考點(diǎn)15 圓（解析版） -中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)課程標(biāo)準(zhǔn)考點(diǎn)方法突破

考點(diǎn)15圓

課標(biāo)對(duì)考點(diǎn)的要求

對(duì)圓問(wèn)題，中考命題需要滿足下列要求：

(1)理解圓、弧、弦、圓心角、圓周角的概念，了解等圓、等弧的概念；探索并了解點(diǎn)與圓的位置關(guān)系。

(2)探索并證明垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦以及弦所對(duì)的兩條弧。

(3)探索圓周角與圓心角及其所對(duì)弧的關(guān)系，了解并證明圓周角定理及其推論：圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)

弧上的圓心角度數(shù)的一半；直徑所對(duì)的圓周角是直角；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑；圓內(nèi)接四邊形的對(duì)

角互補(bǔ)。

(4)知道三角形的內(nèi)心和外心。

(5)了解直線和圓的位置關(guān)系，掌握切線的概念，探索切線與過(guò)切點(diǎn)的半徑的關(guān)系，會(huì)用三角尺過(guò)圓上一

點(diǎn)畫(huà)圓的切線。

(6)探索并證明切線長(zhǎng)定理：過(guò)圓外一點(diǎn)所畫(huà)的圓的兩條切線長(zhǎng)相等。

(7)會(huì)計(jì)算圓的弧長(zhǎng)、扇形的面積。

(8)了解正多邊形的概念及正多邊形與圓的關(guān)系。

重要考點(diǎn)知識(shí)解疏

一、圓的有關(guān)概念

1.與圓有關(guān)的概念和性質(zhì)

(1)圓：平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形.

(2)弦與直徑：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，過(guò)圓心的弦叫做直徑，直徑是圓內(nèi)最長(zhǎng)的弦.

(3)弧：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做弧，小于半圓的弧叫做劣弧，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧.

(4)圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角.

(5)圓周角：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓還有一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角.

(6)弦心距：圓心到弦的距離.

2.注意

(1)經(jīng)過(guò)圓心的直線是該圓的對(duì)稱軸，故圓的對(duì)稱軸有無(wú)數(shù)條：

(2)3點(diǎn)確定一個(gè)圓，經(jīng)過(guò)1點(diǎn)或2點(diǎn)的圓有無(wú)數(shù)個(gè).

(3)任意三角形的三個(gè)頂點(diǎn)確定一個(gè)圓，即該三角形的外接圓.

二、垂徑定理及其推論

1.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

關(guān)于垂徑定理的計(jì)算常與勾股定理相結(jié)合，解題時(shí)往往需要添加輔助線，i般過(guò)圓心作弦的垂線，構(gòu)造直

角二角形.

2.推論

（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧；

（2）弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

三、圓心角、弧、弦的關(guān)系

1.定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等.圓心角、弧和弦之間的等量關(guān)系

必須在同圓等式中才成立.

2.推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各

組量都分別相等.

四、圓周角定理及其推論

1.定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.

2.推論：1）在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等.2）直徑所對(duì)的圓周角是直角.

圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ).在圓中求角度時(shí)，通常需要通過(guò)一些圓的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.比如圓心角與圓周角

間的轉(zhuǎn)化；同弧或等弧的圓周角間的轉(zhuǎn)化；連直徑，得到直角三角形，通過(guò)兩銳角互余進(jìn)行轉(zhuǎn)化等.

五、與圓有關(guān)的位置關(guān)系

1.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

設(shè)點(diǎn)到圓心的距離為d.（l）dvro點(diǎn)在。。內(nèi)；（2）d=ro點(diǎn)在。O上；（3）上點(diǎn)在。0外.

判斷點(diǎn)與圓之間的位置關(guān)系，將該點(diǎn)的圓心距與半徑作比較即可.

2.直線和圓的位置關(guān)系

位置關(guān)系相離相切相交

圖形CD

公共點(diǎn)個(gè)數(shù)0個(gè)1個(gè)2個(gè)

數(shù)量關(guān)系d>rd=rd<r

由于圓是軸對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形，所以關(guān)于圓的位置或計(jì)算題中常常出現(xiàn)分類討論多解的情況.

六、切線的性質(zhì)與判定

1.切線的性質(zhì)

(1)切線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn).

(2)切線到圓心的距離等于圓的半徑.

(3)切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑.

利用切線的性質(zhì)解決問(wèn)題時(shí)，通常連過(guò)切點(diǎn)的半徑，利用直角三角形的性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題.

2.切線的判定

(1)與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線(定義法).

(2)到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線.

(3)經(jīng)過(guò)半徑外端點(diǎn)并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

切線判定常用的證明方法：①知道直線和圓有公共點(diǎn)時(shí)，連半徑，證垂直；②不知道直線與圓有沒(méi)有公共

點(diǎn)時(shí)，作垂直，證垂線段等于半徑.

七、三角形與圓

1.三角形的外接圓相關(guān)概念

經(jīng)過(guò)三角形各頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個(gè)三角形叫做圓的內(nèi)接

三角形.外心是三角形三條垂直平分線的交點(diǎn)，它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.

2.三角形的內(nèi)切圓

與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外

切三角形.內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，它到三角形的三條邊的距離相等.

八、正多邊形的有關(guān)概念

正多邊形中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心.

正多邊形半徑：正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形半徑.

正多邊形中心角：正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形中心角.

正多邊形邊心距：正多邊形中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距.

