高考數(shù)學二輪復習：立體幾何綜合大題必刷100題

專題20立體幾何綜合大題必刷100題

任務一:善良模式(基礎)「30題

1.在棱長為1的正方體/BCD-4與GR中，E為線段4片的中點，尸為線段N8的中點.

(1)求點3到直線的距離；

(2)求直線戶C到平面NEG的距離.

【答案】(1)—;(2)逅

36

【分析】

(1)以2為原點，24,2G，所在直線分別為x軸，了軸，2軸，建立空間直角坐標系，取.=刀,

一AC,

”島，根據(jù)空間向量點到直線距離公式，可得點點3到直線的距離;

(2)易證尸C//平面/EQ,則點尸到平面/EG的距離為直線尸。到平面/EG的距離，求出平面NEC1的

一個法向量，再求出/尸=(0,；,0),根據(jù)點到面的距離公式，可得直線尸C到平面/EG的距離.

【詳解】

以，為原點，24,2G，所在直線分別為X軸，了軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系,

則^(1,0,1),5(1,1,1),C(01,1),,1,0),E

__—.1—.1—.1—.1

所以48=(0,1,0),/=(T,1,T),AE=(O,-,-l),EQ=(-l,-,0),FC=(-l,-,0),AF=(0,-,0).

小丹(FT)，則

-2--道

(1)^a=AB=(0,1,0),u~a=La-u=——

AC,3

01/214

所以，點B到直線/C的距離為,_,父=.

(2)因為定=屬=[一1,；,()],所以尸C//EG，所以尸C//平面/EG.

所以點尸到平面/EG的距離為直線產(chǎn)C到平面NEG的距離.

n?AE=0

設平面/EQ的法向量為E=(x,y,z),則

n-ECX=0

所以/J

-x-\--y=O

x=z

所以

y=2z

取z=l,貝I]X=1J=2.所以，3=(1,2,1)是平面NEG的一個法向量.

——?1I^F.^I(0,彳,0),(1,2,1)/-

又因為/歹=(0,i,0),所以點尸到平面/EG的距離為了'勺__2__________如.

2閡一庭一6

2.如圖，正方形/B44的邊長為2,的中點分別為GG，正方形沿著CG折起形成三棱

柱23C-44G，三棱柱/BC-44cl中，AC1BC,AD=AA4.

(1)證明：當時，求證：平面3cD；

02/214

(2)當4=：時，求二面角。-BG-C的余弦值.

【答案】(1)詳見解析；(2)巨型

29

【分析】

(1)要證明線面垂直，轉化為證明線線垂直，關鍵證明。C，￡)G，BCLDG；

(2)以點C為原點，建立空間直角坐標系，分別求平面和平面BCG的法向量，利用法向量公式求

二面角D-8G-C的余弦值.

【詳解】

(1)當2時，點。是44的中點，

因為/C=AD=4D=4G=1，所以。C=DC]=0,又CG=2,

所以0c2+DG2=CC：,所以。CLOG，

因為BCL/C,BC1CQ,所以BC,平面/CC[4，￡>C|U平面/CCI4

所以BC_LDG，且。CIBC=C,

所以。G，平面BCD；

(2)因為cq,CA,CB兩兩互相垂直，所以以點。為原點，以B，CB，西作為x,八z軸的正方向，

建立空間直角坐標系，如下圖，

C平面8CG，所以向量C4=(l,0,0)是平面8CG的法向量,

03/214

1

5(0,1,0),G=(0,0,2),DC

X2

設平面比"的法向量』=(x),z),

3

-x-\--z=0

,"=°,即<2

所以1,令z=2,x=3,y=4,

n=0

—x+y——z=0

所以平面的一個法向量尢=(3,4,2),

CA-n33標

cos<CA,n>=

V32+42+2229

所以二面角。-Bq-C的余弦值是嚕

3.如圖，直三棱柱/8C-4耳G的底面為直角三角形，兩直角邊48和M的長分別為4和2,側棱的

長為5.

