2

【分析】（1）根據(jù)輔助角公式對條件sin/+Gcos/=2進(jìn)行化簡處理即可求解，常規(guī)方法還可利用同角三

角函數(shù)的關(guān)系解方程組，亦可利用導(dǎo)數(shù)，向量數(shù)量積公式，萬能公式解決；

（2）先根據(jù)正弦定理邊角互化算出8,然后根據(jù)正弦定理算出仇c即可得出周長.

【詳解】（1）方法一：常規(guī)方法（輔助角公式）

由sin+-73cosA=2可得LinN+且cosN=1,即sin（/+g）=1,

223

十./八、.71,714兀、i,/兀兀An/口i兀

由?于/6（0,兀）=/+;€（不-r）,故/+二=彳，解得/

333326

方法二：常規(guī)方法（同角三角函數(shù)的基本關(guān)系）

由sin4+JJcos/=2,Xsin2A+cos2A=1消去sin4得到:

4cos24-46cosZ+3=00（2COS/-V§）2=0,解得cosZ=^-,

IT

又/e（0,7i）,故/=；

6

方法三：利用極值點(diǎn)求解

設(shè)/（x）=sinx+Gcosx（0<x<7c）,則/（x）=25畝］X+1］（0<x<兀），

顯然1時(shí)，/（x）max=2,注意至I」/（4）=sinZ+V^cos4=2=2sin（/+；）,

63

/（%）max=/（，），在開區(qū)間0兀）上取到最大值，于是工=/必定是極值點(diǎn)，

即/"（/）=0=cos/一VJsin/,BPtanA=-y,

TT

又/e（0,兀），故/=自

6

方法四：利用向量數(shù)量積公式（柯西不等式）

=（l,y/3）,b=（sinA,cosA）,由題意，a-b=sinA+s/3cosA=2>

根據(jù)向量的數(shù)量積公式，）防=同|砥。5他a=23,今，

貝！12cos落3=2ocos落3=1,此時(shí)萬,3=0,即同向共線，

n

根據(jù)向量共線條件，1.cos/=百?sin/u>tan/=——，

3

又/€（0,兀），故/=27T

方法五：利用萬能公式求解

設(shè)/=1211(，根據(jù)萬能公式，sin/+百cosN=2="+若。；)，

整理可得，t2-2(2-拒)t+(2-V3)2=0=(Z-(2-6))2,

解得tang=/=2-百，根據(jù)二倍角公式，tanA=,

21-產(chǎn)3

7T

又/€(0,兀)，故/=￡

(2)由題設(shè)條件和正弦定理

41bsinC=csin2B=V2sin5sinC=2sinCsinBcosB，

又B,Ce(0,?,則sinBsinCwO,進(jìn)而cosB=也,得到8=工，

24

7兀

于是。=兀一/一5二——，

12

sinC=sin(7i-A-B)=sin(4+5)=sinAcosB+sinBcosA=后;",

2_b_c

由正弦定理可得，上7=占=，77，即一￡=一9=-7充，

sinZsin5sinCsin—sin—sin——

6412

解得b=2A/2,c=V6+V2，

故AA8C的周長為2+逐+30

L(2024?江西九江?三模)在"BC中,角45C所對的邊分別為a,6,c,已知2c-a=26coM,則8=

()

兀7L2兀5兀

A.—B.—C.—D.—

6336

【答案】B

【分析】運(yùn)用正弦定理進(jìn)行邊角互化，結(jié)合誘導(dǎo)公式以及兩角和的正弦公式即可解決.

【詳解】因?yàn)?。一a=2bcos4,

由正弦定理，2sinC-siib4=2sin5cos4

因?yàn)?+5+C=兀，/.2sin(/+5)-2sin5cos/=sirU,

展開化簡2siiL4cos8=sinA丁sirt4>0,/.cosB=；,

JT

又5￡(0,兀),「.5=§.

故選:B.

2.（2024?河北滄州?模擬預(yù)測）記"8c的內(nèi)角4?,C的對邊分別為a,6,c,若36cos8=acosC+ccos/,且

36=4c,則。=.

