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文檔簡介
專題23概率統(tǒng)計綜合大題必刷100題
任務(wù)一:善良模式(基礎(chǔ))「30題
1.醫(yī)學(xué)統(tǒng)計表明,X疾病在老年人中發(fā)病率較高.已知某地區(qū)老年人的男女比例為3:2,為了解X疾病
在該地區(qū)老年人中發(fā)病情況,按分層抽樣抽取100名老人作為樣本,對這100位老人是否患有X疾病進行
統(tǒng)計,得條形圖如下所示.
圖一
(1)完成下列2X2列聯(lián)表,并判斷有沒有90%的把握認為患X疾病與性別有關(guān)?
男性女性合計
患有X疾病
未患X疾病
合計
(2)在這100個樣本中,將未患X疾病老年人按年齡段[60,65),[6年人),[70,75),[75,80),[80,85]分
成5組,得頻率分布直方圖如圖二所示.求未患病老年人的中位數(shù)(精確到小數(shù)點后一位).
?n(ad-bcf,
附:K2-----------------------,其中〃=a+b+c+d.
(o+b)(c+d)(a+c)(b+d)
pg院)0.150.100.050.0250.0100.0050.001
*2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828
【答案】(1)填表見解析;沒有90%的把握認為患X疾病與性別有關(guān);(2)中位數(shù)約為74.5.
01/165
【分析】
(1)由分層抽樣確定樣本中老年男性、女性的人數(shù),根據(jù)條形圖可知未患才疾病的男性、女性人數(shù),進
而寫出列聯(lián)表,由卡方公式求K?值,即可給出結(jié)論.
(2)由頻率直方圖中頻率和為1求參數(shù)a,根據(jù)中位數(shù)在直方圖中的性質(zhì):其兩側(cè)面積相等,即可求中位
數(shù).
【詳解】
解:(1)由條形圖知男性共60人,女性共40人,
未患有X疾病男性有40人,未患有才疾病女性25人,完成2X2列聯(lián)表如下:
男性女性合計
患有X疾病201535
未患X疾病402565
合計6040100
計算:^J00X(20X25-40X15)^0J82<27()6
60x40x35x65
所以,沒有90%的把握認為患X疾病與性別有關(guān).
(391S12A
(2)由頻率分布直方圖得:市+市+。+而+而卜5=1,
23
得a=M
325
設(shè)中位數(shù)為b,貝i」70<6<75.
2323231
(Z>-70)x——+5x——+5x——=-,得匹74.5
3253253252
即未患病老人的年齡中位數(shù)約為74.5.
2.品酒師需定期接受酒味鑒別功能測試,通常采用的測試方法如下:拿出〃(〃cN*且"24)瓶外觀相
同但品質(zhì)不同的酒讓品酒師品嘗,要求其按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序;經(jīng)過一段時間,等其記憶淡忘之后,再
讓其品嘗這〃瓶酒,并重新按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序.這稱為一輪測試,根據(jù)一輪測試中的兩次排序的偏離
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程度的高低為其評分.現(xiàn)分別以%,%,。3,…,表示第一次排序時被排在1,2,3,”的〃種酒
在第二次排序時的序號,并令X=|l-4|+|2-%|+|3-蜀+…+則X是對兩次排序的偏離程度的
一種描述.下面取〃=4研究,假設(shè)在品酒師僅憑隨機猜測來排序的條件下,%,%,%,%等可能地為1,
2,3,4的各種排列,且各輪測試相互獨立.
(1)直接寫出X的可能取值,并求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(2)若某品酒師在相繼進行的三輪測試中,都有XW2,則認為該品酒師有較好的酒味鑒別功能.求出現(xiàn)
這種現(xiàn)象的概率,并據(jù)此解釋該測試方法的合理性.
【答案】(1)X的可能取值為0,2,4,6,8,分布列見解析,5;(2)二7,答案見解析.
216
【分析】
(1)先求出X的可能取值,根據(jù)古典概型計算公式,結(jié)合數(shù)學(xué)期望公式進行求解即可;
(2)根據(jù)獨立事件的概率公式進行求解判斷即可.
