江蘇省常州市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期中質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試題（解析版）

第第頁常州市2024—2025學(xué)年第一學(xué)期高三期中質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干冷后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】解不等式化簡集合，再利用交集的定義求解即得.【詳解】依題意，，而，所以.故選：D2.已知a，，則“”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)式和對數(shù)式以及充分、必要條件等知識(shí)來確定正確答案.【詳解】根據(jù)指數(shù)式和對數(shù)式的互化公式可知，所以“”是“”的充要條件.故選：A3已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B. C.0 D.2【答案】B【解析】【分析】設(shè)，代入已知條件，求得，進(jìn)而求得.【詳解】設(shè)，則，，所以，解得，所以.故選：B4.有甲、乙等5名同學(xué)咨詢數(shù)學(xué)史知識(shí)競賽分?jǐn)?shù).教師說：甲不是5人中分?jǐn)?shù)最高的，乙不是5人中分?jǐn)?shù)最低的，而且5人的分?jǐn)?shù)互不相同.則這5名同學(xué)的可能排名有（）A.42種 B.72種 C.78種 D.120種【答案】C【解析】【分析】先計(jì)算，然后減去不符合題意的情況，由此求得正確答案.【詳解】不符合題意的情況是：甲是最高分或乙是最低分，所以這5名同學(xué)的可能排名有種.故選：C5.已知是兩個(gè)不同的平面，a，b是兩條不同的直線，下列條件中，一定得到直線的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直線、平面的位置關(guān)系的判斷可得結(jié)果.【詳解】對于A，，則與相交、平行或，故A錯(cuò)誤；對于B，，則與相交、平行或，故B錯(cuò)誤；對于C，，由線面垂直的性質(zhì)知，故C正確；對于D，，則與相交、平行或，故D錯(cuò)誤.故選：C.6.已知函數(shù)的最小正周期為T.若，且曲線關(guān)于點(diǎn)中心對稱，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的周期公式以及對稱中心，建立方程，可得答案.【詳解】由，則，由，則，解得，由，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得對稱中心，由題意可得，化簡可得，當(dāng)時(shí)，，顯然當(dāng)時(shí)，，所以，則.故選：B.7.已知，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的平方式，求得已知角的正弦值和余弦值，結(jié)合余弦的差角公式，可得答案.【詳解】由，則，，，由，易知，解得，由，，且，則，可得，所以，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，則，由，，則，易知，解得，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，則，由，，則，易知，解得，；故選：B.8.已知函數(shù)（，且）.，使得成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】在單調(diào)遞減，時(shí)，,即,另外，0<a<1時(shí)，單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，綜上所述，的取值范圍是.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知平面內(nèi)兩個(gè)單位向量的夾角為，則下列結(jié)論正確的有（）A.B.的取值范圍為C.若，則D.在上的投影向量為【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)向量垂直、模、夾角、投影向量等知識(shí)對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，由于，所以，所以A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，，，所以B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，，解得，所以，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，在上的投影向量為，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB10.甲、乙兩選手進(jìn)行象棋比賽，有3局2勝制、5局3勝制兩種方案.設(shè)每局比賽甲獲勝的概率為，且每局比賽的結(jié)果互不影響，則下列結(jié)論正確的有（）A.若采用3局2勝制，則甲獲勝的概率是B.若采用5局3勝制，則甲以3：1獲勝的概率是C.若，甲在5局3勝制中比在3局2勝制中獲勝的概率大D.若，采用5局3勝制，在甲獲勝的條件下比賽局?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望是3【答案】AC【解析】【分析】對于選項(xiàng)A:采用3局2勝制，甲獲勝分為一二局甲勝，一三局甲勝，二三局甲勝三種情況分別計(jì)算求和即可；對于選項(xiàng)B:采用5局3勝制，要讓甲以3：1獲勝，則前三局中甲勝兩局，第四局甲勝；對于選項(xiàng)C:分別計(jì)算5局3勝制與3局2勝制甲勝的概率，比較即可；對于選項(xiàng)D:在甲獲勝的條件下比賽局?jǐn)?shù)，借助條件概率分別計(jì)算進(jìn)而求出期望即可判斷.