數(shù)學(xué)課堂導(dǎo)學(xué)：回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析一、回歸方程及其應(yīng)用【例1】研究某灌溉渠道水的流速Y與水深x之間的關(guān)系，測得一組數(shù)據(jù)如下：水深x/m1。401。501.601。701.801.902。002。10流速Y/(m·s—1）1。701.791.881。952.032。102.162.21（1）求Y對x的回歸直線方程；（2）預(yù)測水深為1.95m時(shí)水的流速是多少？思路分析：從散點(diǎn)圖可以直觀地看出變量x與Y之間有無線性相關(guān)關(guān)系，為此把這8對數(shù)據(jù)描繪在平面直角坐標(biāo)系中，得到平面上8個(gè)點(diǎn)，如圖所示.由圖容易看出，x與Y之間有近似的線性相關(guān)關(guān)系，或者說,可以用一個(gè)回歸直線方程=a+bx來反映這種關(guān)系，這些是我們在必修模塊數(shù)學(xué)3中學(xué)過的知識。進(jìn)一步觀察這8個(gè)點(diǎn)，容易發(fā)現(xiàn)它們并不是“嚴(yán)格地"在一條直線上，對于某個(gè)xi，由上式能確定一個(gè)=a+bxi，一般地說，由于測量流速可能存在誤差,或者受某些隨機(jī)因素的影響，或者上面的回歸直線方程本身就不夠精確，與測得的數(shù)據(jù)yi很可能不相等，即yi=i+ei（i=1，2,…，8)，其中ei是隨機(jī)誤差項(xiàng)。于是，就有yi=a+bxi+ei（i=1，2，…,8）,這就是本題的線性模型。從上述線性模型出發(fā)，我們可以求出a與回歸系數(shù)b的估計(jì)值,，使得全部誤差e1，e2,…,e8的平方和達(dá)到最小,當(dāng)然，這是一種很好的估計(jì).最后得到的求，的數(shù)學(xué)公式為=.解析：（1)可采用列表的方法計(jì)算a與回歸系數(shù)b.序號xyx2xy11。401.701.962.38021。501。792.252.68531.601.882。563.00841.701.952.893。31551.802.033.243。65461。902.103。613。99072.002。164。004。32082.102.214。414。641∑14.0015.8224。9227.993于是,=×14.00=1.75，=×15.82=1。9775,=≈0。733。=1。9775—×1。75≈0。694.Y對x的回歸直線方程為=+x=0.694+0。733x.回歸系數(shù)=0。733的意思是，在此灌溉渠道中，水深每增加0。1m，水的流速平均增加0.733m/s(本例數(shù)據(jù)是以0.1m為水深間隔測得的），=0。694可以解釋為水的流速中不受水深影響的部分.(2)由（1）中求出的回歸直線方程，把x=1。95代入，易得=0.694+0。733×1.95≈2.12（m/s）。計(jì)算結(jié)果表明，當(dāng)水深為1。95m時(shí)可以預(yù)測渠水的流速約為2。12m/s.二、熟悉建立回歸模型的基本步驟，會(huì)分析殘差圖的異常情況【例2】1993年到2002年中國的國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP)的數(shù)據(jù)如下：年份GDP199334634。4199446759。4199558478.1199667884.6199774462.6199878345。2199982067.5200089468.1200197314。82002104790。6（1）作GDP和年份的散點(diǎn)圖,根據(jù)該圖猜想它們之間的關(guān)系應(yīng)是什么？（2）建立年份的解釋變量，GDP為預(yù)報(bào)變量的回歸模型，并計(jì)算殘差.(3）根據(jù)你得到的模型，預(yù)報(bào)2003年的GDP，并查資料,看看你的預(yù)報(bào)與實(shí)際的GDP的誤差是多少？（4）你認(rèn)為這個(gè)模型能較好地刻畫GDP和年份的關(guān)系嗎？請說明理由.解析：(1)(2）從上圖中可以看出，x與y之間有近似的線性相關(guān)關(guān)系，即可以用一個(gè)回歸直線方程=x+表示通過計(jì)算可得=×19975=1997.5=×734204.7=73420.47=7206.5=73420.47-7206。5×1997。5=-14321563。28∴y對x的回歸直線模型為=7206。5x—14321563.28殘差為：x19931994199519961997y34634.446759。