高等數(shù)學(xué)（經(jīng)濟(jì)類-上冊第2版）課件：極限

極限

數(shù)列的極限一、引例二、數(shù)列的有關(guān)概念三、數(shù)列極限的定義四、數(shù)列極限的性質(zhì)五、數(shù)列極限的四則運(yùn)算六、小結(jié)一、引例

極限的概念是在探求很多具體問題中產(chǎn)生的，例如我國極限概念是由于求某些實(shí)際問題的精確解答而產(chǎn)生的.

我國古代數(shù)學(xué)家劉徽(公元3世紀(jì))利用圓內(nèi)接正多邊形來推算圓面積的方法——割圓術(shù)，就是極限思想在幾何學(xué)上的應(yīng)用.例1設(shè)一單位圓，圓的面積

.用其內(nèi)接正

邊形的面積來逼近(劉徽割圓術(shù))首先作圓內(nèi)接正三邊形，面積記為再作圓內(nèi)接正六邊形，面積記為第三次作圓內(nèi)接正十二邊形，面積記為圓內(nèi)接正

邊形，面積記為易得……解：二、數(shù)列的有關(guān)概念以正整數(shù)集

為定義域的函數(shù)

按

排列的一列數(shù)，稱為數(shù)列，通常用

表示，其中，簡寫成.數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做數(shù)列的項(xiàng)，稱為通項(xiàng)或一般項(xiàng).例如：若存在數(shù)

和，對所有的都滿足，則稱數(shù)列為有界數(shù)列，否則稱為無界數(shù)列數(shù)列有界的等價(jià)條件是數(shù)列既有上界又有下界若存在實(shí)數(shù)

，對一切都滿足，稱為下有界是的一個(gè)下界是的一個(gè)上界若存在實(shí)數(shù)

，對一切都滿足，稱為上有界在保持?jǐn)?shù)列

原有順序情況下，任取其中無窮多項(xiàng)所構(gòu)成的新數(shù)列稱為數(shù)列

的子數(shù)列，簡稱子列，子數(shù)列一般記為,其中

的下標(biāo)

是子數(shù)列的項(xiàng)的序號(即子列的第

項(xiàng)的序號).下面兩個(gè)特殊的子列分別稱為數(shù)列

的奇子列和偶子列.三、數(shù)列極限的定義觀察數(shù)列51020501001000100001.201.11.051.021.011.0011.0001當(dāng)無限增大時(shí)，數(shù)列

無限接近于1.數(shù)列

，存在一個(gè)常數(shù)，使當(dāng)無限增大時(shí)，與數(shù)無限接近，則稱數(shù)是數(shù)列當(dāng)時(shí)的極限.數(shù)列

與1無限接近，可用小于某個(gè)正數(shù)（可任意?。﹣肀硎?，在逐漸增大的中，確實(shí)存在某一時(shí)刻（項(xiàng)），從此時(shí)刻（項(xiàng)）起，以后的所有項(xiàng)都能使不等式

恒成立.如從第項(xiàng)以后（即）的所有項(xiàng)，都使成立.如取，則，即從第項(xiàng)以后的所有項(xiàng)的所有項(xiàng)都能使恒成立；若取，則，即從第

項(xiàng)以后的所有項(xiàng)的所有項(xiàng)都能使恒成立；若給定任意，要使恒成立，只需滿足

即可，取，當(dāng)時(shí)，有恒成立.因此，數(shù)列以

為極限使得當(dāng)時(shí)，恒有成立.定義1

設(shè)有數(shù)列

，若存在常數(shù)，對任給的，總存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，恒有成立，則稱數(shù)列以為極限.記為，或數(shù)列極限的精確定義.例1

用數(shù)列的定義證明數(shù)列分析令即要證明,使得當(dāng)時(shí),恒有證明由于對于,使得當(dāng)時(shí),恒有要使,只需,取,因此例1

用數(shù)列的定義證明數(shù)列例2已知

，證明

證明（1）當(dāng)

時(shí)，結(jié)論顯然成立,（2）當(dāng)

時(shí)，由于，因此對，要使，所以，即，由于，故取，當(dāng)時(shí),恒有綜上，當(dāng)時(shí)，四、數(shù)列極限的性質(zhì)性質(zhì)2