【詳解】
解:(1)X的可能取值為0,2,4,6,8
尸(X=0)=±=-!-,尸(、=2)=與=!,尸(X=4)/+0+l=工,
A:24'''8''424
尸(x=6)/xG+g+G+i=(,尸(x=8)/:+i=1,所以X的分布列為
左4X'46
(2)記“在相繼進行的三輪測試中都有XV2”為事件A,“在某輪測試中有XV2”為事件3,則
P(B)=P(X=0)+P{X=2)
2486
又各輪測試相互獨立,尸(⑷=P(BBB)=P(B)P(B)P(B)=
666216
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因為尸(/)表示僅憑隨機猜測得到較低偏離程度的結(jié)果的概率,而尸Q)=工。0.0046,該可能性非常小,
所以我們可以認為該品酒師確實有較好的酒味鑒別能力,不是靠隨機猜測,故這種測試合理.
3.隨著新冠疫情防控進入常態(tài)化,人們的生產(chǎn)生活逐步步入正軌.為拉動消費,某市政府分批發(fā)行2億元
政府消費券.為了解政府消費券使用人群的年齡結(jié)構(gòu)情況,在發(fā)行完第一批政府消費券后,該市政府采用
隨機抽樣的方法在全市市民中隨機抽取了200人,對是否使用過政府消費券的情況進行調(diào)查,部分結(jié)果如
下表所示,其中年齡在45歲及以下的人數(shù)占樣本總數(shù)的],沒使用過政府消費券的人數(shù)占樣本總數(shù)的心.
使用過政府消費券沒使用過政府消費券總計
45歲及以下90
45歲以上
總計200
(1)請將題中表格補充完整,并判斷是否有90%的把握認為該市市民是否使用政府消費券與年齡有關(guān)?
(2)現(xiàn)從45歲及以下的樣本中按是否使用過政府消費券進行分層抽樣,抽取8人做進一步訪談,然后再
從這8人中隨機抽取2人填寫調(diào)查問卷,則抽取的2人中恰好一個使用過政府消費券,一個沒使用過政府
消費券的概率為多少?
n(ad-bc)~
附:K-=,其中〃=a+b+c+d.
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
2
P(K>k0)0.150.100.050.025
k02.0722.7063.8415.024
3
【答案】(1)表格見解析,有;(2)
【分析】
(1)求出年齡在45歲及以下的人數(shù),沒使用過政府消費券的人數(shù),再由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)可填寫列聯(lián)表,然
后計算K?可得結(jié)論;
(2)利用分層抽樣可知,抽取使用過政府消費券的市民6人,沒有使用過政府消費券的市民2人,設(shè)使
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用過政府消費券的人為1,2,3,4,5,6,沒使用過政府消費券的人為A,B,列出全部情況,根據(jù)古典
概型的概率計算公式即可得出結(jié)果.
【詳解】
3
解:(1)由題意得,總?cè)藬?shù)為200人,年齡在45歲及以下的人數(shù)為200x1=120人,
3
沒使用過政府消費券的人數(shù)為200x==60人,完成表格如下:
使用過政府消費券沒使用過政府消費券總計
45歲及以下9030120
45歲以上503080
總計14060200
由列聯(lián)表可知-嗡察蒜普571,因為3">2.7。6,
所以有90%的把握認為該市市民民是否使用政府消費券與年齡有關(guān).
(2)由題意可知,
從45歲及以下的市民中采用分層抽樣的方法可以抽取使用過政府消費券的市民6人,
沒有使用過政府消費券的市民2人,
設(shè)使用過政府消費券的人為1,2,3,4,5,6,沒使用過政府消費券的人為A,B,則全部情況為:
12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56,1A,2A,3A,4A,5A,6A,1B,
23,3B,48,58,63,AB,共計28種情況,
其中,一個使用過政府消費券,一個沒使用過政府消費券的情況有12種,
所以恰好抽到“一個使用過政府消費券,一個沒使用過政府消費券”的概率為1焉2=q3.
4.為助力湖北新冠疫情后的經(jīng)濟復(fù)蘇,某電商平臺為某工廠的產(chǎn)品開設(shè)直播帶貨專場.為了對該產(chǎn)品進行
合理定價,用不同的單價在平臺試銷,得到如下數(shù)據(jù):
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單價X(元/件)88.28.48.68.89
銷量了(萬件)908483807568
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),求丁關(guān)于X的線性回歸方程;
(2)若該產(chǎn)品成本是7元/件,假設(shè)該產(chǎn)品全部賣出,預(yù)測把單價定為多少時,工廠獲得最大利潤?
2n伍__
(參考公式:回歸方程,=院+£其中6=a=y-bxy
【答案】(1)y=-20x+250;(2)該產(chǎn)品的單價定為9.75元.