458478.167884.674462。6—6356。82-1438。323073。885273.884645.38x19981999200020012002y78345。282067。589468。197314。8104790.61321.48-2162。72—1968.2-1328.42-1059.12（3）=7206.5×2003-14321563.28=113056.22（億元）2003年的實(shí)際GDP為117390億元，誤差為4333.78億元.(4)以樣本編號為橫坐標(biāo)，殘差為縱坐標(biāo)作殘差圖。從殘差圖可以看出這個(gè)模型能較好地刻畫GDP和年份的關(guān)系.三、比較擬合效果的基本步驟【例3】一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x有關(guān).現(xiàn)收集了7組觀測數(shù)據(jù)列于表1中，試建立y與x之間的回歸方程。表1溫度x/℃21232527293235產(chǎn)卵數(shù)y/個(gè)711212466115325解析：根據(jù)收集的數(shù)據(jù)作散點(diǎn)圖（圖1）。在散點(diǎn)圖中，樣本點(diǎn)并沒有分布在某個(gè)帶狀區(qū)域內(nèi),因此兩個(gè)變量不呈現(xiàn)線性相關(guān)關(guān)系,所以不能直接利用線性回歸方程來建立兩個(gè)變量之間的關(guān)系.根據(jù)已有的函數(shù)知識，可以發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)分布在某一條指數(shù)函數(shù)曲線y=的周圍,其中c1和c2是待定參數(shù).現(xiàn)在，問題變?yōu)槿绾喂烙?jì)待定參數(shù)c1和c2.我們可以通過對數(shù)變換把指數(shù)關(guān)系變?yōu)榫€性關(guān)系.令z=lny，則變換后樣本點(diǎn)應(yīng)該分布在直線z=bx+a（a=lnc1,b=c2)的周圍。這樣，就可以利用線性回歸模型來建立y和x之間的非線性回歸方程了。由表1的數(shù)據(jù)可以得到變換后的樣本數(shù)據(jù)表2,圖2給出了表2中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖。從圖2中可以看出，變換后的樣本點(diǎn)分布在一條直線的附近，因此可以用線性回歸方程來擬合。表2x21232527293235z1。9462。3983。0453。1784。1904。7455.784由表2中的數(shù)據(jù)得到線性回歸方程=0。272x-3。843。因此紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)對溫度的非線性回歸方程為=e0.272x-3.843.(1)另一方面，可以認(rèn)為圖1中樣本點(diǎn)集中在某二次曲線y=c3x2+c4的附近，其中c3和c4為待定參數(shù)。因此可以對溫度變量做變換，即令t=x2，然后建立y與t之間的線性回歸方程，從而得到y(tǒng)與x之間的非線性回歸方程。表3是紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)和對應(yīng)的溫度的平方，圖3是相應(yīng)的散點(diǎn)圖。表3t44152962572984110241225Y711212466115325從圖3中可以看出，y與t的散點(diǎn)圖并不分布在一條直線的周圍,因此不宜用線性回歸方程來擬合它，即不宜用二次曲線y=c3x2+c4來擬合y和x之間的關(guān)系.這個(gè)結(jié)論還可以通過殘差分析得到.各個(gè)擊破【類題演練1】在一段時(shí)間內(nèi):某種商品價(jià)格x（萬元）和需求量Y（t）之間的一組數(shù)據(jù)為價(jià)格x：1.41。61。822。2需求量Y：121075133（1)畫出散點(diǎn)圖；解析：(1）（2）求出Y對x的回歸直線方程，并在（1）的散點(diǎn)圖中畫出它的圖象；解析:采用列表的方法計(jì)算a與回歸系數(shù)b。序號xyx2xy123451.41。61。822.212107531.962。563.2444.8416.81612。6106。6∑93716.662x=×9=1.8=×37=7。4=≈—11。5=7。4+11。5×1。8=28.1Y對x的回歸直線方程為=+x=28。1-11。5x（3）如價(jià)格定為1.9萬元，預(yù)測需求量大約是多少（精確到0。01t）？解析:當(dāng)x=1。9時(shí)，Y=28。