2024-2025學年新教材高中數(shù)學第8章函數(shù)應(yīng)用章末綜合提升學案蘇教版必修第一冊

第8章函數(shù)應(yīng)用類型1函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系及應(yīng)用依據(jù)函數(shù)零點的定義，函數(shù)y＝f(x)的零點就是方程f(x)＝0的根，推斷一個函數(shù)是否有零點，有幾個零點，就是推斷方程f(x)＝0是否有根，有幾個根．從圖形上說，函數(shù)的零點就是函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標，函數(shù)的零點、方程的根、函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標三者之間有著內(nèi)在的本質(zhì)聯(lián)系，利用它們之間的關(guān)系，可以解決許多函數(shù)、方程與不等式的問題．從高考題型上看，這類題目，既有選擇題，也可以出現(xiàn)解答題，解題時應(yīng)留意通過數(shù)與形的相互結(jié)合，將三者進行相互轉(zhuǎn)化．【例1】(1)函數(shù)f(x)＝log3[log2(4－2x)]的零點為________．(2)函數(shù)g(x)＝lgx與f(x)＝x2－6x＋9的圖象的交點個數(shù)為________，設(shè)最右側(cè)交點的橫坐標x0，則存在n0∈N*，使x0∈(n0，n0＋1)，則n0＝________.[思路點撥](1)可通過解方程來求零點．(2)通過圖象和零點存在定理來解．(1)1(2)23[(1)f(x)＝0時，log3[log2(4－2x)]＝0，則log2(4－2x)＝1，∴4－2x＝2，∴2x＝2，∴x＝1.(2)在同一個坐標系中做出f(x)和g(x)的圖象，如圖，易知交點個數(shù)有2個，設(shè)h(x)＝g(x)－f(x)，∵h(2)＝lg2－1<0，h(3)＝lg3>0，h(4)＝lg4－1<0，x0為最右側(cè)交點，故x0∈(3,4)，∴n0＝3.][跟進訓練]1．已知關(guān)于x的函數(shù)y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1恒有零點．(1)求m的取值范圍；(2)若函數(shù)有兩個不同零點，且其倒數(shù)之和為－4，求m的值．[解](1)當m＋6＝0，即m＝－6時，函數(shù)為y＝－14x－5，明顯有零點．當m＋6≠0時，由Δ＝4(m－1)2－4(m＋6)(m＋1)＝－36m－20≥0，得m≤－eq\f(5,9).∴當m≤－eq\f(5,9)且m≠－6時，二次函數(shù)有零點．綜上所述，m≤－eq\f(5,9).(2)設(shè)x1，x2是函數(shù)的兩個零點，則有x1＋x2＝－eq\f(2m－1,m＋6)，x1x2＝eq\f(m＋1,m＋6).∵eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)＝－4，即eq\f(x1＋x2,x1x2)＝－4，∴－eq\f(2m－1,m＋1)＝－4，解得m＝－3.且當m＝－3時，m＋6≠0，Δ>0符合題意，∴m的值為－3.類型2函數(shù)的零點的應(yīng)用函數(shù)的零點的應(yīng)用很廣泛，特殊是在求參數(shù)的取值范圍，函數(shù)在指定區(qū)間上的零點、方程的根的分布等諸多方面，與零點有關(guān)的參數(shù)的取值范圍問題綜合性比較強，一般思路就是通過分別參數(shù)簡化問題求解，即先分別參數(shù)，也可以轉(zhuǎn)化為相關(guān)的函數(shù)圖象的交點的個數(shù)問題，通過數(shù)形結(jié)合，求出參數(shù)的取值范圍．該類問題屬中檔題，常與其他問題交匯命題．【例2】若函數(shù)f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零點，求實數(shù)a的取值范圍．[解]因為函數(shù)f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零點，所以方程4x－2x－a＝0在[－1,1]上有解，即方程a＝4x－2x在[－1,1]上有解．方程a＝4x－2x可變形為a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,2)))2－eq\f(1,4)，因為x∈[－1,1]，所以2x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,2)))2－eq\f(1,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，2)).所以實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，2)).[跟進訓練]2．已知函數(shù)f(x)＝－x2－2x,g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,4x)，x>0，,x＋1，x≤0.))(1)求g(f(1))的值；(2)若方程g(f(x))－a＝0有4個實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍．[解](1)g[f(1)]＝g(－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f(x)＝t，則原方程化為g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在t∈(－∞，1)上有2個不同的解，則原方程有4個解等價于函數(shù)y＝g(t)(t<1)與y＝a的圖象有2個不同的交點，作出函數(shù)y＝g(t)(t<1)的圖象，如圖，由圖象可知，當1≤a<eq\f(5,4)時，函數(shù)y＝g(t)(t<1)與y＝a有2個不同的交點，即所求a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(5,4))).