《自動(dòng)控制原理 》課件第2章

第2章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.1引言2.2微分方程2.3傳遞函數(shù)

2.4結(jié)構(gòu)圖及其等效變換

2.5信號(hào)流圖與梅遜公式第2章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.6閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

2.7脈沖響應(yīng)函數(shù)2.8MATLAB中數(shù)學(xué)模型的表示本章小結(jié)習(xí)題

對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)時(shí)，首先要建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)輸入、輸出變量以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。它可以使我們避開各具體系統(tǒng)不同的物理特性，在一般意義下研究控制系統(tǒng)的普遍規(guī)律。2.1引言

控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型分為靜態(tài)數(shù)學(xué)模型和動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型。靜態(tài)數(shù)學(xué)模型是在靜態(tài)條件下(即變量各階導(dǎo)數(shù)為零)，描述變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式；動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型是在動(dòng)態(tài)過程中(即變量各階導(dǎo)數(shù)不為零)描述諸變量動(dòng)態(tài)關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí)，常用的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型有微分方程、差分方程、傳遞函數(shù)、動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖、信號(hào)流圖、脈沖響應(yīng)函數(shù)、頻率特性等。本章著重討論微分方程、傳遞函數(shù)、動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖、信號(hào)流圖和脈沖響應(yīng)函數(shù)等數(shù)學(xué)模型的建立及應(yīng)用。

建立控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法有解析法和實(shí)驗(yàn)法兩種。解析法是指當(dāng)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)已知時(shí)，根據(jù)系統(tǒng)及元件各變量之間所依據(jù)的物理規(guī)律或化學(xué)規(guī)律，分別列寫出各變量間的數(shù)學(xué)表達(dá)式的方法。實(shí)驗(yàn)法是人為地給系統(tǒng)施加某種測試信號(hào)，記錄其輸出響應(yīng)，并用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型去逼近，這種方法又稱為系統(tǒng)辨識(shí)。

無論是用解析法還是用實(shí)驗(yàn)法建立數(shù)學(xué)模型，都存在著模型精度和復(fù)雜性之間的矛盾，即控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型越精確，它的復(fù)雜性越大，對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)也越困難。因此，在工程上，總是在滿足一定精度要求的前提下，盡量使數(shù)學(xué)模型簡單。為此，在建立數(shù)學(xué)模型時(shí)，常做許多假設(shè)和簡化，最后得到的是具有一定精度的近似的數(shù)學(xué)模型。

本章主要采用解析法建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，關(guān)于實(shí)驗(yàn)法將在后續(xù)章節(jié)中進(jìn)行介紹。

微分方程是描述各種控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的最基本的數(shù)學(xué)工具，也是后面討論的各種數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)。因此，本節(jié)將著重介紹描述線性定常控制系統(tǒng)的微分方程的建立和求解方法，以及非線性微分方程的線性化問題。2.2微分方程2.2.1線性系統(tǒng)微分方程的建立

用解析法列寫系統(tǒng)或元件微分方程的一般步驟如下：

(1)根據(jù)元件的工作原理和在系統(tǒng)中的作用，確定系統(tǒng)和各元件的輸入、輸出變量，并根據(jù)需要引入一些中間變量。

(2)從輸入端開始，按照信號(hào)的傳遞順序，依據(jù)各變量所遵循的物理或化學(xué)定律，依次列寫出系統(tǒng)中各元件的動(dòng)態(tài)方程，一般為微分方程組。

(3)消去中間變量，得到只含有系統(tǒng)或元件輸入變量和輸出變量的微分方程。

(4)標(biāo)準(zhǔn)化。即將與輸入有關(guān)的各項(xiàng)放在方程的右側(cè)，與輸出有關(guān)的各項(xiàng)放在方程的左側(cè)，方程兩邊各階導(dǎo)數(shù)按降冪排列，最后將系數(shù)整理規(guī)范為具有一定物理意義的形式。

圖2-1RLC無源網(wǎng)絡(luò)

【例2-1】

試列寫如圖2-1所示的RLC無源網(wǎng)絡(luò)的微分方程。ur(t)為輸入變量，uc(t)為輸出變量。

解設(shè)回路電流為i(t)，由基爾霍夫定律可寫出回路方程為

消去中間變量i(t)，便得到描述網(wǎng)絡(luò)輸入與輸出之間關(guān)系的微分方程為

(2-1)

令T1＝L/R，T2＝RC均為時(shí)間常數(shù)，則有

(2-2)

圖2-2彈簧-質(zhì)量-阻尼器機(jī)械位移系統(tǒng)

【例2-2】

圖2-2是彈簧-質(zhì)量阻尼器組成的機(jī)械位移系統(tǒng)。其中，k為彈簧的彈性系數(shù)，f為阻尼器的阻尼系數(shù)。

試列寫以外力F(t)為輸入，以位移x(t)為輸出的系統(tǒng)微分方程。

解在外力F(t)的作用下，若彈簧的彈力和阻尼器阻力之和與之不平衡，則質(zhì)量m將有加速度，并使速度和位移改變。根據(jù)牛頓第二定律有

(2-3)其中：F1(t)＝k·x(t)為彈簧恢復(fù)力，其方向與運(yùn)動(dòng)方向相反，大小與位移成比例； 為阻尼器阻力，其方向與運(yùn)動(dòng)方向相反，大小與速度成正比。將F1(t)和F2(t)代入式(2-3)中，經(jīng)整理后即得該系統(tǒng)的微分方程為

(2-4)將方程兩邊同除以k，式(2-4)又可寫為

(2-5)

令 為時(shí)間常數(shù)； 為阻尼比；

為放大系數(shù)，則式(2-5)為

(2-6)比較式(2-2)和式(2-6)可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩方程的系數(shù)相同時(shí)，從動(dòng)態(tài)性能的角度看，兩系統(tǒng)是相同的。因此，這就有可能利用電氣系統(tǒng)來模擬機(jī)械系統(tǒng)，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究。這也說明，利用數(shù)學(xué)模型可以撇開具體系統(tǒng)的物理屬性，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行普遍意義的分析研究。

【例2-3】

試列寫圖2-3所示的樞控他勵(lì)直流電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)的微分方程。電樞電壓ua為輸入量，電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速ω為輸出量。Ra和La分別是電樞電路的電阻和電感，Mc為折合到電動(dòng)機(jī)軸上的總負(fù)載轉(zhuǎn)矩。

