三角形及全等重難點題型-2021-2022學(xué)年北師大版七年級數(shù)學(xué)下冊專項突破

專題02三角形及全等重難點題型

題型1三角形三邊關(guān)系及其運用

性質(zhì)：兩邊之差的絕對值〈第三邊〈兩邊之和

解題技巧：（1）已知兩條邊，根據(jù)限定條件求第三條邊，求解完成后，切勿忘記要驗證三邊是否能構(gòu)成三

角形。（2）題干告知為等腰三角形，但未告知哪條邊是腰時，往往有多解。最后，也需驗證三邊是否能構(gòu)

成三角形。（3）遇到證明邊之間大小關(guān)系的題型，想辦法構(gòu)造三角形，將需要證明的邊轉(zhuǎn)化到同一個三角

形中，利用三角形兩邊的和大于第三邊，三角形兩邊的差小于第三邊解題.

1.（2021?天津八年級期末）已知三角形的兩邊長分別為3cm、5cm,則此三角形第三邊的長可以是（）

A.1cmB.5cmC.8cmD.9cm

【答案】B

【分析】已知兩邊，則第三邊的長度應(yīng)是大于兩邊的差而小于兩邊的和，這樣就可求出第三邊長的范圍，

再選出答案即可.

【詳解】解：設(shè)第三邊的長度為xcm,由題意得：53Vx<5+3,即：2Vx<8,...5cm可能，故選：B.

【點睛】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，實際上就是根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理列出不等式，然后解不

等式即可.

2.（2021?自貢市八年級月考）在AABC中，AB=5,BC=2,若AC的長是偶數(shù)，則AABC的周長為.

【答案】11或13

【分析】根據(jù)“三角形的兩邊的和一定大于第三邊，兩邊的差一定小于第三邊”進行分析，解答即可.

【詳解】解：因為52<NC<5+2,所以3</C<7,因為NC長是偶數(shù)，所以/。為4或6,

所以△/8C的周長為：11或13.故答案為：11或13.

【點睛】本題考查三角形的三邊關(guān)系.三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊

差小于第三邊.

3.（2021?浙江八年級期末）兩根木棒的長分別是5cm和7cm.要選擇第三根木棒，將它們釘成一個三角形.如

果第三根木棒的長度為偶數(shù)，那么第三根木棒的取值情況有（）

A.3種B.4種C.5種D.6種

【答案】B

【分析】首先根據(jù)三角形的三邊關(guān)系確定第三邊的取值范圍，再根據(jù)第三邊是偶數(shù)確定其值.

【詳解】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得：第三根木棒的長大于2cm而小于12cm.

又第三根木棒的長是偶數(shù)，則應(yīng)為4cm,6cm,8cm,10cm.故選：B.

【點睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系：第三邊大于兩邊之差而小于兩邊之和.注意：偶數(shù)這一條件.

4.（2021?自貢市八年級月考）若a,b,c是AABC的三邊長,則化簡|a+6—c|+|b—c—a|的結(jié)果是.

【答案】2a

【分析】根據(jù)a,b,c為三角形三邊長，利用三角形三邊關(guān)系判斷出絕對值里邊式子的正負，利用絕對值

的代數(shù)意義化簡即可.

【詳解】解：：a,b,c為三角形三邊上，."+600,bca<0,

則原式=a+bcb+q+c=2a,故答案為：2a.

【點睛】此題考查了三角形三邊關(guān)系以及整式的加減化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵.

5.（2021?黑龍江?牡丹江四中八年級期中）已知a、b、c為8c的三邊長，化簡=

【答案】-2a+2c

【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊"，得到a+6-c>0,a

-b-c<0,再根據(jù)絕對值的性質(zhì)進行化簡計算.

【詳解】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得a+6-c>0,a-b-c<0.

\a-b-c\~\a+b-c\=-a+b+c-a-b+c=—2a+2c.故答案為：—la+2c.

【點睛】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系和絕對值的化簡，關(guān)鍵是根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷出a-b+c,

a-b-c的正負性.

6.（2021?綿陽市八年級月考）如圖，P是A/BC內(nèi)一點，連接3尸，PC,延長8P交/C于D

（1）圖中有幾個三角形；（2）求證：AB+AOPB+PC.

【答案】（1）5個；（2）證明見解析.

【分析】（1）直接找出圖中的三角形即可，注意要不重不漏；

（2）利用三角形的三邊關(guān)系可得PD+CD>PC,再把兩個式子相加進行變形即可.

【詳解】（1）圖中三角形有A/BC,AABD,KBPC,4PDC,XBDC,共5個.

（2）證明：'：AB+AD>BD,PD+CD>PC,

：.AB+AD+PD+CD>BD+PC,

：.AB+AD+PD+CD>BP+PD+PC,

J.AB+AOPB+PC.

【點睛】本題考查三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握兩邊之和大于第三邊.

7.（2020?遵義月考）如圖，點尸是△/BC內(nèi)任意一點，求證：PA+PB+PC>^AB+^BC+^AC.