（有界性）收斂數(shù)列必定有界．性質(zhì)1（唯一性）數(shù)列

收斂，那么它的極限必唯一．性質(zhì)3

若

，且

，則必存在正整數(shù)

，當(dāng)時(shí)，恒有推論1

若

，且從某項(xiàng)起有

，那么定理1

數(shù)列

收斂

的充分必要條件是它的任何一個(gè)子數(shù)列也收斂于定理2

數(shù)列

收斂

的充分必要條件是它的奇子列和偶子列也都收斂于，即五、數(shù)列極限四則運(yùn)算法則定理3

如果

，，那么（1）（2）（3）若，則極限必須存在.例4求解例5求解例6求解六、小結(jié)1、數(shù)列基本概念3、收斂數(shù)列性質(zhì)4、數(shù)列極限四則運(yùn)算法則2、數(shù)列極限定義極限函數(shù)的極限一、函數(shù)極限的定義二、極限的性質(zhì)三、函數(shù)極限四則運(yùn)算法則四、小結(jié)一、函數(shù)極限的定義

在自變量的某個(gè)變化過程中，如果對應(yīng)的函數(shù)值無限接近于某個(gè)確定的數(shù)，那么這個(gè)確定的數(shù)就叫做自變量在這一變化過程中函數(shù)的極限.下面主要在兩種情形下研究函數(shù)

的極限：(2)自變量

時(shí)，函數(shù)的變化情形；(1)自變量

時(shí)，函數(shù)的變化情形；1、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限假定函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義，若，函數(shù)無限接近于一個(gè)確定的數(shù)A，則稱A是函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限.

自變量

時(shí)，函數(shù)的變化情形：0.750.800.850.900.950.9911.011.051.101.151.201.254.254.44.554.704.854.9755.035.155.305.455.605.75越接近1，就越接近5，無限接近1時(shí)，可任意小.也就是說對于任意給定的

，要使只要取就可以.解：取值列表如下用描述這個(gè)任意小.描述了x趨近于1的程度.

例1函數(shù)

,考察時(shí)函數(shù)的變化趨勢.例1函數(shù)

,考察時(shí)函數(shù)的變化趨勢.0.750.800.850.900.950.9911.011.051.101.151.201.254.254.44.554.704.854.9755.035.155.305.455.605.75解：取值列表如下當(dāng)x進(jìn)入x=1的鄰域時(shí)，恒成立,這時(shí)，我們稱x趨于1時(shí)，函數(shù)以5為極限.0.940.950.960.970.980.991.011.021.031.041.051.061.941.951.961.971.981.992.012.022.032.042.052.06越接近1，就越接近2，無限接近1時(shí)，可任意小.也就是說對于任意給定的

，要使只要取就可以.解：取值列表如下用描述這個(gè)任意小.描述了x趨近于1的程度.

例2函數(shù)

，考察時(shí)函數(shù)的變化趨勢.例2函數(shù)

，考察時(shí)函數(shù)的變化趨勢.0.940.950.960.970.980.991.011.021.031.041.051.061.941.951.961.971.981.992.012.022.032.042.052.06解：取值列表如下當(dāng)x進(jìn)入x=1

的去心鄰域時(shí)，恒成立,這時(shí)，我們稱x趨于1時(shí)，函數(shù)以2為極限.當(dāng)

時(shí)，函數(shù)以A為極限，刻畫了與數(shù)A

的接近程度，刻畫了與的接近程度.

是任意給定的，一般是隨而確定的.研究趨于時(shí)的極限問題與函數(shù)在點(diǎn)處是否有定義是無關(guān)的.說明：(1)(2)(3)定義1

設(shè)函數(shù)

在某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義，若存在常數(shù)，使得對于任意的，總存在正數(shù)，

使得當(dāng)時(shí)，恒有

成立，則稱當(dāng)時(shí)，以為極限.記作

否則稱時(shí)，沒有極限.或函數(shù)極限的精確定義.幾何解釋：任給

，作平行直線和的帶型區(qū)域存在著的去心鄰域使得的圖形落入帶型區(qū)域內(nèi).例3

證明

，為常數(shù).證明由于，因此對任給的，可取任意的正數(shù)，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立,所以例4證明

