高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：三角形中的范圍與最值問(wèn)題（十七大題型）（原卷版+解析）

重難點(diǎn)突破03三角形中的范圍與最值問(wèn)題

目錄

題型一：周長(zhǎng)問(wèn)題

題型二：面積問(wèn)題

題型三：長(zhǎng)度問(wèn)題

■方法技巧總結(jié)____________________

1、在解三角形專(zhuān)題中，求其“范圍與最值”的問(wèn)題，一直都是這部分內(nèi)容的重點(diǎn)、難點(diǎn).解決這類(lèi)問(wèn)題,

通常有下列五種解題技巧：

(1)利用基本不等式求范圍或最值；

(2)利用三角函數(shù)求范圍或最值；

(3)利用三角形中的不等關(guān)系求范圍或最值；

(4)根據(jù)三角形解的個(gè)數(shù)求范圍或最值；

(5)利用二次函數(shù)求范圍或最值.

要建立所求量(式子)與已知角或邊的關(guān)系，然后把角或邊作為自變量，所求量(式子)的值作為函

數(shù)值，轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問(wèn)題.這里要利用條件中的范圍限制，以及三角形

自身范圍限制，要盡量把角或邊的范圍(也就是函數(shù)的定義域)找完善，避免結(jié)果的范圍過(guò)大.

2、解三角形中的范圍與最值問(wèn)題常見(jiàn)題型：

(1)求角的最值；

(2)求邊和周長(zhǎng)的最值及范圍；

(3)求面積的最值和范圍.

題型一：周長(zhǎng)問(wèn)題

例1.(2023?貴州貴陽(yáng)?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))記。8c內(nèi)角/,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且

S+b2-c2)(acos5+bcosA)=abc.

⑴求C；

⑵若“BC為銳角三角形，c=2,求“8C周長(zhǎng)范圍.

例2.(2023?甘肅武威?高三武威第六中學(xué)?？茧A段練習(xí))在銳角△48C中，,(2b-c)cosA=acosC,

(1)求角N;

(2)求△/BC的周長(zhǎng)/的范圍.

例3.(2023,全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))在①2s=y[3AB-AC;@2cos2---=1+cos2A；@c—y[3asinC-ccosA;

在這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并作答.

在銳角中，內(nèi)角/、B、C,的對(duì)邊分別是。、b、c,且______

(1)求角A的大?。?/p>

(2)若.=百，求周長(zhǎng)的范圍.

變式1.(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))在銳角ABC中，三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為“，b,c,且

c-b=acosB-bcosA.

(1)求角A的大小；

(2)若。=1,求“BC周長(zhǎng)的范圍.

變式2.(2023?陜西西安?高三西安中學(xué)?？茧A段練習(xí))的內(nèi)角B,C的對(duì)邊分別為a,6,c且滿足

a=2,acosB=(2c-b)cos/.

(1)求角A的大小；

⑵求“3C周長(zhǎng)的范圍.

題型二：面積問(wèn)題

例4.(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知在銳角力8。中，內(nèi)角43,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且而=(2sinx,Gb

n=(cosx,cos2x),/(x)=mn,/(S+C)=0.

(1)求角/的值；

(2)若6=1,求。BC面積的范圍.

例5.（2023?江蘇南通?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，某植物園內(nèi)有一塊圓形區(qū)域，在其內(nèi)接四邊形/BCD內(nèi)種植了

兩種花卉，其中區(qū)域內(nèi)種植蘭花，△BCD區(qū)域內(nèi)種植丁香花，對(duì)角線2。是一條觀賞小道.測(cè)量可

知邊界48=60m,BC=20m,AD=CD=40m.

（1）求觀賞小道8。的長(zhǎng)及種植區(qū)域/BCD的面積；

（2）因地理?xiàng)l件限制，種植丁香花的邊界BC,CD不能變更，而邊界可以調(diào)整，使得種植蘭花的

面積有所增加，請(qǐng)?jiān)诩?。上設(shè)計(jì)一點(diǎn)尸，使得種植區(qū)域改造后的新區(qū)域（四邊形9CD）的面積最大，并

求出這個(gè)面積的最大值.

例6.（2023?山東青島?高三青島三十九中?？计谥校┰冖賏=2,②a=b=2,③b=c=2這三個(gè)條件中任選

一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，求△/BC的面積的值（或最大值）.已知△/BC的內(nèi)角/,B,C所對(duì)的邊分別

為a,b,c,三邊a,b,c與面積S滿足關(guān)系式：4S=b2+c2-a2,且,求△/8C的面積的值（或最

大值）.