【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得出結(jié)論.

【解答】證明：\'PA+PB>AB,PB+POBC,PC+PA>AC.

,把它們相力口，再除以2,#PA+PB+PC>^AB+^BC+^AC.

【點評】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系，熟知三角形任意兩邊之和大于第三邊是解答此題的關(guān)鍵.

題型2中線與三角形面積（周長）

性質(zhì)：（1）三角形中線將三角形的面積分成相等的兩部分

（2）兩個三角形的面積之比等于它們的底、高乘積之比；

（3）等底（高）的兩個三角形面積之比等于它們的高（底）之比；

（4）等底等高的兩個三角形面積相等。

解題技巧：（1）明確中線是哪個三角形的中線，這條中線將對應(yīng)三角形的面積平分。題目中往往會出現(xiàn)多

個三角形和多條中線，利用中線性質(zhì)依次類推三角形的面積，直至求解出題干要求的面積。

（2）尋找兩個面積相等三角形技巧：選取底邊相同的兩個點的三角形，三角形的另一個頂點為與底邊平行

的線段上的點（等高）；（3）兩圖形面積之比，就是底邊與高乘積之比。

1.（2021?重慶市第九十五初級中學(xué)校七年級階段練習(xí)）如圖，在4/臺。中，AB=5,AC=3,為中線，求

AABD與△/CD的周長之差（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，是△NBC的邊8C上的中線，可得BD=CD,進而得出△/"＞的周長

△ACD的周長=/C+CD+4D,相減即可得到周長差.

【詳解】解：是A48C的中線，二出”。。，

與A/CD的周長之差為：（.AB+BD+AD）（AC+CD+AD）=AB+BD+ADACCDAD=ABAC=53=2；

故選：B.

【點睛】本題主要考查了三角形的中線、高和三角形周長的求法，熟練掌握三角形周長公式是解題的關(guān)鍵.

2.（2021?福建廈門市?八年級期中）如圖，在△ABC中，已知SAABDC^ACD=2：1,點E是AB的中點，

且△ABC的面積為9cm2,則AAED的面積為（）

A.1cm2B.2cm2C.3cm2D.4cm2

【答案】C

【分析】根據(jù)線段中點的概念、三角形的面積公式計算，得到答案.

【詳解】解：：點E是AB的中點，.?.△AED的面積=』AABD的面積，

2

2

VSAABD：SAACD=2：1,.「△ABD的面積=z1ABC的面積x—

3

.?.△AED的面積=3cm2,故選:C.

【點睛】本題考查的是三角形的面積計算，掌握三角形的中線把三角形分為面積相等的兩部分是解題的關(guān)

鍵.

3.（2022?江蘇梁溪初一期中）如圖，/、B、。分別是線段/山、BC、CU的中點，若的面積是14,

那么△48。的面積是（

A

飛

Ct

147

A.2B.—C.3D.一

32

【答案】A

【分析】連接ABi,BCi,CAi,根據(jù)等底等高的三角形的面積相等求出AABBi,AAIABI的面積，從而求

出AAiBBi的面積，同理可求ABiCCi的面積，AAiACi的面積，于是得到結(jié)論.

【解析】如圖，連接ABi，BCi,CAi,

,:A、B分別是線段AiB,BiC的中點，，SAABBI=SAABC，SAAIABI=SAABBI=SAABC>

?'?SAAIBBI—SAA1AB1+SAABB1—2SAABC,同理：SABICCI—2SAABC,SAAIACI—2SAABC,

AAiBiCi的面積=SAAIBBI+SABICCI+SAAIACI+SAABC=7SAABC=14./.SAABC—2,故選A.

【點睛】本題考查了三角形的面積，主要利用了等底等高的三角形的面積相等，作輔助線把三角形進行分

割是解題的關(guān)鍵.

4.（2021?西安市鐵一中學(xué)初三一模）如圖，點G為A/BC的重心，則S“BG：S“CG：4BCG的值是（）.

A.1：2：3B.2:1:2C.1:1:1D.無法確定

G

RC

【答案】C

【分析】如圖，分別延長/G、CG、BG,交BC、AC.AC于點￡＞、F、E,根據(jù)三角形重心定理得

到Z。、BE、C戶是A/BC的中線，繼而根據(jù)二中線把二角形分成面積相等的兩個二角形即可求得答案.

【解析】如圖，分別延長/G、CG、BG,交.BC、AC.4c于點D、F、E,

因為G是三角形重心，所以ND、BE、C戶是A/BC的中線，所以=5必8,5.如=SCOG，

即S\ABG=S/UCG，同理^\ABG=^ABCG，所以^AABG=S\BCG~^AACG，

即S&ABG-SsACG：4BCG=1：1：1，故選C.

5.（2021?河南焦作?八年級階段練習(xí)）如圖，在A/3C中，CF,8E分別是,/C邊上的中線.已知/E=2,

AF=3,且A4BC的周長為15,BC邊上的高為3.96,求A4BC的面積.

