考點15 圓（解析版） -中考數(shù)學二輪復習課程標準考點方法突破

考點15圓

課標對考點的要求

對圓問題，中考命題需要滿足下列要求：

(1)理解圓、弧、弦、圓心角、圓周角的概念，了解等圓、等弧的概念；探索并了解點與圓的位置關系。

(2)探索并證明垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦以及弦所對的兩條弧。

(3)探索圓周角與圓心角及其所對弧的關系，了解并證明圓周角定理及其推論：圓周角的度數(shù)等于它所對

弧上的圓心角度數(shù)的一半；直徑所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑；圓內接四邊形的對

角互補。

(4)知道三角形的內心和外心。

(5)了解直線和圓的位置關系，掌握切線的概念，探索切線與過切點的半徑的關系，會用三角尺過圓上一

點畫圓的切線。

(6)探索并證明切線長定理：過圓外一點所畫的圓的兩條切線長相等。

(7)會計算圓的弧長、扇形的面積。

(8)了解正多邊形的概念及正多邊形與圓的關系。

重要考點知識解疏

一、圓的有關概念

1.與圓有關的概念和性質

(1)圓：平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形.

(2)弦與直徑：連接圓上任意兩點的線段叫做弦，過圓心的弦叫做直徑，直徑是圓內最長的弦.

(3)?。簣A上任意兩點間的部分叫做弧，小于半圓的弧叫做劣弧，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧.

(4)圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角.

(5)圓周角：頂點在圓上，并且兩邊都與圓還有一個交點的角叫做圓周角.

(6)弦心距：圓心到弦的距離.

2.注意

(1)經(jīng)過圓心的直線是該圓的對稱軸，故圓的對稱軸有無數(shù)條：

(2)3點確定一個圓，經(jīng)過1點或2點的圓有無數(shù)個.

(3)任意三角形的三個頂點確定一個圓，即該三角形的外接圓.

二、垂徑定理及其推論

1.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.

關于垂徑定理的計算常與勾股定理相結合，解題時往往需要添加輔助線，i般過圓心作弦的垂線，構造直

角二角形.

2.推論

（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條??；

（2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧.

三、圓心角、弧、弦的關系

1.定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等.圓心角、弧和弦之間的等量關系

必須在同圓等式中才成立.

2.推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各

組量都分別相等.

四、圓周角定理及其推論

1.定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.

2.推論：1）在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等.2）直徑所對的圓周角是直角.

圓內接四邊形的對角互補.在圓中求角度時，通常需要通過一些圓的性質進行轉化.比如圓心角與圓周角

間的轉化；同弧或等弧的圓周角間的轉化；連直徑，得到直角三角形，通過兩銳角互余進行轉化等.

五、與圓有關的位置關系

1.點與圓的位置關系

設點到圓心的距離為d.（l）dvro點在。。內；（2）d=ro點在。O上；（3）上點在。0外.

判斷點與圓之間的位置關系，將該點的圓心距與半徑作比較即可.

2.直線和圓的位置關系

位置關系相離相切相交

圖形CD

公共點個數(shù)0個1個2個

數(shù)量關系d>rd=rd<r

由于圓是軸對稱和中心對稱圖形，所以關于圓的位置或計算題中常常出現(xiàn)分類討論多解的情況.

六、切線的性質與判定

1.切線的性質

(1)切線與圓只有一個公共點.

(2)切線到圓心的距離等于圓的半徑.

(3)切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.

利用切線的性質解決問題時，通常連過切點的半徑，利用直角三角形的性質來解決問題.

2.切線的判定

(1)與圓只有一個公共點的直線是圓的切線(定義法).

(2)到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線.

(3)經(jīng)過半徑外端點并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

切線判定常用的證明方法：①知道直線和圓有公共點時，連半徑，證垂直；②不知道直線與圓有沒有公共

點時，作垂直，證垂線段等于半徑.

七、三角形與圓

1.三角形的外接圓相關概念

經(jīng)過三角形各頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個三角形叫做圓的內接

三角形.外心是三角形三條垂直平分線的交點，它到三角形的三個頂點的距離相等.

2.三角形的內切圓

與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓，內切圓的圓心叫做三角形的內心，這個三角形叫做圓的外

切三角形.內心是三角形三條角平分線的交點，它到三角形的三條邊的距離相等.

八、正多邊形的有關概念

正多邊形中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心.

正多邊形半徑：正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形半徑.

正多邊形中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形中心角.

正多邊形邊心距：正多邊形中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距.

九、與圓有關的計算公式

1.求解圓的周長和面積的公式

設圓的周長為r,則：

(1)求圓的直徑公式d=2r

(2)求圓的周長公式C=2nr

(3)求圓的面積公式§=兀#

2.弧長和扇形面積的計算：

扇形的弧長仁E;

180

扇形的面積

3602

3.圓錐與側面展開圖

（1）圓錐側面展開圖是一個扇形，扇形的半徑等于圓錐的母線，扇形的弧長等于圓錐的底面周長.