變式3.（2023?江蘇蘇州?高三常熟中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖所示，某住宅小區(qū)一側(cè)有一塊三角形空地

其中CU=3km,OB=343km,4408=90。.物業(yè)管理部門(mén)擬在中間開(kāi)挖一個(gè)三角形人工湖。兒W,其中M,

N都在邊48上（M,N均不與重合，/在A,N之間），且/MON=30。.

（1）若M在距離A點(diǎn)1km處，求點(diǎn)N之間的距離；

⑵設(shè)ZBON=0,

①求出AOMN的面積s關(guān)于e的表達(dá)式；

②為節(jié)省投入資金，三角形人工湖的面積要盡可能小，試確定。的值，使AOJW得面積最小，并求出

這個(gè)最小面積.

變式4.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）在“3C中，SABC^-BA-BC,BC^3.

（1）。為線段8C上一點(diǎn)，且CO=22O,AD=1,求ZC長(zhǎng)度；

（2）若“3C為銳角三角形，求AASC面積的范圍.

變式5.（2023?河北?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知在“3C中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，6,c,且

asin8_&

bcosA

（1）若”=2石，b=2,求c的大小；

（2）若6=2,且C是鈍角，求AABC面積的大小范圍.

題型三：長(zhǎng)度問(wèn)題

例7.（2023?浙江麗水?高三浙江省麗水中學(xué)校聯(lián)考期末）已知銳角AA8C內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.

若bsinB-csinC=（b-a）sirU.

⑴求C;

⑵若c=百，求a-b的范圍.

例8.（2023?福建莆田?高三校考期中）在A48C中，a,b,c分別為角4,B,C所對(duì)的邊，b=243,

（2c-a）sinC={b2+c2_力產(chǎn)；8

⑴求角B;

⑵求2a-c的范圍.

例9.（2023?重慶江北?高三?？茧A段練習(xí)）在"BC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別。，b,c,且

（2c公、3

lacos—+ccos~—\（a+c-o）=-ac.

（1）求角B的大??；

（2）若6=2百，c=x（x>0）,當(dāng)“8c僅有一解時(shí)，寫(xiě)出x的范圍，并求的取值范圍.

變式6.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知的內(nèi)角B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足條件；a=4,

sin2^4+sinBsinC=sin23+sin2C.

（I）求角A的值；

（II）求處—c的范圍.

變式7.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）在A43C中，a,6,c分別是角4,8,C的對(duì)邊（a+b+c）（a+b-c）=3仍.

（1）求角C的值；

（2）若c=2,且AABC為銳角三角形，求2a-b的范圍.

變式8.（2023?山西運(yùn)城?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）的內(nèi)角B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.

（1）求證：sm（…q

sin4+sinBc

TT

（2）若AABC是銳角三角形，A-B=-,a-b=2,求c的范圍.

變式9.（2023?安徽亳州?高三統(tǒng)考期末）在銳角AA8C中，角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,已知

asinC=ccosA----

I6

（1）求角A的大小;

(2)設(shè)H為AA8C的垂心，且/〃=1,求8H+C”的范圍.

題型四：轉(zhuǎn)化為角范圍問(wèn)題

例10.(2023?全國(guó)"高三專(zhuān)題練習(xí))在銳角AABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,且

(a+6)(sinA-sinB)=(c-b)sinC.

⑴求A；

(2)求cos8-cosC的取值范圍.

例11.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知AABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為〃、b、c,且

a-b-c(cos2?-cosA).

(1)判斷AABC的形狀并給出證明；

(2)若a1b,求sin/+sin8+sinC的取值范圍.

例12.(2023?河北保定?高一定州一中校考階段練習(xí))設(shè)“3C的內(nèi)角4用C的對(duì)邊分別為a,6,c,已知

1-sin/_l-cos25

cos/sin23

(1)判斷/的形狀(銳角、直角、鈍角三角形)，并給出證明；

(2)求紀(jì):亙的最小值.

C

變式10.(2023?廣東佛山?高一大瀝高中?？茧A段練習(xí))已知AA8C的三個(gè)內(nèi)角B,C的對(duì)邊分別為a,b,

c,且萬(wàn)?%+防衣=2田?瓦；

(1)若竽=巴亞，判斷“3C的形狀并說(shuō)明理由；

ba

（2）若“是銳角三角形，求cosC的取值范圍.

變式11.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）在AASC中，角N,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c.已知”=1力=啦.