【分析】
⑴利用己知的數(shù)據(jù)先求出后,再求曲毛-力(%-班2(^,-X)2,然后利用公式求出3,再求出
從而可得到V關(guān)于x的線性回歸方程;
(2)設(shè)工廠獲得的利潤為Z萬元,結(jié)合(1)可得£="-7)(-20X+250),化簡后利用二次函數(shù)的性質(zhì)可
求得答案
【詳解】
—8+8.2+8.4+8.6+8.8+9
解:⑴x=---------------------=8o.5,
6
-90+84+83+80+75+68°八
y=---------------------=80,
yi-y}=(8-8.5)(90-80)+(8.2-8.5)(84-80)+(8.4-8.5)(83-80)
+(8.6-8.5)(80-80)+(8.8-8.5)(75-80)+(9-8.5)(68-80)=-14,
6._.2
ZH-x)=(8-8.5)2+(8.2-8.5)2+(8.4-8.5)2+(8.6-8.5)2+(8.8-8.5)2
Z=1
+(9-8.5)2=0.7,
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6
Z(x,-元)(乂-刃
-14
-------------------——=-20
£(士一可-0.7
,=1
***a=>-加=80+20x8.5=250,
???回歸直線方程為歹=-20x+250.
(2)設(shè)工廠獲得的利潤為上萬元,則£=(x-7)(-20x+250)
--20(x-9.75)2+151.25,
該產(chǎn)品的單價定為9.75元時,工廠獲得利潤最大,最大利潤為151.25萬元.
5.為評估設(shè)備〃生產(chǎn)某種零件的性能,從設(shè)備〃生產(chǎn)零件的流水線上隨機抽取100個零件作為樣本,測
量其直徑后,整理得到下表:
直徑/初5758606162636465666768697072合計
件數(shù)11356193318442121100
經(jīng)計算,樣本的平均值“=64,標(biāo)準(zhǔn)差b=2.2,以頻率作為概率的估計值.
(1)為評估設(shè)備〃的性能,從樣本中任意抽取一個零件,記其直徑為X,并根據(jù)以下規(guī)則進行評估(戶表
示相應(yīng)事件的頻率):
@P(M-O-<X<M+CT)>0.6827;@P(u-2cr<X<u+2cr)>0.9545;@P(u-3<r<X<u0.9973.
若同時滿足上述三個不等式,則設(shè)備〃的性能等級為甲;若滿足其中兩個不等式,則設(shè)備〃的性能等級為
乙;若僅滿足其中一個不等式,則設(shè)備〃的性能等級為丙;若全部不滿足,則設(shè)備〃的性能等級為丁.試
判斷設(shè)備〃的性能等級.
(2)將直徑小于或等于u-2b或直徑大于〃+2b的零件認為是次品.
①從設(shè)備〃的生產(chǎn)流水線上任意抽取2個零件,計算其中次品個數(shù)曠的數(shù)學(xué)期望;
②從樣本中任意抽取2個零件,計算其中次品個數(shù)Z的數(shù)學(xué)期望£億)
【答案】(1)設(shè)備〃的性能等級為丙;(2)①0.12;②Q12.
【分析】
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(1)由題意分別計算出三種情況的結(jié)果,即可判斷出性能等級;(2)①由題意可得次品共6個,次品率
為0.06,然后計算出數(shù)學(xué)期望,②先列出分布列,然后計算出數(shù)學(xué)期望.
【詳解】
(1)因為尸(〃-er<X<u+a)=尸(61.8<X<66.2)=0.8>0.6827,
尸(〃一2b<XM〃+2cr)=尸(59.6<X468.4)=0.94<0.9545,
P(ti-3<T<X<M+3cr)=P(57.4<X<70.6)=0.98<0.9973,
所以設(shè)備〃的性能等級為丙.
(2)易知樣本中次品共6個,可估計設(shè)備〃生產(chǎn)零件的次品率為0.06.
①由題意可知Y?8(2,0.06),于是£(Y)=2x0.06=0.12.
②Z的分布列為
Z012
C2c2
P二94J
C2C2
JooGooJoo
C2C23
故E(Z)=0x/+lxk+2xL*=0.12.
