第一章 空間向量與立體幾何 單元檢測(cè)卷（含解析）-2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版（2019）選擇性必修第一冊(cè)

第一章空間向量與立體幾何單元檢測(cè)卷學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．已知，如果與為共線向量，則（）A．1 B． C． D．2．已知直線的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則直線與平面的關(guān)系是（

）A． B． C． D．或3．棱長為2的正方體中，是中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．4．已知空間的三個(gè)不共面的單位向量，，，對(duì)于空間的任意一個(gè)向量，（

）A．將向量，，平移到同一起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)在同一個(gè)單位圓上B．總存在實(shí)數(shù)x，y，使得C．總存在實(shí)數(shù)x，y，z，使得D．總存在實(shí)數(shù)x，y，z，使得5．在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量是平面的一個(gè)法向量，且，則直線與平面所成角的正弦值是（

）A． B． C． D．6．已知，，則線段AB中點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B．C． D．二、多選題7．如圖，平面，，則（

）

A．B．平面C．二面角的余弦值為D．直線與平面所成角的正弦值為8．如圖，在棱長為2的正方體中，分別為棱，的中點(diǎn)，則以下四個(gè)結(jié)論正確的是（

）A．B．C．直線與所成角的余弦值為D．Q到平面的距離為三、填空題9．已知空間向量，．若與平行，則．10．在正方體中，為線段的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則直線與所成角的正弦值的最小值為．11．已知直線與平面垂直，直線的一個(gè)方向向量為，向量與平面平行，則.12．在正三棱柱中，已知，則直線與平面所成的角的正弦值為．四、解答題13．已知三棱柱中，，，，.(1)求證：平面平面；(2)若，且P是的中點(diǎn)，求平面和平面所成二面角的正弦值.14．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的菱形，，，M為PD的中點(diǎn)，E為AM的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段PB上，且．(Ⅰ)求證平面ABCD；(Ⅱ)若平面底面ABCD，且，求．15．如圖，在梯形中，，，，為等邊三角形，平面平面，E為棱的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.16．如圖，在三棱錐中，是正三角形，平面平面，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)若，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，問：點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，平面與平面所成銳二面角的余弦值最大．參考答案：題號(hào)12345678答案DDADBABCABC1．D【分析】由與為共線向量則求解即可.【詳解】因?yàn)榕c為共線向量，所以，即，解得，故選：D2．D【分析】根據(jù)直線方向向量與平面法向量垂直得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)椋?，則或.故選：D3．A【分析】的中點(diǎn)為，有，余弦定理求即可；或建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求異面直線所成的角.【詳解】解法一：連接，取的中點(diǎn)，連接，如圖所示，

分別是的中點(diǎn)，，則是異面直線與所成角或其補(bǔ)角.正方體棱長為2，面對(duì)角線長為，由正方體的結(jié)構(gòu)可知，中，，，則，同理，在中，，，由余弦定理可知.所以異面直線與所成角的余弦值是.解法二：以為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S，軸，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，有，，所以異面直線與所成角的余弦值是.故選：A.4．D【分析】根據(jù)空間向量的基底與共面向量充要條件逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】解：對(duì)于A，當(dāng)空間的三個(gè)不共面的單位向量，，作為空間直角坐標(biāo)系的標(biāo)準(zhǔn)正交基底時(shí)，向量，，平移到同一起點(diǎn)即坐標(biāo)原點(diǎn)，此時(shí)它們的終點(diǎn)形成邊長為的正三角形，其外接圓半徑滿足，即，不是單位圓，故A不正確；對(duì)于B，由三個(gè)向量共面的充要條件可知，當(dāng)向量，，共面時(shí)，總存在實(shí)數(shù)x，y，使得，但向量是空間的任意一個(gè)向量，即，，可以不共面，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由于向量，則向量是空間中的一組共面向量，不能作為空間的基底向量，所以當(dāng)不與，共面時(shí)，則找不到實(shí)數(shù)x，y，z，使得成立，故C不正確；對(duì)于D，已知空間的三個(gè)不共面的單位向量，，，則向量不共面，所以可以作為空間向量的一組基底，則總存在實(shí)數(shù)x，y，z，使得，故D正確.故選：D.5．B【分析】由題意，根據(jù)空間向量的數(shù)量積的定義計(jì)算即可.【詳解】直線與平面所成角的正弦值等于.故選：B6．A【分析】利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式直接計(jì)算即可.【詳解】由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得線段AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為，即.故選：A7．BC【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用，判斷；依題意，是平面的法向量，由，則，判斷；分別求出平面的一個(gè)法向量，平面的法向量，再求出，，即可判斷.【詳解】解：以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S?軸?軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

