八年級數(shù)學(xué)下冊課件（滬科版）

20.2.3數(shù)據(jù)的離散程度

——方差知識回顧1、集中趨勢統(tǒng)計量：平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù).2、平均數(shù)計算方法：①1n（x1+x2+x3+···+xn）=

x1，x2，x3，···，xn表示各個數(shù)據(jù).其中n表示數(shù)據(jù)的總個數(shù)，②當(dāng)一組數(shù)據(jù)大部分都在某一常數(shù)a附近上下波動時，1n（）=a+其中a表示各個數(shù)據(jù)中較“整”的數(shù)，分別表示各個數(shù)據(jù)與a的差,=a+x'x'表示差的平均數(shù).3、加權(quán)平均數(shù)計算方法：

這n個數(shù)據(jù)的加權(quán)平均數(shù).

在總結(jié)果中的比重，一般地，對上面的加權(quán)平均數(shù)，可統(tǒng)一用下面的公式：

我們稱其為各數(shù)據(jù)的權(quán)，其中f1，f2，f3，…，fk分別表示數(shù)據(jù)

x1，x2，x3，…，xk出現(xiàn)的次數(shù)，或者表示數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xk叫做4、中位數(shù)的定義：

位于正中間的一個數(shù)據(jù)(當(dāng)數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)時)，一般地，當(dāng)將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列后，(當(dāng)數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)時)或正中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).n為奇數(shù)時，中間位置是第個n為偶數(shù)時，中間位置是第,個你知道中間位置如何確定嗎?一組數(shù)據(jù)中5、眾數(shù)的定義：叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)2n+12n2n+1若x1，x2，x3，···，xn的平均數(shù)為，則：(1)

nx1，nx2，nx3，···，nxn的平均數(shù)為

.

(2)

x1+b，x2+b，x3+b，···，xn+b的平均數(shù)為

.

(3)

nx1+b，nx2+b，nx3+b，···，nxn+b的平均數(shù)為

.

n+b拓展練習(xí)：

若x1,x2,…,

xn的平均數(shù)為

，y1,y2,…,

yn的平均數(shù)為

，則x1+y1，x2+y2，x3+y3，···，xn+yn的平均數(shù)為

.

n+byyx+課前熱身（）+0從數(shù)據(jù)集中趨勢這個角度（）0-0.2問題6兩臺機(jī)床都生產(chǎn)直徑為（20±0.2）mm的零件，為了檢驗產(chǎn)品質(zhì)量，從產(chǎn)品中各抽出10個進(jìn)行測量，結(jié)果如下(單位:mm)：思考：根據(jù)以上結(jié)果評判哪臺機(jī)床的零件的精度更穩(wěn)定.

機(jī)床A20.0機(jī)床B20.019.820.020.119.920.220.020.020.220.220.019.820.119.919.920.220.119.819.8要比較，首先想到比較兩組數(shù)據(jù)的平均值：xA=11020.0+0-0.2+0.1+0.2-0.1+0+0.2-0.2+0.2=20.0(mm)-0.2xB=11020.0+-0.1+0-0.1+0.2+0+0.1+0.1=20.0(mm)xA=xB=20.0mm,這時就需考察數(shù)據(jù)的離散程度了.它們的中位數(shù)也都是20.0mm，很難區(qū)分兩臺機(jī)床生產(chǎn)的零件的精度的穩(wěn)定性，

如何用數(shù)量來刻畫一組數(shù)據(jù)的離散程度呢？

可見機(jī)床A生產(chǎn)出的零件的直徑中把每組零件的直徑分別用點來表示，如下圖.圖中過20.0與橫軸平行的直線上的點表示平均數(shù).0.2mm的偏離這個平均數(shù)的0.1mm機(jī)床B生產(chǎn)出的零件的直徑中偏離這個平均數(shù)有6個、0.2mm的有2個、0.1mm的有2個；有4個，生產(chǎn)的零件的精確度更穩(wěn)定.直觀上容易看出機(jī)床B比機(jī)床A直徑波動較大直徑波動較小概念學(xué)習(xí)統(tǒng)計學(xué)中常用下面的方法：