(1)求三棱柱NBC-48c的體積；

(2)設〃是8c中點，求直線4M與平面/比1所成角的正切值.

【答案】(1)20；(2)V5.

【分析】

(1)根據(jù)棱柱的體積公式進行求解即可；

(2)根據(jù)線面角的定義，結合銳角三角函數(shù)定義進行求解即可.

【詳解】

04/214

(i)?.?直三棱柱4G的底面為直角三角形，

兩直角邊和〃的長分別為4和2,側棱的長為5.

二.三棱柱/8C-4耳G的體積：V=S^ABCxAAx=^xABxACxAA1

=—x4x2x5=20.

2

(2)連接ZM

???直三棱柱/2C-/4G的底面為直角三角形，

兩直角邊相和〃的長分別為4和2,側棱/4的長為5,〃是8c中點，

??AAX_L底面ABC,AM=一BC=一Jl6+4=-s/5,

22

是直線A.M與平面所成角，

tan"跖4=史L="=也,

1AM45

???直線A.M與平面/8C所成角的正切值為V5.

4.如圖，在三棱錐尸-N3C中，P/工底面/比；/3/C=90。.點〃E,“分別為棱陽，PC,8C的中點，M

是線段的中點，PA=AC=4,AB=2.

05/214

(1)求證：MN11平面BDE；

(2)求二面角C-瓦0-N的正弦值；

(3)已知點〃在棱上，且直線明與直線龍所成角的余弦值為近，求線段/〃的長.

7

【答案】(1)證明見解析；(2)通；(3)4

21

【分析】

(1)根據(jù)三角形中位線定理，結合面面平行的判定定理和性質進行證明即可；

(2)建立空間直角坐標系，利用空間向量夾角公式進行求解即可；

(3)利用空間向量夾角公式進行求解即可.

【詳解】

(1)證明：取力8中點尸，連接版NF,

為”中點，

:.MF//BD,

QBDu平面BDE,MF0平面BDE,

.?."F//平面BDE.

QN為8c中點，

:.NFHAC,

又以￡分別為力只此1的中點，

:.DEHAC,則NF"DE.

06/214

DEu平面BDE,NF<z平面BDE,

二.NF//平面BDE.

yiMFC\NF=F,A/Fu平面用W,NFu平面仞叫

，平面AffN//平面初&又〃Nu平面例叫

則肱V//平面BDE-,

(2)底面A5GZBAC=90°.

二以/為原點，分別以48、AC,4尸所在直線為x、八z軸建立空間直角坐標系.

PA=AC=4,AB=2,

A(0,0,0),8(2,0,0),C(0,4,0),M(0,0,1),N(l,2,0),E(0,2,2),

則旃=0,2,-1),施=(0,2,1),

設平面儂V的-一個法向量為用=(x,y,z),

,[m-MN=0，口fx+2y-z=0

由4_—,得<、>

m-ME=012y+z=0

取z=2,得〃?=(4,—1,2).

由圖可得平面。昭的一個法向量為；=(1,0,0).

/----\m-n44A/21

\1mn\VHxl21-

由圖可知二面角C-EN-N的平面角為銳角,

07/214

???二面角C-EM-N的余弦值為勺旦，則正弦值為運；

2121

(3)設則"(0,0,0,歷=(一1,一2,。，麗=(一2,2,2).

???直線A7/與直線龐所成角的余弦值為立

cos(而，碼HNHBE

7M網(wǎng)

_2t-2_V7

J5+S義267'

解得：t=4.

當〃與P重合時直線2與直線龍所成角的余弦值為正，此時線段的長為4.

7

5.已知圓錐的頂點為R底面圓心為。，半徑為2.

(1)設圓錐的母線長為4,求圓錐的體積;

(2)設PO=4,0A、如是底面半徑，且//08=90。，〃為線段46的中點，如圖.求異面直線網(wǎng)與面所

成的角的余弦值.

【答案】(1)封壇；(2)—.

36

【分析】

(1)利用圓錐的體積公式進行求解即可;

(2)建立空間直角坐標系，利用空間向量夾角公式進行求解即可.