^100^100^100/‘
6.某校高三年級共有學(xué)生1200人,經(jīng)統(tǒng)計,所有學(xué)生的出生月份情況如表:
月份123456789101112
人數(shù)180110120160130100805090705060
(1)從該年級隨機選取一名學(xué)生,求該學(xué)生恰好出生在上半年(1-6月份)的概率;
(2)為了解學(xué)生考試成績的真實度,也為了保護學(xué)生的個人隱私,現(xiàn)從全體高三學(xué)生中隨機抽取120人
進行問卷調(diào)查,對于每個參與調(diào)查的同學(xué),先產(chǎn)生一個(0,1)范圍內(nèi)的隨機數(shù)“,若aW0.4,則該同學(xué)回
答問題A,否則回答問題8,問題A:您是否出生在上半年(1-6月份)?,問題3:您是否在考試中有過
作弊行為?,假設(shè)在問卷調(diào)查過程中,問題只對參與者本人可見,且每個參與的同學(xué)均能如實回答問題且
相互獨立,若最后統(tǒng)計結(jié)果顯示回答“是”的人數(shù)為38,貝!|:
①求該年級學(xué)生有作弊情況的概率;
08/165
②若從該年級隨機選取10名同學(xué),記其中有過作弊行為的人數(shù)為x,求x的數(shù)學(xué)期望E(x)和方差。(x).
【答案】(1)(2)①,;②E(x)=,D(x)=!|.
【分析】
(1)利用古典概型的概率公式求解即可;
(2)①分別求出回答問題A和問題8的概率,設(shè)該年級學(xué)生有作弊情況的概率為P,求出回答問題A和問
題B的人數(shù),列出關(guān)于尸的等式,求解即可;
②由題意,X服從二項分布,然后由數(shù)學(xué)期望和方差的計算公式求解即可.
【詳解】
(1)由題意可得,該年級隨機選取一名學(xué)生,求該學(xué)生恰好出生在上半年(1-6月份)的概率為
180+110+120+160+130+100_2
1200-3;
(2)①回答問題A的概率為牛=|,回答問題3的概率為第=g,上半年出生的概率為:,
設(shè)該年級學(xué)生有作弊情況的概率為P,
22
故回答問題A的人數(shù)為120x=X7=32人,
53
3
回答問題8的人數(shù)為120x《.尸=72尸人,
所以32+72尸=38,解得尸=’,
12
所以該年級學(xué)生有作弊情況的概率為上;
12
②由題意,X服從二項分布,即X?
所以E(X)=10x』=,以丫)=10'/11一"卷.
12Oizizy/z
7.有一種雙人游戲,游戲規(guī)則如下:雙方每次游戲均從裝有5個球的袋中(3個白球和2個黑球)輪流摸出
1球(摸后不放回),摸到第2個黑球的人獲勝,同時結(jié)束該次游戲,并把摸出的球重新放回袋中,準(zhǔn)備下
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一次游戲.
(1)求先摸球者獲勝的概率;
(2)小李和小張準(zhǔn)備玩這種游戲,約定玩3次,第一次游戲由小李先摸球,并且規(guī)定某一次游戲輸者在
下一次游戲中先摸球.每次游戲獲勝得1分,失敗得0分.記3次游戲中小李的得分之和為X,求X的分布
列和數(shù)學(xué)期望£(X).
41QR
【答案】(1)(2)分布列答案見解析,數(shù)學(xué)期望:葭.
【分析】
(1)按游戲進行3輪或5輪進行分類討論,由此求得先摸球者獲勝的概率.
(2)按照相互獨立事件概率計算公式,計算出分布列并求得數(shù)學(xué)期望.
【詳解】
(1)先摸球者獲勝,則游戲進行3輪或5輪
31112311
3輪:白黑黑:英、3=6黑白黑:rrrw-
5輪:最后一球為黑球:所以先摸球者獲勝的概率為J+J+1=?
X-zcJJ.UXUJJ
(2)。的所有可能取值為:0?1?2?3,
P(X=0)=
555555555125
尸(X=2)=,2XL,,LM,2=殳,
555555555125
32212
P(X=3)=-x-x-=
555125
分布列為:
0123
10/165
8485712
P
125125125125
8148c57cl2198
£(X)=0x——+lx——+2x——+3x——=——
125125125125125
8.隨著改革開放的不斷深入,祖國不斷富強,人民生活水平逐步提高,為了進一步改善民生,2019年1
月1日起我國實施了個人所得稅的新政策,新政策的主要內(nèi)容包括:①個稅起征點為5000元;②每月應(yīng)
納稅所得額(含稅)=(收入)-(個稅起征點)-(專項附加扣除);③專項附加扣除包括贍養(yǎng)老人?子女教育?繼
續(xù)教育?大病醫(yī)療等.新個稅政策下贍養(yǎng)老人的扣除標(biāo)準(zhǔn)為:獨生子女每月扣除2000元,非獨生子女與其
兄弟姐妹按照每月2000元的標(biāo)準(zhǔn)分攤扣除,但每個人的分攤額度不能超過1000元;子女教育的扣除標(biāo)準(zhǔn)
為:每個子女每月扣除1000元(可由父母中的一方扣除,或者父母雙方各扣除500元)稅率表如下:
級數(shù)全月應(yīng)納稅所得額稅率
1不超過3000元的部分3%
2超過3000元至12000元的部分10%
3超過12000元至25000元的部分20%
4超過25000元至35000元的部分25%
???…???