1-11。5×1.9=6。25，所以價(jià)格定為1.9萬元，需求量大約是6。25（t）.【變式提升1】彈簧長度Y(cm)隨所掛物體質(zhì)量x（g）不同而變化的情況如下：物體質(zhì)量x:51015202530彈簧長度y:7.258.128.959。9010。9611.80(1)畫出散點(diǎn)圖；解析：（1）（2)求Y對x的回歸直線方程；解析:采用列表的方法計(jì)算a與回歸系數(shù)b序號xyx2xy123456510152025307.258.128。959.9010.9611.802510022540062590036.2581。2134。25198274354∑10556。9822751077。7=×105=17。5=×56。98≈9.50=≈0。183=9.50-0.183×17。5≈6.30Y對x的回歸直線方程為=6.30+0。183x（3）預(yù)測所掛物體質(zhì)量為27g時(shí)的彈簧長度（精確到0.01cm）。解析：當(dāng)質(zhì)量為27g時(shí)，有=6。30+0.183×27≈11.24cm所以當(dāng)掛物體的質(zhì)量為27kg時(shí)，彈簧的長度大約為11。24cm.【類題演練2】如果美國10家工業(yè)公司提供了以下數(shù)據(jù):公司銷售總額x1/百萬美元利潤x2/百萬美元通用汽車1269744224福特969333835?？松?66563510IBM634383758通用電氣552643939美孚509761809菲利普·莫利斯390692946克萊斯勒36156359杜邦352092480德士古324162413（1）作銷售總額和利潤的散點(diǎn)圖，根據(jù)該圖猜想它們之間的關(guān)系應(yīng)是什么形式；解析：散點(diǎn)圖如圖所示由圖可猜想它們之間是線性相關(guān)關(guān)系.(2）建立銷售總額的解釋變量,利潤的預(yù)報(bào)變量的回歸模型,并計(jì)算殘差;解析：通過計(jì)算可得：=62309.1=2927.3=0.02=1681.1∴回歸模型為=0.02x+1681.1由公式=yi—xi—得其殘差為x12697496933866566343855264y422438353510375839393。42215.2495。78808。141152。62x5097639069361563520932416y1809294635924802413-891。62483.52—2045.2294。7283.58（3）計(jì)算相關(guān)指數(shù),你認(rèn)為這個(gè)模型能較好地刻畫銷售總額和利潤之間的關(guān)系嗎？請說明理由.解析：R2=1-=1-=0。404∴這個(gè)模型不能較好地刻畫銷售總額和利潤之間的關(guān)系.【類題演練3】某農(nóng)場對單位面積化肥用量x（kg）和水稻相應(yīng)產(chǎn)量Y(kg）的關(guān)系作了統(tǒng)計(jì)，得到數(shù)據(jù)如下：x:15202530354045Y：330345365405445450455如果x和Y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，求出回歸直線方程，并預(yù)測當(dāng)單位面積化肥用量為32kg時(shí)水稻的產(chǎn)量大約是多少(精確到0。01kg).解析：用列表的方法計(jì)算a與回歸系數(shù)b.序號xyx2x12345671520253035404533024536540544545045522540062590012251600202549506900912512150155751800020475∑2102795700087175=×210=30=×2795≈399.3=≈4。746=399。3—4。746×30=256。92Y對x的回歸直線方程為=+x=256.92+4.746x當(dāng)x=32時(shí)，=256。92+4。746×32≈408.79答：回歸直線方程為=256.92+4。746x，當(dāng)單位面積化肥為32kg時(shí),水稻的產(chǎn)量大約為408.79kg?！咀兪教嵘?】隨著人們經(jīng)濟(jì)收入的不斷增長，個(gè)人購買家庭轎車已不再是一種時(shí)尚。車的使用費(fèi)用，尤其是隨著使用年限的增多,所支出的費(fèi)用到底會(huì)增長多少，一直是購車一族非常關(guān)心的問題。某汽車銷售公司做了一次抽樣調(diào)查，并統(tǒng)計(jì)得出某款車的使用年限x與所支出的總費(fèi)用y(萬元)有如下的數(shù)據(jù)資料:使用年限x23456總費(fèi)用y2.23。85。56.5