解設(shè)E為電機(jī)旋轉(zhuǎn)時(shí)電樞兩端的反電動(dòng)勢(shì)，ia為電樞電流，M為電動(dòng)機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩，則電樞回路電壓平衡方程為

(2-7)

圖2-3樞控他勵(lì)直流電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)反電動(dòng)勢(shì)方程為

E＝Ceω

(2-8)

式中：Ce為電動(dòng)機(jī)的反電勢(shì)系數(shù)。

在理想空載條件下，電動(dòng)機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩方程為

M＝Cmia (2-9)

電動(dòng)機(jī)軸上的動(dòng)力學(xué)方程為

(2-10)

式中：J為轉(zhuǎn)動(dòng)部分折合到電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

將式(2-7)～式(2-10)中的中間變量E、ia和M消去，整理得電動(dòng)機(jī)在電樞電壓控制下的微分方程為

(2-11)

令 為電樞回路的電磁時(shí)間常數(shù)； 為電樞回路的機(jī)電時(shí)間常數(shù)； 為靜態(tài)增益； 為傳遞系數(shù)，則式(2-11)可進(jìn)一步寫為

(2-12)【例2-4】

試列寫圖2-4所示閉環(huán)調(diào)速控制系統(tǒng)的微分方程。

解控制系統(tǒng)的被控對(duì)象是電動(dòng)機(jī)，系統(tǒng)的輸出量是電機(jī)轉(zhuǎn)速ω，輸入量是給定電壓ug。根據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，可將該系統(tǒng)分為運(yùn)放Ⅰ、運(yùn)放Ⅱ、功率放大器、電動(dòng)機(jī)和測速發(fā)電機(jī)五部分，并分別列寫它們的微分方程。

(1)運(yùn)放Ⅰ：ug為輸入量，u1為輸出量。

(2-13)

式中：K1＝R2/R1是運(yùn)放Ⅰ的放大系數(shù)。

圖2-4閉環(huán)調(diào)速控制系統(tǒng)

(2)運(yùn)放Ⅱ：u1為輸入量，u2為輸出量。

(2-14)

式中：K2＝R4/R3是運(yùn)放Ⅱ的放大系數(shù)；τ＝R3C是微分時(shí)間常數(shù)。

(3)功率放大器：功率放大環(huán)節(jié)是晶閘管整流裝置，u2為輸入量，ua為輸出量。當(dāng)忽略晶閘管整流電路的時(shí)間滯后和非線性因素時(shí)，二者的關(guān)系為

ua＝K3u2

(2-15)

式中：K3是功放的放大系數(shù)。

(4)電動(dòng)機(jī)：由式(2-12)可知，電樞電壓ua和電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速ω之間的關(guān)系為

(2-16)

(5)測速發(fā)電機(jī)：測速發(fā)電機(jī)的輸出電壓uf與其轉(zhuǎn)速ω成正比，即

uf＝Kf·ω

(2-17)

式中：Kf是測速發(fā)電機(jī)的比例系數(shù)。

合并方程式(2-13)～(2-17)，消去中間變量u1、u2、ua和uf，經(jīng)整理后得

(2-18)令K＝KuK3K2K1，K0＝KuK3K2K1Kf＝K·Kf，則式(2-18)為

(2-19)

式(2-19)表明：電機(jī)轉(zhuǎn)速控制中，電機(jī)的轉(zhuǎn)速ω既與給定作用ug有關(guān)，又和擾動(dòng)作用Mc有關(guān)。

當(dāng)ug為變量，系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)速跟蹤時(shí)，為速度隨動(dòng)系統(tǒng)，Mc一般不變。此時(shí)微分方程為

(2-20)

當(dāng)ug為常值，Mc為變化量時(shí)，系統(tǒng)為恒值調(diào)速系統(tǒng)。此時(shí)的微分方程為

(2-21)2.2.2非線性特性的線性化

前文討論的元件和系統(tǒng)，假設(shè)都是線性的，即描述它們的數(shù)學(xué)模型都是線性微分方程。然而，若對(duì)系統(tǒng)的元件特性尤其是靜態(tài)特性進(jìn)行嚴(yán)格的考察，不難發(fā)現(xiàn)，幾乎程度不同地都存在著非線性關(guān)系。因此，描述輸入、輸出關(guān)系的微分方程一般是非線性微分方程。應(yīng)當(dāng)指出的是，非線性微分方程的求解是相當(dāng)困難的，且沒有通用解法。因此，工程中常采用線性化的方法對(duì)非線性特性進(jìn)行簡化，即如果所研究的問題是系統(tǒng)在某一靜態(tài)工作點(diǎn)附近的性能，可以在該靜態(tài)工作點(diǎn)附近將非線性特性用靜態(tài)工作點(diǎn)處的切線來代替，使相應(yīng)的非線性微分方程用線性微分方程代替，這就是非線性特性的線性化，所采用的方法通常稱為“小偏差法”或“小信號(hào)法”。

設(shè)具有連續(xù)變化的非線性函數(shù)可表示為y＝f(x)，如圖2-5所示。若取某平衡狀態(tài)A為靜態(tài)工作點(diǎn)，對(duì)應(yīng)有y0＝f(x0)。當(dāng)x＝x0＋Δx時(shí)，有y＝y(tǒng)0＋Δy，如B點(diǎn)。設(shè)函數(shù)y＝f(x)在(x0，y0)附近連續(xù)可微，則可將函數(shù)在(x0，y0)附近用泰勒級(jí)數(shù)展開為

圖2-5小偏差線性化示意圖當(dāng)變化量Δx＝x－x0很小時(shí)，可忽略上式中二次以上各項(xiàng)，則有

(2-22)

再用增量Δy和Δx表示，則式(2-22)變?yōu)?/p>

Δy＝K·Δx (2-23)

式中： 是比例系數(shù)，它是函數(shù)f(x)在A點(diǎn)的切

線斜率。式(2-23)是非線性函數(shù)y＝f(x)的線性化表示。

對(duì)于具有兩個(gè)自變量的非線性函數(shù)y＝f(x1，x2)，同樣可在某靜態(tài)工作點(diǎn)(x10，x20)附近用泰勒級(jí)數(shù)展開為

令Δy＝y(tǒng)－f(x10，x20)，Δx1＝x1－x10，Δx2＝x2－x20。當(dāng)Δx1和Δx2很小時(shí)，忽略二階以上各項(xiàng)，可得增量化方程為

Δy＝K1Δx1＋K2Δx2

(2-24)