【答案】9.9

【分析】根據(jù)三角形中線的定義求出/8、AC,再利用三角形的周長的定義列式計算即可得5C,再用三角

形面積公式即可的解.

【詳解】解：：。尸，BE分別是NC邊上的中線，AE=2,4F=3,

AB=2AF=2x3=6,AC=2AE=2x2=4.

的周長為15,A5C=15-6-4=5,S^ABC=1x5x3.96=9.9.

【點睛】本題考查了三角形中線和高，熟記概念并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵.

6.（2021?廣西河池市?九年級二模）如圖，△4DE中，點8,。分別在4D,4F上，DC與BF交于點、E,

若DE:CE=2:1,5包=6,S^DBE=4,則的面積=

【答案】7.5.

【分析】觀察三角形之間的關(guān)系，利用等高或同高的兩個三角形的面積之比等于底之比，利用已知比例關(guān)

系進行轉(zhuǎn)化求解.

,?S4DEF：S4CEF=SMfBE：SUBE=DE：CE—2：1,..S^CEF——=-X6=3,

q_j_c_j_4_r.?S^EF_S&)EF=￡=3S叢ADE_DE_2

0△BEC-T?ABDE_^X__95_FC_1，

1

//04ABE0/\DBE-乙0/\AECd

設(shè)S&iBE~X，S^AEC~y1S^AEF-^/\AEC+SACEF=V+3,

___3_/曰

=%+4,由%)斯=/,^/\ADE~AAEC可得,

.3x=5

y+3=-x9

2,解得＜9，二S~BE=5,SFEC=T

j=-2

x+4=2y；2

915

S/usc=+SAAEC—SABEC=5+]—2=5=7.5.故答案為：7.5.

【點睛】本題考查的是等高同高三角形，應(yīng)用等高或同高的兩個三角形的面積之比等于底之比進行求解是

本題的關(guān)鍵.

7.（2021?常熟市實驗中學(xué)八年級月考）如圖，三角形45c內(nèi)的線段3。、CE相交于點。.已知05=0D,

OC=2OE,設(shè)三角形5。￡、三角形50C、三角形COD和四邊形/￡0。的面積分別為8、邑、邑、

見，若邑=2,則5=

【答案】7

【分析】先根據(jù)高相等的三角形的面積之比等于底邊之比分別求出E，5，風(fēng)的面積，再連接OA,假設(shè)

S^AOE=X,可表示出SdAOD，再由S&AOC=S/\AOE列出方程，求出X的值即可.

【詳解】根據(jù)高相等的三角形的面積之比等于底邊之比，

OB=OD,,>,S2=S3,：OC=2OE,,S2=2SX,..豆：邑=1:2,

邑=2,E=l,星=2如圖，連接OA,

設(shè)S=*,則S/\AOD==*+1，

=

^AAOC2s△XOE,?-x+1+2=2x,

解得x=3,x+l=4,,S4=3+4=7,故答案為：7.

【點睛】本題考查的是等積變換，熟知“高相等的三角形的面積之比等于底邊之比”是解答此題的關(guān)鍵.

題型3高線與三角形面積

性質(zhì)：三角形面積等于對應(yīng)底邊和高乘積的一半，同一個三角形面積不變

注：求面積時，底邊和高必須對應(yīng)

解題技巧：同一個三角形面積不變，利用這條性質(zhì)，可得出等式：BCXAD=ABXCE=ACXBF0利用個等

式，可求出三角形中某些不太方便求解的邊。

A

1.（2021?河北石家莊?八年級階段練習(xí)）如圖，在NBC中，。是8C上的點，且5D=2,DC=\,S^ACD=

12,那么S.女等于（）

C.72D.24

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形的面積公式，知SA43D：S^ACD=BD-.DC=2：1,得出SA/AD=24,即可求解.

【詳解】解：根據(jù)三角形的面積公式，得SMBD：SAACD=BD：DC=2-1.

又S“CD=12，：.S^ABD=24.：.S^ABC=S^ACD+S^ABD=36.故選：B.

【點睛】本題主要是根據(jù)三角形的面積公式，解題關(guān)鍵是掌握等高的三角形的面積等于三角形的底的比.

2.（2021?全國初二課時練習(xí)）在直角三角形ABC中，NZ8C=90°,48=3,BC=4,ZC=5,則A/BC

的三條高之和為（）

A.8.4B.9.4C.10.4D.11.

【答案】B

【分析】過點B作AC邊上的高BD,根據(jù)直角三角形的面積公式即可求出BD,從而求出結(jié)論.

【解析】解：如圖，過點B作AC邊上的高BD.

\-AABC=90°,BDLAC,:.-BDxAC=-ABxBC,即50x5=3x4,解得60=2.4.

22

.?.△48。的三條高之和為3+4+2.4=9.4,故選B.

【點睛】此題考查的是三角形的高和三角形的面積公式，掌握三角形高的定義和三角形的面積公式是解決

此題的關(guān)鍵.