九、與圓有關(guān)的計(jì)算公式

1.求解圓的周長(zhǎng)和面積的公式

設(shè)圓的周長(zhǎng)為r,則：

(1)求圓的直徑公式d=2r

(2)求圓的周長(zhǎng)公式C=2nr

(3)求圓的面積公式§=兀#

2.弧長(zhǎng)和扇形面積的計(jì)算：

扇形的弧長(zhǎng)仁E;

180

扇形的面積

3602

3.圓錐與側(cè)面展開(kāi)圖

（1）圓錐側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形，扇形的半徑等于圓錐的母線，扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐的底面周長(zhǎng).

（2）若圓錐的底面半徑為，，母線長(zhǎng)為/,則這個(gè)扇形的半徑為/,扇形的弧長(zhǎng)為2M,

圓錐的側(cè)面積為S姍隹*?/?2兀r=Ttrl.

2

圓錐的表面積：S回植；K=S四惟偈+S咻=冗”+兀a=”?（/+r）.

在求不規(guī)則圖形的面積時(shí)，注意利用割補(bǔ)法與等積變化方法歸為規(guī)則圖形，再利用規(guī)則圖形的公式求解.

重要詞題解題思維方法總結(jié)

一、解題要領(lǐng)

1.判定切線的方法

（1）若切點(diǎn)明確，則“連半徑，證垂直”。常見(jiàn)手法有全等轉(zhuǎn)化；平行轉(zhuǎn)化；直徑轉(zhuǎn)化；中線轉(zhuǎn)化等；有

時(shí)可通過(guò)計(jì)算結(jié)合相似、勾股定理證垂直；

（2）若切點(diǎn)不明確，則“作垂直，證半徑”。常見(jiàn)手法有角平分線定理；等腰三角形三線合一，隱藏角平

分線；總而言之，要完成兩個(gè)層次的證明：

①直線所垂直的是圓的半徑（過(guò)圓上一點(diǎn)）；

②直線與半徑的關(guān)系是互相垂直。在證明中的關(guān)鍵是要處理好弧、弦、角之間的相互轉(zhuǎn)化，要善于進(jìn)行由此

及彼的聯(lián)想、要總結(jié)常添加的輔助線.

2.與圓有關(guān)的計(jì)算

計(jì)算圓中的線段長(zhǎng)或線段比，通常與勾股定理、垂徑定理與三角形的全等、相似等知識(shí)的結(jié)合，形式

復(fù)雜，無(wú)規(guī)律性。分析時(shí)要重點(diǎn)注意觀察已知線段間的關(guān)系，選擇定理進(jìn)行線段或者角度的轉(zhuǎn)化。特別是

要借助圓的相關(guān)定理進(jìn)行弧、弦、角之間的相互轉(zhuǎn)化，找出所求線段與已知線段的關(guān)系，從而化未知為已

知，解決問(wèn)題。其中重要而常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想方法有：

（1）構(gòu)造思想：①構(gòu)建矩形轉(zhuǎn)化線段；②構(gòu)建“射影定理”基本圖研究線段（已知任意兩條線段可求其它

所有線段長(zhǎng)）；③構(gòu)造垂徑定理模型：弦長(zhǎng)一半、弦心距、半徑；④構(gòu)造勾股定理模型；⑤構(gòu)造三角函數(shù).

（2）方程思想：設(shè)出未知數(shù)表示關(guān)鍵線段，通過(guò)線段之間的關(guān)系，特別是發(fā)現(xiàn)其中的相等關(guān)系建立方程，

解決問(wèn)題。

（3）建模思想：借助基本圖形的結(jié)論發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中的線段關(guān)系，把問(wèn)題分解為若干基本圖形的問(wèn)題，通過(guò)基

本圖形的解題模型快速發(fā)現(xiàn)圖形中的基本結(jié)論，進(jìn)而找出隱藏的線段之間的數(shù)量關(guān)系。

二、攻克典型基本模型圖是解決圓的所有難題的寶劍

類型1圖形：

（1）如圖1,49是。。的直徑，點(diǎn)反。是。。上的兩點(diǎn).

基本結(jié)論有：在“力。平分N加夕；“AD1CD”；“如是。。的切線”三個(gè)論斷中，知二推一。

（2）如圖2、3,應(yīng)等于弓形旌的高；屐絲的弦心距在'（或弓形腔的半弦的。

（3）如圖（4）：若CKLAB于K,則:

②JADCs/ACBnAC;AD?AB

（4）在⑴中的條件①、②、③中任選兩個(gè)條件，當(dāng)應(yīng)LL0于￡時(shí)（如圖5）,則:

D

C

①DE=GB；②DC=CG：③AD+BG=AB；?AD^BG=-DG2=l)d

類型2圖形：如圖：RtdABC中,/月的90°。點(diǎn)。是“'上一點(diǎn)，以優(yōu)為半徑作。0交4C于點(diǎn)區(qū)基本結(jié)

論有：

到

(1)在“BO平■分NCBA”;“加〃的‘；”力8是00的切線”；"劭二才'。四個(gè)論斷中，知一推三。

(2)①G是ZJ頗的內(nèi)心；②CG=GD；③△BCO^ACDEnBO?DE=CO?CE='C百、

2

(3)在圖(1)中的線段8aCE、AE、力。中，知二求四。

A￡1

(4)如圖(3),若Q)BC=CE,則：②一=-=tanNADE；③BC：AC：力廬3：4：5；(在①、②、③中知

AD2

一推二)④設(shè)或;CD交于點(diǎn)H,,則BH=2EH

類型3圖形：如圖：Rt4ABe中,/力吐90。，以AB為直徑作。0交AC于D,基本結(jié)論有:

