數(shù)學課堂導學：獨立重復試驗與二項分布

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導學三點剖析一、沒有限制條件的獨立重復試驗問題【例1】某人射擊一次命中目標的概率是，求此人射擊6次恰好3次命中目標的概率。思路分析：這是獨立重復試驗問題，分為個互斥事件的和，每一事件的概率都是(）3(1-）6-3。解:依題意,此人射擊6次恰3次命中目標的概率為P（x=3)=()3（1—）6—3=.溫馨提示若X-B(n，P),則P（x=k）=pk(1—p）n-k,此公式用于計算一次試驗中事件發(fā)生的概率為p時，n次獨立重復試驗中這個事件恰k次發(fā)生的概率.這k次是哪k次呢？它有種可能的情況，從而這個問題轉化為個互斥事件的和，每一個互斥事件又是n個相互獨立的事件的積，其中該事件發(fā)生k次，其對立事件發(fā)生n—k次，概率都為pk（1-p）n—k，這樣,n次獨立重復試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率為P（x=k）=pk（1—p）n—k.必須特別明確的是,有特定的意義，是具有相同概率pk(1—p)n-k的互斥事件發(fā)生k次的所有可能數(shù)目。二、有限制條件的獨立重復試驗問題【例2】某人射擊一次命中目的概率為,求此人射擊6次3次命中且恰有兩次連續(xù)命中的概率。思路分析：這是獨立重復試驗問題，但是6次射擊命中三次時又有了限制條件“恰有兩次連續(xù)命中",這樣,這個問題就不是個互斥事件的和了,那么該問題有多少個互斥事件的和呢？這兩次連續(xù)命中與另一次命中是間隔排到問題，共有種可能情況，從而該問題轉化為個互斥事件的和的概率問題.解：“6次射擊三次命中且恰有兩次連續(xù)命中”包含個互斥事件，其概率為:·()3(1—)3=。溫馨提示公式p（x=k)=pk（1-p)n-k只能用于計算不附帶限制條件的獨立重復試驗問題。附帶限制條件的獨立重復試驗問題關鍵是求出可以轉化為互斥事件的個數(shù)，而每一個互斥事件的概率都還是pk(1-p）n—k三、有關二項分布問題【例3】某小組有10臺各為7。5千瓦的機床,如果每臺機床的使用情況是相互獨立的，且每臺機床平均每小時開動12分鐘，問全部機床用電超過48千瓦的可能性有多少？解析：由于每臺機床正在工作的概率是=，而且每臺機床有“工作”與“不工作"兩種情況，故某一時刻正在工作的機床臺數(shù)ξ服從二項分布，即ξ—B(10,)且P(ξ=k)=（）k()10—k，(k=0,1，2,…,10）。48千瓦可供6臺機床同時工作，“用電超過48千瓦”,就意味著“有7臺或7臺以上的機床在工作”，這一事件的概率為P（ξ≥7）=P（ξ=7）+P（ξ=8)+P（ξ=9)+P(ξ=10）=()7（）3+（)8（)2+(）9（）1+（）10（)0≈這說明用電超過48千瓦的可能性很小,根據(jù)這一點，我們可以選擇適當?shù)墓╇娫O備.做到既保證供電又合理節(jié)約電源.各個擊破【類題演練1】假設每一架飛機引擎在飛行中故障率為1-P,且各引擎是否故障是獨立的，如果至少50％的引擎能正常運行，飛機就可以成功地飛行，問對于多大的P而言，4引擎飛機比2引擎的飛機更為安全？解析：4引擎飛機成功飛行的概率為P2（1—P)2+P3（1—P）+P4=6P2（1—P)2+4P3(1-P)+P4。2引擎飛機成功飛行的概率為P（1-P）+P2=2P(1—P)+P2。要使4引擎飛機比2引擎飛機安全，只要6P2(1—P)2+4P3(1-P)+P4≥2P（1-P)+P2.化簡,分解因式得（P-1）2（3P—2)≥0.所以3P-2≥0，即得P≥.答：當引擎不出故障的概率不小于時，4引擎飛機比2引擎飛機安全.【變式提升1】一批產(chǎn)品的廢品率p=0。03,進行20次重復抽樣（每次抽一個，觀察后放回去再抽下一個），求出現(xiàn)廢品的頻率為0。1的概率.解析：令ξ表示20次重復抽取中廢品出現(xiàn)的次數(shù)，它服從二項分布。P(=0.1)=P（ξ=2）=0.0988【類題演練2】某人射擊一次命中目標的概率是,求此人射擊6次命中目標且不連續(xù)命中的概率.解析：此人射擊6次三次命中且不連續(xù)命中的概率為:P=(）3(1-）3=?！咀兪教嵘?】某產(chǎn)品的出廠要經(jīng)過五個指標的抽檢，有兩項或兩項以上指標的抽檢不合格時，該產(chǎn)品不能出廠，每項指標不合格的概率都為13，試求該項產(chǎn)品經(jīng)過五項指標的抽檢，恰有連續(xù)三項不合格而不能出廠的概率。解析:相鄰三項為：1，2，3;2，3,4；3，4，5。此時所求事件包含三個互斥事件，且每個事件的概率為（)3(1—)2，故所求概率為：P=3（)3(1—)2=【類題演練3】某廠生產(chǎn)電子元件,其產(chǎn)品的次品率為5％,現(xiàn)從一批產(chǎn)品中任意地連續(xù)取出2件，其中次品數(shù)ξ的概率分布是ξ012P解析：由題意“任意地連續(xù)取出2件”可認為兩次獨立重復試驗，則次品數(shù)ξ服從二項分布，即ξ—（2,0。05)，∴ξ=0時，P0=（0。95)2=0。9025；ξ=1時，P1=0。95×0。05=0.095；ξ=2時，P2=0.052=0。0025.則ξ的概率分布為ξ012P0。90250。0950。0025【變式提升3】10部機器各自獨立工作，因修理調(diào)整等原