3.（2021?南通市八一中學(xué)初一月考）若一個三角形的三邊長之比為3：5：7.則這個三角形三邊上的高之

比為（）

A.3：5：7B.7：5：3C.35：21：15D.6：5：4

【答案】C

【分析】首先根據(jù)三角形的面積計算出各邊上的高的比.

【解析】因為邊長之比滿足3：5：7,設(shè)三邊分別為3x、5x、7x,設(shè)三邊上的高為a,b,c,

由題意得：13丘。=工.5%1=工.7"。故這個三角形三邊上的高之比為：a：6：c=35:21:15.故選：C.

222

【點睛】本題主要考查了三角形的面積公式，關(guān)鍵是根據(jù)三角形的面積的公式計算.

4.（2021?江蘇揚州初三一模）如圖，四邊形ABCD的對角線AC和BD相交于點E,如果ACDE的面積為3,

△BCE的面積為4,AAED的面積為6,那么AABE的面積為（）

D

C

A.7B.8C.9D.10

【答案】B

【解析】/XCDE與4AED的同底，底為DE；4BCE與4ABE的底相同，為BE,4CDE與^BCE在DE、BE

上高相同；4AED與4ABE在DE、BE上高相同，警;泮解得〃江=8

^ADE、ABE

考點：三角形的面積

點評：本題考查三角形的面積公式，本題的關(guān)鍵是找出四個三角形的邊、高的關(guān)系

5.（2021?廣東?珠海市南屏中學(xué)八年級期中）如圖，AD,分別是的高，AC=9,BC=12,8￡=10.則

【答案吟

【分析】根據(jù)三角形的面積公式即可求得.

【詳解】BE分別是4/臺。的高，：.SAABC=YAC-BE=YX9X10=45'S^ABC^BC-AD,

145x215心、、r15

—BC9AD=45*,AD————=—.答案為：—.

291222

【點睛】本題考查了三角形的面積公式的應(yīng)用；三角形的面積=3X底X高.

6.（2022?廣西南寧?八年級期末）等面積法是一種常用的、重要的數(shù)學(xué)解題方法.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,在放AA8C中，ZACB=90°,BC=3,AC=4,AB=5,CDVAB,則C。長為

(2)如圖2,在A48C中，48=4,BC=2,則A48C的高CD與4E的比是；

(3)如圖3,在A/3C中，ZC=90°(ZAvZABC),點、D,尸分別在邊,AC±,且8P=/P,DEIBP,

DFLAP,垂足分別為點E,F.若3C=5,求。E+D廠的值.

12

【答案】⑴《(2)1：2(3)5

【分析】(1)根據(jù)題意可得從而得到NC-BC=NB-CD,即可求解；

(2)根據(jù)題意可得S“Bc=g/￡-8C,S，Mc=g/8-C。，從而得到=即可求解；

(3)根據(jù)邑麗=冬曲+月如可得;+再由3P=NP,可得

-AP-DE+-AP-DF=-AP-BC,即可求解.

222

【解析】(1)1?：?.,乙4cB=90。，CDYAB,

：.SA.AKmr=-AC-，B4CAm,S.Rr=-ABCD,；.AC-BC=AB-CD,

,:BC=3,AC=4,AB=5,：.CD=y：

(2)解：根據(jù)題意得：SAABC=^AE-BC,SAABC=^ABCD,

：.AEBC=ABCD,：.CD:AE=BC:AB=\:2.

(3)W：?：S^ABP=^AP-BC,SAADP=^AP-DF,SABDP=；BP-DE,S"=S"+S.BDP，

：.S..=-BP-DE+-AP-DF=-AP-BC,

△4RBPP222

又BP=AP,：.-APDE+-AP-DF=-AP-BC,DE+DF=BC=5.

222

【點睛】本題主要考查了求三角形的面積，熟練掌握利用等面積法求線段的長是解題的關(guān)鍵.

題型4直角三角板中的求角度問題

1.(2022?河南濮陽?八年級期末)有一塊直角三角板。昉放置在ANBC上，三角板DE廠的兩條直角邊。E,

。尸恰好分別經(jīng)過點8、C,在A48C中，ZDBA+ZDCA=40°,則NN的度數(shù)是()

A

%\

C

E

A.40°B.44°C.45°D.50°

【答案】D

【分析】首先在ADBC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得到/。2c與/OC2的和，再在A4BC中利用三角形

內(nèi)角和定理計算NN的度數(shù)即可.

【詳解】在△O3C中，VZZ)=90°,AADBC+ZDCB=180°-90°=90°,

ZDBA+ZDCA=40°,二在MBC中，

ZA=180°-(ZABC+ZACB)=180°-{AABD+ZACD+ZDBC+ZDCB)=180°-(90°+40°)=50°

【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和為180。，熟記三角形內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵.

2.(2021?湖北棗陽初二期中)如圖是一副三角尺拼成圖案，則/AEB=度.

【答案】75°

【分析】根據(jù)三角板的特殊角和三角形的內(nèi)角和是180度求解即可.