【詳解】

(1)???圓錐的頂點為R底面圓心為。，半徑為2,圓錐的母線長為4,

08/214

圓錐的體積V=—x^xr2xh=—'X7rx22xA/42—22

33

_8岳，

一,

3

(2);P0=4,0A,如是底面半徑，且乙4。8=90。，

〃為線段48的中點，

；?以。為原點，以為x軸，仍為y軸，。尸為z軸，

建立空間直角坐標系，

尸(0,0,4),42,0,0),5(0,2,0),

0),0(0,0,0),

PM=(1,1,-4),。2=(0,2,0),

設異面直線P航與物所成的角為6,

PMOB\2

則COS0=

PM[\OB\~^18x26

.??異面直線9與四所成的角的余弦值為變.

6

6.如圖所示，已知四棱錐尸-中，四邊形28。為正方形，三角形PN8為正三角形，側面尸/B，底

面/BCD,〃是棱4D的中點.

09/214

(1)求證：PC工BM；

(2)求二面角8-尸的正弦值.

【答案】(1)證明見解析；(2)叵.

4

【分析】

(1)取48的中點0,連接。尸，并過。點作8c的平行線OE,交CD于E,即可得到OE1.N3,POLAB,

從而得到尸底面/BCD,如圖建立空間直角坐標系，利用空間向量法證明線線垂直；

(2)利用空間向量法求出二面角的余弦值，從而求出其正弦值；

【詳解】

解：(1)取48的中點。，連接。尸，并過。點作8c的平行線OE,交CD于反則OEL4B

?.?三角形P/3為正三角形

，PO±AB

'：平面PAB1底面ABCD且平面PABn底面ABCD=AB

：.尸O_L底面/BCD

以。為坐標原點，礪的方向為x軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標系，令尸5=48=2,

10/214

p

則網(wǎng)1,0,0),F(0,0,V3),A/(-l,l,0),C(l,2,0)

正=(1,2,-兩=(-2,1,0)

PC1BM

(2)兩=(-1,1,-百)，CM=(-2,-1,0)

設平面R展的一個法向量為加二(x,y,z)

PM?玩=0口］-x+y-V3z=0

則一.即4

BM-m=0-2x+y=0

令％=1,m=

IJJ

設平面PMC的一個法向量為n=(a/,c)

PM=0—a+b—=0

則一即an＜

CM-?=0-2a-b=0

令〃=1,〃=(1,-2,班)

所以cos(冽，幾m-ny/6

=麗=彳

㈤2

所以sin(加,=J-cos2(m,n^-

□J~T~

11/214

，二面角B-PM-C的正弦值為巫

4

7.已知點￡,尸分別是正方形/BCD的邊/D,8c的中點.現(xiàn)將四邊形EFCD沿E尸折起，使二面角

C-族-3為直二面角，如圖所示.

（1）若點G,“分別是4C,8斤的中點，求證：G8//平面￡尸。；

（2）求直線/C與平面N3尸E所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）逅.

6

【分析】

（1）要證明線面平行，可轉化為證明面面平行；

（2）根據(jù)面面垂直的性質定理，可知C尸，平面/2FE,再結合線面角的定義，可得得到直線/C與平面

48尸E所成角的正弦值.

【詳解】

證明：（1）連接/尸,

設點。為/尸的中點，連接GO,OH,

在A/CF中，又因為點G為/C中點，

所以OG〃CF.

同理可證得。8///B,

12/214

又因為E,尸分別為正方形4BCD的邊BC的中點，

椒EFHAB,所以OH//EF.

又因為OHcOG=O,所以平面GOH〃平面E/CD.

又因為GHu平面GOH,所以GHH平面EFCD.

(2)因為/BCD為正方形，E,尸分別是ND,5c的中點，

所以四邊形ERR為矩形，則C尸，跖.

