河北省衡水市衡水中學(xué)2025屆高三上學(xué)期期中綜合素質(zhì)評價數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁河北省衡水中學(xué)2025屆高三上學(xué)期期中綜合素質(zhì)評價數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若復(fù)數(shù)z滿足iz=1?3i，則z=(

)A.5 B.10 C.5 2.設(shè)全集U=?2,?1,0,1,2,3，集合A=?1,2,B=x∣xA.1,3 B.0,1,3 C.?2,1 D.?2,0,13.用平行于底面的平面截正四棱錐，截得幾何體為正四棱臺.已知正四棱臺的上?下底面邊長分別為1和2，側(cè)棱與底面所成的角為π4，則該四棱臺的體積是(

)A.76 B.726 C.4.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a2+aA.60 B.72 C.120 D.1445.已知兩條不同的直線l，m，兩個不同的平面α，β，則下列條件能推出α//β的是(

)A.l?α，m?α，且l//β，m//β B.l?α，m?β，且l//m

C.

l⊥α，m⊥β，且l//m D.l//α，m//β，且l//m6.函數(shù)fx=ex+x?4,x<1lnx,x≥1，若A.?1 B.?∞,?1 C.

?1,+∞ D.?1,?7.在同一平面直角坐標系內(nèi)，函數(shù)y=f(x)及其導(dǎo)函數(shù)y=f’(x)的圖象如圖所示，已知兩圖象有且僅有一個公共點，其坐標為(0,1)，則(

)A.函數(shù)y=f(x)+x的最大值為1 B.函數(shù)y=exf(x)的最小值為1

C.函數(shù)y=f(x)?ex的最大值為1 8.如圖，在棱長為5的正方體ABCD?A′B′C′D′中，M是側(cè)面ADD′A′上的一個動點，點P為線段CC′上，且PC′=2,則以下命題正確的是(

)(動點的軌跡：指動點運動所形成的圖形)

A.沿正方體的表面從點A到點P的最短距離是109

B.保持PM與BD′垂直時，點M的軌跡長度為32

C.若保持PM=26，則M的軌跡長度為43二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.以下是真命題的是(

)A.已知，為非零向量，若a+b>a?b，則與的夾角為銳角

B.已知，，為兩兩非共線向量，若a?b=a?c，則a⊥b?c

C.在三角形10.已知定義在R上的函數(shù)fx，gx，其導(dǎo)函數(shù)分別為f′x，g′x，f1?x=6?g′1?x，A.gx的圖象關(guān)于x=1對稱 B.g′x+6=g′x

C.11.已知△ABC中，AB⊥BC,AB=BC=2，E，F(xiàn)分別在線段BA，CA上，且BE=λBA，CF=λCA(λ∈(0,1)).現(xiàn)將△AEF沿EF折起，使二面角A?EF?C的大小為A.若λ=12，α=π3，則點F到平面ABC的距離為32

B.存在λ使得四棱錐A?BCFE有外接球

C.若λ=13，則三棱錐F?AEB體積的最大值為1681三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=1，AA1=2，D為13.如圖，圓O與x軸的正半軸的交點為A，點C、B在圓O上，且點C位于第一象限，點B的坐標為(45,?35)，∠AOC=α，若BC=1，則14.曲線y=lnx在Ax1,y1，Bx2,y2兩點處的切線分別為l1，l2，且l1⊥l四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)已知△ABC的面積為203，O為邊BC的中點，OA=5，(1)求邊BC的長;(2)求角C的正弦值．16.(本小題15分)

如圖，三棱臺ABC?A1B1C1中，△ABC是正三角形，A1A⊥平面ABC，AB=2A1A=2(1)證明：B1B⊥(2)求直線C1C與平面MCN17.(本小題15分)已知數(shù)列an和bn滿足，a1=2，b(1)求an與b(2)記數(shù)列cn的前n項和為Tn，且cn=1bnb18.(本小題17分)如圖，四棱錐P?ABCD的底面ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為PA，PC的中點，且平面PBD⊥平面BEF．(1)證明：PA=PC；(2)若PB=2PD，當四棱錐P?ABCD的體積最大時，求平面PAB與平面19.(本小題17分)設(shè)y=fx是定義域為D且圖象連續(xù)不斷的函數(shù)，若存在區(qū)間a,b?D和x0∈a,b，使得y=fx在a,x0上單調(diào)遞增，在x0(1)判斷gx(2)已知m>1，?x=m+2x?x(3)設(shè)n∈R，函數(shù)Ix=x3?2nx2+4n?4xlnx?13x3+nx2?4n?4x.參考答案1.B