【答案】y/450

4

【分析】根據(jù)三角恒等變換化簡計(jì)算可得cos2=:，由同角的平方關(guān)系可得sinS=遞，結(jié)合正弦定理計(jì)算

33

即可求解.

【詳解】因?yàn)?bcosB=acosC+ccos”,

所以3sin5cos5=sin4cosc+sinCcosZ,

所以3sin5cos5=51口（4+（7）.又$山（/+。）=51115wO,

所以cosB=—,所以sinB=Jl-cos?B=.

33

因?yàn)?=4c,由正弦定理知3sin5=4sinC,

所以sinC=Y2,又b>c,所以8>C,C=：.

24

TT

故答案為：7

4

3.（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?二模）在AA8C中，記角A、B、C的對邊分別為。、b、c,已知

y/3a=也ccosB+csiiiS.

⑴求角C；

（2）已知點(diǎn)。在/C邊上，且/D=2OC,BC=6,BD=2夜,求“BC的面積.

7T

【答案】（l）/c=§

⑵S=9G或S=18G

【分析】(1)代入正弦定理和兩角和的正弦公式即可；

(2)先確定。。長度，再確定4C,即可判斷三角形形狀，確定面積.

【詳解】(1).「JJQ=JJccosB+csinS,由正弦定理可得V3sin(5+C)=V3sinCcos5+sinCsinB,

y/3sinBcosC+^3cos5sinC=V3sinCcos5+sinCsinB，

,：sin5w0,

??tanC=百，Ce(0,7i),

?.ZC=~；

3

(2)設(shè)。C=x,cosm=g=%+[]—―,/.6x=x2+8,，x=2或4,

3212x

當(dāng)x=2時(shí)，AC=6,C==,此時(shí)三角形為正三角形，S='x6x6x3=94

322

當(dāng)x=4時(shí)，/C=12,AB2=BC2+AC2-2AC-BCcosC=IOS,

^^AB2+BC2=AC2,此時(shí)三角形為直角三角形，5=1x6V3x6=18V3.

考點(diǎn)二、利用正弦定理判斷三角形解的個(gè)數(shù)

典例引領(lǐng)

JT

1.（2023?浙江?模擬預(yù)測）在中，角所對的邊分別為名仇c.若5=*。=4,且該三角形有兩解,

則b的范圍是（）

（2省,+8（2A/3,4）

（°，4）（373,4）

【答案】B

【分析】利用正弦定理推出6=2,根據(jù)三角形有兩解，確定角力的范圍，從而結(jié)合sin4的取值范圍求

得答案.

TT77T7T

因?yàn)樵撊切斡袃山猓?=8</<7,/力］，

「故sinAe（曰,1）>即6=~~~?（2^/3,4），

故選：B

2.（2024?陜西渭南?模擬預(yù)測）己知的內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,6,c,則能使同時(shí)滿足條件

冗

46=6的三角形不唯一的。的取值范圍是（）

6

A.（3,6）B.（3,+8）C.（0,6）D.（0,3）

【答案】A

【分析】利用三角形不唯一的條件進(jìn)行求解即可.

TT]

【詳解】因?yàn)?=—,6=6,則6sinN=6x—=3,

62

要使?jié)M足條件的三角形不唯一，則6sin/<“<6,即3<a<6.

故選：A.

3.（2023?廣東茂名?三模）（多選）中，角所對的邊分別為。，仇c.以下結(jié)論中正確的有（）

A.若“=40,6=20,8=25°,則必有兩解

B.若sin2N=sin28,則“3C一定為等腰三角形

C.若acosB-bcos/=c,則“3C一定為直角三角形

D.若3=孑0=2,且該三角形有兩解，則6的范圍是（月,+8）

【答案】AC

【分析】根據(jù)正弦定理可判斷選項(xiàng)A；已知條件得出角48的關(guān)系，可判斷選項(xiàng)B；化邊為角可判斷選項(xiàng)C；

根據(jù)正弦定理可判斷選項(xiàng)D,進(jìn)而可得正確選項(xiàng).

