數(shù)學(xué)課堂導(dǎo)學(xué)：正態(tài)分布

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析一、正態(tài)分布的性質(zhì)【例1】正態(tài)總體N（0，1）的概率密度函數(shù)是f(x)=。x∈R.(1）求證：f(x)是偶函數(shù)；（2)求f（x）的最大值；（3)利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)說(shuō)明f（x）的增減性。解：(1)對(duì)于任意的x∈R，f（-x)===f（x)∴f（x)是偶函數(shù).(2)令z=,當(dāng)x=0時(shí)，z=0,ez=1，∵ez是關(guān)于z的增函數(shù)，當(dāng)x≠0時(shí)，z＞0，ez＞1,∴當(dāng)x=0，即z=0時(shí)，取得最小值.∴當(dāng)x=0時(shí)，f(x)=取得最大值。（3）任取x1＜0,x2＜0，且x1＜x2,有x12＞x22，∴＜-,∴＜,∴即f(x1）＜f（x2）它表明當(dāng)x＜0時(shí),f(x)是遞增的.同理可得，對(duì)于任取的x1＞0，x2＞0，且x1＜x2，有f(x1）＞f（x2）,即當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)是遞減的.二、利用正態(tài)分布的密度函數(shù)求概率【例2】設(shè)ξ服從N（0，1），求下列各式的值：（1）P（ξ＞2.35);（2)P（ξ＜-1.24）；(3)P(｜ξ|＜1.54）.分析：因?yàn)棣畏臉?biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，所以可借助于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，查出其值，由于表中只列出x0＞0,P(ξ＜x0)=Φ（x0)的情形，其他情形需用公式：Φ（-x）=1—Φ（x);P（a＜ξ＜b）=Φ（b）-Φ（a）；和P（ξ＞x0)=1-P(ξ＜x0）進(jìn)行轉(zhuǎn)化。解析:（1）P（ξ＞2.35)=1—P(ξ＜2。35）=1—Φ（2。35）=1—0.9906=0。0094；(2）P(ξ＜-1。24）=Φ(-1。24）=1—Φ（1.24）=1-0.8925=0。1075;(3)P(|ξ|＜1。54）=P(—1。54＜ξ＜1。54)=Φ（1.54）—Φ(—1.54)=2Φ(1。54)—1=0.8764.溫馨提示對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1）來(lái)說(shuō)，總體在區(qū)間（x1,x2)內(nèi)取值的概率P(x1＜ξ＜x2）=φ（x2）—φ（x1）的幾何意義是：介于直線x=x1和x=x2間,x軸上方，總體密度曲線下方的陰影部分面積。三、正態(tài)分布的應(yīng)用【例3】從南部某地乘車前往北區(qū)火車站搭汽車有兩條線路可走,第一條線路穿過(guò)市區(qū)，路線較短，但交通擁擠，所需時(shí)間（單位為分）服從正態(tài)分布N（50,100）,第二條線路沿環(huán)城路走,線路較長(zhǎng)，但意外阻塞較少，所需時(shí)間服從正態(tài)分布N（60，16），試計(jì)算（1）若有70分鐘時(shí)間可用，應(yīng)走哪條線路？(2）若有65分鐘時(shí)間可用，又應(yīng)走哪條線路？解析：（1）有70分鐘時(shí)走第一條線路及時(shí)趕到的概率為：P(ξ≤70）=Φ（）=Φ（2)=0.9772。走第二條線路及時(shí)趕到的概率為P（ξ≤70）=Φ()=Φ(2。5)=0.9938。所以，應(yīng)走第二條線路。（2)只有65分鐘可用時(shí)，走第一條線路及時(shí)趕到的概率為：P(ξ≤65)=Φ()=Φ（1。5)=0。9332.走第二條線路及時(shí)趕到的概率為P（ξ≤65）=Φ（)=Φ（1.25）=0。8944.所以，應(yīng)走第一條線路。溫馨提示正態(tài)分布是自然界中最常見的一種分布，例如測(cè)量的誤差，人的生理特征的某些數(shù)據(jù)，學(xué)生的考試成績(jī)等，它廣泛存在于自然現(xiàn)象及科學(xué)技術(shù)的許多領(lǐng)域中，在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)給定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布N(0，1)以后,設(shè)P(ξ＜x）=P，結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布表可求兩個(gè)方面的問(wèn)題：一是已知x的值求概率P;二是已知概率P的值求x的值。