【解析】由圖知，ZA=60°,ZABE=ZABCZDBC=90°45°=45°,

ZAEB=180°(ZA+ZABE)=180o(600+45o)=75°.故答案為：75

3.(2021?江蘇八年級期中)將一副直角三角板按如圖放置(其中NC=N￡=90。)，使含30°角的三角板

￡)所的較長直角邊斯與等腰直角三角板48c的斜邊48平行，則圖中N1的度數(shù)為()

A.85°B.75°C.60°D.45°

【答案】B

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和特殊直角三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理即可求出答案.

【詳解】解:如圖：根據(jù)特殊直角三角形的性質(zhì)可知，"45。,ZF=30°,

'：AB//EF,：.ZACF=ZA=45°,：.ZCHF=180°ZFZACF=180°30°45°=105°,

：./l=180°/C〃F=108°105°=75°,故選：B.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟知兩直線平行，內(nèi)錯角相等是解題的關(guān)鍵.

4.（2021?江蘇南京市?九年級二模）將一副三角板如圖擺放，則Nl=°.

【答案】105

【分析】結(jié)合直角三角板各個角的度數(shù)和三角形內(nèi)角和即可求解.

【詳解】解：由圖可得44=45。;/。=/8?！?30。

???圖中三角形是直角三角板NDCE=60。"=45。

Z2=ZDCE-NBCE=60°-30°=30°

三角形內(nèi)角和為180。ZS+Z2+Z1=18O°

Nl=l80°一/2-=180°-30°-45°=105°故答案是：105.

B

D

【點睛】本題主要考察直角三角板的角度和三角形內(nèi)角和，屬于基礎(chǔ)的幾何角度求解問題，難度不大.解

題的關(guān)鍵是掌握直角三角板的特殊角度.

5.（2022?浙江八年級期中）將一副三角板中的兩個直角頂點C疊放在一起，其中N/=30。，ZB=60°,

ND=4E=45°.

（1）當(dāng)NBCE=30°時，試說明CD///B的理由.

（2）若按住三角板45c不動，繞頂點C轉(zhuǎn)動三角板。CE,在旋轉(zhuǎn)過程中始終要求點￡在直線上方,

當(dāng)兩塊三角板有一組邊互相平行時，則N5CE的度數(shù)為（請直接寫出所有答案）.

【答案】（1）見解析；（2）30?；?5?；?20。或135?；?65。

【分析】（1）首先證明N8CE=/NCZ>30。，根據(jù)可得結(jié)論；

（2），分ABHCD,BC//DE,AB//CE,DE//AC,AB//DE,五種情況，畫圖出圖，再求解.

【詳解】解：（1）VZACB=ZECD=90°,

即ZACE+ZBCE=ZACE+ZACD=90°,：.ZBCE=ZACD=30°,

VZA=30°,：.CD//AB；

（2）如圖1,AB//CD,：.ZACD=ZA=30°,：.ZACE=90o30°=60°,

ZBCE=ZACBZACE=30°；

A

如圖2,BC//DE,:.NE=NBCE=45°；

如圖3,AB//CE,：.ZACE=ZA=30°,：.ZBCE=ZACE+ZACB=120°；

如圖4,DE//AC,：.ZACE=ZE=45°,:./BCE=NACE+NACB=135°；

A

如圖5,AB//DE,延長BC交DE于凡'：AB//DE,：.ZB=ZCFD=60°,

"：ZE=45°,：.ZECF=60°45°=15°,/8CE=180°15°=165°.

綜上：NBCE的度數(shù)為：30。或45?；?20。或135?；?65°.

【點睛】本題考查三角形綜合題、平行線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、直角三角形的性質(zhì)等知識，解題

的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題.

6.（2021?浙江杭州市?八年級期中）如圖1,含30°角的直角三角板。跖（4。尸=30。）與含45。角的直角三

角板的斜邊在同一直線上，。為的中點，將直角三角板/繞點。按逆時針方向旋轉(zhuǎn)

Za（0°<a<180°）,在旋轉(zhuǎn)過程中：

圖1圖2圖3

（1）如圖2,當(dāng)Ntz=。時，DE//AB；當(dāng)N（z=。時，DELAB；

（2）如圖③，當(dāng)直角三角板DEE的邊￡>E、DE分別交BA、C4的延長線于點M、N時；

①N1與22度數(shù)的和是否變化？若不變，求出N1與N2度數(shù)的和；若變化，請說明理由；

②若使得N1=2/2,求出Nl、N2的度數(shù)，并直接寫出此時Na的度數(shù)；

③若使得求Na的度數(shù)范圍.