【詳解】對于選項(xiàng)A:若采用3局2勝制，甲獲勝分為一二局甲勝，一三局甲勝，二三局甲勝三種情況，則最終甲勝的概率為，故選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B:若采用5局3勝制，要讓甲以3：1獲勝，則前三局甲勝兩局，最后一局甲勝，則甲以3：1獲勝的概率是，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C:因?yàn)椋Y(jié)合選項(xiàng)A可知，若采用3局2勝制，最終甲勝的概率為，若采用5局3勝制，甲獲勝的比分為三種情況，所以甲在5局3勝制中甲獲勝的概率是因?yàn)椋约自?局3勝制中比在3局2勝制中獲勝的概率大，故選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D:因?yàn)?，且采?局3勝制，甲獲勝的概率為在甲獲勝的條件下比賽局?jǐn)?shù)由條件概率公式可知：;;;所以在甲獲勝的條件下比賽局?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望是,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AC.11.已知函數(shù)，2為的極大值點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（）A.B.若4為函數(shù)的極小值點(diǎn)，則C.若在內(nèi)有最小值，則b的取值范圍是D.若有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)解，則b的取值范圍是【答案】AD【解析】【分析】先求得，然后根據(jù)函數(shù)的極值、最值、方程的解等知識(shí)對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】對于A，，，，則或，而，則，令，得或；令，得；在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，的極大值點(diǎn)為，，A對.對于B，若4為極小值點(diǎn)，則，則，B錯(cuò).對于C在內(nèi)有最小值，則在處取得最小值，，，即，，，故C錯(cuò)誤.對于D有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)解，，則，故，故D正確；故選：AD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)的準(zhǔn)確求解與符號分析：通過求導(dǎo)并分析導(dǎo)數(shù)的符號變化，是判斷函數(shù)單調(diào)性和極值點(diǎn)的關(guān)鍵步驟.確保每一步的符號處理準(zhǔn)確，是得出正確答案的基礎(chǔ).條件驗(yàn)證的完整性：對于多項(xiàng)選擇題，通過完整地驗(yàn)證每個(gè)選項(xiàng)的條件，可以確保答案的準(zhǔn)確性.尤其是涉及極值點(diǎn)和方程解的條件時(shí)，要特別注意每個(gè)條件的符號和數(shù)量判斷.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知正數(shù)滿足，則的最小值為__________.【答案】【解析】【分析】利用基本不等式來求得正確答案.【詳解】依題意，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.，所以的最小值為.故答案為：13.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，將線段繞原點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至線段.若，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，結(jié)合誘導(dǎo)公式，可得答案.【詳解】由題意可知，終邊為的角為，則終邊為的角為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.故答案為：.14.已知一個(gè)母線長為，底面半徑為的圓錐形密閉容器（容器壁厚度忽略不計(jì)），能夠被整體放入該容器的球的體積最大時(shí)，________.【答案】【解析】【分析】通過求圓錐軸截面的內(nèi)切圓的方法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來求得正確答案.【詳解】如圖所示，圓錐的軸截面是，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，也即圓錐內(nèi)切球的半徑為，則，解得，設(shè),所以在上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得極大值也即是最大值，所以當(dāng)時(shí)，能夠被整體放入該容器球的體積最大.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：幾何模型的準(zhǔn)確構(gòu)造：通過構(gòu)造圓錐軸截面并確定內(nèi)切球的半徑，是解題的關(guān)鍵.幾何模型的正確設(shè)定為后續(xù)的導(dǎo)數(shù)求解提供了基礎(chǔ).導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的結(jié)合應(yīng)用：在求解極值問題時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，是找到最大值的有效方法.通過對函數(shù)的求導(dǎo)，并結(jié)合單調(diào)區(qū)間的判斷，可以確保解的準(zhǔn)確性.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.