如圖：

(1)施切。00￡是優(yōu)的中點(diǎn);

(2)若如切。0,則：

O)DE=BE=CE：

②〃、0、B、/四點(diǎn)共圓=/OF作2/4

③CD?CA=4B匕DE=CD=BC

RBDBA

圖形特殊化：在(1)的條件下

如圖：DE〃ABOAABC、/跡是等腰直角三角形;

如圖：若分的延長(zhǎng)線交力〃的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，若AB=";貝ij：

CDE1BE1

①——=-

EF3R

類型4圖形：如圖，//胸中，AB=AC,以48為直徑作。0,交a'于點(diǎn)〃，交AC于點(diǎn)、F,

基本結(jié)論有：

(1)DE1ACQDE切。6

(2)在應(yīng)J_/C或如切。0下，有：

①是等腰三角形；

②EF=EC：③〃是命的中點(diǎn)。④與基本圖形1的結(jié)論重合。

⑤連AD,產(chǎn)生母子三角形。

類型5圖形：以直角梯形力用7?的直腰為直徑的圓切斜腰于E,基本結(jié)論有:

(1)如圖1：QAD+BC=CD:②4C0D=/AE板90°；③如平分NADC(或比'平分NZCT)；(注：在①、

②、③及④”或是。。的切線”四個(gè)論斷中，知一推三)

④AD?BC=LABJ*；

4

(2)如圖2,連/43,則有：CO//左2/(與基本圖形2重合)

(3)如圖3,若EF1AB于F,交〃1于G,則：EG^FG.

類型6圖形：如圖：直線外的半徑加于￡,〃。切。。于0,BQ交直線掰于幾

基本結(jié)論有：

(1)FQ=PR(/尸Q?是等腰三角形)；

(2)在“PR10B”、“尸0切?！?、"PQ=PR'中，知二推一

(3)2PR?RE=BR?RQ=BE?2R=A^

類型7圖形：如圖，，/胸內(nèi)接于00,/為△/!肉的內(nèi)心?；窘Y(jié)論有:

(1)如圖1,?BD=CD=ID；②Df=DE?DA；③N4/900+-ZJ?

2

￡1

(2)如圖2,若N為伍60°,則：BD+CE=BC.

圖2

類型8圖形：己知，力8是。。的直徑，C是俞中點(diǎn)，CDLAB于D°BG交.CD、AC

于反Fo基本結(jié)論有：

(1)CD=LBG：BE=EF=CExGF=2DE

2

(反之，由處;BG或BE=EF可得:。是眾中點(diǎn))

(2)OE=-AFtOE//AC-,AODEs/AGF

2

⑶BE?BG=BD?BA

(4)若〃是陽(yáng)的中點(diǎn)，則：①是等邊三角形；②BC^CG=AG

中考典例解析

【例題1】（2021重慶）如圖，4B是。0的直徑，AC,BC是。0的弦，若NA=20°,則NB的度數(shù)為（）

AB

A.70°B.90°C.40°D.60,

【答案】A

【解析】根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為90°,即可求解.

TAB是。。的直徑，

AZC=90°,

VZA=20°,

.'.ZB=900-NA=7U°.

【例題2】（2021山東濟(jì)寧）如圖，正五邊形A8COE中，NCA。的度數(shù)為（）

【答案】C

【解析】首先可根據(jù)五邊形內(nèi)角和公式求出每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，然后求出NC4B和NZME,即可求出NCAD

根據(jù)正多邊形內(nèi)角和公式可得，

正五邊形ABCOE的內(nèi)角和=180°X（5-2）=540°,

則=108°,

5

根據(jù)正五邊形的性質(zhì)，△ABCgZXAED,

：.ZCAB=ZDAE=^-（180°-108°）=36°,

2

???NCAO=I080-36°-36°=36°.

【例題3】（2021山東濟(jì)寧）如圖，△48C中，/A8C=90°,AB=2,AC=4,點(diǎn)O為8C的中點(diǎn)，以O(shè)

為圓心，以O(shè)B為半徑作半圓，交AC于點(diǎn)。，則圖中陰影部分的面積是

【答案】

42

【解析】根據(jù)題意，作出合適的輔助線，即可求得OE的長(zhǎng)、的度數(shù)，然后根據(jù)圖形可知陰影部分

的面積是△ABC的面積減去△CO。的面積和扇形BOD的面積，從而可以解答本題.

連接。D,過(guò)。作。于E,

在△ABC中，NA8C=90°,48=2,AC=4,

?，SinC=AC=BC=TAC?-AB2=“_22=2加，

AV34

.'.ZC=30°,

???NUOB=60°,

-：OD=1BC=^3,

2

：.DE=^

2

?兀跖.兀

，陰影部分的面積是：上x(chóng)2X2加-工x?x2?60X3=

222-360-42

故答案為：^3-2L.

【例題4】(2021大連)如圖1,ZXABC內(nèi)接于。0,直線MN與。。相切于點(diǎn)O,與3c相交于點(diǎn)E,

BC//MN.

(1)求證：NB4C=NOOC；

(2)如圖2,若AC是。0的直徑，E是0。的中點(diǎn)，。0的半徑為4,求AE的長(zhǎng).

A

圖2

【解析】（1）連接0B,如圖1,根據(jù)切線的性質(zhì)得到0D1MN,則ODLBC,利用垂徑定理得到麗=CD,

然后根據(jù)圓周角定理得到結(jié)論；

（2）先計(jì)算出庭=2力，根據(jù)垂徑定理得到接著利用勾股定理計(jì)算出AB,然后計(jì)算4E

的長(zhǎng).