【答案】（1）15°,105°；（2）①不變，60°；②N1=40°,Z2=20°,Na=85°；③69°Wa<90。

【分析】（1）當(dāng)/E0C=/3=45。時，DEHAB,根據(jù)平行線的性質(zhì)得30。+。=45。，解得a=15。；當(dāng)

QE///C時，DELAB,根據(jù)平行線的性質(zhì)得30。+。+45。=180。，解得a=105°；

（2）①連接跖V,如圖3,在AWN中，由三角形內(nèi)角和定理得N/MW+N/AW+NK4N=180。，貝ij

ZANM+ZAMN=90°,再在AMND中，利用三角形內(nèi)角和定理得到

Z2+ZANM+ZAMN+Z1+ZMDN=1SO0,所以Nl+N2=60。；

[Zl+Z2=60°

②根據(jù)N1與N2的關(guān)系列方程組〈八°小，然后解方程組即可；再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和對頂角

Zl=2Z2

相等得到NC+4MDC=N：1+NM4C,即45。+a=40。+90。，解得（z=85°；

?2

③由Nl+N2=60°可解得N1224。，由于/。+/血。=/1+/3。，即45。+夕=N1+90。，

則Nl=a-45。，所以&-45。224。，解得aN69。，利用直角三角板DEE的邊。尸、DE分別交B4、CA

的延長線于點M、N得到a<90。，于是得到69。4。<90。.

【詳解】解：（1）,.?4=45。，.?.當(dāng)N￡DC=N8=45。時，DE//AB,

而/瓦加=30°,.?.30。+1=45。，解得（z=15°；

當(dāng)?！?//。時，DELAB,此時NC+N￡r>C=180。，

.-.300+a+45°=180°,解得a=105。；故答案為15°,105°；

（2）①N1與N2度數(shù)的和不變.連接MN,如圖3,

在A/OW中，---ZANM+ZAMN+AMAN=180°,ZANM+ZAMN=90°,

在\MND中，ZDNM+ZDMN+ZMDN=180°,

即Z2+ZANM+ZAMN+Z1+ZMDN=180°,Zl+Z2=l80°-90°-30°=60°；

Zl+Z2=60°Z1=40°

②根據(jù)題意得《解得《

Zl=2Z2Z2=20°

ZC+ZMDC=Zl+/.MAC,即45°+a=40°+90°,.-.cz=85°；

22

③?.?N12§/2,Zl+Z2=60°,AZl>-(60°-Zl),Zl>24°,

ZC+ZMDC=Z1+ZMAC,BP45°+a=Zl+90°,Zl=tz-45°,

.-.a-45°>24°,解得aW69°,的度數(shù)范圍為69°Va<90°.

圖3

【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180。.也考查了解二元一次方程組.合理選擇三

角形后利用三角形內(nèi)角和定理列等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵，同時運用不等式的性質(zhì)解決/a的度數(shù)范圍.

考點5三角形的折疊問題

1.(2021?湖南長沙?八年級期末)如圖，把的一角折疊，若Nl+N2=130。，則//=()

A.50°B.60°C.65°D.70°

【答案】C

【分析】由折疊得/3=/5,/4=/6,再根據(jù)平角的定義得2/3+2/4+/1+/2=360。從而得到

Z3+Z4=115°,再利用三角形的內(nèi)角和定理即可得到答案.

【詳解】由折疊得N3=/5,N4=/6

Zl+Z3+Z5=l80°,Z2+Z4+Z6=180°2Z3+2Z4+Z1+Z2=360°

Zl+Z2=130°Z3+Z4=115°NA=180°-Z3-Z4=65°故選：C.

【點睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，運用整體思想進行求解是解題的關(guān)鍵.

2.（2021?保定市樂凱中學(xué)初一期末）如圖，已知AABC中，ZBAC=135°,現(xiàn)將AABC進行折疊，使頂點B、

C均與頂點A重合，則/DAE的度數(shù)為.

【答案】90°.

【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算NB+/C的度數(shù)，再由折疊的性質(zhì)解題即可.

【解析】如圖,VZBAC=135°,AZB+ZC=180°-135°=45°；

由折疊的性質(zhì)得：ZB=ZDAB（設(shè)為a）,ZC=ZEAC（設(shè)為B）,

貝！|a+p=45。，NADE=2a,ZAED=2p,AZDAE=180°-2（a+p）=180°-90°=90°.故答案為：90°.

【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，折疊的性質(zhì)等知識，是常見考點，熟練掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

3.（2021?陜西西安市?高新一中八年級期中）如圖，將紙片沿DE折疊，使點A落在邊上的點?

處，若44=18°,則Nl=.

【答案】36。

【分析】利用折疊性質(zhì)得到204/=//=18。，然后根據(jù)三角形外角性質(zhì)求解.

【詳解】解：?.?紙片AA5C沿QE折疊，使點A落在邊上的點H處，

ZDA'A=ZA=18°,Z1=ADA'A+AA=36°.故答案為36°.

【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180。.也考查了折疊的性質(zhì).

4.（2021?江蘇鎮(zhèn)江市?八年級期中）如圖，A/BC中，ADLBC于點D,BE人AC于點、E,AD與BE交

于點。，將A/BC沿VN折疊，使點C與點。重合，若N49B=135。，則ZL+N2°.

