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第=page11頁(yè),共=sectionpages11頁(yè)河北省衡水中學(xué)2025屆高三上學(xué)期期中綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)試卷一、單選題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若復(fù)數(shù)z滿足iz=1?3i,則z=(
)A.5 B.10 C.5 2.設(shè)全集U=?2,?1,0,1,2,3,集合A=?1,2,B=x∣xA.1,3 B.0,1,3 C.?2,1 D.?2,0,13.用平行于底面的平面截正四棱錐,截得幾何體為正四棱臺(tái).已知正四棱臺(tái)的上?下底面邊長(zhǎng)分別為1和2,側(cè)棱與底面所成的角為π4,則該四棱臺(tái)的體積是(
)A.76 B.726 C.4.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a2+aA.60 B.72 C.120 D.1445.已知兩條不同的直線l,m,兩個(gè)不同的平面α,β,則下列條件能推出α//β的是(
)A.l?α,m?α,且l//β,m//β B.l?α,m?β,且l//m
C.
l⊥α,m⊥β,且l//m D.l//α,m//β,且l//m6.函數(shù)fx=ex+x?4,x<1lnx,x≥1,若A.?1 B.?∞,?1 C.
?1,+∞ D.?1,?7.在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi),函數(shù)y=f(x)及其導(dǎo)函數(shù)y=f’(x)的圖象如圖所示,已知兩圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),其坐標(biāo)為(0,1),則(
)A.函數(shù)y=f(x)+x的最大值為1 B.函數(shù)y=exf(x)的最小值為1
C.函數(shù)y=f(x)?ex的最大值為1 8.如圖,在棱長(zhǎng)為5的正方體ABCD?A′B′C′D′中,M是側(cè)面ADD′A′上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P為線段CC′上,且PC′=2,則以下命題正確的是(
)(動(dòng)點(diǎn)的軌跡:指動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所形成的圖形)
A.沿正方體的表面從點(diǎn)A到點(diǎn)P的最短距離是109
B.保持PM與BD′垂直時(shí),點(diǎn)M的軌跡長(zhǎng)度為32
C.若保持PM=26,則M的軌跡長(zhǎng)度為43二、多選題:本題共3小題,共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求。9.以下是真命題的是(
)A.已知,為非零向量,若a+b>a?b,則與的夾角為銳角
B.已知,,為兩兩非共線向量,若a?b=a?c,則a⊥b?c
C.在三角形10.已知定義在R上的函數(shù)fx,gx,其導(dǎo)函數(shù)分別為f′x,g′x,f1?x=6?g′1?x,A.gx的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱 B.g′x+6=g′x
C.11.已知△ABC中,AB⊥BC,AB=BC=2,E,F(xiàn)分別在線段BA,CA上,且BE=λBA,CF=λCA(λ∈(0,1)).現(xiàn)將△AEF沿EF折起,使二面角A?EF?C的大小為A.若λ=12,α=π3,則點(diǎn)F到平面ABC的距離為32
B.存在λ使得四棱錐A?BCFE有外接球
C.若λ=13,則三棱錐F?AEB體積的最大值為1681三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分。12.如圖,在正三棱柱ABC?A1B1C1中,AB=1,AA1=2,D為13.如圖,圓O與x軸的正半軸的交點(diǎn)為A,點(diǎn)C、B在圓O上,且點(diǎn)C位于第一象限,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(45,?35),∠AOC=α,若BC=1,則14.曲線y=lnx在Ax1,y1,Bx2,y2兩點(diǎn)處的切線分別為l1,l2,且l1⊥l四、解答題:本題共5小題,共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)已知△ABC的面積為203,O為邊BC的中點(diǎn),OA=5,(1)求邊BC的長(zhǎng);(2)求角C的正弦值.16.(本小題15分)
如圖,三棱臺(tái)ABC?A1B1C1中,△ABC是正三角形,A1A⊥平面ABC,AB=2A1A=2(1)證明:B1B⊥(2)求直線C1C與平面MCN17.(本小題15分)已知數(shù)列an和bn滿足,a1=2,b(1)求an與b(2)記數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為Tn,且cn=1bnb18.(本小題17分)如圖,四棱錐P?ABCD的底面ABCD為正方形,E,F(xiàn)分別為PA,PC的中點(diǎn),且平面PBD⊥平面BEF.(1)證明:PA=PC;(2)若PB=2PD,當(dāng)四棱錐P?ABCD的體積最大時(shí),求平面PAB與平面19.(本小題17分)設(shè)y=fx是定義域?yàn)镈且圖象連續(xù)不斷的函數(shù),若存在區(qū)間a,b?D和x0∈a,b,使得y=fx在a,x0上單調(diào)遞增,在x0(1)判斷gx(2)已知m>1,?x=m+2x?x(3)設(shè)n∈R,函數(shù)Ix=x3?2nx2+4n?4xlnx?13x3+nx2?4n?4x.參考答案1.B
2.C
3.B
4.B
5.C
6.A
7.B
8.B
9.BD
10.ACD
11.ACD
12.1013.3514.1;2
15.解:(1)設(shè)OB=m,∠AOB=θ(0<θ<π),則OC=m.