可得，則，所以，所以不垂直，故A錯(cuò)誤；依題意，是平面的法向量，又，可得，則，又因?yàn)橹本€平面，所以平面，故B正確；設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，即，令，可得，依題意，，設(shè)n=x,y,z為平面則，即，不妨令，可得，所以，故C正確；因?yàn)?，故D錯(cuò)誤.故選：BC.8．ABC【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)空間向量的公式計(jì)算各選項(xiàng)即可判斷.【詳解】解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，A2,0,0，，，，，，對(duì)于選項(xiàng)A，，，則有，所以，故，所以選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，，因?yàn)?，所以，故，所以選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，，，所以，所以直線與所成角的余弦值為，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)?，，設(shè)平面的法向量為，則有，即，令，則，，所以，又，故Q到平面的距離為，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：ABC.9．/【分析】由向量平行列式解得參數(shù)，即可求模.【詳解】由，，得．因?yàn)榕c平行，所以，解得，所以，所以．故答案為：.10．/【分析】設(shè)正方體的棱長為，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，其中，利用空間向量法、二次函數(shù)的基本性質(zhì)以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得直線與所成角的正弦值的最小值.【詳解】設(shè)正方體的棱長為，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，其中，易得、、，，，所以，，當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)，直線與所成角的正弦值的最小值為.故答案為：.11．3【分析】根據(jù)向量的垂直關(guān)系計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)橹本€與平面垂直，為直線的一個(gè)方向向量，向量與平面平行，所以，即，解得故答案為：3【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了直線的方向向量，屬于容易題.12．/【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用向量知識(shí)進(jìn)行求解.【詳解】解：以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

已知，，故，，，，，設(shè)平面的法向量為，即，故，令，故，，所以直線與平面所成的角的正弦值為.故答案為：.13．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，再結(jié)合得到平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得到，再結(jié)合得到平面，最后根據(jù)面面垂直的判定定理證明即可；（2）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)證明平面，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【詳解】（1）在三棱柱中，四邊形是平行四邊形，而，則四邊形是菱形，連接，如圖，則有，因?yàn)?，，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，則，由得，因?yàn)椋?，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；?）在菱形中，，則為等邊三角形，又因?yàn)镻是的中點(diǎn)，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則,故，設(shè)平面的法向量為，則有，可取，設(shè)平面的法向量為，則有，可取，故，所以平面和平面所成二面角的正弦值為.14．（I）見證明；（II）【分析】（I）取的中點(diǎn)，連結(jié)，，，推導(dǎo)出平面平面，由此能證明平面；（II）取中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出．【詳解】（I）取的中點(diǎn)，連結(jié)，，在四棱錐中，底面是邊長為的菱形，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，，平面平面平面平面（II）平面底面，且平面取中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，，平面的法向量點(diǎn)到平面的距離【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．15．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)“由中點(diǎn)找中點(diǎn)”得到，易得平面；（2）根據(jù)題設(shè)建系，求出相關(guān)點(diǎn)和向量的坐標(biāo)以及平面的法向量，利用空間向量的夾角公式計(jì)算即得.【詳解】（1）如圖，取的中點(diǎn)F，連結(jié)，.因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以，.

因?yàn)?，，所以?

即四邊形是平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）如圖，取的中點(diǎn)O，的中點(diǎn)G，連結(jié)，，則，因?yàn)闉榈冗吶切危裕驗(yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面，所以平面，又平面，?

分別以，，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，，則，，，故，，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則令，則

設(shè)直線與平面所成角為，則.即直線與平面所成角的正弦值為.16．(1)證明見解析；(2)為的中點(diǎn)．【分析】(1)利用等腰三角形三線合一可知AE⊥CD，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得AE⊥平面BCD，從而可得AE⊥CD；再結(jié)合EF∥BD，CD⊥BD可得CD⊥EF，結(jié)合線面垂直判定定理即可得CD⊥平面AEF；(2)在平面中，過點(diǎn)作，垂足為，以為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)BC＝4并設(shè)G點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量方法表示出平面與平面所成二面角的余弦即可求解．【詳解】（1）∵是正三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