【解答】（1）證明：連接。8,如圖1,

???直線MN與。。相切于點(diǎn)D,

：.ODLMN,

■:BC//MN,

：.BD=CD,

/.ZBOD=/COD,

VNBAC=|ZBOC,

AZBAC=ZCOD；

(2)YE是?！?gt;的中點(diǎn)，

：.OE=DE=2,

在Rl/XOCE中，CE=-陽(yáng)=，皆-2?=2倔

?：OELBC,

：.BE=CE=2y/3,

〈AC是。。的直徑，

/.ZABC=90°,

：.AB=>/AC2-BC2=/82-(4V3)2=4,

=心+(273)2=20.

在RtzXABE中，AE=\AB2+BE2

圖2

考點(diǎn)問(wèn)題綜合訓(xùn)練

一、選擇題

1.（2021遼寧營(yíng)口）如圖，OO中，點(diǎn)C為弦A6中點(diǎn)，連接OC,OB,NCOB=56°,點(diǎn)。是標(biāo)上任

意一點(diǎn)，則NAOB度數(shù)為（）

A.112°B.124°C.122°D.134°

【答案】B

【解析】作彘所對(duì)的圓周角NAP8,如圖，先利用等腰三角形的性質(zhì)得到OC平分NA08,則NAOC=N

50c=56°,再根據(jù)圓周角定理得到NAP8=56°,然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)計(jì)算NA￡>B的度數(shù).

解：作益所對(duì)的圓周角N4P8，如圖，

TOCOA=OB,

???0C平分N408,

???N4OC=N8OC=56°,

，NAP8=2/AOB=56°,

2

VZAPB+ZADB=\SOQ,

/.ZA￡>B=180°-56°=124°.

故選：B.

2.(2021浙江紹興)如圖，正方形A8CD內(nèi)接于。0,點(diǎn)P在標(biāo)匕ZBPC=()

【答案】B

【解析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得到弧所對(duì)的圓心角為90°,則N5OC=9(T,然后根據(jù)圓周角定理求解.

;正方形ABCD內(nèi)接于。0,

.3C弧所對(duì)的圓心角為90°,

ZBOC=90°，

；.NBPC=Z/BOC=45°.

2

3.(2021云南)如圖，等邊AABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在。。上，AO是。。的直徑.若。4=3,則劣弧的

長(zhǎng)是：)

A.-B.nC.—D.2n

22

【答案】B

【解析】連接08、BD,由等邊AABC,可得NQ=NC=60。，且08=。。，故ABO。是等邊三角形，NBOD

=60°.又半徑。4=3,根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可得劣弧8。的長(zhǎng).

解：連接。8、BD,如圖：

丁等邊A4BC,

AZC=60°,

???弧48=弧人8,

???ND=NC=60。，

'：OB=OD,

???△50。是等邊三角形，

AZBOD=60°,

???半徑0A=3,

???劣弧的長(zhǎng)為竺&坦=

180

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等邊三角形及圓的弧長(zhǎng)，解題的關(guān)鍵是掌握弧長(zhǎng)公式并能熟練應(yīng)用.

4.（2021四川瀘州）如圖，。0的直徑48=8,AM,8N是它的兩條切線，。七與00相切于點(diǎn)E,并與

AM,BN分別相交于。，C兩點(diǎn)，BD,OC相交于點(diǎn)凡若C￡>=10,則B尸的長(zhǎng)是（）

【解析】如圖，構(gòu)建如圖平面直角坐標(biāo)系，過(guò)點(diǎn)。作。H_L3C于從想辦法求出C,。兩點(diǎn)坐標(biāo)，構(gòu)建一

次函數(shù)，利用方程組確定交點(diǎn)坐標(biāo)即可.

如圖，構(gòu)建如圖平面直角坐標(biāo)系，過(guò)點(diǎn)力作O〃_L8C于”.

TAB是直徑，A8=8,

：.0A=0B=4,

,;AO,BC,CO是0。的切線，

AZDAB=ZABH=ZDHB=9Q°,DA=DE,CE=CB,

???四邊形ABH。是矩形，

：?AD=BH,AB=DH=S,

?**CH=VCD2-DH2=7102-82=6,

設(shè)貝ijEC=CB=x+6,

/.X+A+6=10,

???x=2,

：.D(2,4),C(8,-4),B(0,-4),

:.直線OC的解析式為y=-X,直線AD的解析式為y=4x-4,

8

_1

y-X

由＜-2,解得，

4,

y=4x-4y=3

.??尸（星,-A）,

99

，叩椅/MEW

故選：A.

5.（2020?黔東南州）如圖，OO的直徑8=20,AB是。。的弦，ABLCD,垂足為M,OM：。。=3：5,

則AB的長(zhǎng)為（）

A.8B.12C.16D.2、，宛

【答案】C

【解析】連接。4,先根據(jù)。0的直徑CO=20,OM：0。=3：5求出0。及OM的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理可

求出AM的長(zhǎng)，進(jìn)而得出結(jié)論.

連接。4,

;。。的直徑CQ=20,OM：OD=3：5,

工00=10,OM=6,

??F8J_CO,

：,AM=<0A2-0M2="02-62=8,

6.（2020?營(yíng)口）如圖，48為。。的直徑，點(diǎn)C,點(diǎn)。是。。上的兩點(diǎn)，連接C4,CD,AD.若NC4B=

40°,則NAOC的度數(shù)是（）

C

D

A.110°B.130°C.140°D.160°

【答案】B

【解析】連接BC,如圖，利用圓周角定理得到NAC8=90°,則N8=50°,然后利用圓的內(nèi)接四邊形的

性質(zhì)求N4DC的度數(shù).

