高等數(shù)學(xué)（經(jīng)濟(jì)類-下冊(cè)第2版）課件：在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分

二重積分

在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分一、積分區(qū)域的類型二、二重積分的計(jì)算三、小結(jié)復(fù)習(xí)平行截面面積為已知的立體的體積的求法（1）二重積分（2）一元函數(shù)定積分的幾何應(yīng)用在點(diǎn)處的平行截面的面積為：體積元素體積為其中函數(shù)、在區(qū)間上連續(xù).1.【X型區(qū)域】【X型區(qū)域的特點(diǎn)】

穿過(guò)區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).一、

積分區(qū)域的類型2.【Y型區(qū)域】【Y型區(qū)域的特點(diǎn)】穿過(guò)區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).3.【既非X型區(qū)域也非Y型區(qū)域】

在分割后的三個(gè)區(qū)域上分別都是X型區(qū)域(或Y型區(qū)域)必須分割區(qū)域D由二重積分積分區(qū)域的可加性得1.積分區(qū)域?yàn)閄型區(qū)域時(shí)：且設(shè)二、二重積分的計(jì)算根據(jù)二重積分的幾何意義以及計(jì)算“平行截面面積為已知的立體的體積”的方法來(lái)求.方法則的值等于以D為底，以曲面為曲頂?shù)那斨w的體積.即得公式1(1)通過(guò)體積作為過(guò)渡，實(shí)現(xiàn)了二重積分的一種計(jì)算方法：

計(jì)算兩次定積分（單積分）來(lái)求解.投影穿線法(2)二重積分計(jì)算的關(guān)鍵是定限：說(shuō)明：后積先定限(投影)限內(nèi)劃條線(穿線)

先交下限寫(xiě)后交上限見(jiàn)aboxyDx(后積變量上下限必為常數(shù))該線平行于坐標(biāo)軸且同向定限口訣公式22.積分區(qū)域?yàn)閅型區(qū)域時(shí)：即化二重積分為先對(duì)x后對(duì)y的二次積分.(1)使用公式1必須是X型區(qū)域，公式2必須是Y型區(qū)域.(2)若積分區(qū)域既是X型區(qū)域又是Y型區(qū)域，則選擇容易積分的區(qū)域類型,必要時(shí)還可交換積分次序.(3)若積分域較復(fù)雜,可將它分成若干X型區(qū)域（或Y型區(qū)域）【說(shuō)明】(4)二重積分的計(jì)算步驟①畫(huà)出積分域的圖形，標(biāo)出邊界線方程；②根據(jù)積分域特征，確定積分次序；③根據(jù)上述結(jié)果，化二重積分為二次積分并計(jì)算?！菊f(shuō)明】看作X型區(qū)域看作Y型區(qū)域例1解法1：解法2：將D看作Y型區(qū)域例2解：解法1：D既是X型區(qū)域又是Y型區(qū)域：先求交點(diǎn)由則必須分割解法2：將D看作X型區(qū)域由二重積分的性質(zhì)，有解法2計(jì)算量大！在計(jì)算中要選擇合適的積分區(qū)域類型！例3求二重積分，其中D是由直線解：顯然，D既是X型區(qū)域又是Y型區(qū)域.由二重積分的性質(zhì)，有令及x軸所圍成的閉區(qū)域.將D看作X型區(qū)域，則計(jì)算時(shí)，若將區(qū)域看成Y型區(qū)域，可以計(jì)算嗎？例3求二重積分，其中D是由直線解：及x軸所圍成的閉區(qū)域.將D看作Y型區(qū)域，則計(jì)算時(shí)，若將區(qū)域看成X型區(qū)域，可以計(jì)算嗎？故有以上三例說(shuō)明，在化二重積分為二次積分時(shí)，為簡(jiǎn)便計(jì)算需恰當(dāng)選擇積分區(qū)域；既要考慮積分區(qū)域D

的形狀，又要考慮被積函數(shù)的特性(易積)說(shuō)明：由上述二次積分可知，其對(duì)應(yīng)的二重積分的積分區(qū)域?yàn)槔?交換積分次序，并求值.解：交換積分次序，有交換積分次序，即是把原來(lái)的X型區(qū)域看成Y型，把原來(lái)的Y型區(qū)域看成X型.有時(shí)，交換積分次序能達(dá)到積分簡(jiǎn)化的目的.四、簡(jiǎn)單應(yīng)用例5求以面上的圓域?yàn)榈?，圓柱面為側(cè)面，拋物面為頂?shù)那斨w的體積。所求曲頂柱體的體積為解：其中積分區(qū)域D可表示為由二重積分的幾何意義，有利用二重積分計(jì)算曲頂柱體的體積時(shí)，要找曲頂柱體的“頂”和“底”.例6城市A受地理?xiàng)l件的限制呈三角形分布，斜邊臨一座山。由于地理位置的關(guān)系，城市區(qū)域發(fā)展不太均衡，這一點(diǎn)主要從稅收的情況反映出來(lái)。以兩直角邊為坐標(biāo)軸腳力直角坐標(biāo)系，位于軸和軸上的城市長(zhǎng)度分別為24千米和16千米，且稅收情況與地理位置的關(guān)系為（萬(wàn)元/平方千米），試計(jì)算該市總的稅收收入.解：這是一個(gè)二重積分的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問(wèn)題。其中積分區(qū)域D由軸和軸及直線圍成.其中D可以表