高等數(shù)學（經(jīng)濟類-下冊第2版）課件：隱函數(shù)的求導公式

多元函數(shù)微分學隱函數(shù)的求導公式一、一個方程的情形二、方程組時的情形三、小結在一元函數(shù)微分學中，我們討論了如果一個二元方程程具備什么條件時能夠確定一個隱函數(shù)，并給出可以確定一個隱函數(shù)，不對這個隱函數(shù)顯化而求其導數(shù)的問題。本節(jié)我們將研究二元方程

及三元方一元隱函數(shù)和二元隱函數(shù)的求導公式.在實際中，對于一個二元方程函數(shù)，未必能唯一確定一個隱函數(shù).意的x,y都有兩個值，在點(1,0)附近對任與之對應.因此，在點(1,0)附近該方程不能確定一個隱函數(shù).比如方程隱函數(shù)存在定理1設函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有定義，（2）及連續(xù)，且則在的某一鄰域內(nèi)由方程能唯一的確定一個具有連續(xù)導數(shù)的函數(shù)，且滿足并有為此有隱函數(shù)存在的條件：（1）并且滿足一、一個方程的情形關于隱函數(shù)存在性的證明省略，我們僅對公式作如下推導.

將由方程所確定的隱函數(shù)代入該方程中，得將方程的兩端分別對x求導，左端利用鏈式法則得由于及連續(xù)，因此存在的一個鄰域，在這個鄰域內(nèi)，于是得例1已知方程確定y是關于x的函數(shù)，求解法2令則應用隱函數(shù)求導公式，有解法1將方程兩邊分別對x求導，注意y是x的函數(shù)，得解法1為直接法；解法2為公式法；公式法是由直接法推導出來的！解

令則應用隱函數(shù)求導公式，有再求導，有例2設方程在(0,1)點附近確定y是關于x的函數(shù)，求與在點(0,1)的導數(shù).也可以用直接法計算；公式法只適用于一階導數(shù)！

以上的結論我們可以推廣到三元方程F(x,y,z)=0的情形，

即三元方程F(x,y,z)=0在一定條件下，可以確定一個二元函數(shù).隱函數(shù)存在定理2設函數(shù)F(x,y,z)=0在點的某一鄰域內(nèi)，且滿足（1）（2）及連續(xù)，且則在的某一鄰域內(nèi)由方程能唯一的確定一個具有連續(xù)導數(shù)的函數(shù)，且滿足并有與定理1相同，我們僅對公式作如下推導.

將由方程所確定的隱函數(shù)代入該方程中，得將方程的兩端分別對x和y求導，左端利用鏈式法則，得由于及連續(xù)，因此存在的一個鄰域，在這個鄰域內(nèi)，于是得例3設函數(shù)是由方程確定的二元函數(shù)，求解

令則于是，有應用隱函數(shù)求導公式，有也可以用直接法計算；公式法只適用于一階導數(shù)！例4設函數(shù)是由方程確定的二元函數(shù)，求解

令則應用隱函數(shù)求導公式，有也可以用直接法計算！二、方程組的情形

在一個方程情形的基礎上，增加方程中的變量和方程的個數(shù)，研究一個方程組所確定隱函數(shù)時的情形。

假設方程組

如果上述方程組確定了兩個單值且具有連續(xù)偏導數(shù)的二元函數(shù)

一般地，方程組的四個變量中只能有兩個變量獨立變化，因此方程組就有可能確定兩個二元函數(shù)。

為了求出偏導數(shù)，與一個方程時的情形類似，對方程組中的每個方程兩邊分別對自變量x和y求導，即可求出偏導數(shù).

對于方程組

將方程組確定的隱函數(shù)

代入有各方程的兩邊對x求偏導數(shù)，有，利用克萊姆法則，可求解方程組中的.雅可比行列式同理，可求出直接法！例5求由方程組所確定的隱函數(shù)

的偏導數(shù)解將方程組的各方程的兩邊對x求偏導數(shù)，注意到這里x