若ξ—N（μ，σ2)，則—N（0,1)，從而把一般的正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布.各個(gè)擊破【類題演練1】下列函數(shù)是正態(tài)密度函數(shù)的是(）A。f(x）=B.f（x）=C.f(x）=D.f（x）=思路分析：對(duì)照正態(tài)密度函數(shù)f（x)=易知B選項(xiàng)正確.此時(shí)σ=1，μ=0。答案：B【變式提升1】把一正態(tài)曲線C1沿著橫軸方向向右移動(dòng)2個(gè)單位,得到一條新的曲線C2，下列說(shuō)法不正確的是（)A。曲線C2仍是正態(tài)曲線B。曲線C1，C2的最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等C.以曲線C2為概率密度曲線的總體的方差比的曲線C2為概率密度曲線的總體的方差大2D。以曲線C2為概率密度設(shè)曲線的總體的均值比以曲線C1為概率密度曲線的總體的均值大2思路分析：正態(tài)密度函數(shù)為f(x)=，正態(tài)曲線對(duì)稱軸為x=μ,曲線最高點(diǎn)縱坐標(biāo)為f（μ)=，所以曲線C1向右平移2個(gè)單位后，曲線形狀沒變,仍為正態(tài)曲線，且最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)f（μ)沒變，從而σ沒變，所以方差沒變,而平移前后對(duì)稱軸變了，即μ變了，因?yàn)榍€向右平移2個(gè)單位,所以均值μ增大2個(gè)單位。答案：C【類題演練2】若公共汽車門的高度是按照保證成年男子與車門頂部碰頭的概率在1％以下設(shè)計(jì)的，如果某地成年男子的身高ξ—N(175,62)(單位：cm）,則該地公共汽車門的高度應(yīng)設(shè)計(jì)為多高？解析：設(shè)該地公共汽車門的高度應(yīng)設(shè)計(jì)為xcm，則根據(jù)題意可知：P(ξ＞x）＜1％,由于ξ—N(175,62），所以P(ξ＞x)=1—P（ξ＜x）=1-Φ(）＜0。01；也就是:Φ(）＞0。99，查表可知：＞2.33;解得x＞188.98，即該地公共汽車門至少應(yīng)設(shè)計(jì)為189cm高.【變式提升2】某鎮(zhèn)農(nóng)民年平均收入服從μ=500元，σ=20元的正態(tài)分布，（1）求此鎮(zhèn)農(nóng)民年平均收入在500元—520元間人數(shù)的百分比;(2）如果要使農(nóng)民的年收入在（μ—a,μ+a）內(nèi)的概率不小于0.95，則a至少為多大？解析：設(shè)ξ表示此鎮(zhèn)農(nóng)民的年收入，由已知ξ—N（500，202）。（1）P（500＜ξ＜520）=Φ（)-Φ(）=Φ（1）-Φ(0）=0。3413.這說(shuō)明此鎮(zhèn)農(nóng)民平均收入在500元—520元間的人數(shù)約為34%。(2)令P(μ—a＜ξ＜μ+a)=Φ()-Φ(—)≥0。95，則有Φ（)—[1—Φ（）]≥0.95,有2Φ(）-1≥0.95，所以Φ（)≥0.975,由于Φ(x）是增函數(shù)，故查表得()≥1。96,所以a＞39.2，因此要使農(nóng)民的平均收入在（500-a,500+a）內(nèi)的概率不小于0.95，a不能小于39。2.【類題演練3】某班有48位同學(xué)，一次考試后數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布，平均分為80分，標(biāo)準(zhǔn)差為10，問(wèn)從理論上講在80分至90分之間有多少人？解析：設(shè)x表示這個(gè)班的數(shù)學(xué)成績(jī),則x服從N（80，102），P（80＜x＜90)=Φ(）-Φ()=Φ(1）—Φ(0),查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得Φ(1）=0.8413，Φ(0）=0。5000,故P(80＜x＜90）=0.8413-0.5000=0。3413.所以從理論上講在80分至90分之間有48×0.3413=16.3824≈16(人).【變式提升3】已知測(cè)量誤差ξ-N(7.5,100)，（單位cm），則必須進(jìn)行多少次測(cè)量才能使至少一次測(cè)量的絕對(duì)誤差不超過(guò)10cm的概率大于0.9？解析：設(shè)測(cè)量的絕對(duì)誤差不超過(guò)10cm的概率為p,則p=P（｜ξ|≤10)=Φ()-Φ(）=Φ（0.25）-Φ(—1.75)=Φ(0.25)-［1—Φ（1.75)］=Φ(0。25）+Φ(1。75）