（2）若圓錐的底面半徑為，，母線長為/,則這個扇形的半徑為/,扇形的弧長為2M,

圓錐的側面積為S姍隹*?/?2兀r=Ttrl.

2

圓錐的表面積：S回植；K=S四惟偈+S咻=冗”+兀a=”?（/+r）.

在求不規(guī)則圖形的面積時，注意利用割補法與等積變化方法歸為規(guī)則圖形，再利用規(guī)則圖形的公式求解.

重要詞題解題思維方法總結

一、解題要領

1.判定切線的方法

（1）若切點明確，則“連半徑，證垂直”。常見手法有全等轉化；平行轉化；直徑轉化；中線轉化等；有

時可通過計算結合相似、勾股定理證垂直；

（2）若切點不明確，則“作垂直，證半徑”。常見手法有角平分線定理；等腰三角形三線合一，隱藏角平

分線；總而言之，要完成兩個層次的證明：

①直線所垂直的是圓的半徑（過圓上一點）；

②直線與半徑的關系是互相垂直。在證明中的關鍵是要處理好弧、弦、角之間的相互轉化，要善于進行由此

及彼的聯(lián)想、要總結常添加的輔助線.

2.與圓有關的計算

計算圓中的線段長或線段比，通常與勾股定理、垂徑定理與三角形的全等、相似等知識的結合，形式

復雜，無規(guī)律性。分析時要重點注意觀察已知線段間的關系，選擇定理進行線段或者角度的轉化。特別是

要借助圓的相關定理進行弧、弦、角之間的相互轉化，找出所求線段與已知線段的關系，從而化未知為已

知，解決問題。其中重要而常見的數(shù)學思想方法有：

（1）構造思想：①構建矩形轉化線段；②構建“射影定理”基本圖研究線段（已知任意兩條線段可求其它

所有線段長）；③構造垂徑定理模型：弦長一半、弦心距、半徑；④構造勾股定理模型；⑤構造三角函數(shù).

（2）方程思想：設出未知數(shù)表示關鍵線段，通過線段之間的關系，特別是發(fā)現(xiàn)其中的相等關系建立方程，

解決問題。

（3）建模思想：借助基本圖形的結論發(fā)現(xiàn)問題中的線段關系，把問題分解為若干基本圖形的問題，通過基

本圖形的解題模型快速發(fā)現(xiàn)圖形中的基本結論，進而找出隱藏的線段之間的數(shù)量關系。

二、攻克典型基本模型圖是解決圓的所有難題的寶劍

類型1圖形：

（1）如圖1,49是。。的直徑，點反。是。。上的兩點.

基本結論有：在“力。平分N加夕；“AD1CD”；“如是。。的切線”三個論斷中，知二推一。

（2）如圖2、3,應等于弓形旌的高；屐絲的弦心距在'（或弓形腔的半弦的。

（3）如圖（4）：若CKLAB于K,則:

②JADCs/ACBnAC;AD?AB

（4）在⑴中的條件①、②、③中任選兩個條件，當應LL0于￡時（如圖5）,則:

D

C

①DE=GB；②DC=CG：③AD+BG=AB；?AD^BG=-DG2=l)d

類型2圖形：如圖：RtdABC中,/月的90°。點。是“'上一點，以優(yōu)為半徑作。0交4C于點區(qū)基本結

論有：

到

(1)在“BO平■分NCBA”;“加〃的‘；”力8是00的切線”；"劭二才'。四個論斷中，知一推三。

(2)①G是ZJ頗的內心；②CG=GD；③△BCO^ACDEnBO?DE=CO?CE='C百、

2

(3)在圖(1)中的線段8aCE、AE、力。中，知二求四。

A￡1

(4)如圖(3),若Q)BC=CE,則：②一=-=tanNADE；③BC：AC：力廬3：4：5；(在①、②、③中知

AD2

一推二)④設或;CD交于點H,,則BH=2EH

類型3圖形：如圖：Rt4ABe中,/力吐90。，以AB為直徑作。0交AC于D,基本結論有:

如圖：

(1)施切。00￡是優(yōu)的中點;

(2)若如切。0,則：

O)DE=BE=CE：

②〃、0、B、/四點共圓=/OF作2/4

③CD?CA=4B匕DE=CD=BC

RBDBA

圖形特殊化：在(1)的條件下

如圖：DE〃ABOAABC、/跡是等腰直角三角形;

如圖：若分的延長線交力〃的延長線于點尸，若AB=";貝ij：

CDE1BE1

①——=-

EF3R

類型4圖形：如圖，//胸中，AB=AC,以48為直徑作。0,交a'于點〃，交AC于點、F,

基本結論有：

(1)DE1ACQDE切。6

(2)在應J_/C或如切。0下，有：

①是等腰三角形；

②EF=EC：③〃是命的中點。④與基本圖形1的結論重合。

⑤連AD,產(chǎn)生母子三角形。

類型5圖形：以直角梯形力用7?的直腰為直徑的圓切斜腰于E,基本結論有:

(1)如圖1：QAD+BC=CD:②4C0D=/AE板90°；③如平分NADC(或比'平分NZCT)；(注：在①、

②、③及④”或是。。的切線”四個論斷中，知一推三)

④AD?BC=LABJ*；

4

(2)如圖2,連/43,則有：CO//左2/(與基本圖形2重合)

(3)如圖3,若EF1AB于F,交〃1于G,則：EG^FG.