2.C

3.B

4.B

5.C

6.A

7.B

8.B

9.BD

10.ACD

11.ACD

12.1013.3514.1；2

15.解：(1)設(shè)OB=m，∠AOB=θ(0<θ<π)，則OC=m．

因為O為邊BC的中點，所以S△ABC=2S△AOB．

因為△ABC的面積為203，所以5msinθ=203?①．

因為OA?OB=20，所以5mcosθ=20?②．

①②得tanθ=3，所以θ=π3，所以m=8，

所以BC的長為16．

(2)在△ACO16.(1)證明：因為△ABC是正三角形，M為AB中點，所以CM⊥AB，

因為A1A⊥平面ABC，CM?平面ABC，所以CM⊥A1A，

因為AB∩A1A=A，AB、A1A?平面A1ABB1，

所以CM⊥平面A1ABB1，

又因為B1B?平面A1ABB1，所以CM⊥B1B，

連接AB1，易得AB1=B1B=22，

所以AB2=AB12+B1B2，所以AB1⊥B1B，

又因為AB1//MN，所以MN⊥BB1，

因為MN∩CM=M，MN、CM?平面MCN，

所以B1B⊥平面MCN．

(2)解：取AC中點O，連接BO，17.解：(1)an+1=2an，a1=2∵b∴b兩式相減得bn+1?bn=1n所以bnn=1(2)由已知，n為奇數(shù)時，cnc1n為偶數(shù)時，cn則c2T2nT2(n+1)4n+1∴4n+1>4∴T2(n+1)>所以{T2n}對n∈N?，T2n

18.解：(1)設(shè)AC∩BD=O，OP∩EF=Q，過點D作DH⊥BQ于H，由平面PBD⊥平面BEF，且平面PBD∩平面BEF=BQ，DH?平面PBD，故DH⊥平面BEF，由于EF?平面BEF，所以DH⊥EF；因為E，F(xiàn)分別為PA，PC的中點，因此EF/?/AC，因此DH⊥AC，由底面ABCD為正方形可知AC⊥BD，由于DH∩BD=D，DH,BD?平面PBD，因此AC⊥平面PBD，由于PO?平面PBD，故AC⊥PO，因為O為AC的中點，因此PA=PC；

(2)不妨設(shè)AB=2，以O(shè)為坐標原點，OA為x軸，OB為y軸，過點O且垂直于平面ABCD的直線為z軸，建立空間直角坐標系，

則A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(?1,0,0)，D(0,?1,0)，由(1)可知，點P在yOz平面內(nèi)，設(shè)P(0,y0,即y0?12當P?ABCD的體積最大時，z0此時P(0,?3,22)，則E(則FE=(1,0,0)，BE=(1設(shè)平面PAB的法向量為m=(a,b,c)，則m?令a=1，則m=(1,1,設(shè)平面BEF的法向量為n=(x,y,z)，則n?令z=5，則n=(0,2則cos<即平面PAB與平面BEF的夾角的余弦值為：7

19.解：(1)由gx=x2+令px=2x?sinx，則有p′x又g′0=0，所以當x<0時，g′x<0，當x>0時，g′x>0，gx所以gx(2)由題意可知：函數(shù)?x=m+2由于?′x又當m>1時，lnm>0，則?′x在所以?′設(shè)qm=m+2?lnm，m>1，所以q′m所以當m>1時，qm>q1由于當m>1時，不等式m?mlnm<0等價于lnm>1故m的取值范圍是e,+∞．(3)由題意得：I′=3若3x2?4nx+4n?4≥0恒成立，易知當0<x<1時，I′x<0則函數(shù)y=Ix在0,1上單調(diào)遞減，在1,+∞不是山峰函數(shù)，不符合題意；因此關(guān)于x的方程3x2?4nx+4n?4=0有兩個相異實根，設(shè)兩根為α，β且有Δ=16n由于當x→0時，