又因為二面角C-EF-3為直二面角，平面EFCDC1平面=CFu平面EFCD,

所以CF_L平面/AFE,

則4月為直線NC在平面尸E內(nèi)的射影，

因為/CN尸為直線AC與平面ABFE所成的角.

不妨設正方形邊長為則"3胃

在RM4B尸中，AFZABABF。=

因為C〃_L平面N2尸E,4Fu平面NBFE,所以C/J_/尸,

在Rt△/尸C中,AC=y]AF2+CF2=

a

CF3=屈

sinZCAF=—

AC\[6a6'

2

即為直線AC與平面ABFE所成角的正弦值.

8.已知如圖1所示，等腰ANBC中，AB=AC=4,比=4\/§,。為8C中點，現(xiàn)將43。沿折痕ND翻折

-TT

至如圖2所示位置，使得=E、尸分別為48、/C的中點.

13/214

A

A

圖1圖2

(1)證明：8C7/平面DE1尸；

(2)求四面體的體積.

【答案】(1)證明見解析；(2)6

【分析】

(1)由線面平行的判斷定理即得；

(2)根據(jù)題意可得VBCDE=^VD_ABC=^VA_BCD,即求

【詳解】

(1)證明：

;E、廠分別為/8、/C的中點，:.EF//BC,

■：E產(chǎn)u平面DEF,3C,平面DEF,

.?.8。//平面。￡尸；

(2)在原等腰三角形4BC中，?.?N3=/C=4,比=4>/§,。為中點,

/.ADLDB,ADLDC,且/￡?=舊_(20=2,

在折疊后的三棱錐中，AD±DB,ADLDC,

14/214

5LDB[}DC^D,:.ADvnBDC,

JI

DB=DC=273,4BDC=~,

?'-SARD。=—x2V3x2\/3xsin—=6=3/3,

^DC232

=33房2=2后

?*E為AB中點，.二SABCE=]S*BC，

可得，BCDE=/—AABC=]囁-BCD=V3.

9.在三棱柱/BCT/C中，AB=2,BOBB『4,AC=AB,=2>/5,且/8隔=60°.

（1）求證：平面/園，平面區(qū)%;區(qū)：

（2）設二面角廿47「5的大小為0,求sin。的值.

【答案】（1）證明見解析；（2）sin8=Y6.

4

【分析】

（1）勾股定理證明48,3c.結合證明.即可證明；（2）建立空間坐標系求解

【詳解】

解：（1）在AN5C中，AB2+BC2=20=AC2,所以NABC=90°,即/3_LBC.

三

因為BC=BB1,AC-ABVAB=AB,所以AABCAABB1.

所以/ABB、=/ABC=90°,gpABI.BBV

又BCCBB、=B,所以N3,平面8CG4.

15/214

又ABI平面ABC,,所以平面ABC,1平面BCCtBt.

（2）由題意知，四邊形3CGA為菱形，且NBCG=60。，貝UA&CG為正三角形，取CG的中點。，連接8。，

則助_Lcq.

以3為原點，以麗，礫，互5的方向分別為x,%z軸的正方向，建立空間直角坐標系3-中z,則

8（0,0,0）山（0,4,0）,/（0,0,2）,C（2省,-2,0）,C］（2百,2,0）

設乎面ACCXA1的法向量為l=（x,%z），且就=（2石,-2,-2）,西=（0,4,0）.

AC-n=0,

由—得取』。,到

CCi-n=0,

由四邊形8CC蜴為菱形，得5G，耳C；

又平面8CG4,所以

又AB\BC、=B,所以4C，平面NBC一

所以平面的法向量為麻=（2G,-6,0）

n-B^C2731

所以cos,，AC）

口甌|一4岳2一4，

故sing=

4

10.如圖，四棱錐尸-/BCD中，底面48co是直角梯形，AD//BC,/為氏90°,已知PA=PC=3B

AD=2,AB=yf3,BC=3.

16/214

(1)證明：AC1PD；

(2)若二面角尸-/C-3的余弦值為:，求四棱錐尸-43。的體積.

20

【答案】(1)證明見解析；(2)y.