在一組數(shù)據(jù)中,各數(shù)據(jù)與它們平均數(shù)的差的平方的平均數(shù)

(即“先平均,再求差,然后平方,最后再平均”)叫方差.即

設(shè)一組數(shù)據(jù)是x1，x2，···，xn，s2它們的平均數(shù)是，1n[]=x我們用(x1-)2+(x2-)2+(xn-

)2xx+···x來衡量這組數(shù)據(jù)的離散程度，并把它叫做這組數(shù)據(jù)的方差.知識拓展：反映的是數(shù)據(jù)在平均數(shù)附近波動的情況.方差越小，方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的重要量，一般地，方差越大，該組數(shù)據(jù)的波動就越大（離散程度大）,該組數(shù)據(jù)的波動就越?。x散程度小）.①方差的作用：

才利用方差來判斷它們的波動情況．②方差的適用條件：當(dāng)兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等或相近時，

比機(jī)床B生產(chǎn)的10個零件直徑

下面通過計算方差，的精確度更穩(wěn)定.來評判問題中機(jī)床A和機(jī)床B哪臺生產(chǎn)的零件前面已經(jīng)算得A,B兩組數(shù)的平均數(shù)，于是110[]=(20

-20)2+···+(19.8-20)2+(19.8-20)2=110[]02+···+(-0.20)2+(-0.20)2=110×0.26=0.026(mm2)110[]=(20

-20)2+···+(20-20)2+(19.8-20)2=110[]02+···+02+(-0.20)2=110×0.12=0.012(mm2)

由于0.026＞0.012，波動要大.可知機(jī)床A生產(chǎn)的10個零件直徑知識拓展：方差的單位是所給數(shù)據(jù)單位的平方.知識歸納S2A>S2B波動大波動小較整齊不整齊反映的是數(shù)據(jù)在平均數(shù)附近波動的情況.方差越小，方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的重要量，一般地，方差越大，該組數(shù)據(jù)的波動就越大（離散程度大）,該組數(shù)據(jù)的波動就越?。x散程度小）.方差的作用：

必須認(rèn)清公式中每個字母代表的意義，

x1，x2，···，xn表示

對應(yīng)練習(xí)

1、某個樣本的方差s215

=[(x1-10)2+(x2-10)2+(x3-10)2+(x4-10)2+(x5-10)2]

中，數(shù)5，10分別表示這個樣本的（）.A.容量，平均數(shù)B.平均數(shù)，中位數(shù)C.眾數(shù)，中位數(shù)D.中位數(shù)，容量As21n[]=(x1-)2+(x2-)2+(xn-

)2xx+···x利用方差的公式求方差時，如代表x平均數(shù)，n代表樣本容量，每個數(shù)據(jù).方法技巧：思考：計算一組數(shù)據(jù)的方差的一般步驟.①利用平均數(shù)公式x②利用方差公式計算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)計算這組數(shù)據(jù)的方差s2s21n[]=(x1-)2+(x2-)2+(xn-

)2xx+···x對應(yīng)練習(xí)

2、求下列兩組數(shù)據(jù)的方差，并說明哪組數(shù)據(jù)的離散程度較小.A：30，50，50，50，60

B：30，44，50，56，60對應(yīng)練習(xí)