分析對任給的，要證明使得即要找到，只需取即可.證明對任給的，要使使得當(dāng)時(shí)，只需取，恒有所以例4證明

證明對任給的，由于使得當(dāng)時(shí)，只需取，恒有所以例5

證明,是任一實(shí)數(shù).類似的，可定義時(shí)的左極限或結(jié)論：左右極限統(tǒng)稱單側(cè)極限.定義2

設(shè)函數(shù)

在的右鄰域內(nèi)有定義，若存在常數(shù)，使得對于任意的，總存在正數(shù)，

使得當(dāng)時(shí)，恒有

成立，則稱為時(shí)的右極限,記作

或例6證明函數(shù)

證明，當(dāng)時(shí)極限存在.所以，進(jìn)而例7證明函數(shù)

證明，當(dāng)時(shí)極限不存在.所以，進(jìn)而不存在.2.自變量趨于無窮大時(shí)函數(shù)的極限定義3

設(shè)函數(shù)

當(dāng)大于某個(gè)正數(shù)時(shí)有定義，若存在常數(shù)，使得對于任意的，總存在正數(shù)，

使得當(dāng)時(shí)，恒有

成立，則稱為時(shí)的極限,記作

或函數(shù)極限的精確定義.幾何解釋：任給

，作平行直線和的帶型區(qū)域存在著正數(shù)，使得當(dāng)或時(shí)，函數(shù)

的圖形落入帶型區(qū)域內(nèi).類似可定義如下極限：使當(dāng)時(shí)，恒有使當(dāng)時(shí)，恒有結(jié)論：二、極限的性質(zhì)性質(zhì)1

（唯一性）如果的極限存在，則極限是唯一的.性質(zhì)2

（局部有界性）如果存在，則存在常數(shù)

和，使得當(dāng)時(shí)，恒有性質(zhì)3（保號性）如果，且或（）

則存在常數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有

或（）.推論1

如果，且，則存在常數(shù)，

使得當(dāng)時(shí)，有

推論2如果，且在的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有

（），則（）.三、函數(shù)極限四則運(yùn)算法則定理1

如果

，那么

（1）（2）（3）若，則

極限必須存在.例8求極限解例9求極限解例10求極限解四、小結(jié)1、函數(shù)極限基本概念3、函數(shù)極限四則運(yùn)算法則2、函數(shù)極限存在的等價(jià)條件：極限極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限一、夾逼準(zhǔn)則二、單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則三、連續(xù)復(fù)利四、小結(jié)一、夾逼準(zhǔn)則準(zhǔn)則1（函數(shù)極限的夾逼準(zhǔn)則）如果函數(shù)

滿足（1）當(dāng)（或）時(shí)，（2），則有準(zhǔn)則1’（數(shù)列極限的夾逼準(zhǔn)則）如果數(shù)列

滿足（1）（2）則有證首先證明如圖得即于是從而因?yàn)橛蓨A逼準(zhǔn)則第一個(gè)重要極限再證明從而第一個(gè)重要極限證第一個(gè)重要的極限中的x可以用趨于0的表達(dá)式替換.例1求極限，，則，當(dāng)時(shí)，于是解令例2求極限解例3求極限解例4證明證記對進(jìn)行放縮變換由夾逼準(zhǔn)則，有二、單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則準(zhǔn)則2（單調(diào)收斂準(zhǔn)則）

單調(diào)有界數(shù)列必有極限.包含以下兩種情形：（１）單調(diào)遞增有上界的數(shù)列必存在極限；（２）單調(diào)遞減有下界的數(shù)列必存在極限．利用單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則可證明：第二個(gè)重要極限：第二個(gè)重要還可以寫為或極限中的n或x都可以用表達(dá)式替換.需證明數(shù)列單調(diào)增加，且為有界的.例5求極限解當(dāng)時(shí)，于是例6求極限解例7求極限解例8

求極限解例9

設(shè)，證明極限存在，并求之.證與同號，進(jìn)而與

同號,當(dāng)時(shí)，故數(shù)列單調(diào)減少.

