高等數(shù)學(xué)（經(jīng)濟(jì)類-上冊(cè)第2版）課件：換元積分法

不定積分換元積分法一、第一換元積分法（湊微分）二、第二換元法三、小結(jié)

盡管通過不定積分的定義、性質(zhì)得到了基本積分表，但利用基本積分表計(jì)算的不定積分非常有限，因此本節(jié)主要研究一種不定積分的計(jì)算方法—換元積分法.一、第一換元法問題：如何計(jì)算可以用基本公式嗎？顯然，用基本公式無法求出這個(gè)不定積分.我們可以利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算猜出由于故由不定積分的定義可知，不是所有函數(shù)的原函數(shù)都能被猜到哦！答：一、第一換元法問題：如何計(jì)算可以用基本公式嗎？利用復(fù)合函數(shù)，設(shè)置中間變量.不妨令原式為答：則通過換元，引入一個(gè)中間變量，把原不定積分化為基本不定積分公式！別忘了，最后還要把t換回x的形式哦！設(shè)f(u)具有原函數(shù)F(x),定理1可導(dǎo)，則有由復(fù)合函數(shù)微分法，有即是的一個(gè)原函數(shù).說明：簡單！不容易求原函數(shù)！注意：要利用上式求不定積分需考慮(1)將被積函數(shù)g(x)寫為的形式；(2)

f(u)具有原函數(shù)F(u);第一類換元公式

(湊微分法)(3)

可導(dǎo)，求出原函數(shù)F(u)后，要把u換為例1求解：令u=ax+b，則例2求解：總結(jié)：湊微分則分析：如果把不定積分化為則直接利用基本公式求不定積分即可.例3求解：例4求分析：被積函數(shù)是由復(fù)合而成，而被積函數(shù)符合的形式.解：分析：被積函數(shù)是由復(fù)合而成，而被積函數(shù)符合的形式.例5求解：顯然x>0，例6求解：對(duì)湊微分法熟悉后，可直接湊，不用寫出中間變量u！例7求解：例8求解：在計(jì)算中，要理解、掌握“湊”的規(guī)律和技巧！導(dǎo)數(shù)要熟練！！例9求解：例10求解：要掌握裂項(xiàng)法例11求解：例12求解法1：試用類似的方法計(jì)算例12求解法2：利用例12，還可求得例13求解：例14求解：被積函數(shù)出現(xiàn)sin或cos的奇數(shù)次或奇偶次乘積時(shí)，一般是對(duì)奇數(shù)次拆項(xiàng)！例15求解：例16求解：被積函數(shù)出現(xiàn)sin或cos的偶數(shù)次時(shí)，利用二倍角公式！例17求解：例18求解：熟記公式：例19求解：例20求解：積化和差公式湊微分法常用形式：二、第二換元法問題：如何計(jì)算可以用湊微分嗎？答：的形式，無法顯然，這個(gè)不定積分不是用湊微分法求原函數(shù).能否用換元的方法，去掉根式，化為的形式？可以令則不定積分可以化為（繼續(xù)應(yīng)用“湊微分”即可求出結(jié)果）又設(shè)定理2是單調(diào)的可導(dǎo)函數(shù)，并且具有原函數(shù)，則有上式右端對(duì)t求導(dǎo)，t是關(guān)于x的復(fù)合函數(shù)，有

說明：這說明右端是f(x)的不定積分.注意：用第二換元法時(shí)，結(jié)果要利用換回原來的積分變量x.第二類換元公式1、三角函數(shù)代換法當(dāng)被積函數(shù)中出現(xiàn)以下二次根式時(shí)，可以利用三角函數(shù)代換法，化去被積函數(shù)中的根式.一般地，當(dāng)被積函數(shù)中含有可令可令可令應(yīng)用公式去根號(hào)例21求解：令則于是由于因此故有例22求解：令則于是由于故有因此例23求解：顯然x的取值應(yīng)分為兩種情況:由于當(dāng)時(shí)，令則因此故例23求解：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，可令則于是有總之有例24求解：令則利用例22的結(jié)論.2、無理函數(shù)代換當(dāng)被積函數(shù)中出現(xiàn)形如的二次根式時(shí)，分別利用可以化去被積函數(shù)中的根式.例25求解：令則于是有根式換元法例26求解：令則于是有例27求解：令則于是有被積函數(shù)中有4次根式和2次根式，取4和2的最小公倍數(shù)4，作換元！3、倒代換倒代換是指引入變量與原變量為倒數(shù)關(guān)系，即法適用于被積函數(shù)的分母階次較高時(shí).倒代換例28求解：令則于是有你還能想到其他的方法嗎？湊微分？例29求解：令則于是有當(dāng)時(shí)，有當(dāng)