A

【答案】90

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到對應(yīng)角相等，推出/1+/2=24WON,根據(jù)垂直的定義得到

ZODN=ZOEM=90°,利用平角的定義得到NBOD+/DCW+NMON+/EOM=180。，即可求出結(jié)果.

【詳解】解：由折疊性質(zhì)可知，ZOMN=CMN,ZONM=ZCNM,NMON=NMCN,

：.Z1=1SO0-2ZCMN,Z2=180°-2ZCW,

Zl+Z2=2x(l80°-ZCMN-NCNM)=2ZMCN=24MoN,

■：ZAOB=135°,：.ZBOD=A5°,"ADVBC,BEVAC，

：.ZODN=ZOEM=90°,AZDON=90°-Z2,ZEOM=90°-Zl,

,/ZBOD+ADON+AMON+AEOM=180°,即45。+90°-Z2+90°-Z1+|(Z1+Z2)=180°,

1(Zl+Z2)=45°,/.Zl+Z2=90°.

【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，平角的定義，互余的定義，解題的關(guān)鍵是利用相應(yīng)的定義得到角之間的

關(guān)系.

5.(2021?上海黃浦區(qū)?八年級期末)如圖，在A/BC中，/4=42。，點。是邊/上的一點，將△BCD沿直線

以翻折斜到△夕CD,B，C交AB于■煎E,如果9。〃/C,那么_度.

【分析】設(shè)N8CD為a,NCBD為6,列出關(guān)于a+￡的方程，求出a+6，即可求出/3OC.

【詳解】解：沒/BCD為a,NCBD為B，

'：B'D//AC,：.ZB'DC+ZACD=1?,O°,由對稱性知/2。。=/戌0。，

180°(a+￡)+180°42°(a+￡)=180°,；.a+夕=69°,

o

AZJ8Z>C=180°69=lll°,故答案為111.

【點睛】本題主要考查翻折的性質(zhì)，還有平行線的性質(zhì)，注意翻折是軸對稱變換，具有對稱性，平行線的

三個基本性質(zhì)要牢記于心.

6.(2021?江蘇鎮(zhèn)江市?八年級期中)將紙片的一角NC4B折疊，使點A落在點尸的位置，折痕為

￡(￡.(1)如圖1,點A落在A/BC內(nèi)的點尸的位置.

①若PE//AC,那么尸。與Z5有怎樣的位置關(guān)系，請說明理由；

②如圖2,N1、/2與NZ之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；

③連接CP、BP,已知CP、3P恰好分別平分N/C8、ZABC(如圖3),Nl、N2與NCP8之間有怎

樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(2)如圖4,點A落在A/BC外的點P的位置.連接CP、BP,如果CP、3P恰好分別平分。的

兩個外角NMCB,ZNBC,那么Nl、N2與NCP3之間的數(shù)量關(guān)系是.(請直接寫出結(jié)果)

【答案】(1)①理由見解析；②N1+N2=2NN,理由見解析；@Zl+Z2+360°=4ZCPB,

理由見解析；(2)Zl+Z2+4ZCP5=360°,理由見解析

【分析】(1)①若PE//AC,則可推出ZADE=NDEP,然后根據(jù)翻折的性質(zhì)可推出ZPDE=ZDEA,

從而得出結(jié)論即可；②根據(jù)翻折的性質(zhì)推出Nl+N2=360°-2(NAD￡+NAED),然后結(jié)合三角形的內(nèi)

角和推出180°-//=//￡>￡+//￡￡?,從而代入替換得出結(jié)論即可；③根據(jù)CP、3P恰好分別平分

N4CB、ZABC,可推出NPC8+NP8C=g(//C8+/48C),然后結(jié)合②的結(jié)論進行變形整理即可;

(2)根據(jù)題意可推出；(/2。8+/48。)=/。必，然后結(jié)合三角形的內(nèi)角和以及(1)中②的結(jié)論，綜

合整理求解即可.