某研究性學(xué)習(xí)小組為研究兩個(gè)變量x和y之間的關(guān)系，測量了對應(yīng)的五組數(shù)據(jù)如下表：2345647121314（1）求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；（2）請估計(jì)時(shí)，對應(yīng)的y值.附：在經(jīng)驗(yàn)回歸方程中，，其中為樣本平均值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)回歸方程的求法求得正確答案.（2）利用回歸方程求得預(yù)測值.【小問1詳解】，，，所以回歸方程為.【小問2詳解】時(shí)，.16.在銳角中，，，分別是角，，所對的邊，已知.（1）求的值；（2）若，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)二倍角的余弦公式和兩角和的正弦公式以及同角三角函數(shù)商的關(guān)系求解即可；（2）利用正弦定理以及三角形面積公式求解即可.【小問1詳解】由，得，即，，，為銳角三角形，，，，整理得，即，；【小問2詳解】由（1）知，根據(jù)正弦定理得，，，.17某校由5名教師組成校本課程講師團(tuán)，其中2人有校本課程開設(shè)經(jīng)驗(yàn)，3人沒有校本課程開設(shè)經(jīng)驗(yàn).先從這5名教師中隨機(jī)抽選2名教師開設(shè)校本課程，該期校本課程結(jié)束后，再從這5名教師中隨機(jī)抽選2名教師開設(shè)下一期校本課程.（1）在第一次抽選的2名教師中，有校本課程開設(shè)經(jīng)驗(yàn)的教師人數(shù)記為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）求“在第二次抽選的2名教師中，有校本課程開設(shè)經(jīng)驗(yàn)的教師人數(shù)是1”的概率.【答案】（1）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)超幾何分布的知識(shí)求得分布列并求得數(shù)學(xué)期望.（2）利用全概率公式來求得正確答案.【小問1詳解】的可能取值為0,1,2，，所以隨機(jī)變量的分布列為012其數(shù)學(xué)期望為.【小問2詳解】用表示事件“在第二次抽選的2名教師中，有校本課程開設(shè)經(jīng)驗(yàn)的教師人數(shù)是”，用表示事件“第一次抽選的2名教師中，有校本課程開設(shè)經(jīng)驗(yàn)的教師人數(shù)是”，兩兩互斥，，由(1)知，由全概率公式得，，所以在第二次抽選的2名教師中，有校本課程開設(shè)經(jīng)驗(yàn)的教師人數(shù)是的概率為.18.已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，.（1）求的解析式；（2）求曲線在處的切線方程；（3）若，都有，求實(shí)數(shù)的最小值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性求得的解析式.（2）根據(jù)切點(diǎn)和斜率求得切線方程.（3）先求得的值域，由此求得的最小值.【小問1詳解】依題意，函數(shù)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，所以，當(dāng)x>0時(shí)，，所以.【小問2詳解】x>0時(shí)，，，切點(diǎn)，在x=2處的切線方程為.【小問3詳解】當(dāng)x=0時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，f′x<0，函數(shù)單調(diào)遞減，且.當(dāng)時(shí)，f′x>0，函數(shù)單調(diào)遞增，且當(dāng)所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，所以，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是因?yàn)楹瘮?shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，當(dāng)x>0時(shí)，，可得的取值范圍是所以函數(shù)的值域?yàn)?由題，都有其中的取值范圍是，所以實(shí)數(shù)的最小值為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用函數(shù)性質(zhì)求解析式：首先根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)和已知條件，確定函數(shù)的解析式，這一步奠定了后續(xù)求解的基礎(chǔ).利用導(dǎo)數(shù)求切線方程：通過求導(dǎo)得到函數(shù)在特定點(diǎn)的斜率，從而求得曲線的切線方程.單調(diào)性與值域的結(jié)合：通過分析函數(shù)的單調(diào)性，確定其值域，從而找到實(shí)數(shù)的最小值.19.如圖，在四棱柱中，已知底面，，，，，點(diǎn)E是線段上的動(dòng)點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求直線與所成角的余弦值的最大值；（3）在線段上是否存在與B不重合的點(diǎn)E，使得二面角的正弦值為?若存在，求線段BE的長；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）根據(jù)四棱柱幾何性質(zhì)，結(jié)合線面判定定理，可得答案；（2）根據(jù)直線與其斜交平面內(nèi)的直線的交角的取值范圍，求得平面與直線的夾角，結(jié)合法向量與線面距，可得答案；（3）求得組成二面角的兩平面的法向量，結(jié)合夾角的向量公式，建立方程，可得答案.【小問1詳解】在四棱柱中，易知，因?yàn)槠矫?，平面，所以平?【小問2詳解】取中點(diǎn)，連接，在梯形中，因?yàn)椋?，所以，，則在中，，由，則，易知兩兩垂直，分別以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如