式中： ， 是在靜態(tài)工作點(diǎn)處求導(dǎo)

得到的常數(shù)。

【例2-5】

設(shè)鐵芯線圈如圖2-6(a)所示，其磁通ψ(i)曲線如圖2-6(b)所示。試列寫以u(píng)i為輸入量，i為輸出量的線性化微分方程。

解由基爾霍夫定律可寫出回路方程為

ui＝uL＋Ri

(2-25)

而

(2-26)

圖2-6鐵芯線圈及磁通ψ(i)曲線式中：dψ(i)/di是線圈中電流i的非線性函數(shù)，因此將式(2-26)代入式(2-25)得到

(2-27)

為非線性微分方程。設(shè)鐵芯線圈原來處于某平衡點(diǎn)(ui0，i0)，則ui0＝Ri0；且在工作過程中電壓和電流只在平衡點(diǎn)附近作微小變化：ui＝ui0＋Δui，i＝i0＋Δi，則ψ＝ψ0＋Δψ。設(shè)ψ(i)在i0的鄰域內(nèi)連續(xù)可導(dǎo)，這樣可將ψ(i)在i0附近展開為泰勒級(jí)數(shù)：

(2-28)

式中： 。將式(2-27)代入式(2-26)中并代入ui

和i的值，得

即

略去增量符號(hào)Δ，則有

(2-29)

式(2-29)便是鐵芯線圈電路非線性特性的線性化方程

應(yīng)當(dāng)指出，利用小偏差法處理線性化問題時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

(1)線性化方程中的參數(shù)，如上述的K、K1、K2均與選擇的靜態(tài)工作點(diǎn)有關(guān)，靜態(tài)工作點(diǎn)不同，相應(yīng)的參數(shù)也不相同。因此，在進(jìn)行線性化時(shí)，應(yīng)首先確定系統(tǒng)的靜態(tài)工作點(diǎn)。

(2)當(dāng)輸入量變化范圍較大時(shí)，用上述方法建立數(shù)學(xué)模型引起的誤差也較大。因此，只有當(dāng)輸入量變化較小時(shí)才能使用。

(3)若非線性特性不滿足連續(xù)可微的條件，則不能使用本節(jié)介紹的線性化處理方法。這類非線性稱為本質(zhì)非線性，其分析方法將在第8章中討論。

(4)線性化以后得到的微分方程，是增量微分方程。為了簡化方程，增量的表示符號(hào)“Δ”一般可略去，形式與線性方程一樣。2.2.3微分方程的求解

建立微分方程的目的之一是為了用數(shù)學(xué)方法定量地研究系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。給出輸入信號(hào)r(t)，分析輸出響應(yīng)c(t)的方程，就是解微分方程。線性定常系統(tǒng)的微分方程可用經(jīng)典法、拉氏變換法或計(jì)算機(jī)求解。其中拉氏變換法可將微積分運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，且可查表，簡單實(shí)用。本小節(jié)只研究用拉氏變換法求解微分方程。

用拉氏變換法求解微分方程一般應(yīng)遵循以下步驟：

(1)考慮初始條件，將系統(tǒng)微分方程進(jìn)行拉氏變換，得到以s為變量的代數(shù)方程。

(2)解代數(shù)方程，求出C(s)表達(dá)式，并將C(s)展開成部分分式形式。

(3)進(jìn)行拉氏反變換，得到輸出量的時(shí)域表達(dá)式，即為所求微分方程的全解c(t)。

圖2-7RC網(wǎng)絡(luò)

【例2-6】如圖2-7所示RC網(wǎng)絡(luò)，S閉合前電容上已有電壓U0(U0＜U)，即Uc(0)＝U0，求S閉合后的uc(t)。

解設(shè)回路電流為i(t)，S閉合瞬間，ur(t)＝U·1(t)。由基爾霍夫定律可得系統(tǒng)微分方程為

將上式進(jìn)行拉氏變換得

則

將上式進(jìn)行拉氏反變換，得到微分方程的解為

(2-30)在式(2-30)中，方程右邊前兩項(xiàng)是在零初始條件(或狀態(tài))下，網(wǎng)絡(luò)輸入電壓產(chǎn)生的輸出分量，稱為零狀態(tài)響應(yīng)；后一項(xiàng)是由于系統(tǒng)受到初始狀態(tài)的影響，表現(xiàn)為非零的初始條件(或狀態(tài))所確定的解，與輸入電壓無關(guān)，稱為零輸入響應(yīng)。當(dāng)初始條件全為零時(shí)，則零輸入響應(yīng)為零。研究系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性一般可只研究零狀態(tài)響應(yīng)。同時(shí)，方程右邊第一項(xiàng)是電路的穩(wěn)態(tài)解，也稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，它是在假定系統(tǒng)是穩(wěn)定的并在階躍輸入下令s→0所得的部分解；其余隨時(shí)間衰減為零的另一部分解，稱為暫態(tài)解，也稱為暫態(tài)響應(yīng)；穩(wěn)態(tài)響應(yīng)將趨近于某常數(shù)(有差)或零(無差)。對(duì)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的分析可以確定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度，對(duì)暫態(tài)響應(yīng)的分析則可以確定系統(tǒng)的暫態(tài)過程。

傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論中最基本和最重要的概念，也是經(jīng)典控制理論中兩大分支——根軌跡法和頻率法的基礎(chǔ)。利用傳遞函數(shù)不必求解微分方程，就可以研究初始條件為零的系統(tǒng)在輸入信號(hào)作用下的動(dòng)態(tài)過程。傳遞函數(shù)不僅可以表征系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，而且可以用來研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)性能的影響。2.3傳遞函數(shù)2.3.1傳遞函數(shù)的定義和性質(zhì)

1.定義

對(duì)于線性定常系統(tǒng)來說，當(dāng)初始條件為零時(shí)，輸出量拉氏變換與輸入量拉氏變換之比定義為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。通常用G(s)或Φ(s)表示。

設(shè)線性定常系統(tǒng)由下述n階線性微分方程描述：

(2-31)式中：r(t)和c(t)為系統(tǒng)的輸入量和輸出量。當(dāng)初始條件為零時(shí)，對(duì)式(2-31)進(jìn)行拉氏變換得

于是，由定義得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

(2-32)

利用傳遞函數(shù)可將系統(tǒng)輸出量的拉氏變換式寫成

C(s)＝G(s)R(s)

(2-33)