【詳解】(1)PDHAB,理由如下：

,/PEHAC，,NADE=ZDEP,

由翻折的性質(zhì)可得：ZADE=ZPDE,ZAED=ZPED,

：.ZPDE=NDEA,：.PDHAB；

②N1+N2=2NZ,理由如下：

由翻折的性質(zhì)可得：ZADE=ZPDE,NAED=NPED,

Zl=180°—2ZADE,Z2=180°-2ZAED,

：.Zl+Z2=360°-2(ZADE+ZAED),

在AADE中，180°-ZA=ZADE+ZAED,

：.Zl+Z2=360°-2(180°-zL4)=2ZA,：.Zl+Z2=2乙4；

③Nl+N2+360°=4NCPB,理由如下：

,:CP、2P恰好分別平分N/C8、ZABC,：.ZPCB=-ZACB,ZPBC=-ZABC,

22

：.ZPCB+NPBC=^(ZACB+NABC),

在A/BC中，ZACB+ZABC=180°-ZA,

由②可知，N1+N2=2NZ,：.ZACB+ZABC=180°+,

在APBC中，ZPCB+ZPBC=180°-ZCPB,

A1800-ZCP5=1180°-1(Zl+Z2),...N1+22+360。=4NCPB；

(2)Zl+Z2+4ZCP5=360°,理由如下：

,:CP、3P恰好分別平分A/BC的兩個外角/MCS,/NBC,

ZPCB=1(180°-ZACB),ZPBC=1(180°-ZABC),

...在△必。中，ZPCB+ZPBC=180°-ZCPB,

即：1(180°-Z^C5)+1(180°-ZL45C)=180°-ZCP5,

整理得：!(Z^C5+ZABC)=ZCPB,

在A/BC中，ZACB+ZABC=1SQ0-ZA,

由②可知，N1+N2=2NZ,：.ZACB+ZABC=180°+,

.,.1180°-1(Zl+Z2)=ZCPB,Zl+Z2+4ZCP5=360°.

【點睛】本題考查三角形的翻折問題，內(nèi)角和與外角定理，以及角平分線的定義等，掌握基本性質(zhì)，熟練

運用基本定理是解題關(guān)鍵.

題型6雙角平分線（兩內(nèi)、兩外、一內(nèi)一外）

1.（2021?無錫市江南中學(xué)七年級月考）如圖，BD、CE為A/BC的兩條角平分線，則圖中Nl、N2、ZA

之間的關(guān)系為.

3

【答案】Z1+Z2-ZA=90°

2

【分析】先根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，寫出N1+N2與/A的關(guān)系，再根據(jù)三角形

內(nèi)角和等于180。，求出/1+N2與NA的度數(shù)關(guān)系.

【詳解】VBD,CE為AABC的兩條角平分線，.".ZABD=—ZABC,ZACE=—ZACB,

22

VZ1=ZACE+ZA,Z2=ZABD+ZA

AZ1+Z2=ZACE+ZA+ZABD+ZA=—ZABC+—ZACB+—ZA+-ZA

2222

1333

=—（ZABC+ZACB+ZA）+—/人=90。+—/A故答案為N1+/2-/A=90。.

2222

【點睛】考查了三角形的內(nèi)角和等于180。、外角與內(nèi)角關(guān)系及角平分線的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.三角形的外角

與內(nèi)角間的關(guān)系：三角形的外角與它相鄰的內(nèi)角互補，等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.

2.（2021?江蘇揚州市?七年級月考）如圖，BP是AABC中/ABC的平分線，CP是NACB的外角的平分線,

如果/ABP=20。，ZACP=50°,貝i]/P=°.

BM

【答案】30

【分析】根據(jù)角平分線的定義可得NPBC=20。，NPCM=50。，根據(jù)三角形外角性質(zhì)即可求出NP的度數(shù).

【詳解】：BP是NABC的平分線，CP是/ACM的平分線，ZABP=20°,ZACP=50°,

AZPBC=20°,ZPCM=50°,VZPBC+ZP=ZPCM,AZP=ZPCMZPBC=50°20°=30°,故答案為30

【點睛】本題考查及角平分線的定義及三角形外角性質(zhì)，三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，

熟練掌握三角形外角性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

3.（2021?蘇州外國語學(xué)校八年級期中）如圖，在A/BC中，NE=16。，3。、分別平分N45C、N/C8,

M、N、。分別在DB、DC、5C的延長線上，BE、CE分別平分NMBC、ZBCN,BF、CE分別平

分/EBC、NEC。，則//=.

【答案】52°

【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和角平分線的定義可求出/E,利用三角形內(nèi)角和求出N5+N6+N1,得到

NMBC+NNCB,從而求出NOBC+NOC3,再次利用角平分線的定義和三角形內(nèi)角和得到

【詳解】解：?;BF、CF分別平分/EBC、NECQ,Z5=Z6,Z2=Z3+Z4,

N3+N4=N5+",N2+N3+N4=N5+N6+NE,

即N2=N5+ZF,2Z2=2Z5+ZE,2ZF=ZE=32°,

?：BE、CE分別平分/M5C、ZBCN,

Z5+Z6=-ZMBC,Z1=-ZNCB,z.Z5+Z6+Z1=-(ZMBC+ANCB),

222

?.?NE=180。-(N5+N6+/1)=32。，,Z5+Z6+Z1=148°,

Z.ZMBC+ZNCB=2(/5+/6+Zl)=296°,

QBD、CD分別平分ZABC、ZACB,

ZDBC=-ZABC,ZDCB=-ZACB,

22

ZDBC+ZDCB=180°-NMBC+180°-ZNCB=360°-(ZAfflC+ZNCB)=64°,

:.ZA=l80°-(ZABC+ZACB)=180°-2(ZDBC+ADCB)=52°,故答案為：52°.

【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、三角形外角性質(zhì)、角平分線的定義等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運

用所學(xué)知識解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題.

4.（2021?上海市川沙中學(xué)南校八年級期中）如圖1,N%BC、Z4cM的角平分線氏％、C4相交于點4，

（1）如果2