（1）若求角/的大??；

⑵求cos/cos[/+g]的取值范圍.

變式12.（2023?江西吉安?高二江西省峽江中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）在銳角“3C中，角/,B,C所對(duì)的邊分別

是a,b,c,b2+c2-a1-2bcsin（^+—）.

6

Cl）求角N的大??；

（2）求sinbsinC的取值范圍.

變式13.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）在銳角“8C中，角4B,。所對(duì)的邊分別為a,6,c.若c?+兒-/=（）,

/X?11

則4（sinC+cosC）+——-------；的取值范圍為（）

'7tanCtanA

A.（4>/2,9）B.（8,9）C.-^-+4,9D.（26+4,9）

I3J

題型五：倍角問(wèn)題

例13.（2023?浙江紹興?高一諸暨中學(xué)?？计谥校┰阡J角”3C中，內(nèi)角/,B,。所對(duì)的邊分別為a,b,c,

已知b+c=2acosB.

（1）證明：A=2B；

（2）若6=1,求。的取值范圍；

（3）若“3C的三邊邊長(zhǎng)為連續(xù)的正整數(shù)，求“3C的面積.

例14.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知AA8C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c.若A=2B,且A

為銳角，則Q二+―1的最小值為（）

bcosA

A.2V2+1c.2V2+2D.4

例15.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）銳角的角4B,C所對(duì)的邊為a,b,c,A=2B,則f的范圍是

變式14.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）在銳角“BC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,“3C的面

2V

積為5,若sin（/+C）=”~貝Itan/的取值范圍為_(kāi)_____.

b-a

變式15.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為。、b、c,若N=23,則

竺士里的取值范圍為.

變式16.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）在銳角“BC中/=2B,B,C的對(duì)邊長(zhǎng)分別是6,c,則丁也的取

值范圍是（）

A.I!B.C.\,|]D,[|,|j

變式17.（2023?福建三明?高一三明市第二中學(xué)校考階段練習(xí)）在銳角中，44=248,/B,NC的

對(duì)邊分別是6,c,則竺￡的范圍是（）

43

352P2

變式18.（2023?江蘇南京?高一金陵中學(xué)?？计谥校┮阎?BC的內(nèi)角/,B,C的對(duì)邊分別為a,b,C,若

A=2B,則￡+（生]的最小值為（）

A.-1

題型六：角平分線問(wèn)題

例16.(2023?江蘇鹽城?高一江蘇省射陽(yáng)中學(xué)校考階段練習(xí))己知“BC的內(nèi)角4SC的對(duì)邊分別為a,6,c,

asin5+A/3COS5

且NRB.

~bsin/+geos/

(1)求角C的大?。?/p>

(2)若角C的平分線交于點(diǎn)D,且CD=2g,求a+26的最小值.

例17.(2023?江蘇淮安?高一統(tǒng)考期中)如圖，中，AB=2AC,/8NC的平分線/。交BC于。.

CDB

⑴若4D=BC,求/B4C的余弦值；

(2)若/C=3,求的取值范圍.

例18.(2023?浙江杭州?高一校聯(lián)考期中)在①a+acosC=V§csin/,②(a+b+c)(a+6-c)=3ab,③

(a-/7)sin(5+C)+&sinS=csinC.這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解答.

已知在AA8C中，角4B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,

(1)求角。的值；

(2)若角C的平分線交于點(diǎn)。，且CO=2G，求2a+b的最小值.

變式19.(2023?河北滄州??？寄M預(yù)測(cè))已知“3C的內(nèi)角4民C所對(duì)的邊分別為a,6,c,且

acosC+(26+c)cos/=0,角A的平分線與邊BC交于點(diǎn)。.

⑴求角A；

(2)若40=2,求6+4c的最小值.

變式20.(2023?山東泰安??？寄M預(yù)測(cè))在銳角”3C中，內(nèi)角4民C所對(duì)的邊分別為。,6,c,滿足

sinA,sin2A-sin2C.,?

---------1=-------------------，且a/，C.

sinCsin*B

(1)求證：B=2C；

⑵已知2。是24BC的平分線，若。=6,求線段8。長(zhǎng)度的取值范圍.

變式21.(2023?全國(guó)?高一專(zhuān)題練習(xí))在中，角/,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且滿足

2asinAcosB+bsin2A=2逝acosC■

(1)求角C的大??；

⑵若c=2百，/48C與/A4c的平分線交于點(diǎn)/,求△AB/周長(zhǎng)的最大值.