類型6圖形：如圖：直線外的半徑加于￡,〃。切。。于0,BQ交直線掰于幾

基本結論有：

(1)FQ=PR(/尸Q?是等腰三角形)；

(2)在“PR10B”、“尸0切。〃'、"PQ=PR'中，知二推一

(3)2PR?RE=BR?RQ=BE?2R=A^

類型7圖形：如圖，，/胸內接于00,/為△/!肉的內心?；窘Y論有:

(1)如圖1,?BD=CD=ID；②Df=DE?DA；③N4/900+-ZJ?

2

￡1

(2)如圖2,若N為伍60°,則：BD+CE=BC.

圖2

類型8圖形：己知，力8是。。的直徑，C是俞中點，CDLAB于D°BG交.CD、AC

于反Fo基本結論有：

(1)CD=LBG：BE=EF=CExGF=2DE

2

(反之，由處;BG或BE=EF可得:。是眾中點)

(2)OE=-AFtOE//AC-,AODEs/AGF

2

⑶BE?BG=BD?BA

(4)若〃是陽的中點，則：①是等邊三角形；②BC^CG=AG

中考典例解析

【例題1】（2021重慶）如圖，4B是。0的直徑，AC,BC是。0的弦，若NA=20°,則NB的度數(shù)為（）

AB

A.70°B.90°C.40°D.60,

【答案】A

【解析】根據(jù)直徑所對的圓周角為90°,即可求解.

TAB是。。的直徑，

AZC=90°,

VZA=20°,

.'.ZB=900-NA=7U°.

【例題2】（2021山東濟寧）如圖，正五邊形A8COE中，NCA。的度數(shù)為（）

【答案】C

【解析】首先可根據(jù)五邊形內角和公式求出每個內角的度數(shù)，然后求出NC4B和NZME,即可求出NCAD

根據(jù)正多邊形內角和公式可得，

正五邊形ABCOE的內角和=180°X（5-2）=540°,

則=108°,

5

根據(jù)正五邊形的性質，△ABCgZXAED,

：.ZCAB=ZDAE=^-（180°-108°）=36°,

2

???NCAO=I080-36°-36°=36°.

【例題3】（2021山東濟寧）如圖，△48C中，/A8C=90°,AB=2,AC=4,點O為8C的中點，以O

為圓心，以OB為半徑作半圓，交AC于點。，則圖中陰影部分的面積是

【答案】

42

【解析】根據(jù)題意，作出合適的輔助線，即可求得OE的長、的度數(shù)，然后根據(jù)圖形可知陰影部分

的面積是△ABC的面積減去△CO。的面積和扇形BOD的面積，從而可以解答本題.

連接。D,過。作。于E,

在△ABC中，NA8C=90°,48=2,AC=4,

?，SinC=AC=BC=TAC?-AB2=“_22=2加，

AV34

.'.ZC=30°,

???NUOB=60°,

-：OD=1BC=^3,

2

：.DE=^

2

?兀跖.兀

，陰影部分的面積是：上x2X2加-工x?x2?60X3=

222-360-42

故答案為：^3-2L.

【例題4】(2021大連)如圖1,ZXABC內接于。0,直線MN與。。相切于點O,與3c相交于點E,

BC//MN.

(1)求證：NB4C=NOOC；

(2)如圖2,若AC是。0的直徑，E是0。的中點，。0的半徑為4,求AE的長.

A

圖2

【解析】（1）連接0B,如圖1,根據(jù)切線的性質得到0D1MN,則ODLBC,利用垂徑定理得到麗=CD,

然后根據(jù)圓周角定理得到結論；

（2）先計算出庭=2力，根據(jù)垂徑定理得到接著利用勾股定理計算出AB,然后計算4E

的長.

【解答】（1）證明：連接。8,如圖1,

???直線MN與。。相切于點D,

：.ODLMN,

■:BC//MN,

：.BD=CD,

/.ZBOD=/COD,

VNBAC=|ZBOC,

AZBAC=ZCOD；

(2)YE是?！?gt;的中點，

：.OE=DE=2,

在Rl/XOCE中，CE=-陽=，皆-2?=2倔

?：OELBC,

：.BE=CE=2y/3,

〈AC是。。的直徑，

/.ZABC=90°,

：.AB=>/AC2-BC2=/82-(4V3)2=4,

=心+(273)2=20.