如圖，連接8C,

:A8為00的直徑，

.??NAC8=9(T,

/.ZB=90°-ZG4B=90°-40°=50°,

VZfi+ZADC=180°，

：.ZADC=I8O°-50°=130°.

7.（2020?湘西州）如圖，PA.P8為圓。的切線，切點(diǎn)分別為A、B,尸。交4B于點(diǎn)C,P。的延長(zhǎng)線交

圓O于點(diǎn)。.下列結(jié)論不一定成立的是（）

A.△5%為等腰三角形

B.AB與P。相互垂直平分

C.點(diǎn)A、B都在以尸。為直徑的圓上

D.尸。為AB以的邊AB上的中線

【答案】B

【解析】根據(jù)切線的性質(zhì)即可求出答案.

(A);以、PB為圓。的切線，

網(wǎng)是等腰三角形，故A正確.

(8)由圓的對(duì)稱性可知：ABLPD,但不一定平分,

故BK一定正確.

(C)連接08、OA,

〈BA、PB為圓。的切線，

???/08尸=NO4P=90°,

???點(diǎn)人、B、P在以。P為直徑的圓上，故C正確.

(。)是等腰三角形，PD1AB,

JPC為48%的邊AB上的中線，故。正確.

8.(2020?徐州)如圖，是。O的弦，點(diǎn)C在過(guò)點(diǎn)8的切線上，OC_LOA,OC交A8于點(diǎn)尸.若NBPC

=70°,則NABC的度數(shù)等于()

A.75°B.70°C.65°D.60,

【答案】B

【解析】先利用對(duì)頂角相等和互余得到NA=20°,再利用等腰三角形的性質(zhì)得到NOB4=NA=20°,然

后根據(jù)切線的性質(zhì)得到OBLBC,從而利用互余計(jì)算出N48C的度數(shù).

'COCLOA,AZAOC=90°，

V/APO=/RPC-lf}0,???/4=90°-70°=20°,

?：OA=OB,：.ZOBA=ZA=20°,

為。。的切線，AOBLBC,???NOBC=90°,，NA8C=90°-20°=70°.

9.（2020?蘇州）如圖，在扇形Q4B中，已知NAOB=90°,OA=>/2,過(guò)砧的中點(diǎn)C作CO_LOA,CEL

OB,垂足分別為。、E,則圖中陰影部分的面積為（）

rt7T1

A.IT-1B.——1C.71—5D.---

2222

【答案】B

【分析】根據(jù)矩形的判定定理得到四邊形CDOE是矩形，連接OC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到OD=OE,

得到矩形CDOE是正方形，根據(jù)扇形和正方形的面積公式即可得到結(jié)論.

【解析】'：CDVOA,CELOB,

：.ZCDO=ZCEO=ZAOB=90°,

，四邊形CQOE是矩形，

連接OC,

???點(diǎn)C是油的中點(diǎn)，

ZAOC=NBOC,

'：OC=OC,

???△CO性△COE(A4S),

：?OD=OE,

???矩形。OE是正方形，

a：OC=OA=y[2,

???OE=1,

???圖中陰影部分的面積=嚼0-1乂1=與一|

□OU/

B

10.（2020?黔東南州）如圖，正方形ABC。的邊長(zhǎng)為2,。為對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)E、尸分別為BC、AD的

中點(diǎn).以。為圓心，2為半徑作圓弧時(shí)，再分別以E、尸為圓心，1為半徑作圓弧前、OD,則圖中陰影部

分的面積為（）

R

A.n-1B.JT-2C.IT-3D.4-n

【答案】B

【分析】根據(jù)題意和圖形，可知陰影部分的面積是以2為半徑的四分之一個(gè)圓的面積減去以1為半徑的半

圓的面積再減去2個(gè)以邊長(zhǎng)為1的正方形的面積減去以1半徑的四分之一個(gè)圓的面積，本題得以解決.

【解析】由題意可得,

陰影部分的面積是：-,TTX22-1-7TXI2-2(1Xl-i*nXI2)=TT-2,

424

11.（2020?金華）如圖，00是等邊△ABC的內(nèi)切圓，分別切A8,BC,AC于點(diǎn)E,F,D,P是5?■上一

點(diǎn)，則NEP尸的度數(shù)是（）

A.65°B.60°C.58°D.50'

【答案】B

【解析】如圖，連接OE，OF.求出NEO尸的度數(shù)即可解決問(wèn)題.

如圖，連接OE,OF.

：.OELAB,OFLBC,

：./OEB=NOFB=90°,

???△ABC是等邊三角形，

AZB=60°,

AZ￡OF=I20°,

ZEPF=|ZEOF=60°.

二、填空題

I.（2021江西）如圖，在邊長(zhǎng)為6百的正六邊形48coEF中，連接BE,CF,其中點(diǎn)M,N分別為BE和

CF上的動(dòng)點(diǎn).若以M,N,D為頂點(diǎn)的三角形是等邊三角形，且邊長(zhǎng)為整數(shù)，則該等邊三角形的邊長(zhǎng)

【答案】9或10或18.