因?yàn)镺為邊BC的中點(diǎn),所以S△ABC=2S△AOB.
因?yàn)椤鰽BC的面積為203,所以5msinθ=203?①.
因?yàn)镺A?OB=20,所以5mcosθ=20?②.
①②得tanθ=3,所以θ=π3,所以m=8,
所以BC的長(zhǎng)為16.
(2)在△ACO16.(1)證明:因?yàn)椤鰽BC是正三角形,M為AB中點(diǎn),所以CM⊥AB,
因?yàn)锳1A⊥平面ABC,CM?平面ABC,所以CM⊥A1A,
因?yàn)锳B∩A1A=A,AB、A1A?平面A1ABB1,
所以CM⊥平面A1ABB1,
又因?yàn)锽1B?平面A1ABB1,所以CM⊥B1B,
連接AB1,易得AB1=B1B=22,
所以AB2=AB12+B1B2,所以AB1⊥B1B,
又因?yàn)锳B1//MN,所以MN⊥BB1,
因?yàn)镸N∩CM=M,MN、CM?平面MCN,
所以B1B⊥平面MCN.
(2)解:取AC中點(diǎn)O,連接BO,17.解:(1)an+1=2an,a1=2∵b∴b兩式相減得bn+1?bn=1n所以bnn=1(2)由已知,n為奇數(shù)時(shí),cnc1n為偶數(shù)時(shí),cn則c2T2nT2(n+1)4n+1∴4n+1>4∴T2(n+1)>所以{T2n}對(duì)n∈N?,T2n
18.解:(1)設(shè)AC∩BD=O,OP∩EF=Q,過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BQ于H,由平面PBD⊥平面BEF,且平面PBD∩平面BEF=BQ,DH?平面PBD,故DH⊥平面BEF,由于EF?平面BEF,所以DH⊥EF;因?yàn)镋,F(xiàn)分別為PA,PC的中點(diǎn),因此EF/?/AC,因此DH⊥AC,由底面ABCD為正方形可知AC⊥BD,由于DH∩BD=D,DH,BD?平面PBD,因此AC⊥平面PBD,由于PO?平面PBD,故AC⊥PO,因?yàn)镺為AC的中點(diǎn),因此PA=PC;
(2)不妨設(shè)AB=2,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OA為x軸,OB為y軸,過(guò)點(diǎn)O且垂直于平面ABCD的直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
則A(1,0,0),B(0,1,0),C(?1,0,0),D(0,?1,0),由(1)可知,點(diǎn)P在yOz平面內(nèi),設(shè)P(0,y0,即y0?12當(dāng)P?ABCD的體積最大時(shí),z0此時(shí)P(0,?3,22),則E(則FE=(1,0,0),BE=(1設(shè)平面PAB的法向量為m=(a,b,c),則m?令a=1,則m=(1,1,設(shè)平面BEF的法向量為n=(x,y,z),則n?令z=5,則n=(0,2則cos<即平面PAB與平面BEF的夾角的余弦值為:7
19.解:(1)由gx=x2+令px=2x?sinx,則有p′x又g′0=0,所以當(dāng)x<0時(shí),g′x<0,當(dāng)x>0時(shí),g′x>0,gx所以gx(2)由題意可知:函數(shù)?x=m+2由于?′x又當(dāng)m>1時(shí),lnm>0,則?′x在所以?′設(shè)qm=m+2?lnm,m>1,所以q′m所以當(dāng)m>1時(shí),qm>q1由于當(dāng)m>1時(shí),不等式m?mlnm<0等價(jià)于lnm>1故m的取值范圍是e,+∞.(3)由題意得:I′=3若3x2?4nx+4n?4≥0恒成立,易知當(dāng)0<x<1時(shí),I′x<0則函數(shù)y=Ix在0,1上單調(diào)遞減,在1,+∞不是山峰函數(shù),不符合題意;因此關(guān)于x的方程3x2?4nx+4n?4=0有兩個(gè)相異實(shí)根,設(shè)兩根為α,β且有Δ=16n由于當(dāng)x→0時(shí),
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