由，可得例9

設(shè)，證明極限存在，并求之.證由單調(diào)有界數(shù)列收斂準(zhǔn)則，，可知存在.設(shè)，則由有，解得所以三、連續(xù)復(fù)利

復(fù)利是指將整個(gè)借貸期限分割為若干段，前一段按本金計(jì)算出的利息要加入到本金中，形成新的的本金，作為下一段計(jì)算利息的本金基數(shù)，就得出整個(gè)借貸期內(nèi)的本金和利息總和．連續(xù)復(fù)利是指在期數(shù)趨于無限大的極限情況下得到的利率．則第一年末的本利和第二年末的本利和第

年末的本利和設(shè)一筆貸款(稱本金)，年利率為，若每年計(jì)息一次，如果一年分

期計(jì)息，年利率仍為，則每期利率為前一期的本利和為后一期的本金，于是第一年末的本利和第年末共計(jì)復(fù)利

次，其本利和為上式稱為

年末本利和的離散復(fù)利公式.如果計(jì)息期數(shù)

，即利息隨時(shí)計(jì)入本金（稱為連續(xù)復(fù)利），則第年末的本利和為上式稱為

年末本利和的連續(xù)復(fù)利公式.下面在下列參數(shù)下給出三種計(jì)息方式下第3年末的本息和比較.n=6n=9n=12n=15n=36n=365125.9712126.9235126.9902127.0237127.0439127.0911127.1216127.1249

通過上表比較容易看出每年單次計(jì)息下第3年末本息和最低，連續(xù)復(fù)利下第3年末本息和最高.四、小結(jié)1、兩種極限存在的判別準(zhǔn)則：2、兩個(gè)重要的極限夾逼準(zhǔn)則和單調(diào)有界數(shù)列收斂準(zhǔn)則.極限無窮小與無窮大一、無窮小的概念及其應(yīng)用二、無窮大的概念三、無窮小與無窮大的關(guān)系四、小結(jié)一、無窮小的概念及其應(yīng)用1、無窮小的概念定義1如果函數(shù)在（或）時(shí)以零為極限，則稱函數(shù)為當(dāng)（或）時(shí)的無窮小.例1函數(shù)

為時(shí)的無窮??；函數(shù)

為時(shí)的無窮小.3、不要把無窮小和很小的數(shù)混為一談，比如，雖然

是很小的數(shù)，但如果把它看作常值函數(shù)，它的極限不為零，因此它不是無窮?。f明：1、無窮小是一個(gè)變量，任何一個(gè)不等于零的常量都不是

無窮?。?、常數(shù)零是無窮小，而且它是唯一為常數(shù)的無窮?。话愕兀绻?/p>

，并不能說但是我們可利用極限值A(chǔ)和無窮小表示函數(shù)定理1在自變量的某一變化過程中，函數(shù)

以常數(shù)A為極限的充分必要條件是其中是同一過程下的無窮小.性質(zhì)2

有限個(gè)無窮小的和是無窮小.推論1

常數(shù)與無窮小的積是無窮小.推論2

有限個(gè)無窮小的積是無窮小.性質(zhì)1

無窮小與有界函數(shù)的乘積仍為無窮?。疅o窮小的性質(zhì)：無限個(gè)無窮小的和或積還是無窮小嗎？

2、無窮小的比較時(shí)，都是無窮小，但是

兩個(gè)無窮小之商的極限的不同情況，反映了無窮小趨向于零的“快慢”程度.下面給出兩個(gè)無窮小比較的定義.定義1設(shè)

為同一過程下的無窮小，且如果

，則稱是比高階的無窮小，記作如果

，則稱是比低階的無窮小,如果

，則稱與是同階無窮小,如果

，則稱與是等價(jià)無窮小，記作如果

，則稱是關(guān)于的階無窮小.例如：

時(shí)，是比低階的無窮小,與是同階無窮小,是的階無窮小,與是等價(jià)無窮小.是比高階的無窮小,定理2

設(shè)

，

，且

存在，則

例3求極限解令，當(dāng)時(shí)，則無窮小的等價(jià)替換.例4求極限解例5求極限解常見的等價(jià)無窮?。海ó?dāng)時(shí)）（2）（3）（1）牢記常用的等價(jià)無窮小.例6求極限解由于當(dāng)時(shí)，因此例7求極限解由于當(dāng)時(shí)，因此例8

求極限解由于當(dāng)時(shí)，因此例9求極限解由于當(dāng)時(shí)，因此例10求極限解由于當(dāng)時(shí)，因此二、無窮大的概念定義2

設(shè)

在

的某去心鄰域內(nèi)有定義（或大于某一正數(shù)時(shí)有定義），若對于任意給定的，總存在正數(shù)（或正數(shù)），當(dāng)（或）時(shí)，恒有

成立，則稱

為

（或）時(shí)的無窮大.