【例2-7】

求圖2-1所示RLC網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)。

解由式(2-1)知RLC網(wǎng)絡(luò)的微分方程為

當(dāng)初始條件為零時(shí)，對(duì)上述方程中各項(xiàng)求拉氏變換得

由傳遞函數(shù)定義，可求得網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)為

(2-34)【例2-8】

求圖2-4所示閉環(huán)調(diào)速控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

解由式(2-19)知，閉環(huán)調(diào)速控制系統(tǒng)的總微分方程為

由于傳遞函數(shù)只適用于單輸入、單輸出情況，所以，當(dāng)Mc＝0時(shí)，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

(2-35)

當(dāng)ug＝0時(shí)，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

(2-36)2.性質(zhì)

(1)傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理真分式，具有復(fù)變函數(shù)的所有性質(zhì)。對(duì)于實(shí)際的物理系統(tǒng)，

通常m≤n，且所有系數(shù)均為實(shí)數(shù)。

(2)傳遞函數(shù)是一種用系統(tǒng)參數(shù)表示輸出量與輸入量之間關(guān)系的表達(dá)式，它只取決于系統(tǒng)或元件的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，而與輸入量r(t)的形式無關(guān)，也不反映系統(tǒng)內(nèi)部的任何信息。

(3)傳遞函數(shù)是描述線性系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的一種數(shù)學(xué)模型，而形式上和系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)微分方程一一對(duì)應(yīng)，但只適用于線性定常系統(tǒng)且初始條件為零的情況。

(4)傳遞函數(shù)是系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述，物理性質(zhì)完全不同的系統(tǒng)可以具有相同的傳遞函數(shù)。在同一系統(tǒng)中，當(dāng)取不同的物理量作為輸入量或輸出量時(shí)，其傳遞函數(shù)一般也不相同，但卻具有相同的分母。該分母多項(xiàng)式稱為特征多項(xiàng)式。令特征多項(xiàng)式等于0，得到系統(tǒng)的特征方程。

(5)傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，控制系統(tǒng)的零初始條件有兩方面的含義：

①r(t)在t≥0時(shí)才作用于系統(tǒng)，所以在t＝0－時(shí)，r(t)及其各階導(dǎo)數(shù)均為零。

②r(t)加于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài)，即c(t)及各階導(dǎo)數(shù)在t＝0－時(shí)的值也為零。

3.電網(wǎng)絡(luò)用復(fù)阻抗法求傳遞函數(shù)

如前所述，求取傳遞函數(shù)一般要經(jīng)過列寫微分方程、取拉氏變換、考慮初始條件等幾個(gè)步驟。然而，對(duì)于由電阻、電感和電容組成的電網(wǎng)絡(luò)，在求傳遞函數(shù)時(shí)，若引入復(fù)數(shù)阻抗的概念，則不必列寫微分方程，也可以方便地求出相應(yīng)的傳遞函數(shù)。

由電路原理知：一個(gè)正弦量既可用三角函數(shù)表示，也可用相量表示。電氣元件兩端的電壓相量與流過元件的電流相量之比，稱為該元件的復(fù)數(shù)阻抗，并用Z表示，即

(2-37)

R、L、C負(fù)載的復(fù)數(shù)阻抗如表2-1所示。表中同時(shí)列出了三種典型電路的有關(guān)方程及傳遞函數(shù)。表2-1R、L、C負(fù)載的復(fù)數(shù)阻抗對(duì)照表可見，傳遞函數(shù)在形式上與復(fù)數(shù)阻抗十分相似，只是用拉氏變換的復(fù)變量s置換了復(fù)數(shù)阻抗中的jω罷了。基于此，在求電網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)時(shí)，首先可把電路中的電阻R、電感L和電容C的復(fù)數(shù)阻抗分別改寫成R、Ls和，再把電流i(t)和電壓u(t)換成相應(yīng)的拉氏變換形式I(s)和U(s)?？紤]到在零初始條件下，電路中的復(fù)數(shù)阻抗和電流、電壓相量及其拉氏變換I(s)、U(s)之間的關(guān)系應(yīng)滿足各種電路定律。于是，就可以采用普通電路中阻抗串、并聯(lián)的規(guī)律，經(jīng)過簡單的代數(shù)運(yùn)算求解出I(s)、U(s)及相應(yīng)的傳遞函數(shù)。

用復(fù)數(shù)阻抗法求取電網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)是簡便、有效的，它既適用于無源網(wǎng)絡(luò)，又適用于有源網(wǎng)絡(luò)。

【例2-9】

試求圖2-8所示RLC無源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)。

解令Z1＝R＋Ls為電阻和電感的復(fù)數(shù)阻抗之和，

為電容的復(fù)數(shù)阻抗。由此可得傳遞函數(shù)為

(2-38)圖2-8RLC無源網(wǎng)絡(luò)

圖2-9RC有源網(wǎng)絡(luò)

【例2-10】

試求如圖2-9所示RC有源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)。

解因?yàn)锳點(diǎn)為虛地點(diǎn)，所以i1＝i2。令Z1＝R1，

則

系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

(2-39)應(yīng)當(dāng)指出，在實(shí)際的控制工程中，當(dāng)計(jì)算運(yùn)放電路的傳遞函數(shù)時(shí)，一般可不考慮負(fù)號(hào)問題。負(fù)號(hào)關(guān)系在構(gòu)成閉環(huán)控制系統(tǒng)負(fù)反饋的時(shí)候再綜合考慮。所以，式(2-39)又可以寫為

(2-40)4.傳遞函數(shù)的其他表示方法

1)零、極點(diǎn)表示方法

將式(2-32)改寫為

(2-41)式中：zj為分子多項(xiàng)式的根，稱為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)；pi為分母多項(xiàng)式的根，稱為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)；Kg＝b0/a0稱為根軌跡放大倍數(shù)或根軌跡增益。

2)時(shí)間常數(shù)表示方法

將式(2-32)改寫為

(2-42)式中：τj、Ti分別為分子、分母多項(xiàng)式各因子的時(shí)間常數(shù)；

K＝bm/an為放大倍數(shù)或增益。

各因子的時(shí)間常數(shù)和零、極點(diǎn)的關(guān)系，以及K和Kg間的關(guān)系分別為

(2-43)

(2-44)

(2-45)因?yàn)槭?2-32)中分子、分母多項(xiàng)式的各項(xiàng)系數(shù)均為實(shí)數(shù)，所以傳遞函數(shù)G(s)如果出現(xiàn)復(fù)數(shù)零點(diǎn)、極點(diǎn)的話，那么復(fù)數(shù)零點(diǎn)、極點(diǎn)必然是共軛的。