2、求下列兩組數(shù)據(jù)的方差，并說明哪組數(shù)據(jù)的離散程度較小.A：30，50，50，50，60

B：30，44，50，56，60=解：=(30+50+50+50+60)＝(30+44+50+56+60)＝4848SA2＝

15＝96](30-48)2[+(50-48)2

+(50-48)2

+(50-48)2+(60-48)2SB2＝

15＝110.4](30-48)2[+(44-48)2

+(50-48)2

+(56-48)2+(60-48)2即

SA2＜SB2∴A組數(shù)據(jù)的離散程度小∵96＜110.41515xAxB例2

用計算器求下列數(shù)據(jù)的方差(結(jié)果保留2位小數(shù))：138,156,131,141,128,139,135,130.解:按鍵方法:(1)設(shè)定計算模式.在打開計算器后,先按“2ndf”,然后按“MODE”1將其設(shè)定至“Stat”狀態(tài);

(2)按鍵“2ndf”“DEL”,清除計算器原先在“Stat”模式下所儲存的數(shù)據(jù);(3)數(shù)據(jù)輸入,依次按以下各鍵：輸入138,然后按一下“DATA”;輸入156,然后按一下“DATA”;

輸入131,然后按一下“DATA”;輸入141,然后按一下“DATA”;

輸入128,然后按一下“DATA”;輸入139,然后按一下“DATA”;輸入135,然后按一下“DATA”;輸入130,然后按一下“DATA”;

(4)求方差,在計算器的鍵盤上,用“σX”表示一組數(shù)據(jù)的方差的算術(shù)平方根.

按鍵“RCL”“σX”顯示方差的算術(shù)平方根:

σx=8.302860953

按鍵“X2”“=”顯示方差:ANS2=68.9375

由上可得方差:s2=68.94

例6為了比較甲、乙兩個新品種水稻產(chǎn)品質(zhì)量，收割時抽取了五塊具有相同條件的試驗田地，分別稱得它們的質(zhì)量，得其每公頃產(chǎn)量如下表（單位：1）：(1)哪個品種平均每公頃的產(chǎn)量較高？(2)哪個品種的產(chǎn)量較穩(wěn)定？探究新知12344甲12.61212.311.712.9乙12.312.312.311.413.2田地編號水稻品種解：甲、乙兩個新品種在試驗田中的產(chǎn)量各組成一個樣本.下面我們來考察甲、乙兩個新品種的穩(wěn)定性.x甲（12.6+12+12.3+11.7+12.9）=15=12.3(t)x乙（12.3+12.3+12.3+11.4+13.2）=15=12.3

(t)說明甲、乙兩個新品種平均每公頃的產(chǎn)量一樣高.S甲2＝

15＝0.18](12.6-12.3)2[+(12-12.3)2

+(12.3-12.3)2

+(11.7-12.3)2+(12.9-12.3)2S乙2＝

15＝0.324](12.3-12.3)2[+(12.3-12.3)2

+(12.3-12.3)2

+(11.4-12.3)2+(13.2-12.3)2得出

S甲2＜S乙2

乙品種每公頃的產(chǎn)量波動要小，

可知，甲品種每公頃的產(chǎn)量波動由此估計甲品種的穩(wěn)定性好.比知識拓展：

則意味著這組數(shù)據(jù)對平均數(shù)的離散程度也越大.

②在兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相差較大時，①一般地，在平均數(shù)相同的情況下，方差越大，

以及在比較單位不同的兩組數(shù)據(jù)時，不能直接用方差來比較它們的離散程度.鞏固練習(xí)1、甲、乙、丙、丁四名射擊運動員進(jìn)行射擊測試，每人10次射擊成績的平均數(shù)(單位：環(huán))及方差

S2

(單位：環(huán)2)如下表所示：

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，要從中選擇一名成績好且發(fā)揮穩(wěn)定的運動員參加比賽，應(yīng)選擇（）

A.甲

B.乙

C.丙

D.丁xxD鞏固練習(xí)2、如圖是甲、乙兩名射擊運動員某節(jié)訓(xùn)練課的5次射擊成績的折線統(tǒng)計圖，下列判斷正確的是（）

A.乙的最好成績比甲高

B.乙的成績的平均數(shù)比甲小

C.乙的成績的中位數(shù)比甲小

D.乙的成績比甲穩(wěn)定D鞏固練習(xí)3、某排球隊6名場上隊員的身高（單位：cm）是：180，184，188，190，192，194．現(xiàn)用一名身高為