【解析】連接OF,OB,BF.則aOB尸是等邊三角形.解直角三角形求出。尸，可得結(jié)論.當(dāng)點(diǎn)N在OC上，點(diǎn)

M在0E上時(shí)，求出等邊三角形的邊長(zhǎng)的最大值，最小值，可得結(jié)論.

解：連接。七。84E則△OBr是等邊三角形.

A

設(shè)BE交DF于J.

???六邊形4BCOE尸是正六邊形，

，由對(duì)稱性可知，DFLBE,NJEF=60",EF=ED=6冊(cè),

，E/="=E尸?sin600=6加X(jué)返=9,

2

/.DF=18,

???當(dāng)點(diǎn)M與8重合，點(diǎn)N與〃重合時(shí)，滿足條件，

的邊長(zhǎng)為18,

如圖，當(dāng)點(diǎn)N在0C上，點(diǎn)”在。七上時(shí)，

等邊AQMN的邊長(zhǎng)的最大值為6臟心10.39,最小值為9,

???△QMN的邊長(zhǎng)為整數(shù)時(shí)，邊長(zhǎng)為10或9,

綜上所述，等邊△OMN的邊長(zhǎng)為9或10或18.

2.（2021重慶）如圖，在菱形A8co中，對(duì)角線AC=12,8。=16,分別以點(diǎn)4,B,C,。為圓心，工8

2

的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與該菱形的邊相交，則圖中陰影部分的面積為一.（結(jié)臭保留n）

【答案】96-100m

【解析】先求出菱形面積，再計(jì)算四個(gè)扇形的面積即可求解.

在菱形48C。中，有：AC=12.80=16.

,AB=^(^-BD)2+(-1AO2=10-

VZABC+ZBCD+ZCDA+ZDAB=360<>.

，四個(gè)扇形的面積，是一個(gè)以工8的長(zhǎng)為半徑的圓.

2

，圖中陰影部分的面積=2x12X16-nX102=96-lOOir.

2

3.(2021內(nèi)蒙古通遼)如圖，A8是。。的弦，AB=243,點(diǎn)C是。。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且NAC8=60°,

若點(diǎn)、M,N分別是A8,BC的中點(diǎn)，則圖中陰影部分面積的最大值是

【答案】"

34

【解析】連接OA、OB、OM,根據(jù)圓周角定理得到NAO8=120°,求出0加=1,。4=2,再根據(jù)三角形

s

中位線性質(zhì)得到MN//AC,MN=±AC,然后根據(jù)三角形相似得到△岫N=(MN)2=工，故當(dāng)?shù)?/p>

2^AABCAC4

面積最大時(shí)，△M8N的面積最大，由。、O、M在一條直線時(shí)，△A8C的面積最大，求得△ABC的最大值,

進(jìn)而即可求得△M8N的面枳最大值，利用扇形的面積和三角形的面積求得弓形的面積，進(jìn)而即可求得陰影

部分的最大值.

AZAOB=1200,

OA=OB,

A7OAR=7ORA=W,

*：AM=BM=±AB=J3,

2

：.OMYAB.

/.tan30o=QL

AM

：.0M=?又如=1,

3

：,OA=2OM=2,

二點(diǎn)M、N分別是43、BC的中點(diǎn),

：.MN//AC,MN=X1C,

2

:?△MBNs^ABC,

S

AMBN_(MN)2=工

,△ABCAC4

當(dāng)AABC的面積最大時(shí)，△MBN的面積最大,

C、。、M在一條直線時(shí)，△A8C的面積最大,

次,

△ABC的面積最大值為:Ax2V3X<2+1)=3

2

△MBN的面積最大值為：斑③,

4

S弓形=S扇形OA3-S^AOB=*疑2巾L號(hào)S

此時(shí)，s”也-仁笙=業(yè)-返

3434

4（2020?黑龍江）如圖，AO是△ABC的外接圓。。的直徑，若NBCA=5Q°,則乙4。8=

【答案】50.

【解析】根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論.

???A。是△ABC的外接圓。。的直徑,

???點(diǎn)A,3,C,。在。O上，

VZflCA=50°,

：.NAOB=NBC4=50°

5.（2020?天水）如圖所示，若用半徑為8,圓心角為120°的扇形圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面（接縫忽略不計(jì)），

則這個(gè)圓錐的底面半徑是.

8

【答案】

【解析】根據(jù)半徑為8,圓心角為120°的扇形弧長(zhǎng)，等于圓錐的底面周長(zhǎng)，列方程求解即可.

設(shè)圓錐的底面半徑為r,

一1207TX8

由題意得，-------=2nr,

180

解得，r=|

6.（2020?蘇州）如圖，已知48是。0的直徑，AC是。0的切線，連接0C交于點(diǎn)。，連接若

NC=40°,則的度數(shù)是°.

【答案】25.

【分析】先根據(jù)切線的性質(zhì)得NO4C=90'，再利用互余計(jì)算出NAOC=90°-ZC=50°,由于/。8。=

NODB,利用三角形的外角性質(zhì)得NOBQ另NAOC=25°.

【解析】???AC是。。的切線,

：,OALAC.AZOAC=90°,

/./AOC=W-ZC=90°-40。=50°,

?；OB=OD,

：.NOBD=NODB,

而ZAOC=ZOBD+ZODB,

：.ZOBD=|ZAOC=25°,

即NMO的度數(shù)為25°

7.（2020?重慶）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABC。中，對(duì)角線AC的中點(diǎn)為。，分別以點(diǎn)A,C為圓心,

以AO的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別與正方形的邊相交，則圖中的陰影部分的面積為.（結(jié)果保留n）

【答案】4-m

【解析】據(jù)勾股定理求出AC,得到OA、0C的長(zhǎng)，根據(jù)正方形的面積公式、扇形面積公式計(jì)算，得到答案.