頻率
小組距
0.16----------------
0.14■
0.12——1—
0.10----------------------
0.08■
0.06----------------------------
0.04---------------------------------
0.02--------------------------------------
0-I~~~~~~~~――
3579111315千元)
(I)稅務(wù)部門在小李所在公司用分層抽樣方法抽取某月100位不同層次員工的稅前收入,并制成如圖的
頻率分布直方圖.
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(i)請根據(jù)頻率分布直方圖估計該公司員工稅前收入的中位數(shù);
(ii)同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值作代表,在不考慮他們的專項附加扣除的情況下,甲?
乙兩位同學(xué)用如下兩種方法估計小李所在的公司員工該月平均納稅,請判斷哪位同學(xué)的方法是正確的,不
需說明理由.甲同學(xué):0.24x0+0.32x30+0,2x90+0.12x290+0.08x490+0.04x690=129.2(元);乙同學(xué):
先計算收入的均值
x=0.24x4000+0.32x6000+0.2x8000+0.12x10000+0.08xl200+0.04x14000=7200(元),再利用均值計
算平均納稅為:(7200-5000)x0.03=66(元)
(2)為研究某城市月薪為20000元群體的納稅情況,現(xiàn)收集了該城市500名公司白領(lǐng)(每人至多1個孩子)
的相關(guān)資料,通過整理數(shù)據(jù)知道:這500人中有一個孩子符合子女教育專項附加扣除(假定由他們各自全
部扣除)的有400人,不符合子女教育專項附加扣除的人有100人,符合子女專項附加扣除的人中有300
人也符合贍養(yǎng)老人專項附加扣除,不符合子女專項附加扣除的人中有50人符合贍養(yǎng)老人專項附加扣除,
并且他們均不符合其他專項附加扣除(統(tǒng)計的500人中,任何兩人均不在一個家庭且為獨生子女).若他們
的月收入均為20000元,依據(jù)樣本估計總體的思想,試估計在新個稅政策下這類人群每月應(yīng)繳納個稅金額
X(單位:元)的分布列與期望.
【答案】(1)(i)中位數(shù)為6625千元;(ii)甲同學(xué);(2)分布列答案見解析,數(shù)學(xué)期望:1150.
【分析】
(1)(i)中位數(shù)落在第二組,設(shè)中位數(shù)為x千元,列出0.12x2+0.16(x-5)=0.5,解方程即可;(ii)利
用均值計算的公式即可得出答案.
(2)由題意得出X的所有可能取值為990,1190,1390,1590,再由題中數(shù)據(jù)求出各隨機變量的概率,列
出分布列,即可求出數(shù)學(xué)期望.
【詳解】
(1)(i)由頻率分布直方圖知,中位數(shù)落在第二組,不妨設(shè)中位數(shù)為x千元,
則有0.12x2+016(x-5)=0.5,解得x=6.625(千元)
估計該公司員工收入的中位數(shù)為6625千元.
(ii)甲同學(xué)
(2)符合子女教育專項附加扣除且符合贍養(yǎng)老人專項附加扣除的人群月應(yīng)納稅所得額
(含稅)為20000-5000-1000-2000=12000(元),
月應(yīng)繳納的個稅金額為90+900=990(元);
12/165
符合子女教育專項附加扣除但不符合贍養(yǎng)老人專項附加扣除的人群月應(yīng)納稅所得額(含稅)為
20000-5000-1000=14000(元),
月應(yīng)繳納的個稅金額為90+900+400=1390(元);
不符合子女教育專項附加扣除但符合贍養(yǎng)老人專項附加扣除的人群月應(yīng)納稅所得額(含稅)為
20000-5000-2000=13000(元),
月應(yīng)繳納的個稅金額為90+900+200=1190(元);
不符合子女教育專項附加扣除且不符合贍養(yǎng)老人專項附加扣除的人群月應(yīng)納稅所得額(含稅)為
20000-5000=15000(元),
月應(yīng)繳納的個稅金額為90+900+600=1590(元).