系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可能還會(huì)有零值極點(diǎn)，設(shè)為υ個(gè)，并考慮到零點(diǎn)、極點(diǎn)都有實(shí)數(shù)和共軛復(fù)數(shù)的情況，則式(2-41)和式(2-42)可改寫成一般表示形式為

(2-46)

和

(2-47)

以上兩式中，m＝m1＋2m2，n＝υ＋n1＋2n2。2.3.2典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)

自動(dòng)控制系統(tǒng)是由各種元件組合而成的。雖然不同的控制系統(tǒng)所用的元件不相同，但描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的傳遞函數(shù)均可表示為式(2-47)。為了便于控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)，通常按數(shù)學(xué)模型的不同，將系統(tǒng)的組成元件進(jìn)行歸類，分成為數(shù)不多的類別。每種類別具有形式相同的傳遞函數(shù)，稱為一種典型環(huán)節(jié)。

線性定常系統(tǒng)的典型環(huán)節(jié)可歸納為比例環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)和延遲環(huán)節(jié)等幾種形式。應(yīng)該指出，典型環(huán)節(jié)只代表一種特定的數(shù)學(xué)模型，而不一定是一種具體的元件。

1.比例環(huán)節(jié)

比例環(huán)節(jié)又稱為放大環(huán)節(jié)，其輸出量與輸入量之間的關(guān)系為一種固定的比例關(guān)系。比例環(huán)節(jié)的微分方程為

c(t)＝K·r(t)

式中：K為環(huán)節(jié)的放大倍數(shù)。其傳遞函數(shù)為

(2-48)

可見，比例環(huán)節(jié)既無零點(diǎn)也無極點(diǎn)。當(dāng)r(t)＝1(t)時(shí)，c(t)＝K·1(t)。所以說，比例環(huán)節(jié)的輸出量與輸入量成比例，不失真也不延遲。

比例環(huán)節(jié)的電路原理圖和單位階躍響應(yīng)曲線如圖2-10所示。實(shí)際系統(tǒng)中無彈性變形的杠桿、放大器、分壓器、齒輪、減速器等等都可認(rèn)為是比例環(huán)節(jié)。應(yīng)當(dāng)指出的是，完全理想的比例環(huán)節(jié)是不存在的，在一定條件和范圍內(nèi)一些近似的比例環(huán)節(jié)可認(rèn)為是理想的比例環(huán)節(jié)。

圖2-10比例環(huán)節(jié)(a)電路原理圖；(b)單位階躍響應(yīng)曲線

2.積分環(huán)節(jié)

積分環(huán)節(jié)又稱無差環(huán)節(jié)，其輸出量與輸入量之間是積分關(guān)系。積分環(huán)節(jié)的微分方程為

其傳遞函數(shù)為

(2-49)

式中：T稱為積分時(shí)間常數(shù)；K稱為積分環(huán)節(jié)的放大倍數(shù)。

可見，積分環(huán)節(jié)只有一個(gè)零值極點(diǎn)。當(dāng)輸入信號(hào)為單位階躍信號(hào)時(shí)，在零初始條件下，積分環(huán)節(jié)輸出量的拉氏變換為

將上式進(jìn)行拉氏反變換后，得到積分環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)為

上式表明，只要有一個(gè)恒定的輸入量作用于積分環(huán)節(jié)，其輸出量就隨時(shí)間成正比地?zé)o限增加。圖2-11(a)是由運(yùn)算放大器所構(gòu)成的積分調(diào)節(jié)器。積分環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖2-11(b)所示。

圖2-11積分環(huán)節(jié)(a)電路原理圖；(b)單位階躍響應(yīng)曲線

3.慣性環(huán)節(jié)

慣性環(huán)節(jié)又稱為非周期環(huán)節(jié)，該環(huán)節(jié)由于含有儲(chǔ)能元件，因此對(duì)突變的輸入信號(hào)，輸出量不能立即跟隨輸入，而是有一定的慣性。慣性環(huán)節(jié)的微分方程為

其傳遞函數(shù)為

(2-50)

式中：T為慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)?？梢钥闯?，慣性環(huán)節(jié)在s平面上有一個(gè)負(fù)值極點(diǎn)

當(dāng)輸入信號(hào)為單位階躍信號(hào)時(shí)，在零初始條件下，慣性環(huán)節(jié)輸出量的拉氏變換為

將上式進(jìn)行拉氏反變換后，得到慣性環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)為

圖2-12(a)和(b)給出的RC網(wǎng)絡(luò)和LR回路(電流i作為輸出時(shí))都可視為慣性環(huán)節(jié)。慣性環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖2-12(c)所示，當(dāng)時(shí)間t＝(3~4)T時(shí)，輸出量才接近其穩(wěn)態(tài)值。時(shí)間常數(shù)T越大，環(huán)節(jié)的慣性越大，則響應(yīng)時(shí)間也越長。在實(shí)際的工程中慣性環(huán)節(jié)是比較常見的。

圖2-12慣性環(huán)節(jié)(a)RC網(wǎng)絡(luò)；(b)LR回路；(c)單位階躍響應(yīng)曲線

4.微分環(huán)節(jié)

微分環(huán)節(jié)又稱超前環(huán)節(jié)。微分環(huán)節(jié)的輸出量反映了輸入信號(hào)的變化趨勢(shì)。常見的微分環(huán)節(jié)有純微分環(huán)節(jié)、一階微分環(huán)節(jié)和二階微分環(huán)節(jié)三種。相應(yīng)的微分方程為

式中：τ為時(shí)間常數(shù)；z為阻尼比。其傳遞函數(shù)分別為

(2-51)

(2-52)

(2-53)

由上述各式可見，這些微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)都沒有極點(diǎn)，只有零點(diǎn)。理想純微分環(huán)節(jié)只有一個(gè)零值零點(diǎn)，一階微分環(huán)節(jié)有一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)零點(diǎn)，二階微分環(huán)節(jié)有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)的零點(diǎn)。圖2-13RC電路在實(shí)際物理系統(tǒng)中，由于慣性的普遍存在，以至于很難實(shí)現(xiàn)理想的微分環(huán)節(jié)。如圖2-13所示的RC電路，其傳遞函數(shù)為

