黑龍江齊齊哈爾市2023-2024學年高三下學期數學試題4月開學考試卷

黑龍江齊齊哈爾市2023-2024學年高三下學期數學試題4月開學考試卷注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．相傳黃帝時代，在制定樂律時，用“三分損益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音調．如圖的程序是與“三分損益”結合的計算過程，若輸入的的值為1，輸出的的值為（）A． B． C． D．2．已知函數的圖象如圖所示，則可以為（）A． B． C． D．3．函數在上單調遞增，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．4．已知是過拋物線焦點的弦，是原點，則（）A．－2 B．－4 C．3 D．－35．已知函數，，若對任意的總有恒成立，記的最小值為，則最大值為（）A．1 B． C． D．6．要得到函數的圖象，只需將函數的圖象A．向左平移個單位長度B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度D．向右平移個單位長度7．已知函數，若恒成立，則滿足條件的的個數為（）A．0 B．1 C．2 D．38．把滿足條件（1），，（2），，使得的函數稱為“D函數”，下列函數是“D函數”的個數為（）①②③④⑤A．1個 B．2個 C．3個 D．4個9．已知定義在上的偶函數，當時，，設，則（）A． B． C． D．10．如圖所示的莖葉圖為高三某班名學生的化學考試成績，算法框圖中輸入的，，，，為莖葉圖中的學生成績，則輸出的，分別是（）A．， B．，C．， D．，11．設，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，下列命題中正確的是（）A．若，，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則12．已知的展開式中的常數項為8，則實數（）A．2 B．-2 C．-3 D．3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數的定義域是．14．若關于的不等式在時恒成立，則實數的取值范圍是_____15．點在雙曲線的右支上，其左、右焦點分別為、，直線與以坐標原點為圓心、為半徑的圓相切于點，線段的垂直平分線恰好過點，則該雙曲線的漸近線的斜率為__________．16．若一組樣本數據7，9，，8，10的平均數為9，則該組樣本數據的方差為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知集合，，，將的所有子集任意排列，得到一個有序集合組，其中.記集合中元素的個數為，，，規(guī)定空集中元素的個數為.當時，求的值；利用數學歸納法證明：不論為何值，總存在有序集合組，滿足任意，，都有.18．（12分）在平面直角坐標系中，已知橢圓的短軸長為，直線與橢圓相交于兩點，線段的中點為.當與連線的斜率為時，直線的傾斜角為（1）求橢圓的標準方程；（2）若是以為直徑的圓上的任意一點，求證：19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，側面底面，為棱的中點，為棱上任意一點，且不與點、點重合．．（1）求證：平面平面；（2）是否存在點使得平面與平面所成的角的余弦值為？若存在，求出點的位置；若不存在，請說明理由．20．（12分）2018年9月，臺風“山竹”在我國多個省市登陸，造成直接經濟損失達52億元.某青年志愿者組織調查了某地區(qū)的50個農戶在該次臺風中造成的直接經濟損失，將收集的數據分成五組：，，，，（單位：元），得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）試根據頻率分布直方圖估計該地區(qū)每個農戶的平均損失（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值代表）；（2）臺風后該青年志愿者與當地政府向社會發(fā)出倡議，為該地區(qū)的農戶捐款幫扶，現(xiàn)從這50戶并且損失超過4000元的農戶中隨機抽取2戶進行重點幫扶，設抽出損失超過8000元的農戶數為，求的分布列和數學期望.21．（12分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓的離心率為，以橢圓C左頂點T為圓心作圓，設圓T與橢圓C交于點M與點N.（1）求橢圓C的方程；（2）求的最小值，并求此時圓T的方程；（3）設點P是橢圓C上異于M，N的任意一點，且直線MP，NP分別與x軸交于點R，S，O為坐標原點，求證：為定值.22．（10分）據《人民網》報道，美國國家航空航天局（NASA）發(fā)文稱，相比20年前世界變得更綠色了，衛(wèi)星資料顯示中國和印度的行動主導了地球變綠.據統(tǒng)計，中國新增綠化面積的來自于植樹造林，下表是中國十個地區(qū)在去年植樹造林的相關數據.（造林總面積為人工造林、飛播造林、新封山育林、退化林修復、人工更新的面積之和）單位：公頃地區(qū)造林總面積造林方式人工造林飛播造林新封山育林退化林修復人工更新內蒙61848431105274094136006903826950河北5833613456253333313507656533643河南14900297647134292241715376133重慶2263331006006240063333陜西297642184108336026386516067甘肅325580260144574387998新疆2639031181056264126647107962091青海178414160511597342629寧夏91531589602293882981335北京1906410012400039991053（1）請根據上述數據分別寫出在這十個地區(qū)中人工造林面積與造林總面積的比值最大和最小的地區(qū)；（2）在這十個地區(qū)中，任選一個地區(qū)，求該地區(qū)新封山育林面積占造林總面積的比值超過的概率；（3）在這十個地區(qū)中，從退化林修復面積超過一萬公頃的地區(qū)中，任選兩個地區(qū)，記X為這兩個地區(qū)中退化林修復面積超過六萬公頃的地區(qū)的個數，求X的分布列及數學期望.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

