2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第8章函數(shù)應(yīng)用章末綜合提升學(xué)案蘇教版必修第一冊

第8章函數(shù)應(yīng)用類型1函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系及應(yīng)用依據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義，函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)＝0的根，推斷一個(gè)函數(shù)是否有零點(diǎn)，有幾個(gè)零點(diǎn)，就是推斷方程f(x)＝0是否有根，有幾個(gè)根．從圖形上說，函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根、函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)三者之間有著內(nèi)在的本質(zhì)聯(lián)系，利用它們之間的關(guān)系，可以解決許多函數(shù)、方程與不等式的問題．從高考題型上看，這類題目，既有選擇題，也可以出現(xiàn)解答題，解題時(shí)應(yīng)留意通過數(shù)與形的相互結(jié)合，將三者進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化．【例1】(1)函數(shù)f(x)＝log3[log2(4－2x)]的零點(diǎn)為________．(2)函數(shù)g(x)＝lgx與f(x)＝x2－6x＋9的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為________，設(shè)最右側(cè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x0，則存在n0∈N*，使x0∈(n0，n0＋1)，則n0＝________.[思路點(diǎn)撥](1)可通過解方程來求零點(diǎn)．(2)通過圖象和零點(diǎn)存在定理來解．(1)1(2)23[(1)f(x)＝0時(shí)，log3[log2(4－2x)]＝0，則log2(4－2x)＝1，∴4－2x＝2，∴2x＝2，∴x＝1.(2)在同一個(gè)坐標(biāo)系中做出f(x)和g(x)的圖象，如圖，易知交點(diǎn)個(gè)數(shù)有2個(gè)，設(shè)h(x)＝g(x)－f(x)，∵h(yuǎn)(2)＝lg2－1<0，h(3)＝lg3>0，h(4)＝lg4－1<0，x0為最右側(cè)交點(diǎn)，故x0∈(3,4)，∴n0＝3.][跟進(jìn)訓(xùn)練]1．已知關(guān)于x的函數(shù)y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1恒有零點(diǎn)．(1)求m的取值范圍；(2)若函數(shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn)，且其倒數(shù)之和為－4，求m的值．[解](1)當(dāng)m＋6＝0，即m＝－6時(shí)，函數(shù)為y＝－14x－5，明顯有零點(diǎn)．當(dāng)m＋6≠0時(shí)，由Δ＝4(m－1)2－4(m＋6)(m＋1)＝－36m－20≥0，得m≤－eq\f(5,9).∴當(dāng)m≤－eq\f(5,9)且m≠－6時(shí)，二次函數(shù)有零點(diǎn)．綜上所述，m≤－eq\f(5,9).(2)設(shè)x1，x2是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，則有x1＋x2＝－eq\f(2m－1,m＋6)，x1x2＝eq\f(m＋1,m＋6).∵eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)＝－4，即eq\f(x1＋x2,x1x2)＝－4，∴－eq\f(2m－1,m＋1)＝－4，解得m＝－3.且當(dāng)m＝－3時(shí)，m＋6≠0，Δ>0符合題意，∴m的值為－3.類型2函數(shù)的零點(diǎn)的應(yīng)用函數(shù)的零點(diǎn)的應(yīng)用很廣泛，特殊是在求參數(shù)的取值范圍，函數(shù)在指定區(qū)間上的零點(diǎn)、方程的根的分布等諸多方面，與零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)的取值范圍問題綜合性比較強(qiáng)，一般思路就是通過分別參數(shù)簡化問題求解，即先分別參數(shù)，也可以轉(zhuǎn)化為相關(guān)的函數(shù)圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，通過數(shù)形結(jié)合，求出參數(shù)的取值范圍．該類問題屬中檔題，常與其他問題交匯命題．【例2】若函數(shù)f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[解]因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零點(diǎn)，所以方程4x－2x－a＝0在[－1,1]上有解，即方程a＝4x－2x在[－1,1]上有解．方程a＝4x－2x可變形為a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,2)))2－eq\f(1,4)，因?yàn)閤∈[－1,1]，所以2x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,2)))2－eq\f(1,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，2)).所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，2)).[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．已知函數(shù)f(x)＝－x2－2x,g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,4x)，x>0，,x＋1，x≤0.))(1)求g(f(1))的值；(2)若方程g(f(x))－a＝0有4個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[解](1)g[f(1)]＝g(－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f(x)＝t，則原方程化為g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在t∈(－∞，1)上有2個(gè)不同的解，則原方程有4個(gè)解等價(jià)于函數(shù)y＝g(t)(t<1)與y＝a的圖象有2個(gè)不同的交點(diǎn)，作出函數(shù)y＝g(t)(t<1)的圖象，如圖，由圖象可知，當(dāng)1≤a<eq\f(5,4)時(shí)，函數(shù)y＝g(t)(t<1)與y＝a有2個(gè)不同的交點(diǎn)，即所求a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(5,4))).