變式22.(2023?四川成都?石室中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))在“3C中，角42,C所對(duì)的邊分別為a,6,c,且

sinW=asin8,邊BC上有一動(dòng)點(diǎn)D.

(1)當(dāng)。為邊8C中點(diǎn)時(shí)，若AD=C,b=2,求c的長(zhǎng)度；

(2)當(dāng)4D為2胡C的平分線時(shí)，若a=4,求4D的最大值.

題型七：中線問(wèn)題

例19.(2023?湖南長(zhǎng)沙?高一雅禮中學(xué)?？计谥?在銳角“3C中，角4瓦C的對(duì)邊分別是“，b,c,若

2c-b_cosB

acosA

(1)求角A的大小；

(2)若a=2,求中線4。長(zhǎng)的范圍(點(diǎn)。是邊中點(diǎn)).

例20.(2023?安徽?合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))記小5。的內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別是eb,c,已知

.712c-b

sm—+Bn

(22a

⑴求/;

⑵若6+c=3,求BC邊中線4W的取值范圍.

例21.(2023?全國(guó)?高一專(zhuān)題練習(xí))在銳角三角形/8C中，角/,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知

asirU+ftsin5=csinC+41bsinA■

(1)求角C的大小；

⑵若c=2,邊NB的中點(diǎn)為。，求中線CD長(zhǎng)的取值范圍.

變式23.(2023?遼寧沈陽(yáng)?沈陽(yáng)二中?？寄M預(yù)測(cè))在中，角N,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,若

2c-b_cos5

acosA

(1)求角A的大小；

(2)若a=2,求中線4。長(zhǎng)的最大值(點(diǎn)。是邊中點(diǎn)).

變式24.(2023?廣東廣州?高二廣州六中?？计谥?在△/BC中，角/,B,。所對(duì)的邊分別為a,b,c,已

知43acosC-asinC=-

(1)求角A的大??；

(2)若a=2,求8。邊上的中線ND長(zhǎng)度的最小值.

題型八：四心問(wèn)題

例22.(2023?四川涼山?校聯(lián)考一模)設(shè)A/BO(O是坐標(biāo)原點(diǎn))的重心、內(nèi)心分別是G,/,且麗〃面,

若5(0,4),則cosZOAB的最小值是.

例23.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))在中，。也c分別為內(nèi)角42,C的對(duì)邊，且

(acosC+ccos/)tan/=.

(1)求角A的大??；

(2)若0=#，。為“BC的內(nèi)心，求OB+OC的最大值.

例24.(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知銳角三角形/8C的內(nèi)角4瓦。的對(duì)邊分別為a,6,c,且

(c-b)sinC=(acosC-6)sinS+acosSsinC.

⑴求角A；

(2)若H為的垂心，a-2,求"面積的最大值.

變式25.(2023?江蘇無(wú)錫?高一錫東高中?？计谥?在中，。力,。分別是角45,C的對(duì)邊，

2acosA=bcosC+ccosB.

(1)求角A的大??；

(2)若“3C為銳角三角形，且其面積為亭，點(diǎn)G為“BC重心，點(diǎn)”為線段4C的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段

上，旦AN=2NB,線段四與線段CN相交于點(diǎn)尸，求|碇|的取值范圍.

變式26.(2023?河北邢臺(tái)?高一統(tǒng)考期末)記”8C的內(nèi)角/,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知

2A/3(COS2C-COS2A)=(a-b)sin/?,且^ABC外接圓的半徑為G.

(1)求。的大小；

(2)若G是“3C的重心，求A/CG面積的最大值.

變式27.（2023?遼寧撫順?高一撫順一中校考階段練習(xí)）如圖，記銳角”3C的內(nèi)角B,C的對(duì)邊分別為

a,b,c,c=2b=4,N的角平分線交8C于點(diǎn)。，。為“3C的重心，過(guò)。作O尸〃8C,交/。于點(diǎn)尸，過(guò)

尸作PE_LZ3于點(diǎn)￡.

（1）求。的取值范圍；

⑵若四邊形BDPE與AABC的面積之比為2,求彳的取值范圍.

變式28.（2023?浙江?高一路橋中學(xué)校聯(lián)考期中）若。是。8C的外心，且

4^r-（AB-Ad}+4^-（AC-AO）=-Ad2>貝！Jsin8+2sinC的最大值是（）

AB~''AC2

A.V3+—B.—+V2C.=D.272

222

變式29.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知。是三角形/3C的外心，若江刀?前+組工?方=加

ABAC

且sinB+sinC=百，則實(shí)數(shù)加的最大值為（）

614

A.6B.-C.—D.3

55

題型九：坐標(biāo)法

JT

例25.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）在RtZ\4BC中，NBAC=—，AB=AC=2,點(diǎn)M在“3C內(nèi)部,

2

3

22

COSZAMC=--,則MB-MA的最小值為.

