江蘇省南京市、鹽城市2023-2024學年高三下學期調(diào)研測試數(shù)學試題（解析版）

第第頁南京市、鹽城市2023—2024學年度高三調(diào)研測試數(shù)學一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知為虛數(shù)單位，則（）A.5 B.-1 C.1 D.7【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的乘法運算計算求解.【詳解】.故選：D.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出函數(shù)定義域化簡集合B，再利用交集的定義求解即得.【詳解】依題意，，解得，即，而，所以故選：B3.已知，，則“”是“”的（）．A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)必要不充分條件的定義判斷即可.【詳解】當時，則，但是，不是充分條件，當時，因為，，所以，即，當且僅當?shù)忍柍闪?，所以是必要條件，故“”是“”的必要不充分條件.故選：B【點睛】結(jié)論點睛：本題考查必要不充分條件的判斷，一般可根據(jù)如下規(guī)則判斷：（1）若是的必要不充分條件，則對應集合是對應集合的真子集；（2）是的充分不必要條件，則對應集合是對應集合的真子集；（3）是的充分必要條件，則對應集合與對應集合相等；（4）是的既不充分又不必要條件，對的集合與對應集合互不包含.4.下列函數(shù)中是偶函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義進行判斷即可.【詳解】對于A，令，，，所以是偶函數(shù)，故A正確；對于B，令，，，所以是奇函數(shù)，故B錯誤；對于C，令，，，所以是奇函數(shù)，故C錯誤；對于D，令，，，所以是奇函數(shù)，故D錯誤.故選：A.5.從4位男同學、5位女同學中選出3位同學，男女生都要有選法有（）A.140種 B.44種 C.70種 D.252種【答案】C【解析】【分析】根據(jù)組合數(shù)的計算，結(jié)合間接法求解即可.【詳解】利用間接法可得男女生都要有的選法種數(shù)為.故選：C.6.已知反比例函數(shù)（）的圖象是雙曲線，其兩條漸近線為x軸和y軸，兩條漸近線的夾角為，將雙曲線繞其中心旋轉(zhuǎn)可使其漸近線變?yōu)橹本€，由此可求得其離心率為.已知函數(shù)的圖象也是雙曲線，其兩條漸近線為直線和y軸，則該雙曲線的離心率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，結(jié)合旋轉(zhuǎn)即可求解.【詳解】在第一象限內(nèi)，函數(shù)的圖象位于上方，由于和y軸是漸近線，所以兩條漸近線之間的夾角，故，不妨將雙曲線繞其中心旋轉(zhuǎn)逆時針旋轉(zhuǎn),則可得到其焦點在軸上的雙曲線，且兩條漸近線之間的夾角，因此其中一條漸近線的傾斜角為，因此，進而可得故選：C.7.已知直線l與橢圓在第二象限交于，兩點，與軸，軸分別交于，兩點（在橢圓外），若，則的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達定理得到，再由條件得到也是的中點，從而得到關于的方程，進而求得，由此得解.【詳解】設：（，），設Ax1,y1，B聯(lián)立，得，由題意知，所以，，設的中點為，連接，因為，所以，得，又因為，，所以也是的中點，所以的橫坐標為，從而得，因為交在第二象限，解得，設直線傾斜角為，得，得，故A正確.故選：A.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設直線方程，設交點坐標為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.8.平面向量，，滿足，，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設，計算得到，求出，利用求出答案.【詳解】設，則，而，因為，所以.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.《中華人民共和國國民經(jīng)濟和社會發(fā)展第十四個五年規(guī)劃和2035年遠景目標綱要》中明確提出要創(chuàng)新實施文化惠民工程，提升基層綜合性文化服務中心功能，廣泛開展群眾性文化活動.