顯然，只有當(dāng)RC<<1時(shí)，才有G(s)≈RCs，電路才近似為純微分環(huán)節(jié)。

5.振蕩環(huán)節(jié)

振蕩環(huán)節(jié)的微分方程為

其傳遞函數(shù)為

(2-54)

式中：T為時(shí)間常數(shù)；x為阻尼比；ωn＝1/T為無阻尼自然振蕩頻率。振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)具有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，即

振蕩環(huán)節(jié)在單位階躍輸入作用下的輸出響應(yīng)為

(2-55)

實(shí)際工程中，如樞控電機(jī)、RLC網(wǎng)絡(luò)、動(dòng)力系統(tǒng)等等都可用振蕩環(huán)節(jié)描述。

6.延遲環(huán)節(jié)

延遲環(huán)節(jié)又稱滯后環(huán)節(jié)，其輸出延遲時(shí)間τ后復(fù)現(xiàn)輸入信號(hào)，如圖2-14所示。延遲環(huán)節(jié)的微分方程為

式中：τ為延遲時(shí)間。根據(jù)拉氏變換的延遲定理，可得延遲環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

(2-56)

圖2-14延遲環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)(a)階躍輸入；(b)階躍響應(yīng)在生產(chǎn)實(shí)踐中，特別是一些液壓、氣動(dòng)或機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)中，都有不同程度的延遲現(xiàn)象。

由于延遲環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)G(s)＝e－τs為超越函數(shù)，當(dāng)τ很小時(shí)，可將e－τs展開成泰勒級(jí)數(shù)，并略去高次項(xiàng)，于是有

(2-57)

即在延遲時(shí)間τ很小的情況下，可將延遲環(huán)節(jié)近似為慣性環(huán)節(jié)。

控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖是描述系統(tǒng)各元件之間信號(hào)傳遞關(guān)系的數(shù)學(xué)圖示模型，它表示系統(tǒng)中各變量之間的因果關(guān)系以及對(duì)各變量所進(jìn)行的運(yùn)算。利用結(jié)構(gòu)圖既能方便地求取傳遞函數(shù)，又能形象直觀地表明控制信號(hào)在系統(tǒng)內(nèi)部的動(dòng)態(tài)傳遞過程。結(jié)構(gòu)圖是控制理論中描述復(fù)雜系統(tǒng)的一種簡便方法。2.4結(jié)構(gòu)圖及其等效變換2.4.1結(jié)構(gòu)圖的基本概念

1.定義

由具有一定函數(shù)關(guān)系的環(huán)節(jié)組成的，且標(biāo)有信號(hào)傳遞方向的系統(tǒng)方框圖稱為動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖，簡稱結(jié)構(gòu)圖。

2.組成

系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖由以下四個(gè)基本單元組成：

(1)信號(hào)線。信號(hào)線是帶有箭頭的直線，表示信號(hào)傳遞的方向，線上標(biāo)注信號(hào)所對(duì)應(yīng)的變量。信號(hào)傳遞具有單向性，如圖2-15(a)所示。

(2)引出點(diǎn)。引出點(diǎn)表示信號(hào)引出或測量的位置，從同一信號(hào)線上取出的信號(hào)，其數(shù)值和性質(zhì)完全相同，如圖2-15(b)所示。

(3)比較點(diǎn)。比較點(diǎn)表示兩個(gè)或兩個(gè)以上信號(hào)在該點(diǎn)相加或相減。運(yùn)算符號(hào)必須標(biāo)明，一般正號(hào)可省略，如圖2-15(c)所示。

(4)函數(shù)方框。表示元件或環(huán)節(jié)輸入、輸出變量之間的函數(shù)關(guān)系。函數(shù)方框內(nèi)要填寫元件或環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，函數(shù)方框的輸出信號(hào)等于函數(shù)方框的輸入信號(hào)與函數(shù)方框中傳遞函數(shù)G(s)的乘積，如圖2-15(d)所示，其中C(s)＝G(s)

R(s)。

圖2-15結(jié)構(gòu)圖的基本組成單元2.4.2結(jié)構(gòu)圖的建立

系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的建立步驟如下：

(1)建立控制系統(tǒng)各元件的微分方程(要分清輸入量和輸出量，并考慮負(fù)載效應(yīng))。

(2)對(duì)上述微分方程進(jìn)行拉氏變換，并作出各元件的結(jié)構(gòu)圖。

(3)按照系統(tǒng)中各變量的傳遞順序，依次將各單元結(jié)構(gòu)圖連接起來，其輸入在左，輸出在右。

【例2-11】

試?yán)L制圖2-16所示RC網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖。

解設(shè)電路中各變量如圖2-16所示，根據(jù)基爾霍夫定律可以寫出下列方程，即

圖2-16RC無源網(wǎng)絡(luò)對(duì)上述方程進(jìn)行拉氏變換得

與上述各方程對(duì)應(yīng)的單元結(jié)構(gòu)圖如圖2-17所示。按照各變量間的關(guān)系將各元部件的結(jié)構(gòu)圖單元連接起來，便可得到該網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖如圖2-18所示。

圖2-17單元結(jié)構(gòu)圖

圖2-18RC無源網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖應(yīng)當(dāng)指出，一個(gè)系統(tǒng)可以建立多個(gè)結(jié)構(gòu)圖，即系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖不惟一。如圖2-16所示的RC網(wǎng)絡(luò)還可建立多個(gè)不同形式的結(jié)構(gòu)圖，讀者可以自行討論。

在許多控制系統(tǒng)中，元件之間存在著負(fù)載效應(yīng)。因此，在繪制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖時(shí)，應(yīng)考慮負(fù)載效應(yīng)的影響。

【例2-12】

試?yán)L制圖2-19所示兩級(jí)RC網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖。

解設(shè)電路中各變量如圖2-19所示，應(yīng)用復(fù)阻抗的概念，根據(jù)基爾霍夫定律可以寫出下列方程，即

繪制出上述各個(gè)方程對(duì)應(yīng)的單元結(jié)構(gòu)圖，然后按照各變量間的關(guān)系將各單元結(jié)構(gòu)圖連接起來，便可以得到兩級(jí)RC網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖，如圖2-20所示。