類型3構(gòu)建函數(shù)模型解決實際問題數(shù)學建模是學生必備的學科素養(yǎng)之一，主要培育和提升建模實力和實際應(yīng)用實力，將是以后高考的重要內(nèi)容，利用建模解決實際問題的主要步驟為．(1)建模：抽象出實際問題的數(shù)學模型．(2)推理、演算：對數(shù)學模型進行邏輯推理或數(shù)學演算，得到問題在數(shù)學意義上的解．(3)評價、說明：對求得的數(shù)學結(jié)果進行深化的探討，作出評價、說明，返回到原來的實際問題中去，得到實際問題的解．即：(1)構(gòu)建函數(shù)模型時不要遺忘考慮函數(shù)的定義域．(2)利用模型f(x)＝ax＋eq\f(b,x)求解最值時，留意取得最值時等號成立的條件．【例3】小王高校畢業(yè)后，確定利用所學專業(yè)進行自主創(chuàng)業(yè)．經(jīng)過市場調(diào)查，生產(chǎn)某小型電子產(chǎn)品需投入年固定成本為3萬元，每生產(chǎn)x萬件，需另投入流淌成本為W(x)萬元，在年產(chǎn)量不足8萬件時，W(x)＝eq\f(1,3)x2＋x(萬元)．在年產(chǎn)量不小于8萬件時，W(x)＝6x＋eq\f(100,x)－38(萬元)．每件產(chǎn)品售價為5元．通過市場分析，小王生產(chǎn)的商品能當年全部售完．(1)寫出年利潤L(x)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬件)的函數(shù)解析式；(注：年利潤＝年銷售收入－固定成本－流淌成本)(2)年產(chǎn)量為多少萬件時，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？最大利潤是多少？[解](1)因為每件商品售價為5元，則x萬件商品銷售收入為5x萬元，依題意得，當0<x<8時，L(x)＝5x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x2＋x))－3＝－eq\f(1,3)x2＋4x－3；當x≥8時，L(x)＝5x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6x＋\f(100,x)－38))－3＝35－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(100,x))).所以L(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)x2＋4x－3，0<x<8，,35－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(100,x)))，x≥8.))(2)當0<x<8時，L(x)＝－eq\f(1,3)(x－6)2＋9.此時，當x＝6時，L(x)取得最大值L(6)＝9萬元．當x≥8時，L(x)＝35－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(100,x)))≤35－2eq\r(x·\f(100,x))＝35－20＝15，當且僅當x＝eq\f(100,x)時等號成立，即x＝10時，L(x)取得最大值15萬元．因為9<15，所以當年產(chǎn)量為10萬件時，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大，最大利潤為15萬元．[跟進訓練]3．某公司對營銷人員有如下規(guī)定：①年銷售額x(單位：萬元)在8萬元以下，沒有獎金；②年銷售額x(單位：萬元)，x∈[8,64]時，獎金為y萬元，且y＝logax，y∈[3,6]，且年銷售額越大，獎金越多；③年銷售額超過64萬元，按年銷售額的10%發(fā)獎金．(1)求獎金y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)若某營銷人員爭取獎金y∈[4,10](單位：萬元)，則年銷售額x(單位：萬元)在什么范圍內(nèi)？[解](1)依題意，y＝logax在x∈[8,64]上為增函數(shù)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(loga8＝3，,loga64＝6，))解得a＝2，所以y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，0≤x<8，,log2x，8≤x≤64，,\f(1,10)x，x>64.))(2)易知x≥8，當8≤x≤64時，要使y∈[4,10]，則4≤log2x≤10，解得16≤x≤1024，所以16≤x≤64；當x>64時，要使y∈[4,10]，則40≤x≤100，所以64<x≤100.綜上所述，當年銷售額x∈[16,100](單位：萬元)時，獎金y∈[4,10](單位：萬元)．(2024·北京高考)為滿意人民對美妙生活的憧憬，環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強污水治理，排放未達標的企業(yè)要限期整改．設(shè)企業(yè)的污水排放量W與時間t的關(guān)系為W＝f(t)，用－eq\f(fb－fa,b－a)的大小評價在[a，b]這段時間內(nèi)企業(yè)污水治理實力的強弱．已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時間的關(guān)系如圖所示．給出下列四個結(jié)論：①在[t1，t2]這段時間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理實力比乙企業(yè)強；②在t2時刻，甲企業(yè)的污水治理實力比乙企業(yè)強；③在t3時刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達標；④甲企業(yè)在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]這三段時間中，在[0，t1]的污水治理實力最強．其中全部正確結(jié)論的序號是________．①②③[由題圖可知甲企業(yè)的污水排放量在t1