例26.（2023?全國(guó)?高一專(zhuān)題練習(xí)）在中，48=2,AC=36，NB4c=135°,M是所在平面上

的動(dòng)點(diǎn)，則卬=而.標(biāo)+&瓦前+雙己而的最小值為.

例27.（2023?湖北武漢?高二武漢市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知2,C為圓

苫2+必=9上兩點(diǎn)，點(diǎn)/（1,1）,且則線段8c的長(zhǎng)的取值范圍是.

變式30.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）在AA8C中，AB=ACX,且A48C所在平面內(nèi)存在一點(diǎn)尸使得

PB2+PC2=3PA2=3,則AABC面積的最大值為（）

AT口57230后「3A/35

16416

變式31.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）在等邊中，M為。BC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，ZBMC=120°,則可的最

MC

小值是（）

A.1B.-C.—D.—

423

變式32.（2023?江西?高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）費(fèi)馬點(diǎn)是指三角形內(nèi)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn).當(dāng)三

角形三個(gè)內(nèi)角均小于120。時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)與三個(gè)頂點(diǎn)連線正好三等分費(fèi)馬點(diǎn)所在的周角，即該點(diǎn)所對(duì)的三角形

三邊的張角相等且均為120。.根據(jù)以上性質(zhì)，.則

F（x,y）=q（x-26f+）+O-12。Mf+（y-25的最小值為（）

A.4B.2+2百C.3+26D.4+2百

題型十：隱圓問(wèn)題

例28.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）在平面四邊形/BCD中，連接對(duì)角線已知CD=9,BD=16,

4

^BDC=90°,sinA=~,則對(duì)角線/C的最大值為（）

A.27B.16C.10D.25

例29.（2023?江蘇泰州?高三階段練習(xí)）已知。3C中，BC=2,G為的重心，且滿足/GL3G,則

AABC的面積的最大值為.

例30.（2023?湖北武漢?高二武漢市洪山高級(jí)中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）已知等邊的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)G是。8c

內(nèi)的一點(diǎn)，且而+而+西=0,點(diǎn)尸在"BC所在的平面內(nèi)且滿足戶同=1,則|可|的最大值為.

變式33.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）在平面四邊形ABCD中，ABAD=90°,AB=2,AD=\.若

AB-AC+BA-BC=-CA-CB,則C3+]CD的最小值為

32------

變式34.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）若》滿足條件N2=4,ACfBC，則。面積的最大值為

變式35.（2023?江蘇?高三專(zhuān)題練習(xí)）在。3C中，BC為定長(zhǎng)，|與+2就卜3甌|,若的面積的最大

值為2,則邊BC的長(zhǎng)為

變式36.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）“BC中AB=/C=2,AABC所在平面內(nèi)存在點(diǎn)尸使得產(chǎn)4+PC?=4,

P/2=1,則^ABC的面積最大值為.

變式37.（2023?全國(guó)■高三專(zhuān)題練習(xí)）已知AA8C中，AB=AC=6，AABC所在平面內(nèi)存在點(diǎn)尸使得

PB2+PC2=3PA2=3，則AABC面積的最大值為.

題型H1：兩邊夾問(wèn)題

例31.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）在中，若空"+您g=2,4Be（0，W],且23C的周長(zhǎng)為12.

sm5sm/I2/

（1）求證：“8C為直角三角形；

（2）求AABC面積的最大值.

例32.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)A4BC的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊長(zhǎng)a,b,c成等比數(shù)列，

cos（Z-C）-cosB=g,延長(zhǎng)3c至若BD=2,則A4cZ）面積的最大值為.

例33.（2023?全國(guó)"高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)A43C的內(nèi)角/,B,。的對(duì)邊為。，b,c.已知。，b,c依次成等比

數(shù)列，且cos（/-C）-cosB=],延長(zhǎng)邊2c到。，若3Z）=4,則A4co面積的最大值為.

題型十二：與正切有關(guān)的最值問(wèn)題

例34.（2023?全國(guó)?高一專(zhuān)題練習(xí)）在銳角三角形中，角A、3、C的對(duì)邊分別為。、6、。，且滿足

b2-a2=ac,則一^一一二的取值范圍為

tanAtanB

例35.（2023?全國(guó)?高一階段練習(xí)）在中，內(nèi)角4B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,S.bsm^-=asmB.