所以X的所有可能取值為990,1190,1390,1590,
Illi
產(chǎn)(X=990)=w,P(X=1190)=—,P(^=1390)=-,=1590)=—.
X的分布列為
X990119013901590
31]_1
P
510510
31
所以E(X)=990x1+1190x^+1390x-+1590x—=1150.
510
9.某市的教育主管部門對所管轄的學(xué)校進行年終督導(dǎo)評估,為了解某學(xué)校師生對學(xué)校教學(xué)管理的滿意度
,分別從教師和不同年級的同學(xué)中隨機抽取若干師生,進行評分(滿分100分),繪制如下頻率分布直方圖
(分組區(qū)間為[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]),并將分數(shù)從低到高分為四個等級:
滿意度評分[0,60)[60,80)[80,90)[90,100]
滿意度等級不滿意基本滿意滿意非常滿意
己知滿意度等級為基本滿意的有340人.
(1)求表中。的值及不滿意的人數(shù);
13/165
(2)記A表示事件”滿意度評分不低于80分”,估計A的概率;
(3)若師生的滿意指數(shù)不低于0.8,則該??色@評“教學(xué)管理先進單位”.根據(jù)你所學(xué)的統(tǒng)計知識判斷
滿意度的平均分)
該校是否能獲評“教學(xué)管理先進單位”?并說明理由.(注:滿意指數(shù)〃=
100
【答案】(1)a=0.036;60;(2)0.6;(3)可獲得,理由見解析.
【分析】
(1)根據(jù)頻率分布直方圖可得a=0.036,設(shè)不滿意的人數(shù)為x,再由比例可得
(0.002+0.004):(0.016+0.018)=x:340,即可得解;
(2)“滿意度評分不低于80分”的頻率為:(0.036+0.024)x10=0.6,即可得解;
(3)帶入師生的滿意指數(shù)為:7=0.804,即可得解.
【詳解】
(1)由頻率分布直方圖可知:
a=-^-(0.002+0.004+0.016+0.018+0.024)=0.036,
設(shè)不滿意的人數(shù)為員
則(0.002+0.004):(0.016+0.018)=x:340,
解得x=60,
故不滿意的人數(shù)為60.
(2)“滿意度評分不低于80分”的頻率為:
14/165
(0.036+0.024)x10=0.6,
因此,事件A的概率估計值為0.6.
(3)師生的滿意指數(shù)為:
45x0.02+55x0.04+65x0.16+75x0.18+85x0.36+95x0.24八
77二-----------------------------------------------------二0.804,
100
因為〃20.8,
所以該校可獲得“教學(xué)管理先進單位”的稱號.
10.近幾年,快遞業(yè)的迅速發(fā)展導(dǎo)致行業(yè)內(nèi)競爭日趨激烈.某快遞網(wǎng)點需了解一天中收發(fā)一件快遞的平均
成本y(單位:元)與當(dāng)天攬收的快遞件數(shù)X(單位:千件)之間的關(guān)系,對該網(wǎng)點近5天的每日攬件量七(單
位:千件)與當(dāng)日收發(fā)一件快遞的平均成本%(單位;元)(?=1,2,3,4,5)數(shù)據(jù)進行了初步處理,得到下
面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.
樣件平均
成本,阮
8?
6?
■
4?
2
o246810每日撥件數(shù)
里V千件
£(嗎f)(%-y)£(x,-x)2£(叱-可2
XyW
Z=1Z=1Z=1
45.160.415-13.22.028300.507
表中叫而
X
i5/=1
(1)根據(jù)散點圖判斷,>=。+為與>=。+邑哪一個適宜作為y關(guān)于x的回歸方程類型?并根據(jù)判斷結(jié)果
X
及表中數(shù)據(jù)求出y關(guān)于x的回歸方程;
(2)各快遞業(yè)為提高快遞攬收量并實現(xiàn)總利潤的增長,除了提升服務(wù)質(zhì)量?提高時效保障外,價格優(yōu)惠也
是重要策略之一.已知該網(wǎng)點每天攬收快遞的件數(shù)x(單位:千件)與單件快遞的平均價格力(單位;元)之間
15/165
的關(guān)系是X=25-2(54V12),收發(fā)一件快遞的利潤等于單件的平均價格減去平均成本,根據(jù)(1)中建
立的回歸方程解決以下問題:
①預(yù)測該網(wǎng)點某天攬收2000件快遞可獲得的總利潤;
②單件快遞的平均價格/為何值時,該網(wǎng)點一天內(nèi)收發(fā)快遞所獲利潤的預(yù)報值最大?