在RtzXABE中，AE=\AB2+BE2

圖2

考點問題綜合訓練

一、選擇題

1.（2021遼寧營口）如圖，OO中，點C為弦A6中點，連接OC,OB,NCOB=56°,點。是標上任

意一點，則NAOB度數(shù)為（）

A.112°B.124°C.122°D.134°

【答案】B

【解析】作彘所對的圓周角NAP8,如圖，先利用等腰三角形的性質得到OC平分NA08,則NAOC=N

50c=56°,再根據(jù)圓周角定理得到NAP8=56°,然后根據(jù)圓內接四邊形的性質計算NA￡>B的度數(shù).

解：作益所對的圓周角N4P8，如圖，

TOCOA=OB,

???0C平分N408,

???N4OC=N8OC=56°,

，NAP8=2/AOB=56°,

2

VZAPB+ZADB=\SOQ,

/.ZA￡>B=180°-56°=124°.

故選：B.

2.(2021浙江紹興)如圖，正方形A8CD內接于。0,點P在標匕ZBPC=()

【答案】B

【解析】根據(jù)正方形的性質得到弧所對的圓心角為90°,則N5OC=9(T,然后根據(jù)圓周角定理求解.

;正方形ABCD內接于。0,

.3C弧所對的圓心角為90°,

ZBOC=90°，

；.NBPC=Z/BOC=45°.

2

3.(2021云南)如圖，等邊AABC的三個頂點都在。。上，AO是。。的直徑.若。4=3,則劣弧的

長是：)

A.-B.nC.—D.2n

22

【答案】B

【解析】連接08、BD,由等邊AABC,可得NQ=NC=60。，且08=。。，故ABO。是等邊三角形，NBOD

=60°.又半徑。4=3,根據(jù)弧長公式即可得劣弧8。的長.

解：連接。8、BD,如圖：

丁等邊A4BC,

AZC=60°,

???弧48=弧人8,

???ND=NC=60。，

'：OB=OD,

???△50。是等邊三角形，

AZBOD=60°,

???半徑0A=3,

???劣弧的長為竺&坦=

180

【點評】本題考查等邊三角形及圓的弧長，解題的關鍵是掌握弧長公式并能熟練應用.

4.（2021四川瀘州）如圖，。0的直徑48=8,AM,8N是它的兩條切線，。七與00相切于點E,并與

AM,BN分別相交于。，C兩點，BD,OC相交于點凡若C￡>=10,則B尸的長是（）

【解析】如圖，構建如圖平面直角坐標系，過點。作。H_L3C于從想辦法求出C,。兩點坐標，構建一

次函數(shù)，利用方程組確定交點坐標即可.

如圖，構建如圖平面直角坐標系，過點力作O〃_L8C于”.

TAB是直徑，A8=8,

：.0A=0B=4,

,;AO,BC,CO是0。的切線，

AZDAB=ZABH=ZDHB=9Q°,DA=DE,CE=CB,

???四邊形ABH。是矩形，

：?AD=BH,AB=DH=S,

?**CH=VCD2-DH2=7102-82=6,

設貝ijEC=CB=x+6,

/.X+A+6=10,

???x=2,

：.D(2,4),C(8,-4),B(0,-4),

:.直線OC的解析式為y=-X,直線AD的解析式為y=4x-4,

8

_1

y-X

由＜-2,解得，

4,

y=4x-4y=3

.??尸（星,-A）,

99

，叩椅/MEW

故選：A.

5.（2020?黔東南州）如圖，OO的直徑8=20,AB是。。的弦，ABLCD,垂足為M,OM：。。=3：5,

則AB的長為（）

A.8B.12C.16D.2、，宛

【答案】C

【解析】連接。4,先根據(jù)。0的直徑CO=20,OM：0。=3：5求出0。及OM的長，再根據(jù)勾股定理可

求出AM的長，進而得出結論.

連接。4,

;。。的直徑CQ=20,OM：OD=3：5,

工00=10,OM=6,

??F8J_CO,

：,AM=<0A2-0M2="02-62=8,

6.（2020?營口）如圖，48為。。的直徑，點C,點。是。。上的兩點，連接C4,CD,AD.若NC4B=

40°,則NAOC的度數(shù)是（）

C

D

A.110°B.130°C.140°D.160°

【答案】B

【解析】連接BC,如圖，利用圓周角定理得到NAC8=90°,則N8=50°,然后利用圓的內接四邊形的

性質求N4DC的度數(shù).

如圖，連接8C,

:A8為00的直徑，

.??NAC8=9(T,

/.ZB=90°-ZG4B=90°-40°=50°,

VZfi+ZADC=180°，

：.ZADC=I8O°-50°=130°.