???四邊形ABCD為正方形,

:?AB=BC=2,/DAB=/DCB=90°,

由勾股定理得，AC=VAB2+BC2=2^,

：.OA=OC=>/2,

???圖中的陰影部分的面積=22-9以*琢*2=4-n

3oU

8.（2020?荊門）如圖所示的扇形408中，0A=08=2,NAOB=90",C為防上一點(diǎn)，NAOC=30°,

連接BC,過(guò)。作0A的垂線交40于點(diǎn)D,則圖中陰影部分的面積為.

月

【答案】］2一苧

【解析】根據(jù)扇形的面積公式，利用圖中陰影部分的面積=S@形BOC-SAOBC+SZXCO。進(jìn)行計(jì)算.

???NAO8=90°,NAOC=30°,：,ZBOC=6Q°,

???扇形40B中，04=08=2,：.0B=0C=2,??.△BOC是等邊三角形，

:過(guò)。作0A的垂線交A0于點(diǎn)。，AZ0DC=90°,

VZAOC=30°,

：.0D=^°C=y[3,CD=10C=1,

，圖中陰影部分的面積一S扇形BOC-S^OBC+S^COD

=60^22—|x2x2x^y+|xV3X1

9.（2020?鄂州）用一個(gè)圓心角為120。，半徑為4的扇形制作一個(gè)圓錐的側(cè)面，則此圓錐的底面圓的半徑

為.

4

【答案】

3

【解析】根據(jù)扇形的弧長(zhǎng)公式求出弧長(zhǎng)，根據(jù)圓錐的底面周長(zhǎng)等于它的側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)求出半徑.

設(shè)圓錐底面的半徑為「，

—.…,120^X48

扇形的弧長(zhǎng)為：-------=F，

1803

???圓錐的底面周長(zhǎng)等于它的側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng),

?二根據(jù)題意得2nr=尹,

4

得

解-

3-

10.（2020?泰安）如圖，點(diǎn)0是半圓圓心，BE是半圓的直徑，點(diǎn)A,。在半圓上，且4O〃B。，NA8O

=60°,45=8,過(guò)點(diǎn)。作。CLBE于點(diǎn)C,則陰影部分的面積是.

【答案】--8^.

【分析】連接04易求得圓。的半徑為8,扇形的圓心角的度數(shù)，然后根據(jù)S陽(yáng)影=SAAO5+S凰形QAD+S項(xiàng)形

ODE-SABCD即可得至lj結(jié)論.

【解析】連接Q4,

???/舫0=60°,OA=OB,???△A08是等邊三角形，

???A8=8,???0。的半徑為8,

■:AD!/OB,???NOAO=NAO8=60°,

t：OA=OD,???NAOO=60°,

VZAOB=ZAOD=60°,AZD0￡=60°，

?.?OC_LBE于點(diǎn)C,

1

-

2

12

-

2x8x4V3+2x6。靖-|xl2x4x^3

OUU4

=竽-8、片

11.（2020?臺(tái)州）如圖，在△A8C中，。是邊BC上的一點(diǎn)，以4。為直徑的0。交4c于點(diǎn)E，連接。石.若

OO與相切，ZADE=55°,則NC的度數(shù)為.

【解析】由直徑所對(duì)的圓周角為直角得N工￡。=90°,由切線的性質(zhì)可得NAOC=90°,然后由同角的余

角相等可得NC=NAOE=55°.

〈AD為OO的直徑,

???NA￡O=90°,

/.ZADE+ZDAE=90°；

?.?。0與8C相切，/.ZADC=90°，

：.ZC+ZDAE=90°，：,ZC=AADE,

???NAOE=55°，???NC=55°.

12.（2020?福建）一個(gè)扇形的圓心角是90°,半徑為4,則這個(gè)扇形的面積為.（結(jié)果保留TT）

【答案】47T.

【解析】利用扇形的面積公式計(jì)算即可.

c90"4"4

S扇形=-5而一—

13.（2020?南京）如圖，在邊長(zhǎng)為2cm的正六邊形ABCDEF中,點(diǎn)P在上，則APE產(chǎn)的面積為cm2.

CD

【答案】2代

【解析】連接BF,BE,過(guò)點(diǎn)A作AT_LB尸于7；證明S“EF=SMEF,求出ABM的面積即可.

連接BEBE,過(guò)點(diǎn)A作AT_LB尸于T

:.CB"EF,AB=AF,ZBAF=\20°,

.*.SAPEF=SABEF,

TATIBE,AB=AF,

：.BT=FT,NB4T=/RT=60°,

???8T=FT=A8?sin600=6,

:?BF=2BT=26,

VZAFE=120°,ZAFB=ZABF=3Q°,

：?/BFE=90°,

:?SAPEF=S、BEF=2,EF?BF=Ix2X2、石=2、用

三、解答題

1.(2021山東濟(jì)寧)如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的。。上，點(diǎn)。是6c的中點(diǎn)，連接。。并延長(zhǎng)交。。于

點(diǎn)E,作NEBP=NEBC,8P交。E的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P.

(1)求證：PB是。。的切線；

(2)若AC=2,PD=6,求。。的半徑.