顯然無窮大是極限不存在的量，但通常將定義2所給的無窮大表示為

（或）.注:不要把無窮大與無界量混為一談．例如，數(shù)列

是無界量，但不是無窮大.三、無窮小與無窮大的關(guān)系定理4在自變量的某一變化過程中，如果

為無窮大，那么為無窮小；反之，如果為無窮小且不等于零，那么為無窮大.四、小結(jié)1、無窮小的定義與性質(zhì)2、無窮小的比較高(低)階無窮小；

等價(jià)無窮?。?/p>

無窮小的階.反映了同一過程中,兩無窮小趨于零的速度快慢,但并不是所有的無窮小都可進(jìn)行比較.3、常見等價(jià)無窮?。海ó?dāng)）（1）（2）（3）4、等價(jià)無窮小代換求極限的一種方法,但需要注意適用條件.四、小結(jié)極限極限運(yùn)算方法1、利用極限的四則運(yùn)算法則

利用數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則與函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則計(jì)算極限.例1解例2設(shè)證，證明例3

解例4

解因此2、倒數(shù)法利用無窮小和無窮大的關(guān)系可以將無窮大轉(zhuǎn)化為無窮小，進(jìn)而達(dá)到求解極限的目的．例5解因此從而3、消零因子法這類極限有可能存在，也有可能不存在，因此這類極限成為未定式，可考慮利用消零因子法求解極限.在求解兩個(gè)函數(shù)商式極限時(shí)，若分子和分母中函數(shù)極限均為零，因此不能直接用函數(shù)極限四則運(yùn)算法則，這兩個(gè)非零無窮小的比的極限，通常稱為“”.例6

解當(dāng)時(shí)，可將分子與分母分別分解因式后，消去相同因子后再求極限：4、無窮小分出法例7

解先用去除分子和分母，然后求極限，得例8解先用去除分子和分母，然后求極限，得例9解由上例可知，是時(shí)的無窮小，由無窮小與無窮大之間的關(guān)系，因此結(jié)論：例10解5、通分法兩個(gè)無窮大之差的極限也是未定式，通常記為“”計(jì)算此類極限可通過恒等變形將其化為“”或“”型未定式后再進(jìn)行極限求解.例11解6、無理根式有理化例12解例13解例14解7、無窮小代換當(dāng)8、基本初等函數(shù)極限運(yùn)算法則定理１

若

是基本初等函數(shù)，對于定義域

內(nèi)任一點(diǎn)

都有例15求解9、復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則定理2設(shè)有函數(shù)

在的某去心鄰域內(nèi)有定義若

，以及，且在的某去心鄰域內(nèi)

，則有例16求解做變量代換例17求解做變量代換例18求解小結(jié)極限運(yùn)算方法1、極限四則運(yùn)算2、倒數(shù)法3、消零因子法4、無窮小分出法5、通分法6、無理根式有理化8、基本初等函數(shù)極限運(yùn)算法則9、復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則7、無窮小代換極限函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)一、函數(shù)的連續(xù)性二、函數(shù)的間斷點(diǎn)三、初等函數(shù)的連續(xù)性四、小結(jié)一、函數(shù)的連續(xù)性

自然界中有很多現(xiàn)象都是連續(xù)不斷變化的，例如河流流動、車輛行駛、物體自由落體運(yùn)動和植物生等．這些現(xiàn)象表現(xiàn)在函數(shù)關(guān)系上稱為函數(shù)的連續(xù)性．函數(shù)的連續(xù)性表現(xiàn)在圖像上是一條連綿不斷的曲線．假定函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量從