【分析】

(1)過。作DEL8C交于點￡,求得CO=2,取/C中點為尸點，連接PF,FD,

證得證得/C,平面PED,即可證得4CCD.

(2)由(1)知，得到cos/PFO=g,求得點P到平面/BCD的距離為〃，和梯形48co的面積，結合體

積公式，即可求解.

【詳解】

(1)過。作DE_L2C交3C于點E,則?！?=百,EC=8C-=1,

在直角AOCE中，則CD=JM+EC?=2,

取/C中點為尸點，連接尸￡ED,

因為AD=CD=2,P/=PC=3G，所以2。_1_止,/。_1_依，

又因為PFcBD=F,且平面尸陽，所以/CJ.平面巴叫，

又由PDu平面PFD,所以4C_LPD.

17/214

(2)由題意知，二面角尸-4C-D的余弦值為:，

由(1)知，二面角尸一/。一。的平面角為NP尸D,故cos/PFD=；,

在RtZ\48C中，可得AC=JAB2+BC?=2拒，所以/F=；/C=6,

所以尸尸=y]PA2-AF2=2A/6，

設點尸到平面ABCD的距離為h,貝0=PFsin/PFD=2&x馬2=—,

33

故四棱錐尸-4BCD的體積％=k至x更=型.

3233

11.如圖，四棱柱A5O48C4中，底面48(第和側面比都是矩形，￡是切的中點，D.ELCD,AB=2BC

=2.

(1)求證：平面底面/次以

18/214

(2)若平面6a區(qū)與平面啊所成的銳二面角的大小為grr,求線段初的長度.

【答案】(1)證明見解析；(2)EDX=\.

【分析】

(1)利用線面垂直的判定定理證明平面CDD、C\,可得AD工仄E,又CDLD.E,即可證明，平面ABCD,

再由面面垂直的判定定理證明即可；

(2)〃￡=a,建立合適的空間直角坐標系，求出所需點的坐標和向量的坐標，然后利用待定系數(shù)法求

出平面的法向量，由向量的夾角公式列出關于a的方程求解即可.

【詳解】

(1)證明：因為底面A?5和側面8的4都是矩形，

所以AD1DD、,

又CDCDD、=D,CD,2?平面WC，

所以平面CDDG，又〃皮平面CDDG，

所以mLL〃￡,又劈_!_〃￡,且=CD,AO?平面力閱9,

故〃反1平面ABCD,又〃皮平面CCRD,

則平面平面ABCD-,

(2)解:取48得中點凡連結EF,則四邊形即％為正方形，

所以第_LW,故以￡為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖所示，

設.D、E=a,則￡(0,0,0),尸(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),C}(0,2,a),

所以前=(-1,0,0),cq=(0,1,a),Jr=(-1,1,o),

設平面ACG廳的法向量為k=(x,y,z),

，一\n-BC=0J-x=0

[n-CC1=0[y+az=0

令z=l,貝l]“=(0,-a,l),

因為此工龐，又FCLD\E,BECD、E=E,BE,〃皮平面龐樂

19/214

所以尸UL平面BED,,

故定=(-1,1,0)為平面5〃￡的一個法向量,

a

V2,[CT+1

TT

因為平面BCCB與平面皿所成的銳二面角的大小為§,

aTI1

———]=cos—=—解得a=1,

V2-Va2+132

所以〃￡=1.

12.如圖，四棱錐尸-48CZ)的底面4BCD是邊長為2的正方形，平面尸4DJ_平面4BCD,△尸40是斜邊

P4的長為2啦的等腰直角三角形，E,尸分別是棱尸區(qū),PC的中點，M是棱8c上一點.

(1)求證：平面。EM_L平面尸48；

(2)若直線〃尸與平面4BCO所成角的正切值為受，求銳二面角E-DW-尸的余弦值.

2

20/214

【答案】（1）證明見解析；（2）

6

【分析】

（1）根據(jù)面面垂直的性質定理，結合線面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理進行證明即可；

（2）根據(jù)（1）,結合線面角的定義得出"點是8c的中點，建立空間直角坐標系，利用空間向量夾角公

式進行求解即可.