附:對于一組數(shù)據(jù)(%,巧),(的,匕),…,(""#"),其回歸直線3=e+仇/的斜率和截距的最小二乘估計分
別為2=a=v-[3u.
d-4_
【答案】(1)》=。+巴適宜作為y關(guān)于x的回歸方程類型,回歸方程為>=—+3.5;(2)①總利潤約為12000
xx
元;②平均價格方為8元.
【分析】
(1)點不在一條直線的近旁,但與雙曲線類似,可得回歸曲線類型.令卬=!,根據(jù)已知數(shù)據(jù)求得回歸方
X
程y=C+dw,即可得結(jié)論.
(2)①利用(1)的結(jié)論求出利潤函數(shù),令x=2可得估計利潤值;②由二次函數(shù)性質(zhì)可得.
【詳解】
解:(1)y=c+4適宜作為y關(guān)于X的回歸方程類型.
X
1。2.028
令A(yù)-=w,貝ljy="w+c,d=-----=44,
x0.507
C=〉-2?W=5.16-4X0.415=3.5,
八____八4
**-y=4w+3.5?即所求回歸方程為>=1-3.5;
x
<25-r4\1
(2)設(shè)收發(fā)x千件快遞獲利z千元,貝”=?->卜=1——-3.5x=2r-^r2-4,XG[1,15],
①當(dāng)x=2時,z=12,故該網(wǎng)點某天攬收2000件快遞可獲得的總利潤約為12000元;
②z=-9『+々,.??當(dāng)x=9即,=8時,z取最大值,故單件快遞的平均價格方為8元時,該網(wǎng)點一
16/165
天內(nèi)收發(fā)快遞所獲利潤的預(yù)報值最大.
11.澳大利亞/rgy/e鉆石礦石全球最重要的粉鉆和紅鉆出產(chǎn)地,占全球供應(yīng)的90%.該鉆石礦曾發(fā)現(xiàn)一顆
28.84c%的寶石級鉆石原石[ArgyleOctavia\,為該礦區(qū)27年來發(fā)現(xiàn)最大的鉆石原石之一.如圖,這
顆鉆石擁有完整的正八面體晶形,其命名特別強調(diào)鉆石的正八面體特征一一[0c力av/a]在
拉丁語中是[第八]的意思.如圖設(shè)4為隨機變量,從棱長為1的正八面體的12條棱中任取兩條,當(dāng)兩條棱
相交時,4=0;當(dāng)兩條棱平行時,4的值為兩條棱之間的距離;當(dāng)兩條棱異面時,4=2.
(1)求概率尸(&=0);
(2)求J的分布列,并求其數(shù)學(xué)期望£(/.
69
【答案】(1)-;(2)分布列見解析,£(^)=-.
【分析】
(1)12條棱中任取兩條共有C1對,兩條棱相交有6C;對,由古典概型概率計算公式即可求解;
(2)由(1)有P(J=0),又兩條棱平行有6對,可求出P(J=1),從而可用間接法求出尸(J=2),進而
可求分布列和數(shù)學(xué)期望.
【詳解】
解:(1)若兩條棱相交,則交點必為正八面體6個頂點中的1個,
又過任意頂點有4條棱,所以共有6C:對相交棱,
所以*4=。)=等=||6
C126611
(2)由題意,片的所有可能取值為0,1,2.
17/165
若兩條棱平行,則它們之間的距離為1,一共有6對,
1
n
1
二尸0=2)=1-P(J=O)-P(J=1)=1-g-1rA
n所以4n的分布n列為:n
□E0
12.某快遞公司收取快遞費用的標(biāo)準(zhǔn)是:重量不超過1kg的包裹收費10元;重量超過1kg的包裹,除1kg收
費10元之外,超過1kg的部分,每超出1kg(不足1kg,按1kg計算)需再收5元.該公司將最近承攬的100件
包裹的重量統(tǒng)計如表:
包裹重量(單位:kg)12345
包裹件數(shù)43301584
公司對近60天,每天攬件數(shù)量統(tǒng)計如表:
包裹件數(shù)范
0?100101~200201~300301-400401?500
圍
包裹件數(shù)(近
50150250350450
似處理)
天數(shù)6630126
以上數(shù)據(jù)已做近似處理,并將頻率視為概率.