7.（2020?湘西州）如圖，PA.P8為圓。的切線，切點分別為A、B,尸。交4B于點C,P。的延長線交

圓O于點。.下列結論不一定成立的是（）

A.△5%為等腰三角形

B.AB與P。相互垂直平分

C.點A、B都在以尸。為直徑的圓上

D.尸。為AB以的邊AB上的中線

【答案】B

【解析】根據(jù)切線的性質即可求出答案.

(A);以、PB為圓。的切線，

網(wǎng)是等腰三角形，故A正確.

(8)由圓的對稱性可知：ABLPD,但不一定平分,

故BK一定正確.

(C)連接08、OA,

〈BA、PB為圓。的切線，

???/08尸=NO4P=90°,

???點人、B、P在以。P為直徑的圓上，故C正確.

(。)是等腰三角形，PD1AB,

JPC為48%的邊AB上的中線，故。正確.

8.(2020?徐州)如圖，是。O的弦，點C在過點8的切線上，OC_LOA,OC交A8于點尸.若NBPC

=70°,則NABC的度數(shù)等于()

A.75°B.70°C.65°D.60,

【答案】B

【解析】先利用對頂角相等和互余得到NA=20°,再利用等腰三角形的性質得到NOB4=NA=20°,然

后根據(jù)切線的性質得到OBLBC,從而利用互余計算出N48C的度數(shù).

'COCLOA,AZAOC=90°，

V/APO=/RPC-lf}0,???/4=90°-70°=20°,

?：OA=OB,：.ZOBA=ZA=20°,

為。。的切線，AOBLBC,???NOBC=90°,，NA8C=90°-20°=70°.

9.（2020?蘇州）如圖，在扇形Q4B中，已知NAOB=90°,OA=>/2,過砧的中點C作CO_LOA,CEL

OB,垂足分別為。、E,則圖中陰影部分的面積為（）

rt7T1

A.IT-1B.——1C.71—5D.---

2222

【答案】B

【分析】根據(jù)矩形的判定定理得到四邊形CDOE是矩形，連接OC,根據(jù)全等三角形的性質得到OD=OE,

得到矩形CDOE是正方形，根據(jù)扇形和正方形的面積公式即可得到結論.

【解析】'：CDVOA,CELOB,

：.ZCDO=ZCEO=ZAOB=90°,

，四邊形CQOE是矩形，

連接OC,

???點C是油的中點，

ZAOC=NBOC,

'：OC=OC,

???△CO性△COE(A4S),

：?OD=OE,

???矩形。OE是正方形，

a：OC=OA=y[2,

???OE=1,

???圖中陰影部分的面積=嚼0-1乂1=與一|

□OU/

B

10.（2020?黔東南州）如圖，正方形ABC。的邊長為2,。為對角線的交點，點E、尸分別為BC、AD的

中點.以。為圓心，2為半徑作圓弧時，再分別以E、尸為圓心，1為半徑作圓弧前、OD,則圖中陰影部

分的面積為（）

R

A.n-1B.JT-2C.IT-3D.4-n

【答案】B

【分析】根據(jù)題意和圖形，可知陰影部分的面積是以2為半徑的四分之一個圓的面積減去以1為半徑的半

圓的面積再減去2個以邊長為1的正方形的面積減去以1半徑的四分之一個圓的面積，本題得以解決.

【解析】由題意可得,

陰影部分的面積是：-,TTX22-1-7TXI2-2(1Xl-i*nXI2)=TT-2,

424

11.（2020?金華）如圖，00是等邊△ABC的內切圓，分別切A8,BC,AC于點E,F,D,P是5?■上一

點，則NEP尸的度數(shù)是（）

A.65°B.60°C.58°D.50'

【答案】B

【解析】如圖，連接OE，OF.求出NEO尸的度數(shù)即可解決問題.

如圖，連接OE,OF.

：.OELAB,OFLBC,

：./OEB=NOFB=90°,

???△ABC是等邊三角形，

AZB=60°,

AZ￡OF=I20°,

ZEPF=|ZEOF=60°.

二、填空題

I.（2021江西）如圖，在邊長為6百的正六邊形48coEF中，連接BE,CF,其中點M,N分別為BE和

CF上的動點.若以M,N,D為頂點的三角形是等邊三角形，且邊長為整數(shù)，則該等邊三角形的邊長

【答案】9或10或18.

【解析】連接OF,OB,BF.則aOB尸是等邊三角形.解直角三角形求出。尸，可得結論.當點N在OC上，點

M在0E上時，求出等邊三角形的邊長的最大值，最小值，可得結論.

解：連接。七。84E則△OBr是等邊三角形.

A

設BE交DF于J.

???六邊形4BCOE尸是正六邊形，

，由對稱性可知，DFLBE,NJEF=60",EF=ED=6冊,

，E/="=E尸?sin600=6加X返=9,

2

/.DF=18,

???當點M與8重合，點N與〃重合時，滿足條件，

的邊長為18,

如圖，當點N在0C上，點”在。七上時，

等邊AQMN的邊長的最大值為6臟心10.39,最小值為9,

???△QMN的邊長為整數(shù)時，邊長為10或9,

綜上所述，等邊△OMN的邊長為9或10或18.