【詳解】

解：（1）依題意可得：PD_LDA,DP=DA=DC=2.

平面PAD_L平面ABCD,平面PADQ平面ABCD=DA,ABLDA,ABI平面ABCD,

平面尸AD,u平面PADAS_LDE.

在RtVP4D中，DP=DA,E是棱產(chǎn)區(qū)的中點，所以

又上4口48=/,PA,481平面二Z）E_L平面尸48.

又DEu平面DEM,平面平面尸4g.

（2）如圖，取C。的中點N,連接MN,NF,

則NF"PD,NF=-PD=\

2

由（1）知尸D_L平面/BCD,NF15F?ABCD

：.NFMN是直線MF與平面ABCD所成角

21/214

V2

二tanZFMN=—

MN2

:.MN=4i，MC=^MN2-NC2=1

是棱5c的中點,

以。為坐標原點，DA,DC,0P分別為x軸，＞軸，z軸建立空間直角坐標系,

則有：D（0,0,0）,￡（1,0,1）,尸（0,1,1）,M（l,2,0）

An￡=（1,0,1）,麗=（0,1,1）,由=（1,2,0）

設平面瓦加的法向量為證=(a,6,c),平面。河尸的法向量為?=(無J,z)

0=DE-m=a+c

則1.一令a=—2,則加二(一2,1,2)

0=DM-m=a+2b

0=DF-n=y+z.、

有《一一，令x=—2,則〃=（z—2,1,—1）

0=DM-n=x+2y

Lf\m-n3V6

cos{m-n）=1—I=---------1==

、/加.〃3x5/66

.?.銳二面角E-DM-F的余弦值為逅.

6

13.如圖所示，四棱錐￡-48。的底面/BCD是邊長為2的正方形，側面E4B，底面48CD,EA=EB,

廠在側棱CE上，且此，平面/CE.

(1)求證：4E_L平面3CE；

(2)求點〃到平面NCE的距離.

22/214

【答案】(1)證明見解析；(2)3.

3

【分析】

(1)證得8尸，NE和CSL/E,結合線面垂直的判定定理即可證得結論；

(2)等體積法即可求出結果.

【詳解】

證明：(1):側面￡4B_L底面48C。，EABn/gffiABCD-AB,且C8_L/B,C8u底面/BCD,

。8_1平面/8￡,二。8_1/￡,；2尸_1平面/。￡,/Eu平面NCE,故AF_L/E,BFC\CB=B,故/E_L

平面BCE；

(2)過點后作EO_L48,垂足為。，則EO_L平面/BCD,在MAE4B中，EA=EB,AB=2,可求得OE=1,

設〃到平面ACE的距禺為h,由—D-ACE=^E-ACD，

所以S“CE/=1S“COZO,人沖.嘰孚

JMACEJ

即點。到平面/CE的距離為氈.

3

14.在三棱錐6一/=中，平面/切上平面力切，若棱長且/胡。=30°,求點。到平

面/比1的距離.

【答案】叵.

13

【分析】

建立空間直角坐標系，求出平面應為■的一個法向量，利用空間距離的公式即可求出結果.

【詳解】

解如圖所示，以4?的中點。為原點，以勿，布所在直線為x軸、y軸，過。作碼平面交四于〃,

以直線如為z軸建立空間直角坐標系，

DX

23/214

則/(-g,0,0),。(0等,0)，拈,0,0)，

AC=(p^y-,0),/8=(W，0,；)，DC=(-p^y-,0),

設3=(x,y,z)為平面/8C的一個法向量,

心存=必無+

—z=0

22/?_

則f所以P=——x,z——6x,可取〃=(-1,3),

一二1V33

n,TiC=—x+/二。

2

代入，=出口，得公等+5=我

卬13

即點〃到平面相。的距離是叵.

13

15.如圖，在長方體22。。一42￡。|中，AB=BC=1,BB、=2,E為棱/4的中點.