變到時(shí)，函數(shù)從變到，因此如果當(dāng)

時(shí)，即或則稱

在點(diǎn)處連續(xù).定義1設(shè)函數(shù)

在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，如果則稱

在點(diǎn)處連續(xù).定義2設(shè)函數(shù)

在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，如果則稱

在點(diǎn)處連續(xù).例1證明

在其定義區(qū)間內(nèi)處處連續(xù).證明在函數(shù)的定義區(qū)間內(nèi)任取一點(diǎn)，而

，從而所以

在點(diǎn)處連續(xù).由點(diǎn)的任意性可知函數(shù)在定義區(qū)間

內(nèi)處處連續(xù).則單側(cè)連續(xù)若

，則稱在點(diǎn)右連續(xù)；若

，則稱在點(diǎn)左連續(xù).

在點(diǎn)處連續(xù)的充分必要條件是

在點(diǎn)處既左連續(xù)又右連續(xù).若函數(shù)

在內(nèi)每一點(diǎn)處都連續(xù)，則稱在

內(nèi)連續(xù).若函數(shù)

在內(nèi)連續(xù)，并且

在點(diǎn)處在點(diǎn)處則稱

在上連續(xù).例2設(shè)函數(shù)

證明，但在點(diǎn)處不連續(xù).證明例2設(shè)函數(shù)

證明，但在點(diǎn)處不連續(xù)證明所以因此但是，則所以函數(shù)在點(diǎn)處不連續(xù).二、函數(shù)的間斷點(diǎn)

如果函數(shù)

在點(diǎn)的一個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義，并且在

點(diǎn)處不連續(xù)，則稱在點(diǎn)處間斷，稱為的間斷點(diǎn).（1）函數(shù)

在點(diǎn)處沒有定義；（2）函數(shù)

在點(diǎn)處的極限不存在；（3）函數(shù)

在點(diǎn)處的極限只要滿足以下一條，在點(diǎn)處間斷.又因?yàn)?，如果補(bǔ)充定義，當(dāng)時(shí)，例3函數(shù)

在點(diǎn)處無定義，故是間斷點(diǎn)因此稱

是函數(shù)的可去間斷點(diǎn).則使新構(gòu)造的函數(shù)在點(diǎn)連續(xù).例4函數(shù)

在點(diǎn)有定義，我們稱這樣的間斷點(diǎn)為可去間斷點(diǎn).發(fā)現(xiàn)故是間斷點(diǎn).例5函數(shù)

，在點(diǎn)有我們稱這樣的間斷點(diǎn)為跳躍間斷點(diǎn).但是故是間斷點(diǎn).我們稱這樣的間斷點(diǎn)為無窮間斷點(diǎn).例6函數(shù)

，在處有故是間斷點(diǎn).例7函數(shù)

，在處沒有定義,我們稱這樣的間斷點(diǎn)為振蕩間斷點(diǎn).因此是的間斷點(diǎn).我們發(fā)現(xiàn)時(shí)，的函數(shù)值總是在和之間無限多次變動,間斷點(diǎn)的分類：第一類間斷點(diǎn)：是的間斷點(diǎn).在點(diǎn)的左右極限都存在.可去間斷點(diǎn):左極限＝右極限.跳躍間斷點(diǎn)：左極限≠右極限.第二類間斷點(diǎn)：在點(diǎn)的左右極限中至少有一個(gè)不存在.振蕩間斷點(diǎn)：如在點(diǎn)處.無窮間斷點(diǎn)：左右極限中有一個(gè)趨于∞.三、初等函數(shù)的連續(xù)性1、連續(xù)函數(shù)四則運(yùn)算性質(zhì)定理1若函數(shù)

在點(diǎn)處都連續(xù)，則函數(shù)

在點(diǎn)處也連續(xù).例8由于函數(shù)

在內(nèi)是連續(xù)的，

所以

在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的.2、反函數(shù)的連續(xù)性定理2若函數(shù)

在區(qū)間上單調(diào)增（或單調(diào)減）且

連續(xù)，則其反函數(shù)在對應(yīng)的區(qū)間上也單調(diào)增（或單調(diào)減）且連續(xù).例9函數(shù)

在上單調(diào)增且連續(xù)，則其反函