根據循環(huán)語句，輸入，執(zhí)行循環(huán)語句即可計算出結果.【詳解】輸入，由題意執(zhí)行循環(huán)結構程序框圖，可得：第次循環(huán)：，，不滿足判斷條件；第次循環(huán)：，，不滿足判斷條件；第次循環(huán)：，，滿足判斷條件；輸出結果.故選：【點睛】本題考查了循環(huán)語句的程序框圖，求輸出的結果，解答此類題目時結合循環(huán)的條件進行計算，需要注意跳出循環(huán)的判定語句，本題較為基礎.2、A【解析】

根據圖象可知，函數為奇函數，以及函數在上單調遞增，且有一個零點，即可對選項逐個驗證即可得出．【詳解】首先對4個選項進行奇偶性判斷，可知，為偶函數，不符合題意，排除B；其次，在剩下的3個選項,對其在上的零點個數進行判斷,在上無零點,不符合題意，排除D；然后,對剩下的2個選項,進行單調性判斷,在上單調遞減,不符合題意，排除C.故選：A．【點睛】本題主要考查圖象的識別和函數性質的判斷，意在考查學生的直觀想象能力和邏輯推理能力，屬于容易題．3、B【解析】

對分類討論，當，函數在單調遞減，當，根據對勾函數的性質，求出單調遞增區(qū)間，即可求解.【詳解】當時，函數在上單調遞減，所以，的遞增區(qū)間是，所以，即.故選:B.【點睛】本題考查函數單調性，熟練掌握簡單初等函數性質是解題關鍵，屬于基礎題.4、D【解析】

設，，設：，聯(lián)立方程得到，計算得到答案.【詳解】設，，故.易知直線斜率不為，設：，聯(lián)立方程，得到，故，故.故選：.【點睛】本題考查了拋物線中的向量的數量積，設直線為可以簡化運算，是解題的關鍵.5、C【解析】

對任意的總有恒成立，因為，對恒成立，可得，令，可得，結合已知，即可求得答案.【詳解】對任意的總有恒成立，對恒成立，令，可得令，得當，當，，故令，得當時，當，當時，故選：C.【點睛】本題主要考查了根據不等式恒成立求最值問題，解題關鍵是掌握不等式恒成立的解法和導數求函數單調性的解法，考查了分析能力和計算能力,屬于難題.6、D【解析】

先將化為，根據函數圖像的平移原則，即可得出結果.【詳解】因為，所以只需將的圖象向右平移個單位.【點睛】本題主要考查三角函數的平移，熟記函數平移原則即可，屬于基礎題型.7、C【解析】

由不等式恒成立問題分類討論：①當，②當，③當，考查方程的解的個數，綜合①②③得解．【詳解】①當時，，滿足題意，②當時，，，，，故不恒成立，③當時，設，，令，得，，得，下面考查方程的解的個數，設（a），則（a）由導數的應用可得：（a）在為減函數，在，為增函數，則（a），即有一解，又，均為增函數，所以存在1個使得成立，綜合①②③得：滿足條件的的個數是2個，故選：．【點睛】本題考查了不等式恒成立問題及利用導數研究函數的解得個數，重點考查了分類討論的數學思想方法，屬難度較大的題型.8、B【解析】

滿足（1）（2）的函數是偶函數且值域關于原點對稱，分別對所給函數進行驗證.【詳解】滿足（1）（2）的函數是偶函數且值域關于原點對稱，①不滿足（2）；②不滿足（1）；③不滿足（2）；④⑤均滿足（1）（2）.故選：B.【點睛】本題考查新定義函數的問題，涉及到函數的性質，考查學生邏輯推理與分析能力，是一道容易題.9、B【解析】

根據偶函數性質，可判斷關系；由時，，求得導函數，并構造函數，由進而判斷函數在時的單調性，即可比較大小.【詳解】為定義在上的偶函數，所以所以;當時，，則，令則，當時，，則在時單調遞增，因為，所以，即，則在時單調遞增，而，所以，綜上可知，即，故選：B.【點睛】本題考查了偶函數的性質應用，由導函數性質判斷函數單調性的應用，根據單調性比較大小，屬于中檔題.10、B【解析】

試題分析：由程序框圖可知，框圖統(tǒng)計的是成績不小于80和成績不小于60且小于80的人數，由莖葉圖可知，成績不小于80的有12個，成績不小于60且小于80的有26個，故，．考點：程序框圖、莖葉圖．11、D【解析】試題分析：，,故選D.考點：點線面的位置關系.12、A【解析】