圖2-19兩級(jí)RC網(wǎng)絡(luò)的電路圖

圖2-20兩級(jí)RC網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖可見，后一級(jí)網(wǎng)絡(luò)作為前一級(jí)網(wǎng)絡(luò)的負(fù)載，對(duì)前級(jí)網(wǎng)絡(luò)的電流i1產(chǎn)生影響，這就是負(fù)載效應(yīng)。因此，不能簡單地用兩個(gè)單獨(dú)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖的串聯(lián)來表示。但是，若在兩級(jí)網(wǎng)絡(luò)之間接一個(gè)輸入電阻很大而輸出電阻很小的隔離放大器，使后級(jí)網(wǎng)絡(luò)不影響前級(jí)網(wǎng)絡(luò)，就可以消除負(fù)載效應(yīng)。2.4.3結(jié)構(gòu)圖的等效變換

建立結(jié)構(gòu)圖的目的是為了求取系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，進(jìn)而對(duì)系統(tǒng)性能進(jìn)行分析。所以，對(duì)于復(fù)雜的結(jié)構(gòu)圖就需要進(jìn)行等效變換，設(shè)法將其化簡為一個(gè)等效的函數(shù)方框，如圖2-21所示。其中的數(shù)學(xué)表達(dá)式即為系統(tǒng)總的傳遞函數(shù)。結(jié)構(gòu)圖等效變換必須遵循的原則是：變換前、后被變換部分總的數(shù)學(xué)關(guān)系保持不變，也就是變換前、后有關(guān)部分的輸入量、輸出量之間的關(guān)系保持不變。

圖2-21等效的函數(shù)方框

1.串聯(lián)環(huán)節(jié)的等效

如圖2-22(a)所示為兩個(gè)環(huán)節(jié)的串聯(lián)，對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)分別為G1(s)和G2(s)。由圖可得：

所以，兩個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)的總傳遞函數(shù)為

(2-58)由此可見，串聯(lián)后總的傳遞函數(shù)等于各個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)之乘積。圖2-22(a)可用圖2-22(b)等效表示。推而廣之，若有n個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)，則總的傳遞函數(shù)可表示為

(2-59)

圖2-22串聯(lián)環(huán)節(jié)及其等效圖

2.并聯(lián)環(huán)節(jié)的等效

如圖2-23(a)所示為兩個(gè)環(huán)節(jié)的并聯(lián)，對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)分別為G1(s)和G2(s)。由圖可得

所以，兩個(gè)并聯(lián)環(huán)節(jié)的總的傳遞函數(shù)為

(2-60)

由此可見，并聯(lián)后總的傳遞函數(shù)等于各個(gè)并聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)之代數(shù)和。圖2-23(a)可用圖2-23(b)等效表示。同理，若有n個(gè)環(huán)節(jié)并聯(lián)，則總的傳遞函數(shù)可表示為

(2-61)

式中：

∑為求代數(shù)和。圖2-23并聯(lián)環(huán)節(jié)及其等效圖

3.反饋連接的等效

傳遞函數(shù)分別為G(s)和H(s)的兩個(gè)環(huán)節(jié)，如圖2-24(a)所示的形式連接，稱為反饋連接?！埃睘檎答?，表示輸入信號(hào)與反饋信號(hào)相加；“－”為負(fù)反饋，表示輸入信號(hào)與反饋信號(hào)相減。由圖得

所以由此可得反饋連接的等效傳遞函數(shù)為

(2-62)

式中：“－”對(duì)應(yīng)正反饋；“＋”對(duì)應(yīng)負(fù)反饋。圖2-24(a)可用圖2-24(b)等效表示。

當(dāng)采用單位反饋時(shí)，H(s)＝1，則有

(2-63)圖2-24反饋連接及其等效圖以上三種基本連接方式的等效變換是進(jìn)行系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖等效變換的基礎(chǔ)。對(duì)于較復(fù)雜的系統(tǒng)，例如具有信號(hào)交叉或反饋環(huán)相互交叉時(shí)，僅靠這三種方法是不夠的。這時(shí)，必須將比較點(diǎn)或引出點(diǎn)作適當(dāng)?shù)囊苿?dòng)，先消除各基本連接方式之間的交叉，然后再進(jìn)行等效變換。

4.比較點(diǎn)的移動(dòng)和互換

比較點(diǎn)的移動(dòng)分為兩種情況：前移和后移。為了保證比較點(diǎn)移動(dòng)前后，輸出量與輸入量之間的關(guān)系保持不變，必須在比較點(diǎn)的移動(dòng)支路中，串聯(lián)一個(gè)環(huán)節(jié)，它的傳遞函數(shù)分別為1/G(s)(前移)和G(s)(后移)。相應(yīng)的等效變換如圖2-25(a)和(b)所示。

如果兩個(gè)比較點(diǎn)緊緊相鄰，就可以互換位置，輸出信號(hào)仍然不變，如圖2-25(c)所示。

圖2-25比較點(diǎn)的等效移動(dòng)

5.引出點(diǎn)的移動(dòng)和互換

引出點(diǎn)的移動(dòng)也分為兩種情況：前移和后移。但是引出點(diǎn)前移時(shí)，應(yīng)在引出點(diǎn)取出支路中串聯(lián)一個(gè)傳遞函數(shù)為G(s)的環(huán)節(jié)；引出點(diǎn)后移時(shí)，則串聯(lián)一個(gè)傳遞函數(shù)為1/G(s)的環(huán)節(jié)。相應(yīng)的等效變換如圖2-26(a)和(b)所示。

如果兩個(gè)引出點(diǎn)緊緊相鄰，就可以互換位置，輸出信號(hào)仍然不變，如圖2-26(c)所示。

必須注意，相鄰的比較點(diǎn)和引出點(diǎn)之間的位置不能簡單地互換。表2-2中列出了結(jié)構(gòu)圖等效變換的基本規(guī)則。利用這些規(guī)則可以將比較復(fù)雜的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖逐步簡化，直至最后得出輸入量和輸出量之間的關(guān)系——傳遞函數(shù)。

圖2-26引出點(diǎn)的等效移動(dòng)表2-2結(jié)構(gòu)圖等效變換規(guī)則續(xù)表

【例2-13】

試將例2-11中RC無源網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖2-18進(jìn)行等效變換，并求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)Uc(s)/Ur(s)。

解在對(duì)圖2-18所示的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖進(jìn)行等效變換時(shí)，首先，將1/R和Cs兩條并聯(lián)支路合并，如圖2-27(a)所示。然后，再將(R1Cs＋1)/R1與R2串聯(lián)后進(jìn)行反饋回路的等效變換，如圖2-27(b)所示，便求得系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