【詳解】對于A,若。=40,6=20,3=25°,則siiL4=癡皿=4°sin~5=2$詒25°<1,

b20

又“〉B,所以。5C必有兩解，故A正確；

對于B,若sin2/=sin2B,則2Z=25或2/=兀-28,

即4=8或4+8=二，所以為等腰三角形或直角三角形，故B錯(cuò)誤；

2

對于C,由正弦定理得：acosB-bcosA=c<^>sirUcosfi-siriBcos^=sinC,

即sin（N-8）=sin。=sin（N+3）nsinScosN=0,而sinfiwO,故4=',

所以“8C一定為直角三角形，故C正確；

7T

對于D,B=—,a=2,且該三角形有兩解，所以asiiRvbva,

即2sin1<6<2,也即6<6<2,故D錯(cuò)誤.

綜上所述，只有AC正確，

故選：AC.

??即時(shí)檢測

I______________________

JT

1.（23-24高二下?浙江?期中）在“8C中，ZA=-,AB=4,BC=a,且滿足該條件的有兩個(gè)，則。的

取值范圍是（）

A.（0,2）B.（2,2石）C.（2,4）D.（2后4）

【答案】D

【分析】由正弦定理求出sinC,由sinC<l,且BCv/B,可得。的取值范圍.

【詳解】由正弦定理可得：號二方,所以sinC=^<l,所以a>2出，

因?yàn)闈M足條件的“BC有兩個(gè)，所以即。<4,所以。的取值范圍是（26,4）

故選：D

2.（2023?安徽?模擬預(yù)測）（多選）在。3C中，4B=6B=60。,若滿足條件的三角形有兩個(gè)，則/C邊的

取值可能是（）

A.1.5B.1.6C.1.7D.1.8

【答案】BC

【分析】根據(jù)43義51115<4。<46即可求解.

【詳解】根據(jù)題意可得：滿足條件的ABC有兩個(gè)，可得/8xsinB<NC<N8nm</C<6,

故選:BC

3.（2024?遼寧沈陽?模擬預(yù)測）（多選）在AA8C中，角A、B、C的對邊分別為。、b、c,且已知a=2,

則（）

A.若N=45°,且“8C有兩解，則6的取值范圍是（2,2a）

B.若/=45°,且b=4,則AASC恰有一解.

C.若c=3,且。3C為鈍角三角形，則方的取值范圍是（舊,5）

D.若c=3,且。"為銳角三角形，貝g的取值范圍是（逐，屈）

【答案】AD

【分析】根據(jù)正弦定理，判斷三角形的解的個(gè)數(shù)，即可判斷AB,根據(jù)余弦定理和三邊的關(guān)系，即可判斷

CD.

2=_L_,inS=-^=<l

【詳解】A選項(xiàng)：由正弦定理,s

sin45°sinB2j2

且6>a=2,則2<6<2血，選項(xiàng)A正確；

選項(xiàng)B：bsinA=4x—=2V2>2,所以“BC無解，故B錯(cuò)誤；

2

C選項(xiàng)：①。為最大邊：32>22+b2,且3<2+8,止匕時(shí)1<6〈石；

②6為最大邊：b2>22+32,且b<2+3,止匕時(shí)Jj^<6<5,選項(xiàng)C錯(cuò)誤;

D選項(xiàng)：b2<22+32,且32<22+〃，所以也<b（岳,選項(xiàng)D正確；

故選：AD.

考點(diǎn)三、余弦定理求值

典例引領(lǐng)

L（2023?北京?高考真題）在AABC中,(〃+c)(sinA-sinC)=6(sinA-sinB),貝IjZC=(

【答案】B

【分析】利用正弦定理的邊角變換與余弦定理即可得解.