(1)證明：龐，平面功C1；

(2)求二面角EC-G的大小.

【答案】(1)證明見解析；(2)120°.

【分析】

(1)根據(jù)4G，側平面44BN得出5EL5C，再利用勾股定理即可證明2?,從而證明龐，平面

EBJ

24/214

(2)以點D為坐標原點，以方4方己西分別為天，》z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法即可解

決.

【詳解】

(1)證明：因為ABCD-4與G3是長方體，所以用G，側平面4B1BA,

而BEU平面4片氏4,所以4G，

在ABEB\中，BE=42,B1E=6BB1=2,

所以BE?+BE=BB；,所以耳￡,

又BgcB'E=B1,Bg,B]Eu平面EB[C[,因此龐'J_平面鶴6.

(2)如圖所示，以點。為坐標原點，以萬Z就，西分別為M%z軸，建立空間直角坐標系，

則5(1,1,O),C(O,LO)，G(O，1，2),￡(1,0,1),

EC=(-1,1,-1),cq=(0,0,2),BE=(0,-1,1),

設比=(X]，wzj是平面BEC的法向量,

m,BE=0,-M+Z|=0,=玩=(”1,1),

則

m'EC=0一再+%一Z]=0

設為=(>2，y2,Z2)是平面ECG的法向量,

河3=0,2Z=0,_

則2=>萬=(1,1,0),

ri'EC=0-%2+%—Z2=0

25/214

所以湍因為二面角'一￡C-G為鈍角'所以二面角EC-G的大小為120。，

16.如下圖，在四棱錐S-43c。中，底面48co是正方形，平面WD_L平面48c。，SA=SD=2,AB=3.

(1)求S4與BC所成角的余弦值；

(2)求證：ABLSD.

3

【答案】(1)4；(2)證明見解析.

4

【分析】

(1)由題意可得即為SA與BC所成的角，根據(jù)余弦定理計算即可；

(2)結合面面垂直的性質和線面垂直的性質即可證明.

【詳解】

【考查內(nèi)容】異面直線所成的角，直線與平面垂直的判定和性質

【解】(1)因為/D//8C,因此即為S4與BC所成的角，在A"。中，SA=SD=2,

又在正方形ABCD中4D=48=3,因此cosASAD=獷+心一步=2?+3?-2?=之，

1SA-AD2x2x34

3

因此S4與BC所成角的余弦值是:.

4

(2)因為平面平面48。，平面必De平面，在正方形48CD中，A31AD,

因此48_1_平面S/。，又因為1sDu平面SAD,因此

17.如圖，四棱錐尸-4BCD的底面是矩形，尸。，底面48cD,〃為BC的中點，且

26/214

(1)證明：平面PW_L平面尸BD;

⑵若PD=DC=1,求四棱錐尸-48co的體積.

【答案】(1)證明見解析；(2)旦.

3

【分析】

(1)由尸。，底面/BCD可得,又PBLAM,由線面垂直的判定定理可得NM_L平面尸3。，再

根據(jù)面面垂直的判定定理即可證出平面P/Af，平面PBD；

(2)由(1)可知，AMLBD,由平面知識可知，&DAB?AABM,由相似比可求出/D,再根據(jù)四棱錐

尸-/BCD的體積公式即可求出.

【詳解】

(1)因為尸D_L底面/BCD,/Mu平面/BCD,

所以尸,

又PB1AM,PBCPD=P,

所以4W_L平面尸8。，

而u平面PAM,

所以平面PAM±平面PBD.

(2)由(1)可知，/可_1_平面網(wǎng)。，所以/M_LAD,

從而ADAB?AABM,設BM=x,AD=2x,

則空■=空，即2/=1,解得尤=1，所以4D=0-

ABAD2

27/214

因為尸D_L底面/BCD,

故四棱錐尸-N3C。的體積為曠=；x(lx行)xl=\.

18.如圖，在四棱錐尸-48co中，底面48c。是平行四邊形，ZABC=120°,AB=1,BC=4,PA=y/15,M,

“分別為BC,尸。的中點，PDLDC,PMLMD.

