數(shù)學(xué)課堂導(dǎo)學(xué)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析1.會(huì)求y=Asin（ωx+φ）的振幅、周期、頻率、相位及初相【例1】已知函數(shù)y=3sin（2x+).（1）求出它的周期；(2)用“五點(diǎn)法”作出一個(gè)周期的簡(jiǎn)圖；（3)指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.思路分析:復(fù)合函數(shù)的周期、圖象、單調(diào)性.解：(1)周期為T(mén)==π.（2)列表。2x+0π2πxy030—30描點(diǎn)連線（如下圖)。（3)可見(jiàn)在一個(gè)周期內(nèi),函數(shù)在［,]上遞減，又因函數(shù)的最小正周期為π，所以函數(shù)的遞減區(qū)間為［kπ+，kπ+］（k∈Z）。同理，增區(qū)間為［kπ—，kπ+］(k∈Z）.溫馨提示用“五點(diǎn)法”畫(huà)函數(shù)f（x）=Asin(ωx+φ）的圖象。①先將函數(shù)化為Asin(ωx+φ)的形式。②求函數(shù)的周期.③抓住五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，使函數(shù)式中的ωx+φ分別取0,，π,，2π.然后求出相應(yīng)的x,y值，作出圖象。2.y=sinx到y(tǒng)=Asin（ωx+φ)和y=cosx到y(tǒng)=Acos（ωx+φ)的變化過(guò)程【例2】指出將y=sinx的圖象變換為y=3sin(2x+）的兩種變換方法。思路分析：采用先ω再φ的變換或先φ再ω都可以。解法1：y=sinxy=sin2xy=sin［2（x+π6）］=sin(2x+)y=3sin（2x+).解法2：y=sinxy=sin（x+）y=sin(2x+)y=3sin（2x+)。溫馨提示由y=sinx圖象變換出y=sin（ωx+φ)的圖象一般有兩個(gè)途徑，只有區(qū)別開(kāi)這兩個(gè)途徑,才能靈活進(jìn)行圖象變換。途徑一：先平移變換再周期變換（伸縮變換）,先將y=sinx的圖象向左(φ＞0）或向右（φ＜0）平移|φ|個(gè)單位,再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍（ω＞0）(縱坐標(biāo)不變），便得y=sin（ωx+φ)的圖象。途徑二：先周期變換（伸縮變換）再平移變換。先將y=sinx的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的1ω倍（ω＞0,縱坐標(biāo)不變），再沿x軸向左（φ＞0）或向右(φ＜0）平移個(gè)單位，便得y=sin（ωx+φ)的圖象。3。在y=Asin（ωx+φ)中，φ的確定【例3】已知下圖是函數(shù)y=2sin(ωx+φ)(｜φ|＜）的圖象。（1）求ω、φ的值;（2）求函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程，對(duì)稱中心坐標(biāo).思路分析：解這類問(wèn)題的一般方法是通過(guò)特殊點(diǎn)來(lái)確定函數(shù)中的A、ω、φ。解：由題意得（1)解得ω=2,φ=。所以y=2sin（2x+）。（2）函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程為2x+=kπ+,即x=+（k∈Z）.對(duì)稱中心為（x0，0),則2x0+=kπ,k∈Z，∴對(duì)稱中心坐標(biāo)為（，0）（k∈Z）.溫馨提示在y=Asin(ωx+φ）的確定過(guò)程中A、ω容易確定，而φ要通過(guò)具體的點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出，容易在范圍上出錯(cuò).各個(gè)擊破類題演練1用五點(diǎn)法作出函數(shù)y=2sin(x—）+3的圖象，并指出它的周期、頻率、相位、初相、最值及單調(diào)區(qū)間。解：（1)列表.xx-0π2πy35313（2）描點(diǎn)。（3）作圖，如圖。周期T=2π,頻率f==，相位x-,初相—，最大值5，最小值1,函數(shù)的減區(qū)間為［2kπ+π,2kπ+π],k∈Z，增區(qū)間為［2kπ,2kπ+］k∈Z。將函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象向左、向右兩邊擴(kuò)展即得y=2sin(x-)+3的圖象.變式提升1如圖是正弦函數(shù)y1=Asin（ωx+φ)的一個(gè)周期的圖象.（1）寫(xiě)出y1的解析式；（2）若y2與y1的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，寫(xiě)出y2的解析式;（3)指出y2的周期、頻率、振幅、初相。解：(1)由題圖知：A=2，T=7—(-1）=8，ω===，∴y1=2sin(x+φ)，將點(diǎn)（-1,0）代入得0=2sin（-+φ）∴φ=，∴y1=2sin（x+）.(2）作出與y1的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱的圖象，可以看出y2的圖象相當(dāng)于將y1的圖象向右平移2個(gè)單位得到的.∴y2=2sin［(x—2)+］=2sin（x-）.(3）由(2)知,y2的周期T==8,頻率f=，振幅A=2，初相φ0=—.類題演練2把函數(shù)y=sin(2x+)的圖象向右平移個(gè)單位，再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的,則所得圖象的函數(shù)解析式是（）A.y=sin（4x+π)B。y=sin（4x+)C。y=sin4xD.y=sinx思路分析：將y=sin(2x+）的圖象向右平移個(gè)單位，得y=sin[2（x-）+］，即y=sin2x的圖象；再將y=sin2x的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的,就得到函數(shù)y=sin2（2x)，即y=sin4x的圖象。答案：C變式提升2作出函數(shù)y=3cos（2x—)的圖象，并說(shuō)明這個(gè)圖象可以由y=cosx的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變化得到?解：①列出五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)如下：2x—0Π2πxy30-303②描點(diǎn)作圖。③以π為周期把所得圖象向左、右擴(kuò)展,得y=3cos(2x-）的圖象。這個(gè)圖象可以由y=cosx的圖象先向右平移個(gè)單位，再將圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮到原來(lái)的,每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍而得到.類題演練3已知函數(shù)y=Asin(ωx+φ)（A＞0,ω＞0，0＜φ＜π）的圖象上一個(gè)最高點(diǎn)為（2，3），與這個(gè)最高點(diǎn)相鄰的一個(gè)函數(shù)值為0的點(diǎn)是（6，0)，求這個(gè)函數(shù)的解析式。解：由已知得，A=3，=6—2=4，∴T=16.∴ω=.∴y=3sin（φ)?！邎D象的一個(gè)最高點(diǎn)為(2，3)，且0＜φ＜π,∴×2+φ=，∴φ=.所以函數(shù)的解析式為y=3sin（+）.變式提升3函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+b在同一周期內(nèi)有最高點(diǎn)(,3)，最低點(diǎn)(，-5），求它的解析式.解:∵2A=3—（—