【詳解】因?yàn)椋ā?。）（5山/一5由。）=6（5由4一$1115）,

所以由正弦定理得(。+cXa-c)=b(a-b),^a2-c2=ab-b2,

7+"2ab￡

則a2+b2-c2=ab,故cosC=--------------

lab2ab2

冗

又0<c<7t,所以c=§.

故選：B.

2.（2021?全國?高考真題）在“8C中，已知8=120。，AC=屈,48=2,則3C=（）

A.1B.V2C.y/5D.3

【答案】D

【分析】利用余弦定理得到關(guān)于BC長度的方程，解方程即可求得邊長.

【詳解】設(shè)AB=c,AC=b,BC=a,

結(jié)合余弦定理：Z/2=/+/-2accos8可得：19=a2+4-2xaxcxcosl20°,

即：a2+2a-15=0,解得：。=3（a=-5舍去），

故2C=3.

故選：D.

【點(diǎn)睛】利用余弦定理及其推論解三角形的類型：

⑴已知三角形的三條邊求三個(gè)角；

（2）己知三角形的兩邊及其夾角求第三邊及兩角；

⑶已知三角形的兩邊與其中一邊的對角，解三角形.

3.（2023?全國?高考真題）在。8C中，ZBAC=60°,AB=2,BC=s/6,/A4c的角平分線交2c于。，則

AD=.

【答案】2

【分析】方法一：利用余弦定理求出/C,再根據(jù)等面積法求出4D；

方法二：利用余弦定理求出再根據(jù)正弦定理求出瓦C,即可根據(jù)三角形的特征求出.

【詳解】

如圖所示：記4B=c,4C=b,BC=a,

方法一：由余弦定理可得，22+62-2X2X/7XCOS60°=6,

因?yàn)閎>0,解得：b=l+V3，

由S—Be=SAABD+SACD可得,

—x2xxsin60°=—x2xADxsin30°+—xADx6xsin30°,

222

邪b2百（1+百）

解得：AD=~b=3+7312

1+-

2

故答案為：2.

方法二：由余弦定理可得，22+/）2-2X2X/）XCOS60O=6,因?yàn)榘?,解得：b=l+VL

由正弦定理可得，一理——2一，解得：sinB=G我,sinC=—,

sin60°sinBsinC42

因?yàn)閘+g>&>所以C=45。，5=180°-60--45°=75°,

又NBAD=30。,所以N/Z）8=75°,即/。=/3=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題壓軸相對比較簡單，既可以利用三角形的面積公式解決角平分線問題，也可以用角平分定義

結(jié)合正弦定理、余弦定理求解，知識技能考查常規(guī).

h1+C2-a2

4.（2023?全國?高考真題）記“BC的內(nèi)角C的對邊分別為。，仇c,已知。。=2.

cosA

⑴求be；

,acosB-bcosAb,,VE

（2t）若——---一;一一=1，求/BC面積.

acosB+bcosAc

【答案】（1）1

【分析】（1）根據(jù)余弦定理即可解出;

(2)由(1)可知，只需求出sin/即可得到三角形面積，對等式恒等變換，即可解出.

【詳解】(1)因?yàn)?=62+02-26CCOS/,所以』*2-J26CCOSN=2A=2,解得：bc=l.

cosAcosA

/、,—rm…TEf/口QCOs5—bcosZbsinAcos5-sin5cosAsin5

(2)由正弦定理可得----———;=-———-—————

acosB+bcosAcsinAcos5+sin5cosAsine

sin(4—8)sin5sin(^4-5)-sin51

sin(4+5)sin(4+5)sin(4+5)

變形可得：sin(4-8)-sin(Z+B)=sin5,gp-2cosAsinB=sinB,

而0<sin3Wl,所以cos/=-1,又0<2<無，所以sin/=",

22

故。8C的面積為$0BC=Lbcsin/=Lxlx3=^.

2224

即時(shí)檢測

I______________________

1.（2021?安徽安慶?二模）在。8C中，a,b,c分別是NB,C的對邊.若〃=ac,且

a2+43bc=c2+ac9則的大小是（）

7cJC27r5兀

A.-B.-C.——D.——

6336

【答案】A

【分析】由/=就，且/+百兒=02+改，得到/+/—〃2=回°,利用余弦定理求解.