B

【答案】見(jiàn)解析

【分析】（1）由4A為直徑，可得/4。?=90°,又力為中點(diǎn),C為AA中點(diǎn)，可得CO〃AC從而/

006=90°.由08=。七得N0E8=N08E,又N0EB=NP+NEBP,N0BE=N0BD+NEBC,所以NP+

NEBP=N0BD+NEBC,又NEBP=NEBC,得/尸=NOBO.又NB0D+NOBD=90。,從而可得NB0D+

NP=90°,即NO8P=90°.則可證為。0切線；

（2）由（1）可得。。=1,從而尸0=7,可證明△BOP?△0BP,從而得比例BP=DP,解得B尸=根，

OPBP

最后由勾股定理可求半徑0B.

解：C1）證明：???AB為直徑，

???NACB=90°,

又。為5。中點(diǎn)，。為A8中點(diǎn)，

故OQ=工AOOD//AC,

2

：?NODB=NACB=90°.

?：0B=0E,

：./0EB=N0BE,

又?：/OEB=NP+NEBP,ZOBE=ZOBD+ZEBC,

：.NP+NEBP=NOBD+/EBC,

又/EBP=/EBC,

：?4P=/0BD.

?：/BOD+/OBD=90°,

AZBOD+ZP=90°,

???NO5P=90°.

又OB為半徑，

故PB是。。的切線.

（2）*：AC=2,

由（1）得OO=_LAC=L

2

又PD=6,

：,PO=PD+OD=6+\=1.

VZP=ZP,NBDP=NOBP=90°,

：.4BDP?AOBP.

A=DP,即8產(chǎn)=0P?。尸=7X6=42,

OPBP

ABP=V42.

Jop2_Bp2=V49-42=V7-

故oo的半徑為證.

2.(2021云南)如圖，AB是。0的直徑，點(diǎn)C是。。上異于A、B的點(diǎn),連接AC、BC,點(diǎn)。在84的延

長(zhǎng)線上，且N￡>C4=NABC,點(diǎn)E在。C的延長(zhǎng)線上，HBELDC.

(1)求證：OC是。O的切線；

(2)若絲=2,BE=3,求0A的長(zhǎng).

【答案】見(jiàn)解析。

【解析】(1)連接OC,由等腰三角形的性質(zhì)得出NOCB=NOBC,由圓周角定理得出N4CB=90。，證出

NOCO=90。，則可得出結(jié)論；

nrOD4

(2)設(shè)O4=08=2x,OD=3x,證明△OCOS^DEB,由相似三角形的性質(zhì)得出匕=士上=巳，求出

BEDB5

的長(zhǎng)，則可求出答案.

【答案】(1)證明:連接。C,

E

*：OC=OB,

：,ZOCB=NOBC,

???ZABC=ZDCA,

???NOCB=NOCA,

又???AB是。。的直徑，

:.NACB=90。，

，N4C0+N0C8=90。，

???/OCA+NACO=90。，

即NDCO=90。，

???OC_LOC,

???OC是半徑，

???OC是。。的切線；

(2)解：???絲=2,且0A=08,

OD3

設(shè)OA=OB=2x,OD=3x,

：,DB=OD+OB=5x,

?OD_3

.?,

DB5

又〈BELDC,DC,LOC,

：.OC〃BE,

：?4DC0s4DEB,

.OCOD3

??==—,

BEDB5

?:BE=3,

?

??%L—9,

10

9

：,AD=OD-OA=x=—,

10

即4。的長(zhǎng)為2.

10

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、切線的判定、相似三角形的判定與

性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握切線的判定與相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.(2021新疆)如圖，AC是的直徑，BC,是。0的弦，M為BC的中點(diǎn)，OM與BD交于點(diǎn)F,

過(guò)點(diǎn)。作DEJ_8C,交8C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,且8平分NACE.

(1)求證：是。。的切線；

(2)求證：/CDE=/DBE；

(3)若OE=6,tan/COE=2,求8/的長(zhǎng).

3

【解析】(1)連接OO，由8平分/ACE,OC=OD,可得OD//BC,從而可證是

OO的切線；

(2)連接A3,由AC是。。的直徑，得N48O+ND8C=90°,又/ABD=4ACD,ZABD=ZODC,可

得NOOC+NOBC=90°,結(jié)合NODC+NCDE=90°,即可得NC。七=NOBE；

(3)求出CE=4,BE=9,即可得3。=5,由例為8c的中點(diǎn)，可得0M_L8C,BM=$,RtZXBQW中，

2

求出FM=立，再用勾股定理即得答案，8廣=后而不='亙.

36

【解答】(1)證明：連接0￡>,如圖:

?；CD平分NACE,

：?/OCD=/DCE,

?：OC=OD,

：.ZOCD=ZODC,

:.NDCE=NODC,

：.OD//BC,

'：DELBC,

：.DELOD,

是。。的切線；

（2）證明：連接48,如圖:

〈AC是。。的直徑，

AZABC=90°,即NA6Q+NO6C=90°,

vAE=AD.

:.NABD=NACD,

'：NACD=NODC,

：.NABD=NODC,

???NOOC+NOBC=90°,

?：/ODC+/CDE=90°，

：./CDE=/DRC,即/CDF-/DRE-

(3)解：RtZkCOE中，DE=6,tan/CZ)E=2,

3

?

??，CE_—29

63

：?CE=4,

由(2)知NCDE=NDBE,

RtZXBDE中，DE=6,tan/O8E=2,

3

?-???6_29

BE3

???8E=9,

：,BC=BE-CE=5,

???何為8c的中點(diǎn)，

；?0M上BC,8M=Zc=$,

22

RtZXB尸M中，8M=9,tan/DBE=2,

23

.理=2

??§一§