先求的展開式，再分類分析中用哪一項與相乘，將所有結果為常數的相加，即為展開式的常數項，從而求出的值.【詳解】展開式的通項為，當取2時，常數項為，當取時，常數項為由題知，則.故選：A.【點睛】本題考查了兩個二項式乘積的展開式中的系數問題，其中對所取的項要進行分類討論，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】解：因為，故定義域為14、【解析】

利用對數函數的單調性，將不等式去掉對數符號，再依據分離參數法，轉化成求構造函數最值問題，進而求得的取值范圍?！驹斀狻坑傻?，兩邊同除以，得到，，，設，，由函數在上遞減，所以，故實數的取值范圍是?！军c睛】本題主要考查對數函數的單調性，以及恒成立問題的常規(guī)解法——分離參數法。15、【解析】如圖，是切點，是的中點，因為，所以，又，所以，，又，根據雙曲線的定義，有，即，兩邊平方并化簡得，所以，因此.16、1【解析】

根據題意，由平均數公式可得，解得的值，進而由方差公式計算，可得答案．【詳解】根據題意，數據7，9，，8，10的平均數為9，則，解得：，則其方差.故答案為：1．【點睛】本題考平均數、方差的計算，考查運算求解能力，求解時注意求出的值，屬于基礎題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、；證明見解析.【解析】

當時，集合共有個子集，即可求出結果；分類討論，利用數學歸納法證明.【詳解】當時，集合共有個子集，所以；①當時，，由可知，，此時令，，，，滿足對任意，都有，且；②假設當時，存在有序集合組滿足題意，且，則當時，集合的子集個數為個，因為是4的整數倍，所以令，，，，且恒成立，即滿足對任意，都有，且，綜上，原命題得證.【點睛】本題考查集合的自己個數的研究，結合數學歸納法的應用，屬于難題.18、（1）；（2）詳見解析.【解析】

（1）由短軸長可知，設，，由設而不求法作差即可求得，將相應值代入即求得，橢圓方程可求；（2）考慮特殊位置，即直線與軸垂直時候，成立，當直線斜率存在時，設出直線方程，與橢圓聯(lián)立，結合中點坐標公式，弦長公式，得到與的關系，將表示出來，結合基本不等式求最值，證明最后的結果【詳解】解：（1）由已知，得由，兩式相減，得根據已知條件有，當時，∴，即∴橢圓的標準方程為（2）當直線斜率不存在時，，不等式成立.當直線斜率存在時，設由得∴，∴由化簡，得∴令，則當且僅當時取等號∴∵∴當且僅當時取等號綜上，【點睛】本題為直線與橢圓的綜合應用，考查了橢圓方程的求法，點差法處理多未知量問題，能夠利用一元二次方程的知識轉化處理復雜的計算形式，要求學生計算能力過關，為較難題19、（1）證明見解析（2）存在，為中點【解析】

（1）證明面，即證明平面平面；（2）以為坐標原點，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向，建立空間直角坐標系．利用向量方法得，解得，所以為中點．【詳解】（1）由于為中點，．又，故，所以為直角三角形且，即．又因為面，面面，面面，故面，又面，所以面面．（2）由（1）知面，又四邊形為矩形，則兩兩垂直．以為坐標原點，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向，建立空間直角坐標系．則，設，則，設平面的法向量為，則有，令，則，則平面的一個法向量為，同理可得平面的一個法向量為，設平面與平面所成角為，則由題意可得，解得，所以點為中點．【點睛】本題主要考查空間幾何位置關系的證明，考查空間二面角的應用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.20、（1）3360元；（2）見解析【解析】

（1）根據頻率分布直方圖計算每個農戶的平均損失；（2）根據頻率分布直方圖計算隨機變量X的可能取值，再求X的分布列和數學期望值．【詳解】（1）記每個農戶的平均損失為元，則；（2）由頻率分布直方圖，可得損失超過1000元的農戶共有（0.00009+0.00003+0.00003）×2000×50＝15（戶），損失超過8000元的農戶共有0.00003×2000×50＝3（戶），隨機抽取2戶，則X的可能取值為0，1，2；計算P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，所以X的分布列為；X012P數學期望為E（X）＝0×+1×+2×＝．【點睛】本題考查了頻率分布直方圖與離散型隨機變量的分布列與數學期望計算問題，屬于中檔題．21、（1）；（2）；（3）【解析】

（1）依題意，得，，由此能求出橢圓C的方程.（2）點與點關于軸對稱，設，，設，由于點在橢圓C上，故，由，知，由此能求出圓T的方程.（3）設，則直線MP的方程為：，令，得，同理：，由此能證明為定值.【詳解】（1）