【詳解】因?yàn)椤?ac,且〃2+,

所以/+—q2=6bc，

因?yàn)??0,兀），所以/=￡,

故選：A

2.（2024?安徽合肥?一模）在中，內(nèi)角4及。的對邊分別為。,仇。，若26cosc=a（2-c）,且&=］，

則。=（）

A.1B.V2C.V3D.2

【答案】A

【分析】給26cosc=a（2-c）兩邊同時(shí)乘以a,結(jié)合余弦定理求解即可.

【詳解】因?yàn)?6cosc=a（2-c）,兩邊同時(shí)乘以。得:

2

2abcosC=a(2-c),由余弦定理可得/_c2=2abcosC,

貝Ua2+b2-c2=a2^-c）,所以有/+02一/=/c,

Xo2+C2-b~=2accosB1所以a2c=2accos8,又因?yàn)锽=§,

所以a=1.

故選：A

3.(2023?廣東廣州三模)在。8C中，點(diǎn)。在邊3C上，AB=&，0=3,8=45。，ZADB=60°,^\AC

的長為.

【答案】V19

【分析】根據(jù)題意，由條件可得4D,然后在A/CD中由余弦定理即可得到結(jié)果.

【詳解】

由題意，作AELBD交BD于E,

因?yàn)锳8=V?,CD=3,8=45。，ZADB=60°,

bI、，A/2/~p.?AD=------=~7='=2

所以/E=—AB-V3,貝1Jsin60°~/3，

2—

2

在A/CD中，由余弦定理可得，AC2=AD2+CD2-2AD-CDcosZADC

=22+32-2X2X3XCOS120°=19.

所以，C=屈.

故答案為：V19.

4.（2023?全國?高考真題）在“3C中，己知N8/C=120。，AB=2,AC=\.

⑴求sin/48C；

⑵若。為8c上一點(diǎn)，且/34D=90。，求△/DC的面積.

【答案】（1）叵；

14

【分析】⑴首先由余弦定理求得邊長8C的值為3c=近，然后由余弦定理可得cos3=里，最后由同角

14

三角函數(shù)基本關(guān)系可得sin5=—；

14

S1

(2)由題意可得^1=4,則據(jù)此即可求得△4DC的面積.

'△ACD5

【詳解】（1）由余弦定理可得:

BC2=a2=b2+c2-2bccosA

=4+l-2x2xlxcos120°=7,

則2c=V7,

2ac2X2XV714

sinZ^5C=71-cos25

q—xABxADxsin90°

（2）由三角形面積公式可得產(chǎn)=----------------=4,

、△ACD-xACxADxsin30°

2

則Sm=3Bc=；x[；x2xlxsinl2o]=*.

J\N*JJ.\J

考點(diǎn)四、利用正余弦定理判斷三角形的形狀

典例引領(lǐng)

I___________——___________

1.（22-23高三?吉林白城?階段練習(xí)）已知中，角A,B,C所對的邊分別是。，b,c,若

（a+b+c）（b+c-a）=3bc,且sinN=2sin8cosC,那么AZ8C是（）

A.直角三角形B.等邊三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【分析】將（a+b+c）（6+c-a）=36c化簡并結(jié)合余弦定理可得A的值，再對sin/=2sinBcosC結(jié)合正、余

弦定理化簡可得邊長關(guān)系，進(jìn)行判定三角形形狀.

【詳解】由（a+6+c）伍+c-a）=36c,得S+c?=36。，

整理得尸+/-/=比，則cos/J+f

2bc2

因?yàn)楸保?,兀），所以/=],

又由sinZ=2sinBcosC及正弦定理，得a=----------—,化簡得b=c,

lab

所以“5C為等邊三角形，

故選：B

A

2.（22-23高三上?河北?階段練習(xí)）在“BC中，角4瓦。對邊為a/,c,且2c-cos?5=6+c,則"8C的形

狀為（）

A.等邊三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

A

【分析】先根據(jù)二倍角公式化簡COS?',根據(jù)余弦定理化簡得到，=/+〃即可得到答案.