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為了考核甲、乙兩村的文化惠民工程，在兩村的村民中進行滿意度測評，滿分100分，規(guī)定：得分不低于80分的為“高度滿意”，得分低于60分的為“不滿意”.經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)甲村的評分X和乙村的評分Y都近似服從正態(tài)分布，其中，，，則（）A.X對應的正態(tài)曲線比Y對應的正態(tài)曲線更扁平B.甲村的平均分低于乙村的平均分C.甲村的高度滿意率與不滿意率相等D.乙村的高度滿意率比不滿意率大【答案】BCD【解析】【分析】A選項，曲線越扁平，方差較大，判斷A錯誤；B選項，求出兩村的平均分，比較出大??；CD選項，由正態(tài)分布曲線的對稱性判斷.【詳解】A選項，曲線越扁平，說明評分越分散，方差較大，因為，所以Y對應的正態(tài)曲線比X對應的正態(tài)曲線更扁平，A錯誤；B選項，甲村的平均分為70，乙村的平均分為75，故B正確；C選項，因為甲村的平均分為70，由對稱性知，C正確；D選項，因為乙村的平均分為75，由對稱性知，D正確.故選：BCD.10.設M，N，P為函數(shù)圖象上三點，其中，，，已知M，N是函數(shù)的圖象與x軸相鄰的兩個交點，P是圖象在M，N之間的最高點，若，的面積是，M點的坐標是，則（）A. B.C. D.函數(shù)在M，N間的圖象上存在點Q，使得【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合向量的數(shù)量積運算即可得，，，進而可判斷AB,根據(jù)在圖象上可得，根據(jù)圓的性質(zhì)即可求解D.【詳解】，而，故，，，A錯誤、B正確；，（），而，故，C正確；顯然，函數(shù)的圖象有一部分位于以為直徑的圓內(nèi)，當位于以為直徑的圓內(nèi)時，，D正確，故選:BCD.11.在四棱錐中，平面，，，四棱錐的外接球為球O，則（）A.⊥ B.C. D.點O不可能在平面內(nèi)【答案】AC【解析】【分析】A選項，推出四點共面，結(jié)合得到⊥；B選項，若四邊形為正方形，此時；C選項，得到球心在的垂直平分線上，故到平面距離為到平面距離的一半，C正確；D選項，舉出實例，D錯誤.【詳解】A選項，四棱錐的外接球為為頂點的球，而四點共面，故這四點必共圓，又，故為直徑，⊥，A正確：B選項，由A可知，四點共圓，又，為直徑，若四邊形為正方形，此時，，B錯誤；C選項，因為平面，所以球心到兩點的距離相等，即球心在的垂直平分線上，故到平面距離為到平面距離的一半，故，C正確；D選項，當四邊形為正方形時，連接，相交于點，則⊥平面，結(jié)合球心在的垂直平分線上，此時為中點，點O在平面上，D錯誤.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.滿足的函數(shù)可以為______.（寫出一個即可）【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】對數(shù)函數(shù)均滿足要求，考慮到定義域需要加絕對值【詳解】可令，滿足要求.故答案為：.（答案不唯一）13.的值為______.【答案】-2【解析】【分析】將所給式中正切化成正余弦，再借助二倍角公式計算即得.【詳解】故答案為：-214.若數(shù)列滿足，（），則______.【答案】3268【解析】【分析】由數(shù)列遞推式可得到，和已知等式作差得，利用累加法即可求得答案.【詳解】由題意可得，作差得，故，故答案為：3268四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.設數(shù)列的前n項和為，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）數(shù)列滿足，求的前50項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)的關系，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解，（2）根據(jù)等比數(shù)列的求和公式即可求解.【小問1詳解】由，得（），兩式相減得：（），即（），當時，，得，所以（），故是首項為，公比為的等比數(shù)列.從而.【小問2詳解】由（1）得.所以16.在平行六面體中，底面為正方形，，，側(cè)面底面.