2.（2021重慶）如圖，在菱形A8co中，對角線AC=12,8。=16,分別以點4,B,C,。為圓心，工8

2

的長為半徑畫弧，與該菱形的邊相交，則圖中陰影部分的面積為一.（結臭保留n）

【答案】96-100m

【解析】先求出菱形面積，再計算四個扇形的面積即可求解.

在菱形48C。中，有：AC=12.80=16.

,AB=^(^-BD)2+(-1AO2=10-

VZABC+ZBCD+ZCDA+ZDAB=360<>.

，四個扇形的面積，是一個以工8的長為半徑的圓.

2

，圖中陰影部分的面積=2x12X16-nX102=96-lOOir.

2

3.(2021內蒙古通遼)如圖，A8是。。的弦，AB=243,點C是。。上的一個動點，且NAC8=60°,

若點、M,N分別是A8,BC的中點，則圖中陰影部分面積的最大值是

【答案】"

34

【解析】連接OA、OB、OM,根據(jù)圓周角定理得到NAO8=120°,求出0加=1,。4=2,再根據(jù)三角形

s

中位線性質得到MN//AC,MN=±AC,然后根據(jù)三角形相似得到△岫N=(MN)2=工，故當?shù)?/p>

2^AABCAC4

面積最大時，△M8N的面積最大，由。、O、M在一條直線時，△A8C的面積最大，求得△ABC的最大值,

進而即可求得△M8N的面枳最大值，利用扇形的面積和三角形的面積求得弓形的面積，進而即可求得陰影

部分的最大值.

AZAOB=1200,

OA=OB,

A7OAR=7ORA=W,

*：AM=BM=±AB=J3,

2

：.OMYAB.

/.tan30o=QL

AM

：.0M=?又如=1,

3

：,OA=2OM=2,

二點M、N分別是43、BC的中點,

：.MN//AC,MN=X1C,

2

:?△MBNs^ABC,

S

AMBN_(MN)2=工

,△ABCAC4

當AABC的面積最大時，△MBN的面積最大,

C、。、M在一條直線時，△A8C的面積最大,

次,

△ABC的面積最大值為:Ax2V3X<2+1)=3

2

△MBN的面積最大值為：斑③,

4

S弓形=S扇形OA3-S^AOB=*疑2巾L號S

此時，s”也-仁笙=業(yè)-返

3434

4（2020?黑龍江）如圖，AO是△ABC的外接圓。。的直徑，若NBCA=5Q°,則乙4。8=

【答案】50.

【解析】根據(jù)圓周角定理即可得到結論.

???A。是△ABC的外接圓。。的直徑,

???點A,3,C,。在。O上，

VZflCA=50°,

：.NAOB=NBC4=50°

5.（2020?天水）如圖所示，若用半徑為8,圓心角為120°的扇形圍成一個圓錐的側面（接縫忽略不計），

則這個圓錐的底面半徑是.

8

【答案】

【解析】根據(jù)半徑為8,圓心角為120°的扇形弧長，等于圓錐的底面周長，列方程求解即可.

設圓錐的底面半徑為r,

一1207TX8

由題意得，-------=2nr,

180

解得，r=|

6.（2020?蘇州）如圖，已知48是。0的直徑，AC是。0的切線，連接0C交于點。，連接若

NC=40°,則的度數(shù)是°.

【答案】25.

【分析】先根據(jù)切線的性質得NO4C=90'，再利用互余計算出NAOC=90°-ZC=50°,由于/。8。=

NODB,利用三角形的外角性質得NOBQ另NAOC=25°.

【解析】???AC是。。的切線,

：,OALAC.AZOAC=90°,

/./AOC=W-ZC=90°-40。=50°,

?；OB=OD,

：.NOBD=NODB,

而ZAOC=ZOBD+ZODB,

：.ZOBD=|ZAOC=25°,

即NMO的度數(shù)為25°

7.（2020?重慶）如圖，在邊長為2的正方形ABC。中，對角線AC的中點為。，分別以點A,C為圓心,

以AO的長為半徑畫弧，分別與正方形的邊相交，則圖中的陰影部分的面積為.（結果保留n）

【答案】4-m

【解析】據(jù)勾股定理求出AC,得到OA、0C的長，根據(jù)正方形的面積公式、扇形面積公式計算，得到答案.

???四邊形ABCD為正方形,

:?AB=BC=2,/DAB=/DCB=90°,

由勾股定理得，AC=VAB2+BC2=2^,

：.OA=OC=>/2,

???圖中的陰影部分的面積=22-9以*琢*2=4-n

3oU

8.（2020?荊門）如圖所示的扇形408中，0A=08=2,NAOB=90",C為防上一點，NAOC=30°,

連接BC,過。作0A的垂線交40于點D,則圖中陰影部分的面積為.

