數(shù)學(xué)課堂導(dǎo)學(xué)：組合（一）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析一、有限制條件的組合問題——“在”與“不在”問題【例1】一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的7個(gè)白球和1個(gè)黑球。（1)從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，共有多少不同的取法？（2）從口袋內(nèi)取出3個(gè)球,使其中含有1個(gè)黑球，共有多少種取法？（3）從口袋內(nèi)取出3個(gè)球,使其中不含黑球，共有多少取法?解析：（1)從口袋內(nèi)的8個(gè)球中取出3個(gè)球，取法種數(shù)是=56答：從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，共有56種取法.（2)從口袋內(nèi)取出的3個(gè)球中有1個(gè)是黑球，于是還要從7個(gè)白球中再取出2個(gè)，取法種數(shù)是=21。答：取出含有1個(gè)黑球的3個(gè)球，共有21種取法。（3）由于所取出的3個(gè)球中不含黑球，也就是要從7個(gè)白球中取出3個(gè)球，取法種數(shù)是=35答：取出不含黑球的3個(gè)球，共有35種取法.溫馨提示(1）從n個(gè)不同的元素中，每次取出m個(gè)不同元素的組合，其中一個(gè)必須在內(nèi).這類問題的思考方法是先將這個(gè)特定元素置于其內(nèi)，則只需由余下的n—1個(gè)元素中每次取出m-1個(gè)元素，再匯總原置于內(nèi)的特定元素，所以符合條件的種數(shù)為.（2）從n個(gè)不同的元素中，每次取出m個(gè)不同元素的組合,其中某一元素不能在內(nèi)。這類問題有兩種思考方法：①將這個(gè)特定元素選出，而從其余的n-1個(gè)元素中每次取m個(gè)不同元素的組合,這些組合顯然必符合條件，為種；②以間接法解之,即從不帶附加條件的總數(shù)中，減去不合本題條件的數(shù)，為—種。二、有限制條件的組合問題-—“至多”“至少”問題【例2】從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任意取出3臺(tái),其中至少要有甲型與乙型電視機(jī)各一臺(tái)，則不同的取法共有(）A.140種B.84種C.70種D.35種思路分析：取出的3臺(tái)電視機(jī)中要求至少有甲型與乙型各一臺(tái),它包括兩種可能：2甲1乙或1甲2乙,所以可用分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理解決，另外也可以采用間接法.解法一從4臺(tái)甲型電視機(jī)中取2臺(tái)且從5臺(tái)乙型電視機(jī)中取1臺(tái)，有種取法；從4臺(tái)甲型電視機(jī)中取1臺(tái)且從5臺(tái)乙型電視機(jī)中取2臺(tái)有種取法,所以取出的3臺(tái)電視機(jī)中至少要有甲型與乙型各一臺(tái)的取法共有+=70（種）.解法二從所有的9臺(tái)電視機(jī)中取3臺(tái)有種取法，其中全為甲型的有種取法，全為乙型的有種取法,則至少有甲型與乙型各一臺(tái)的取法有--=70（種).答案：C溫馨提示本題解法一用了直接法,解法二用的是間接法;本題最易出現(xiàn)如下取法錯(cuò)誤=140（種）。這樣計(jì)算就出現(xiàn)了重復(fù)。三、求組合題的原則-—“正難則反"【例3】空間中有8個(gè)點(diǎn),有且只有4個(gè)點(diǎn)共面,共可確定多少個(gè)平面？解析：利用間接法:不考慮限制條件，從8個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)共有種取法，由于其中4個(gè)點(diǎn)共面，從這4個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)的組合數(shù)為，故一共確定的平面數(shù)為：—+1=53.（這里加1是因?yàn)槎鄿p了一個(gè)平面)。溫馨提示有些計(jì)數(shù)問題正面情況太繁雜或直接法難以入手時(shí)，往往從問題的反面考慮更易解決.各個(gè)擊破【類題演練1】從7名男同學(xué)和5名女同學(xué)中，選出5人，分別求符合下列條件的選法種數(shù)。(1)A，B必須當(dāng)選；(2）A，B必不當(dāng)選；(3)A,B不全當(dāng)選;（4）至少有兩名女同學(xué)當(dāng)選；（5)選出3名男同學(xué)和2名女同學(xué)，分別擔(dān)任體育委員、文娛委員等五種不同的工作，但體育委員必須男同學(xué)擔(dān)任，文娛委員必須女同學(xué)擔(dān)任。解析：（1)只要從其余的10人中再選3人即可，有=120（種）.(2)5個(gè)都選自另外10人，即有=252（種）。(3）法一：分類如下：A,B中有一人當(dāng)選：有種。A，B都不入選：有種。所以共有+=672(種）。法二：—=672（種）（4）間接法：=596（種）（5）法一：分三步：第一步：選一男一女分別擔(dān)任體育委員、文娛委員的方法有種；第二步：選出兩男一女，補(bǔ)足5人的方法有種；第三步：為這三人分配職務(wù)，有種；由分步計(jì)數(shù)原理，共有安排方法··=12600(種）法二：分兩步：第一步：選出3名男同學(xué)，2名女同學(xué)，有種方法；第二步：分配職務(wù)有··種。根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有安排方法····=12600(種）【變式提升1】某學(xué)習(xí)小組8名同學(xué)，從男生中選出2人，從女生中選出1人參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三種競(jìng)賽,要求每科均有一人參加，共有180種不同的選法，那么該小組中男、女同學(xué)各有多少人？解析：設(shè)有男同學(xué)x人，則女同學(xué)有8—x人，第一步,先從x名男同學(xué)中任選2名，有種選法；第二步從8—x名女同學(xué)中任選1名,有種選法,兩次共選出3名同學(xué)，這三名同學(xué)的組合為·;第三步,將這3名同學(xué)全排列,有種排法.因?yàn)槊總€(gè)排列都對(duì)應(yīng)一種參賽方式，所以，共有·=180種選法，其中x的取值范圍是2≤x≤7，x∈N*。解方程，得x=5或6,8-x=3或2,即男生5人，女生3人;或男生6人，女生2人。【類題演練2】從全班48人中選出5人參加?xùn)|湖水污染情況調(diào)查小分隊(duì)，假若班長(zhǎng)和副班長(zhǎng)至少有一人在內(nèi)，有多少種選法？解析:這是一個(gè)有限制條件的組合問題，要抓住題中的關(guān)鍵字眼“至少”進(jìn)行正確的分類。班長(zhǎng)、副班長(zhǎng)中只有一人在內(nèi)，有種；班長(zhǎng)、副班長(zhǎng)兩人都在內(nèi)，有種，所以根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理,符合條件的選法共有(+）(種).【變式提升2】從5男4女中選4位代表，其中至少有2位男同志,且至少有一位女同志，分別到四個(gè)工廠去調(diào)查，不同的分配方法有（）A.100種B。400種C.480種D.2400種解析:可分兩類：2男2女、3男一女第一類有·種取法；第二類有·種取法,故共有（·+·)種,即100種取法.每一種取法都有種分配方法.共有100×=2400(種).選D?！绢愵}演練3】由正方體的8個(gè)頂點(diǎn)和中心，可組成多少個(gè)四面體？解析：在正方體的頂點(diǎn)和中心共9個(gè)點(diǎn)中，其中四點(diǎn)共面的情況有6種，5點(diǎn)共面情況有種，所以組成四面