(1)計算該公司未來1天攬件數(shù)在101?400之間的概率;
(2)①估計該公司對每件包裹收取的快遞費的平均值;
18/165
②公司將快遞費的三分之一作為前臺工作人員的工資和公司利潤,剩余的用作其他費用.目前前臺有工作
人員3人,每人每天攬件不會超過150件,且日工資為100元.公司正在考慮是否將前臺工作人員裁減1人,
試計算裁員前后公司每日利潤的數(shù)學(xué)期望,并判斷裁員是否對提高公司利潤更有利?
4
【答案】(1)j;(2)①15元;②裁員前期望值為1000元,裁員后期望值為975元,不利.
【分析】
(1)由頻率估計概率即可;
(2)①利用平均數(shù)公式直接求解即可;②根據(jù)題意及(2)(i),攬件數(shù)每增加1,可使前臺工資和公司
利潤增加15xg=5(元),然后分別求出裁員前后公司每日利潤的數(shù)學(xué)期望比較即可
【詳解】
484
(1)樣本包裹件數(shù)在101?400之間的天數(shù)為48,頻率/=二==,
4
顯然未來1天中,包裹件數(shù)在101?400之間的概率為)
(2)(i)樣本中快遞費用及包裹件數(shù)如下表:
包裹重量(單位:奴)12345
快遞費(單位:元)1015202530
包裹件數(shù)43301584
故樣本中每件快遞收取的費用的平均值為止13+15x30+20x15+25x8+30x4口,一、
-----------------------------二15(兀),
100
故該公司對每件快遞收取的費用的平均值可估計為15元
(ii)根據(jù)題意及(2)(i),攬件數(shù)每增加1,可使前臺工資和公司利潤增加15xg=5(元),
將題目中的天數(shù)轉(zhuǎn)化為頻率,得
包裹件數(shù)范
0?100101-200201?300301~400401~500
圍
19/165
包裹件數(shù)近
50150250350450
似
天數(shù)6630126
頻率0.10.10.50.20.1
若不裁員,則每天可攬件的上限為450件,公司每日攬件數(shù)情況如下:
包裹件數(shù)近
50150250350450
似
實際攬件數(shù)
50150250350450
Y
頻率0.10.10.50.20.1
EY50x0.1+150x0.1+250x0.5+350x0.2+450x0.1=260
故公司平均每日利潤的期望值為260x5-3x100=1000(元);
若裁員1人,則每天可攬件的上限為300件,公司每日攬件數(shù)情況如下:
包裹件數(shù)近
50150250350450
似
實際攬件數(shù)
50150250300300
Z
頻率0.10.10.50.20.1
EZ50x0.1+150x0.1+250x0.5+300x0.2+300x0.1=235
故公司平均每日利潤的期望值為235x5-2x100=975(元)
因975<1000,故公司將前臺工作人員裁員1人對提高公司利潤不利.
13.由商務(wù)部和北京市人民政府共同舉辦的2020年中國國際服務(wù)貿(mào)易交易會(簡稱服貿(mào)會)于9月4日
開幕,主題為“全球服務(wù),互惠共享”.某高校為了調(diào)查學(xué)生對服貿(mào)會的了解情況,決定隨機抽取100名
20/165
學(xué)生進行采訪.根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果,采訪的學(xué)生中男女比例為3:2,已知抽取的男生中有10名不了解服貿(mào)會,
抽取的女生中有25名了解服貿(mào)會,請你解答下面所提出的相關(guān)問題
(1)完成2x2列聯(lián)表,并回答“是否有99%的把握認為學(xué)生對服貿(mào)會的了解情況與性別有關(guān)”.
了解情況
了解不了解合計
性別
男生
女生
合計100
(2)若從被采訪的學(xué)生中利用分層抽樣的方法抽取5人,再從這5人中隨機抽取3人在校內(nèi)開展一次“介
紹服貿(mào)會”的專題活動,記抽取男生的人數(shù)為九求出J的分布列及數(shù)學(xué)期望.
n(ad-bcY
附:K=------------------------------,n=a+b+c+d
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
2
P(K...k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001
ko2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828
9
【答案】(1)表格見解析,沒有;(2)分布列見解析,
【分析】
(1)根據(jù)已知,計算有關(guān)數(shù)據(jù),填寫列聯(lián)表;代入公式計算求得A2的觀測值,看是否大于卜99%=0.01的
臨界值即可得到結(jié)論;
(2)先確定抽取的5人中男生有3人,女生有2人.然后利用超幾何分布求得分布列,并根據(jù)定義計算期
望.
【詳解】
(1)2x2列聯(lián)表如下:
了解情況了解不了解合計
21/165
性別
男生501060
女生25
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