月

【答案】］2一苧

【解析】根據(jù)扇形的面積公式，利用圖中陰影部分的面積=S@形BOC-SAOBC+SZXCO。進行計算.

???NAO8=90°,NAOC=30°,：,ZBOC=6Q°,

???扇形40B中，04=08=2,：.0B=0C=2,??.△BOC是等邊三角形，

:過。作0A的垂線交A0于點。，AZ0DC=90°,

VZAOC=30°,

：.0D=^°C=y[3,CD=10C=1,

，圖中陰影部分的面積一S扇形BOC-S^OBC+S^COD

=60^22—|x2x2x^y+|xV3X1

9.（2020?鄂州）用一個圓心角為120。，半徑為4的扇形制作一個圓錐的側面，則此圓錐的底面圓的半徑

為.

4

【答案】

3

【解析】根據(jù)扇形的弧長公式求出弧長，根據(jù)圓錐的底面周長等于它的側面展開圖的弧長求出半徑.

設圓錐底面的半徑為「，

—.…,120^X48

扇形的弧長為：-------=F，

1803

???圓錐的底面周長等于它的側面展開圖的弧長,

?二根據(jù)題意得2nr=尹,

4

得

解-

3-

10.（2020?泰安）如圖，點0是半圓圓心，BE是半圓的直徑，點A,。在半圓上，且4O〃B。，NA8O

=60°,45=8,過點。作。CLBE于點C,則陰影部分的面積是.

【答案】--8^.

【分析】連接04易求得圓。的半徑為8,扇形的圓心角的度數(shù)，然后根據(jù)S陽影=SAAO5+S凰形QAD+S項形

ODE-SABCD即可得至lj結論.

【解析】連接Q4,

???/舫0=60°,OA=OB,???△A08是等邊三角形，

???A8=8,???0。的半徑為8,

■:AD!/OB,???NOAO=NAO8=60°,

t：OA=OD,???NAOO=60°,

VZAOB=ZAOD=60°,AZD0￡=60°，

?.?OC_LBE于點C,

1

-

2

12

-

2x8x4V3+2x6。靖-|xl2x4x^3

OUU4

=竽-8、片

11.（2020?臺州）如圖，在△A8C中，。是邊BC上的一點，以4。為直徑的0。交4c于點E，連接。石.若

OO與相切，ZADE=55°,則NC的度數(shù)為.

【解析】由直徑所對的圓周角為直角得N工￡。=90°,由切線的性質可得NAOC=90°,然后由同角的余

角相等可得NC=NAOE=55°.

〈AD為OO的直徑,

???NA￡O=90°,

/.ZADE+ZDAE=90°；

?.?。0與8C相切，/.ZADC=90°，

：.ZC+ZDAE=90°，：,ZC=AADE,

???NAOE=55°，???NC=55°.

12.（2020?福建）一個扇形的圓心角是90°,半徑為4,則這個扇形的面積為.（結果保留TT）

【答案】47T.

【解析】利用扇形的面積公式計算即可.

c90"4"4

S扇形=-5而一—

13.（2020?南京）如圖，在邊長為2cm的正六邊形ABCDEF中,點P在上，則APE產(chǎn)的面積為cm2.

CD

【答案】2代

【解析】連接BF,BE,過點A作AT_LB尸于7；證明S“EF=SMEF,求出ABM的面積即可.

連接BEBE,過點A作AT_LB尸于T

:.CB"EF,AB=AF,ZBAF=\20°,

.*.SAPEF=SABEF,

TATIBE,AB=AF,

：.BT=FT,NB4T=/RT=60°,

???8T=FT=A8?sin600=6,

:?BF=2BT=26,

VZAFE=120°,ZAFB=ZABF=3Q°,

：?/BFE=90°,

:?SAPEF=S、BEF=2,EF?BF=Ix2X2、石=2、用

三、解答題

1.(2021山東濟寧)如圖，點C在以AB為直徑的。。上，點。是6c的中點，連接。。并延長交。。于

點E,作NEBP=NEBC,8P交。E的延長線于點P.

(1)求證：PB是。。的切線；

(2)若AC=2,PD=6,求。。的半徑.

B

【答案】見解析

【分析】（1）由4A為直徑，可得/4。?=90°,又力為中點,C為AA中點，可得CO〃AC從而/

006=90°.由08=。七得N0E8=N08E,又N0EB=NP+NEBP,N0BE=N0BD+NEBC,所以NP+

NEBP=N0BD+NEBC,又NEBP=NEBC,得/尸=NOBO.又NB0D+NOBD=90。,從而可得NB0D+

NP=90°,即NO8P=90°.則可證為。0切線；

（2）由（1）可得。。=1,從而尸0=7,可證明△BOP?△0BP,從而得比例BP=DP,解得B尸=根，

OPBP

最后由勾股定理可求半徑0B.