A

【詳解】因?yàn)?c=

所以2c?1+a，"=b+c,即c+ccos4=b+c,

2

所以ccosZ=b,

在“3C中，由余弦定理：cos/=,

2bc

R.?2_2

代入得，cP+c—a=b,即/+/—/=2心

2bc

所以。2=/+〃.

所以。BC直角三角形.

故選：B

Aa

3.（2024高三?全國?專題練習(xí)）設(shè)△Z5C的三邊長為BC=Q,CA=b,AB=c,若tan—=；—,

2b+c

tan-=-------,則△/8C是（）.

2a+c

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【分析】若三角形各邊長為a、b、c且內(nèi)切圓半徑為心

法一：由內(nèi)切圓的性質(zhì)有tan《==、tan?=一竺，根據(jù)邊角關(guān)系可得。=b或/+/=,2,注意討論所

得關(guān)系驗(yàn)證所得關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系；

JT

法二：由半角正切公式、正弦定理可得/=8或/+8=5,結(jié)合三角形內(nèi)角的性質(zhì)討論所得關(guān)系判斷三角

形的形狀.

【詳解】設(shè)尸二w（"+b+。），△的內(nèi)切圓半徑為尸，如圖所示，

法一:

Ara/Brb

：.tan—=-不------①;tan—=-------=-------

2p-a2p-ba+c

p-baa+c即2(。一9a(a+c)

①。②,得:----------------------即2…

p-ab+cbb(b+c)

于是b(b+c)(c+a-b)=Q(Q+C)(6+C-Q),

ab2-b3+be2=a2b-a3+ac2，(Q-b)(/+/—/)=。,

從而得。=b或/+〃=c2,

???NZ=N5或/C=90°.故aABC為等腰三角形或直角三角形,

(1)當(dāng)a=b時(shí)，內(nèi)心/在等腰三角形C45的底邊上的高C。上,

C

2

2C

從而得2sC'?Q---------

r=-V4-

a+b+c2a+c

2

又0—0=＜僅+c-a)=；c,代入①式，得=q=-即"a—

22/,\1b+ca+c2a+ca+c

\2na+cy—c

2a-c_a2

上式兩邊同時(shí)平方，得:化簡2/=o,即c=缶.即△/BC直角三角形,

2a+c(a+c)2

???△力5。為等腰直角三角形.

(2)當(dāng)/+62=°2時(shí)，易得/=；(a+b—c).

；(Q+6_0)

代入②式，得----,此式恒成立,

；(a+c-b)a+c

綜上，△A8C為直角三角形.

法二：

Asin/Bsin5sin/sin/

利用tan1=tan——二及正弦定理和題設(shè)條件，得①，

1+cosA21+cosB1+cosAsin5+sinC

sinB_sin5

1+cosBsin^4+sinC

1+cosZ=sinB+sinC③；1+cosB=sin^4+sinC(4).

由③和④得:1+cos24-sin5=1+cosB-sinA,HPsinA+cosA=sinB+cosB,sin14+：=si.nBE+)一兀

I4

因?yàn)?3為三角形內(nèi)角,

.../+巴=5+四或/+工=兀—5—巴，即4=3或4+5=工.

44442

(1)若A=B,代入③得：1+cos/=sinB+sinC⑤

又C=n-A—B=n-2A,將其代入⑤，得：1+cos^4=sin74+sin2A.

變形得(sinA-cos4)2-(sinA-cos4)=0,

即(sinA-cos4)(sinA-cosZ-1)=0⑥,

由/二B知力為銳角，從而知5畝/-85/-1。0.

???由⑥，得：sinA-cosA=0,即4=:，從而5=；,C=.

因此，△ABC為等腰直角三角形.

(2)若N+5=],即C=],此時(shí)③④恒成立，

綜上，△NB