（1）求/角的值；

（2）若“BC為銳角三角形，利用（1）所求的/角值求一的取值范圍.

例36.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）在“6。中，內(nèi)角43,。所對(duì)的邊分別為0,6,小且從山^^=好出8.求:

（1）A;

（2）的取值范圍.

b

變式38.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）銳角AABC是單位圓的內(nèi)接三角形，角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,

ac

c,^a2+b2-c1=4（72cosA-laccosB,則丁的取值范圍是（）

A.Qd)B.(V3,3A/3)

變式39.（2023?安徽合肥?高一合肥市第七中學(xué)?？计谥校┰阡J角“3C中，角A,B,C的對(duì)邊分別為

CA

b,c,S為的面積，且2S=/-（6-c）,則一的取值范圍為（）

233435

2

P352453513

變式40.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）在銳角AASC中，角4B、C所對(duì)的邊分別為。也c,若/一°2=歷，

則」二——-—+3sin/的取值范圍為（）

tanCtanA

A.(2^3,+00)B.(2后4)D.(273,—)

6

題型十三：最大角問(wèn)題

例37.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）幾何學(xué)史上有一個(gè)著名的米勒問(wèn)題：“設(shè)點(diǎn)M,N是銳角N/Q3的一邊

Q4上的兩點(diǎn)，試在03邊上找一點(diǎn)P,使得最大.”如圖，其結(jié)論是：點(diǎn)尸為過(guò)M,N兩點(diǎn)且和射

線。2相切的圓與射線”的切點(diǎn).根據(jù)以上結(jié)論解決以下問(wèn)題：在平面直角坐標(biāo)系中，給定兩點(diǎn)

M（-l,2）,N（l,4）,點(diǎn)尸在x軸上移動(dòng)，當(dāng)NMFN取最大值時(shí)，點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)是（）

A

上PB

A.1B.-7C.1或一7D.2或一7

3

例38.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)“5。中，內(nèi)角A,B,。所對(duì)的邊分別為。,b,。，且acosB-bcos/=1c,

則tanQ-B）的最大值為（）

3133

A.—B.-C.-D.一

5384

例39.（2023?江西上饒?高三上饒中學(xué)校考期中）在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且

acosB-bcosA=^c,當(dāng)tan（A—B）取最大值時(shí)，角C的值為

7171—7171

A.-B.—C.—D.一

2634

變式41.（2023?河南信陽(yáng)?高一信陽(yáng)高中校考階段練習(xí)）最大視角問(wèn)題是1471年德國(guó)數(shù)學(xué)家米勒提出的幾何

極值問(wèn)題，故最大視角問(wèn)題一般稱(chēng)為“米勒問(wèn)題”.如圖，樹(shù)頂A離地面12米，樹(shù)上另一點(diǎn)5離地面8米，

若在離地面2米的C處看此樹(shù)，則tan44cB的最大值為（）

A

A-TB-fC-岳n疝

-----\_）?-----

1520

2111

變式42.（2023?江蘇揚(yáng)州?高一統(tǒng)考期中）如圖:已知樹(shù)頂/離地面￡米，樹(shù)上另一點(diǎn)5離地面1米，某

22

3

人在離地面萬(wàn)米的c處看此樹(shù)，則該人離此樹(shù)（）米時(shí)，看/、B的視角最大.

C.6D.7

題型十四：費(fèi)馬點(diǎn)、布洛卡點(diǎn)、拿破侖三角形問(wèn)題

例40.(2023?重慶沙坪壩?高一重慶南開(kāi)中學(xué)?？茧A段練習(xí))AABC內(nèi)一點(diǎn)。，滿足NCMC=NOA4=/OC2,

則點(diǎn)。稱(chēng)為三角形的布洛卡點(diǎn).王聰同學(xué)對(duì)布洛卡點(diǎn)產(chǎn)生興趣，對(duì)其進(jìn)行探索得到許多正確結(jié)論，比如

ZBOC=n-ZABC=ABAC+ZACB,請(qǐng)你和他一起解決如下問(wèn)題：

(1)若a,b,c分別是/,B,C的對(duì)邊，ZCAO=ZBAO=ZOBA=ZOCB,證明：a2=be;

(2)在(1)的條件下，若“3C的周長(zhǎng)為4,試把關(guān).能表示為。的函數(shù)/(。)，并求關(guān)：修的取值范圍.