（1）求證：平面平面；（2）求直線和平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)面面垂直的判定定理可證；（2）建立空間直角坐標系，利用向量法求解.【小問1詳解】因為底面為正方形，所以，又側(cè)面底面，側(cè)面底面，且平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面.【小問2詳解】因為，，連接，則為正三角形，取中點，則，由平面及平面，得，又，所以底面，過點作交于，如圖以為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，所以，，.設平面的法向量，所以令，則，可得平面的法向量.所以，故直線和平面所成角的正弦值為.17.春節(jié)臨近，為了吸引顧客，我市某大型商超策劃了抽獎活動，計劃如下：有A、B、C三個抽獎項目，它們之間相互不影響，每個項目每位顧客至多參加一次，項目A中獎概率是，項目B和C中獎的概率都是.（1）若規(guī)定每位參加活動的顧客需要依次參加A、B、C三個項目，如果A、B、C三個項目全部中獎，顧客將獲得100元獎券；如果僅有兩個項目中獎，他將獲得50元獎券；否則就沒有獎券.求每位顧客獲得獎券金額的期望；（2）若規(guī)定每位顧客等可能地參加三個項目中的一個項目.已知某顧客中獎了，求他參加的是A項目的概率.【答案】（1）16（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意先寫出獲得獎券金額的可能取值，再根據(jù)相互獨立事件的概率乘法公式計算得出對應的概率后即可計算數(shù)學期望；（2）根據(jù)條件概率定義及計算公式計算可得.【小問1詳解】設一位顧客獲得元獎券，則的可能取值為100，50，0，，，，所以每位顧客獲得獎券金額的期望是（元）【小問2詳解】設“該顧客中獎”為事件，參加項目A，，分別記為事件，，，則，所以，即已知某顧客中獎了，則他參加的是A項目的概率是.18.已知雙曲線C：（，）的兩個焦點是，，頂點，點M是雙曲線C上一個動點，且的最小值是.（1）求雙曲線C的方程；（2）設點P是y軸上異于C的頂點和坐標原點O的一個定點，直線l過點P且平行于x軸，直線m過點P且與雙曲線C交于B，D兩點，直線AB，AD分別與直線l交于G，H兩點.若O，A，G，H四點共圓，求點P的坐標.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）法一：由頂點可得，根據(jù)雙曲線方程可得解得，進而可得方程；法二：由頂點可得，根據(jù)雙曲線定義分析可得解得，進而可得方程；（2）法一：設點，直線：，直線：，，，，聯(lián)立方程直線利用韋達定理結(jié)合分析求解；法二：由結(jié)合雙曲線的方程可得，，聯(lián)立求解即可.【小問1詳解】（法一）已知雙曲線方程是（，），由頂點得，所以，設點Mx,y，，，，所以，當且僅當時取等號，故的最小值為，所以，所以，，故雙曲線：.（法二）.當且僅當時取等號，故的最小值為，所以，所以，，故雙曲線：【小問2詳解】（法一）設點，，，則直線：，設直線的方程為，，設點，，聯(lián)立，消去得，其中，，，（*），設直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，所以或，故直線的斜率與直線的斜率滿足.因為直線的方程是，所以，所以，且，所以，將（*）代入，整理得到，解得或（舍），所以.（法二）同法一可知直線的斜率與直線的斜率滿足，又，則，所以，設直線的方程是，將點代入直線，得到①，又雙曲線的方程可化為，由得，設，則，直線和直線的斜率是該方程的兩個根，所以，所以②，聯(lián)立①②，得到，所以.【點睛】方法點睛：與端點相關問題的解法解決與弦端點有關的向量關系、位置關系等問題的一般方法，就是將其轉(zhuǎn)化為端點的坐標關系，再根據(jù)聯(lián)立消元后的一元二次方程根與系數(shù)的大小關系，構(gòu)建方程（組）求解．19.函數(shù)的導數(shù)記作，即；同時，在區(qū)間上的導數(shù)為.若在區(qū)間上，，則稱函數(shù)具有性質(zhì).若函數(shù)的導數(shù)為，且函數(shù)具有性質(zhì)，則對于，有，等號當且僅當是線性函數(shù)時成立.若函數(shù)具有性質(zhì)，且存在常數(shù)m，，使得.（1）證明：具有性質(zhì).（2）證明：（i）；（ii）.（3）當，時，函數(shù)具有性質(zhì)，求證：【答案】（1）證明見解析（2）（i）證明見解析（ii）證明見解析（