(1)證明：ABLPM-,

(2)求直線4V與平面PQAf所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析；(2)叵.

6

【分析】

(1)要證可證DC_LPM,由題意可得，PDLDC,易證。MLDC,從而DCJ_平面尸DM,

即有DC_LPM,從而得證；

(2)取/。中點E,根據(jù)題意可知，尸M兩兩垂直，所以以點M為坐標原點，建立空間直角坐

標系，再分別求出向量京和平面的一個法向量，即可根據(jù)線面角的向量公式求出.

【詳解】

(1)在△DCAf中，DC=1,CM=2,ZDCM=60°,由余弦定理可得。M=百，

由題意。CJ.PD且PDcD"=D,二。。，平面尸DW,而RWu平

面產(chǎn)DX,所以。C_LW,5LABUDC,所以4B_LPA/.

(2)由尸M_LMO,4B_LPA/,而N8與DM相交,所以尸MJ_平面ABCD,因為AM=近，所以PM=26，

取/。中點E,連接腔，則兩兩垂直，以點初為坐標原點，如圖所示，建立空間直角坐標

系，

28/214

則A(一52,0),尸(0,0,272),D(V3,0,0),M(0,0,0),C(V3,-l,0)

又N為尸C中點，所以N告,一gm,AN=,-p.

\/\/

由(1)得C0_L平面PDVf,所以平面尸。Af的一個法向量為=(0,1,0)

5

.nMN?同2_叵

從而直線AN與平面PDM所成角的正弦值為sin0=:而

?j12725。~~r'

——+——+2

44

19.如圖，是圓。的直徑，尸4垂直圓。所在的平面，C是圓。上的點.

(I)求證3C_L平面尸/C；

(II)設。為P4的中點，G為A4OC的重心，求證：QG〃平面VC.

【答案】見解析

【詳解】

(I)由是圓的直徑可得4C_L8C,由PNJ_平面NBC,BCu平面/8C,^PA±BC

29/214

又尸/門/。=4"<=平面尸/。,/。<=平面PAC,所以3C_L平面尸4c

(II)連。G并延長交4。于M,連接加,QG

由G為A40C的重心，得河為ZC的中點，

由。為P4的中點，得加||PC,由。為48的中點，得(W||5C,

因為WcMO=M,QMu平面Q0O

〃0<=平面01/0,BCcPC=C,

BC<z平面尸BC,PCu平面心C,所以平面QMO||平面PSC,因為QGu平面QMO

所以QG||平面PSC

20.如圖，在四棱錐尸一48CD中，尸/，底面48CD,點E在線段40上，S.CE//AB.

(I)求證：CE_L平面尸ND；

(II)若尸N=48=l,4D=3,CD=g，NCD/=45。，求四棱錐尸-/BCD的體積.

【答案】(I)證明見解析(II)j

6

30/214

【分析】

(I)由已知可得CEYAD,即可證明結論；

(II)尸4,底面/BCD,VP_ABCD=^SABCD-PA,根據(jù)已知條件求出梯形/BCD面積，即可求解.

【詳解】

(I)證明：因為底面/BCD,CEu平面/BCD,

所以R1_LCE.因為4B_L/D,CE//AB,

所以C￡_L/O.又尸Zc4D=N,

所以CE_L平面P4D.

(II)解：由(I)可知CEL4D,

在RtA￡。中，CE=CD?sin45°=l,

DE=CD-cos45°=l,

又因為/B=l,則/8=C￡.

又CE//AB,AB1AD,

所以四邊形為矩形，四邊形N8CD為梯形.

因為“。=3,所以==一?！?2,

SABCD=^(BC+AD).AB=^2+^x1=^,

VP-ABCD=~SABCD?尸二=X1=J,

3326

于是四棱錐尸-/BCD的體積為"

6

21.如圖，直三棱柱A8C-/'8'C',ABAC=90°,4B=4C=彳/H,點