例41.(2023?浙江寧波?高一慈溪中學(xué)校聯(lián)考期末)十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家皮埃爾?德?費(fèi)馬提出的一個(gè)著名的幾

何問(wèn)題：“已知一個(gè)三角形，求作一點(diǎn)，使其與這個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小”.它的答案是：當(dāng)三

角形的三個(gè)角均小于120。時(shí)，所求的點(diǎn)為三角形的正等角中心，即該點(diǎn)與三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的連線兩兩成角

1200；當(dāng)三角形有一內(nèi)角大于或等于120。時(shí)，所求點(diǎn)為三角形最大內(nèi)角的頂點(diǎn).在費(fèi)馬問(wèn)題中所求的點(diǎn)稱(chēng)為

費(fèi)馬點(diǎn)，已知在中，已知C=§兀，/C=l,BC=2,且點(diǎn)M在N2線段上，且滿足=若點(diǎn)

尸為AMWC的費(fèi)馬點(diǎn)，貝!I莎.同7+同7.定+方.定=()

432

A.-1B.——C.一一D.——

555

例42.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))點(diǎn)尸在“3C所在平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)尸/+P8+PC取到最小值時(shí)，則稱(chēng)該

點(diǎn)為的“費(fèi)馬點(diǎn)”.當(dāng)“8C的三個(gè)內(nèi)角均小于120。時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)滿足如下特征：

/4P2=/BPC=NCP/=120。.如圖，在中，AB=AC=5,BC=6則其費(fèi)馬點(diǎn)到4尻。三點(diǎn)

的距離之和為（）

B.2

D.2+73

變式43.（2023?湖南邵陽(yáng)?統(tǒng)考三模）拿破侖?波拿巴最早提出了一個(gè)幾何定理：“以任意三角形的三條邊為

邊，向外構(gòu)造三個(gè)等邊三角形，則這三個(gè)等邊三角形的外接圓圓心恰為另一個(gè)等邊三角形（此等邊三角形

稱(chēng)為拿破侖三角形）的頂點(diǎn)”.在△NBC中，已知乙4cs=30。，且/C=6，BC=3,現(xiàn)以8C,AC,AB為

邊向外作三個(gè)等邊三角形，其外接圓圓心依次記為4,B',C,貝卜4B'C'的邊長(zhǎng)為（）

A.3B.2C.V3D.V2

變式44.（2023?河南?高一校聯(lián)考期末）幾何定理：以任意三角形的三條邊為邊，向外構(gòu)造三個(gè)等邊三角形,

則這三個(gè)等邊三角形的外接圓圓心恰為另一個(gè)等邊三角形（稱(chēng)為拿破侖三角形）的頂點(diǎn).在“3C中，已知

C=9/C=g,外接圓的半徑為百，現(xiàn)以其三邊向外作三個(gè)等邊三角形，其外接圓圓心依次記為4,B',

6

C,則A/0c的面積為（）

A.3B.2C.V3D.V2

題型十五：托勒密定理及旋轉(zhuǎn)相似

例43.（2023?江蘇淮安?高一校聯(lián)考期中）托勒密是古希臘天文學(xué)家、地理學(xué)家、數(shù)學(xué)家，托勒密定理就是

由其名字命名，該定理原文：圓的內(nèi)接四邊形中，兩對(duì)角線所包矩形的面積等于一組對(duì)邊所包矩形的面積

與另一組對(duì)邊所包矩形的面積之和.其意思為：圓的內(nèi)接凸四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積.

從這個(gè)定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實(shí)質(zhì)上是關(guān)于共圓性的基

本性質(zhì).已知四邊形48。的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓的圓周上，/C、3。是其兩條對(duì)角線，BD=4^,且A/CD

為正三角形，則四邊形/BCD的面積為（）

D

C.1273D.12

例44.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）托勒密是古希臘天文學(xué)家、地理學(xué)家、數(shù)學(xué)家，托勒密定理就是由其名

字命名，該定理原文：圓的內(nèi)接四邊形中，兩對(duì)角線所包矩形的面積等于一組對(duì)邊所包矩形的面積與另一

組對(duì)邊所包矩形的面積之和.其意思為：圓的內(nèi)接凸四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積.從

這個(gè)定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實(shí)質(zhì)上是關(guān)于共圓性的基本

性質(zhì).已知四邊形48CD的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓的圓周上，AC.是其兩條對(duì)角線，BD=4G,，且ANQ?