186

cm的隊員換下場上身高為

192

cm的隊員，與換人前相比，場上隊員的身高()

A.平均數(shù)變小，方差變小

B.平均數(shù)變小，方差變大

C.平均數(shù)變大，方差變小

D.平均數(shù)變大，方差變大A鞏固練習(xí)變式：某班有

40

人，一次體能測試后，老師對測試成績進(jìn)行了統(tǒng)計．由于小亮沒有參加本次集體測試，因此計算其他

39

人的平均分為

90

分，方差

s2=41．后來小亮進(jìn)行了補(bǔ)測，成績?yōu)?/p>

90

分，關(guān)于該班

40

人的測試成績，下列說法正確的是（）BA.平均分不變，方差變大

B.平均分不變，方差變小C.平均分和方差都不變

D.平均分和方差都改變4、一組數(shù)據(jù)6，4，a，3，2的平均數(shù)是5，這組數(shù)據(jù)的方差為().A.8B.5

C.4

D.3A鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)5、數(shù)據(jù)0，-1，6，1，x的眾數(shù)為-1，則這組數(shù)據(jù)的方差為（）.A.B.

C.

D.275345283283B6、已知一組數(shù)據(jù)-3，-2，1，3，6，x的中位數(shù)為1，則其方差為().A.8B.9

C.10

D.11B7、已知一組數(shù)據(jù)x1，x2，···，xn，的方差是s2：①新數(shù)據(jù)

x1+b，x2+b，···，xn+b的方差為

.②新數(shù)據(jù)ax1，ax2，···，axn的方差為

.③新數(shù)據(jù)ax1+b，ax2+b，···，axn+b的方差為

.s2

(不變)a2s2a2s2變式1：請你用發(fā)現(xiàn)的結(jié)論來解決以下的問題：已知數(shù)據(jù)

a1，a2，a3，…，an的平均數(shù)為

X，方差為

Y,則

①

數(shù)據(jù)a1+3，a2+

3，a3+3

，…，an+3的平均數(shù)為

，方差為

.

②數(shù)據(jù)a1-3，a2-3，a3-3

，…，an-3的平均數(shù)為

，方差為

.

③

數(shù)據(jù)3a1，3a2，3a3，…，3an的平均數(shù)為

，方差為

.

④數(shù)據(jù)2a1-3，2a2-3，2a3-3

，…，2an-3的平均數(shù)為

，方差為

.

X+3YX-3Y3X9Y2X-34Y

變式2：已知數(shù)據(jù)x1、x2、x3、x4、x5的平均數(shù)是2，方差是，那么另一組數(shù)據(jù)2x1－1，2x1－1,2x1－1，2x1－1，2x1－1的平均數(shù)和方差分別是（）

A、2，B、4，

C、2，D、3，D8、某射擊隊為從甲、乙兩名運動員中選拔一人參加全國比賽，對他們進(jìn)行了8次測試，測試成績（單位：環(huán)）如下表：(1)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，計算出甲的平均成績是

環(huán)，乙的平均成績是

環(huán)；(2)分別計算甲、乙兩名運動員8次測試成績的方差；(3)根據(jù)(1)(2)計算的結(jié)果，你認(rèn)為推薦誰參加全國比賽更合適，并說明理由．9、考察甲、乙兩種小麥的長勢，分別從中抽取10株苗，測得苗高如下(單位：cm)：甲：12，13，14，15，10，16，13，11，15，11；乙：11，16，17，14，13，19，6，8，10，16.計算甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差，說明哪種小麥長得較整齊.解：x甲=110x乙=110(12+13+14+15+10+16+13+11+15+11)(11+16+17+14+13+19+6+8+10+16)＝13(cm)＝13(cm)