類型3構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問題數(shù)學(xué)建模是學(xué)生必備的學(xué)科素養(yǎng)之一，主要培育和提升建模實(shí)力和實(shí)際應(yīng)用實(shí)力，將是以后高考的重要內(nèi)容，利用建模解決實(shí)際問題的主要步驟為．(1)建模：抽象出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型．(2)推理、演算：對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行邏輯推理或數(shù)學(xué)演算，得到問題在數(shù)學(xué)意義上的解．(3)評價(jià)、說明：對求得的數(shù)學(xué)結(jié)果進(jìn)行深化的探討，作出評價(jià)、說明，返回到原來的實(shí)際問題中去，得到實(shí)際問題的解．即：(1)構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)不要遺忘考慮函數(shù)的定義域．(2)利用模型f(x)＝ax＋eq\f(b,x)求解最值時(shí)，留意取得最值時(shí)等號成立的條件．【例3】小王高校畢業(yè)后，確定利用所學(xué)專業(yè)進(jìn)行自主創(chuàng)業(yè)．經(jīng)過市場調(diào)查，生產(chǎn)某小型電子產(chǎn)品需投入年固定成本為3萬元，每生產(chǎn)x萬件，需另投入流淌成本為W(x)萬元，在年產(chǎn)量不足8萬件時(shí)，W(x)＝eq\f(1,3)x2＋x(萬元)．在年產(chǎn)量不小于8萬件時(shí)，W(x)＝6x＋eq\f(100,x)－38(萬元)．每件產(chǎn)品售價(jià)為5元．通過市場分析，小王生產(chǎn)的商品能當(dāng)年全部售完．(1)寫出年利潤L(x)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬件)的函數(shù)解析式；(注：年利潤＝年銷售收入－固定成本－流淌成本)(2)年產(chǎn)量為多少萬件時(shí)，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？最大利潤是多少？[解](1)因?yàn)槊考唐肥蹆r(jià)為5元，則x萬件商品銷售收入為5x萬元，依題意得，當(dāng)0<x<8時(shí)，L(x)＝5x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x2＋x))－3＝－eq\f(1,3)x2＋4x－3；當(dāng)x≥8時(shí)，L(x)＝5x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6x＋\f(100,x)－38))－3＝35－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(100,x))).所以L(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)x2＋4x－3，0<x<8，,35－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(100,x)))，x≥8.))(2)當(dāng)0<x<8時(shí)，L(x)＝－eq\f(1,3)(x－6)2＋9.此時(shí)，當(dāng)x＝6時(shí)，L(x)取得最大值L(6)＝9萬元．當(dāng)x≥8時(shí)，L(x)＝35－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(100,x)))≤35－2eq\r(x·\f(100,x))＝35－20＝15，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(100,x)時(shí)等號成立，即x＝10時(shí)，L(x)取得最大值15萬元．因?yàn)?<15，所以當(dāng)年產(chǎn)量為10萬件時(shí)，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大，最大利潤為15萬元．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．某公司對營銷人員有如下規(guī)定：①年銷售額x(單位：萬元)在8萬元以下，沒有獎(jiǎng)金；②年銷售額x(單位：萬元)，x∈[8,64]時(shí)，獎(jiǎng)金為y萬元，且y＝logax，y∈[3,6]，且年銷售額越大，獎(jiǎng)金越多；③年銷售額超過64萬元，按年銷售額的10%發(fā)獎(jiǎng)金．(1)求獎(jiǎng)金y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)若某營銷人員爭取獎(jiǎng)金y∈[4,10](單位：萬元)，則年銷售額x(單位：萬元)在什么范圍內(nèi)？[解](1)依題意，y＝logax在x∈[8,64]上為增函數(shù)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(loga8＝3，,loga64＝6，))解得a＝2，所以y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，0≤x<8，,log2x，8≤x≤64，,\f(1,10)x，x>64.))(2)易知x≥8，當(dāng)8≤x≤64時(shí)，要使y∈[4,10]，則4≤log2x≤10，解得16≤x≤1024，所以16≤x≤64；當(dāng)x>64時(shí)，要使y∈[4,10]，則40≤x≤100，所以64<x≤100.綜上所述，當(dāng)年銷售額x∈[16,100](單位：萬元)時(shí)，獎(jiǎng)金y∈[4,10](單位：萬元)．(2024·北京高考)為滿意人民對美妙生活的憧憬，環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強(qiáng)污水治理，排放未達(dá)標(biāo)的企業(yè)要限期整改．設(shè)企業(yè)的污水排放量W與時(shí)間t的關(guān)系為W＝f(t)，用－eq\f(fb－fa,b－a)的大小評價(jià)在[a，b]這段時(shí)間內(nèi)企業(yè)污水治理實(shí)力的強(qiáng)弱．已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時(shí)間的關(guān)系如圖所示．給出下列四個(gè)結(jié)論：①在[t1，t2]這段時(shí)間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理實(shí)力比乙企業(yè)強(qiáng)；②在t2時(shí)刻，甲企業(yè)的污水治理實(shí)力比乙企業(yè)強(qiáng)；③在t3時(shí)刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達(dá)標(biāo)；④甲企業(yè)在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]這三段時(shí)間中，在[0，t1]的污水治理實(shí)力最強(qiáng)．其中全部正確結(jié)論的序號是________．①②③[由題圖可知甲企業(yè)的污水排放量在t1