為正三角形，則四邊形的面積為（）

A.8B.16C.8A/3D.1673

例45.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）克羅狄斯?托勒密是古希臘著名數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和地理學(xué)家，他在所著

的《天文集》中講述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四邊形中，兩條對(duì)角線的乘積小于或

等于兩組對(duì)邊乘積之和，當(dāng)且僅當(dāng)凸四邊形的對(duì)角互補(bǔ)時(shí)取等號(hào)，后人稱(chēng)之為托勒密定理的推論.如圖，

四邊形48CD內(nèi)接于半徑為2G的圓，44=120。，Z5=45°,AB=AD,則四邊形/BCD的周長(zhǎng)為（）

C.4百+4血D.4百+5行

變式45.（2023?江蘇?高一專(zhuān)題練習(xí)）凸四邊形就是沒(méi)有角度數(shù)大于180。的四邊形，把四邊形任何一邊向兩

方延長(zhǎng)，其他各邊都在延長(zhǎng)所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凸四邊形，如圖，在凸四邊形/BCD中,

AB=\,BC=也,ACLCD,AD=2AC,當(dāng)/48C變化時(shí)，對(duì)角線3。的最大值為（）

A.4B.V13C.3A/3D.,7+26

變式46.（2023?江蘇無(wú)錫?高一江蘇省江陰市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，BC=叵，/C=l,以4B

為邊作等腰直角三角形為直角頂點(diǎn)，C,。兩點(diǎn)在直線48的兩側(cè)）.當(dāng)角C變化時(shí)，線段CD長(zhǎng)度的

最大值是（）

A.3B.4C.5D.9

變式47.（2023?全國(guó)?高一專(zhuān)題練習(xí)）在AABC中，BC=6,AC=\,以48為邊作等腰直角三角形23。（5

為直角頂點(diǎn)，C、。兩點(diǎn)在直線的兩側(cè)）.當(dāng)/C變化時(shí)，線段CD長(zhǎng)的最大值為（）

A.1B.2C.3D.4

變式48.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，在平面四邊形/8CO中，AB=\,BC=2,A/C。為正三角

形，則A8CD面積的最大值為（）

C.告+2

A.2百+2D.V3+1

題型十六：三角形中的平方問(wèn)題

例46.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知△NBC的三邊分別為a,b,c,若滿足q2+〃+2c2=8,則△/5C面

積的最大值為（）

3M

A.—br?-----

5-￥5D-T

例47.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）在AA8C中，角/，瓦C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且滿足5/+3/=3c?,

則sinN的取值范圍是.

例48.（2023?湖南常德?常德市一中?？寄M預(yù)測(cè)）秦九韶是我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家，在他的著作《數(shù)書(shū)九章》

中有已知三邊求三角形面積的方法：“以小斜幕并大斜幕減中斜幕，余半之，自乘于上以小斜幕乘大斜幕減

上，余四約之，為實(shí)一為從陽(yáng)，開(kāi)平方得積.”如果把以上這段文字寫(xiě)成公式就是

S=JI；,其中0,b,c是448C的內(nèi)角/,B,C的對(duì)邊，若sinC=2sin/cos8,且

"+，=4,則AABC面積S的最大值為（）

2人375

55

變式49.（2023?河南洛陽(yáng)?高三?？茧A段練習(xí)）^ABC的內(nèi)角/,3,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a2+b2+c2=12,

A=~'則"3C面積的最大值為（）

A273?373

55

變式50.（2023?云南?統(tǒng)考一模）已知AABC的三個(gè)內(nèi)角分別為A、B、C.若sir?C=2sin2^-3sin2B,則tan5

的最大值為（）

11V5D.手

20

變式51.（2023?四川遂寧?高一射洪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)。3c的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊〃，b,。滿足

sinA+cosAtanC

b2=acJ則的取值范圍（

sinB+cosBtanC

"V5-16+1、’3-垂＞3+忖

2'22，F(xiàn)-

乙）\7

'也-16+3、‘3-亞1+5

變式52.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）在銳角三角形4BC中,已知2sin?/+sin?2=2sir?C,則

，；+—1—+—的最小值為（）

tanAtanBtanC

A.2V13B.V13C.—D.姮

24

題型十七：等面積法、張角定理

例49.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知。的內(nèi)角4民。對(duì)應(yīng)的邊分別是a/,c,內(nèi)角A的角平分線交

邊BC于。點(diǎn)，且AD=4.若（2b+c）cos/+acosC=0,則“3C面積的最小值是（）

A.16B.16A/3C.64D.64G

例50.（2023?湖北武漢?高一校聯(lián)考期中）已知△ABC的面積為S,/A4C=2a,4D是的角