數(shù)學(xué)課堂導(dǎo)學(xué)：7向量應(yīng)用舉例

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導(dǎo)學(xué)三點剖析1。用向量解決簡單的幾何問題【例1】如右圖平行四邊形ABCD中，已知AD=1，AB=2，對角線BD=2,求對角線AC的長。思路分析:本題要求線段長度問題，可以轉(zhuǎn)化為求向量的模來解決.解：設(shè)=a,=b，則=a—b，=a+b.而｜|=｜a-b|=，∴|｜2=5-2a·b=4。①又｜｜2=|ab｜2=a2+2a·b+b2=|a|2+2a·b+｜b|2=1+4+2a·由①得2a·b∴|｜2=6，∴|｜=,即AC=.友情提示在解決本題中，不用解斜三角形，而用向量的數(shù)量積及模的知識解決，過程中采取整體代入，使問題解決簡捷明快。各個擊破類題演練1已知△ABC中，A（7,8),B（3,5），C（4，3）,M、N分別是AB、AC的中點,D是BC的中點，MN與AD交于F，求.解析：∵A(7，8）,B（3,5)，C(4，3)，∴=(3-7,5—8)=(—4,—3),=（4—7，3-8)=(-3，-5）。又∵D是BC的中點，∴=(+)=(-3。5,-4)。又M、N分別是AB、AC的中點，∴F為AD的中點?！?—=（1。75，2）.變式提升1如右圖，O為△ABC的外心，E為三角形內(nèi)一點，滿足=++,求證:⊥?！?—，=-=（++）—=+，∴·=（—）·（+）=|｜2—｜|2?！逴為外心，∴｜｜=||,即·=0，⊥.2.用向量解決物理問題【例2】一位年輕的父親將不會走路的小孩的兩條胳膊懸空拎起,結(jié)果造成小孩胳膊受傷，試用向量知識加以解釋.思路分析：針對小孩的兩條胳膊畫出受力圖形，然后通過胳膊受力分析,建立數(shù)學(xué)模型：|F1｜=,θ∈［0,π］來確定何種情景時，小孩的胳膊容易受傷。解：設(shè)小孩的體重為G,兩胳膊受力分別為F1、F2,且F1=F2，兩胳膊的夾角為θ,胳膊受力分析如右圖（不計其他因素產(chǎn)生的力)，不難建立向量模型：|F1|=，θ∈[0，π］，當(dāng)θ=0時,｜F1｜=；當(dāng)θ=時，｜F1|=|G｜；又θ∈（0，π）時，｜F1｜單調(diào)遞增,故當(dāng)θ∈(0，)時，F(xiàn)1∈(,|G|）,當(dāng)θ∈(，π）時，|F1｜＞｜G|.此時,欲懸空拎起小孩容易造成小孩受傷。友情提示在解決力的合成、力的分解問題，一般是利用向量的平行四邊形法則解決.類題演練2在重300N的物體上系兩根繩子，這兩根繩子在鉛垂線的兩側(cè)，與鉛垂線的夾角分別為30°，60°（如下圖）,求重物平衡時，兩根繩子拉力的大小.解析：作OACB（左上圖）,使∠AOC=30°,∠BOC=60°。在△OAC中，∠ACO=∠BOC=60°，∠OAC=90°，|｜=｜｜cos30°=（N），｜|=｜|sin30°=150(N），｜｜=|｜=150（N)。答：與鉛垂線成30°角的繩子的拉力是N，與鉛垂線成60°角的繩子的拉力是150N.變式提升2如右圖，質(zhì)量為m的物體靜止地放在斜面上，斜面與水平面的夾角為α，求斜面對于物體的摩擦力的大小f.解析:如右圖，物體受三個力：重力w，支持力p,摩擦力f.由于物體靜止，這三個力平衡，合力為0；w+p+f=0.①由①，得w+p+f=(mgcosα,mgsinα）+（-p,0）+(0,-f)=(mgcosα—p，mgsinα—f)=（0，0)。故mgsinα—f=0,f=mgsinα.3.在實際問題中怎樣用向量【例3】已知兩恒力F1（3，4)、F2(6,—5）作用于同一質(zhì)點,使之由點A（20,15）移動到點B(7，0)。試求：（1)F1、F2分別對質(zhì)點所做的功;（2）F1、F2的合力F對質(zhì)點所做的功。思路分析:本題主要考查利用向量數(shù)量積知識解決物理中的做功問題，由于給出各分力的坐標(biāo)，采用坐標(biāo)法計算，首先求出位移的坐標(biāo)，代入F·s公式即可。解：=（7,0)-（20,15）=（—13,-15).（1)W1=F1·=（3，4)·（-13，—15）=3×（-13）+4×(-15）=—99(焦)W2=F2·=（6，-5）·(—13，-15）=6×（-13)+(-5)×（-15)=—3(焦）（2)W=F·=(F1+F2）·=［（3，4）+(6，-5）］·（—13，—15）=（9，-1）·（-13,—15)=9×(-13）+（-1)×(—15)=—117+15=-102(焦）.友情提示力對物體所做的功實際是力與位移的數(shù)量積，即W=F·s,若用坐標(biāo)運算，應(yīng)當(dāng)注意首先求出位移s這一向量的坐標(biāo)，即終點的坐標(biāo)減去起點的坐標(biāo).本題最易弄錯符號，特別是當(dāng)力與位移夾角為鈍角時。類題演練3如右圖所示,求兩個力f1、f2的合力f的大小和方向（精確到一位小數(shù)）.解析:設(shè)f1=（a1，a2），f2=(b1,b2),則a1=300cos30°=259.8,a2=300sin30°=150,b1=—200cos45°=-141。4,b2=200sin45°=141.4，∴f1=（259。8,150)，f2=(—141.4，141.4）f=f1+f2=（259。8,150)+(-141。4，141。4)=（118。4,291.4），|f|==314。5。設(shè)f與x軸的正向夾角為θ，則tanθ==2.4611.由f的坐標(biāo)知θ是第一象限的角，∴θ=67°53′.答：兩個力的合力是314.5N，與x軸的正方向的夾角為67°53′，與y軸的夾角為22°7′.變式提升3已知一物體在共點力F1=（lg2，lg2）,F2=（lg5,lg2)的作用下產(chǎn)生位移s=（2lg5,1),則共點力對物體做的功