解：C1）證明：???AB為直徑，

???NACB=90°,

又。為5。中點，。為A8中點，

故OQ=工AOOD//AC,

2

：?NODB=NACB=90°.

?：0B=0E,

：./0EB=N0BE,

又?：/OEB=NP+NEBP,ZOBE=ZOBD+ZEBC,

：.NP+NEBP=NOBD+/EBC,

又/EBP=/EBC,

：?4P=/0BD.

?：/BOD+/OBD=90°,

AZBOD+ZP=90°,

???NO5P=90°.

又OB為半徑，

故PB是。。的切線.

（2）*：AC=2,

由（1）得OO=_LAC=L

2

又PD=6,

：,PO=PD+OD=6+\=1.

VZP=ZP,NBDP=NOBP=90°,

：.4BDP?AOBP.

A=DP,即8產(chǎn)=0P?。尸=7X6=42,

OPBP

ABP=V42.

Jop2_Bp2=V49-42=V7-

故oo的半徑為證.

2.(2021云南)如圖，AB是。0的直徑，點C是。。上異于A、B的點,連接AC、BC,點。在84的延

長線上，且N￡>C4=NABC,點E在。C的延長線上，HBELDC.

(1)求證：OC是。O的切線；

(2)若絲=2,BE=3,求0A的長.

【答案】見解析。

【解析】(1)連接OC,由等腰三角形的性質得出NOCB=NOBC,由圓周角定理得出N4CB=90。，證出

NOCO=90。，則可得出結論；

nrOD4

(2)設O4=08=2x,OD=3x,證明△OCOS^DEB,由相似三角形的性質得出匕=士上=巳，求出

BEDB5

的長，則可求出答案.

【答案】(1)證明:連接。C,

E

*：OC=OB,

：,ZOCB=NOBC,

???ZABC=ZDCA,

???NOCB=NOCA,

又???AB是。。的直徑，

:.NACB=90。，

，N4C0+N0C8=90。，

???/OCA+NACO=90。，

即NDCO=90。，

???OC_LOC,

???OC是半徑，

???OC是。。的切線；

(2)解：???絲=2,且0A=08,

OD3

設OA=OB=2x,OD=3x,

：,DB=OD+OB=5x,

?OD_3

.?,

DB5

又〈BELDC,DC,LOC,

：.OC〃BE,

：?4DC0s4DEB,

.OCOD3

??==—,

BEDB5

?:BE=3,

?

??%L—9,

10

9

：,AD=OD-OA=x=—,

10

即4。的長為2.

10

【點評】本題考查了圓周角定理、平行線的性質、等腰三角形的性質、切線的判定、相似三角形的判定與

性質等知識；熟練掌握切線的判定與相似三角形的判定和性質是解題的關鍵.

3.(2021新疆)如圖，AC是的直徑，BC,是。0的弦，M為BC的中點，OM與BD交于點F,

過點。作DEJ_8C,交8C的延長線于點E,且8平分NACE.

(1)求證：是。。的切線；

(2)求證：/CDE=/DBE；

(3)若OE=6,tan/COE=2,求8/的長.

3

【解析】(1)連接OO，由8平分/ACE,OC=OD,可得OD//BC,從而可證是

OO的切線；

(2)連接A3,由AC是。。的直徑，得N48O+ND8C=90°,又/ABD=4ACD,ZABD=ZODC,可

得NOOC+NOBC=90°,結合NODC+NCDE=90°,即可得NC。七=NOBE；

(3)求出CE=4,BE=9,即可得3。=5,由例為8c的中點，可得0M_L8C,BM=$,RtZXBQW中，

2

求出FM=立，再用勾股定理即得答案，8廣=后而不='亙.

36

【解答】(1)證明：連接0￡>,如圖:

?；CD平分NACE,

：?/OCD=/DCE,

?：OC=OD,

：.ZOCD=ZODC,

:.NDCE=NODC,

：.OD//BC,

'：DELBC,

：.DELOD,

是。。的切線；

（2）證明：連接48,如圖:

〈AC是。。的直徑，

AZABC=90°,即NA6Q+NO6C=90°,

vAE=AD.

:.NABD=NACD,

'：NACD=NODC,

：.NABD=NODC,

???NOOC+NOBC=90°,

?：/ODC+/CDE=90°，

：./CDE=/DRC,即/CDF-/DRE-

(3)解：RtZkCOE中，DE=6,tan/CZ)E=2,

3

?

??，CE_—29

63

：?CE=4,

由(2)知NCDE=NDBE,

RtZXBDE中，DE=6,tan/O8E=2,

3

?-???6_29

BE3

???8E=9,

：,BC=BE-CE=5,

???何為8c的中點，

；?0M上BC,8M=Zc=$,

22

RtZXB尸M中，8M=9,tan/DBE=2,

23

.理=2

??§一§