圖2-27圖2-18的等效變換過程

【例2-14】

試?yán)媒Y(jié)構(gòu)圖等效變換求圖2-19所示的兩級(jí)RC網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)，ur為輸入信號(hào)，uc為輸出信號(hào)。

解在例2-14中，已得到兩級(jí)RC網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖如圖2-28(a)所示。由圖可知，有三個(gè)相互交叉的閉環(huán)。因此，可先利用比較點(diǎn)前移和引出點(diǎn)后移規(guī)則將其等效為圖2-28(b)；然后，再利用環(huán)節(jié)的串聯(lián)和反饋連接合并規(guī)則等效為圖2-28(c)和(d)；最后，得到網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)為

圖2-28兩級(jí)RC網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖的等效變換過程

【例2-15】

試對(duì)圖2-29所示系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖進(jìn)行等效變

換，并求傳遞函數(shù)

解為等效變換圖2-29所示的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，必須移動(dòng)引出點(diǎn)或比較點(diǎn)。首先，將G4(s)與G3(s)前的兩個(gè)比較點(diǎn)分別移到G4(s)和G3(s)之后，可得到圖2-30(a)；其次，將H(s)后的引出點(diǎn)前移到H(s)之前，得到圖2-30(b)，為了便于觀察，可改畫成圖2-30(c)；再次，將比較點(diǎn)合并為兩個(gè)，得到圖2-30(d)；最后，利用環(huán)節(jié)的串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接規(guī)則得到圖2-30(e)，從而得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

圖2-29系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

圖2-30例2-15系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的等效變換

圖2-30例2-15系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的等效變換

圖2-30例2-15系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的等效變換

結(jié)構(gòu)圖雖然對(duì)分析系統(tǒng)很有效，但是遇到結(jié)構(gòu)復(fù)雜的系統(tǒng)時(shí)，其化簡過程往往非常煩瑣，因此可采用本節(jié)介紹的信號(hào)流圖。信號(hào)流圖和結(jié)構(gòu)圖一樣，都用來表示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和信號(hào)傳遞過程中的數(shù)學(xué)關(guān)系，因而信號(hào)流圖也是一種數(shù)學(xué)模型。與結(jié)構(gòu)圖相比，信號(hào)流圖符號(hào)簡單，

更便于繪制和應(yīng)用，并且可以利用梅遜公式，不需要變換而直接得出系統(tǒng)中任何兩個(gè)變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。但是，信號(hào)流圖只適用于線性系統(tǒng)，而結(jié)構(gòu)圖也可用于非線性系統(tǒng)。2.5信號(hào)流圖與梅遜公式2.5.1信號(hào)流圖的基本概念

1.信號(hào)流圖的組成

信號(hào)流圖采用的基本圖形符號(hào)有三種，即節(jié)點(diǎn)、支路和傳輸。

(1)節(jié)點(diǎn)：表示系統(tǒng)中變量(信號(hào))的點(diǎn)，用符號(hào)“○”表示。

(2)支路：連接兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的定向線段，用符號(hào)“→”表示。支路上的箭頭方向表示信號(hào)的傳遞方向。

(3)傳輸：表示變量從支路一端沿箭頭方向傳送到另一端的函數(shù)關(guān)系，稱為支路傳輸，也稱為支路增益。用標(biāo)在支路旁邊的傳遞函數(shù)“G”表示。

2.常用術(shù)語

(1)輸入支路：進(jìn)入節(jié)點(diǎn)的支路。

(2)輸出支路：離開節(jié)點(diǎn)的支路。

(3)源節(jié)點(diǎn)：只有輸出支路的節(jié)點(diǎn)，一般表示系統(tǒng)的輸入變量，如圖2-31中的R。

(4)匯節(jié)點(diǎn)：只有輸入支路的節(jié)點(diǎn)，一般表示系統(tǒng)的輸出變量，如圖2-31中的C。

(5)混合節(jié)點(diǎn)：既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點(diǎn)，相當(dāng)于結(jié)構(gòu)圖中的引出點(diǎn)和比較點(diǎn)，如圖2-31中的X1、X2和X3?；旌瞎?jié)點(diǎn)的信號(hào)為所有輸入支路引進(jìn)信號(hào)的疊加，且此信號(hào)可通過任何一個(gè)具有單位傳輸?shù)妮敵鲋啡〕?，如圖2-31從X3取出變?yōu)镃。

圖2-31信號(hào)流圖

(6)通路：是指從一個(gè)節(jié)點(diǎn)開始，沿著支路箭頭方向連續(xù)經(jīng)過相連支路而終止到另一個(gè)節(jié)點(diǎn)(或同一節(jié)點(diǎn))的路徑，通路又稱為通道。一個(gè)信號(hào)流圖可以有多條通路，如圖2-

31中的RX1X2X3、RX2X3X1等。

(7)開通路：如果通路從某個(gè)節(jié)點(diǎn)出發(fā)，終止于另一節(jié)點(diǎn)上，并且通路中每個(gè)節(jié)點(diǎn)只經(jīng)過一次，則稱這樣的通路為開通路，如圖2-31中的RX1X2X3C、RX2X3X1等。

(8)閉通路：若通路與任一節(jié)點(diǎn)相交不多于一次，但起點(diǎn)與終點(diǎn)為同一點(diǎn)，則稱為閉通路或回路、回環(huán)等，如圖2-31中的X1X2X3X1。如果從一個(gè)節(jié)點(diǎn)開始，只經(jīng)過一個(gè)支路，又回到該節(jié)點(diǎn)的回路稱為自回路，如圖2-32所示。

圖2-32自回路

(9)不接觸回路：相互之間不具有任何公共節(jié)點(diǎn)的回路稱為不接觸回路。

(10)前向通路：從源節(jié)點(diǎn)開始到匯節(jié)點(diǎn)終止，并且每個(gè)節(jié)點(diǎn)只通過一次的通路，稱為前向通路。

(11)通路傳輸：指通路中各支路傳輸?shù)某朔e，也稱為通路增益。

(12)回路傳輸：指閉通路中各支路傳輸?shù)某朔e，也稱為回路增益。

3.信號(hào)流圖的基本性質(zhì)

(1)信號(hào)流圖是表達(dá)線性方程組的一種數(shù)學(xué)圖形。當(dāng)系統(tǒng)由微分方程描述時(shí)，應(yīng)先變換成代數(shù)方程并整理成因果關(guān)系形式。

(2)節(jié)點(diǎn)標(biāo)志系統(tǒng)的變量。每個(gè)節(jié)點(diǎn)標(biāo)志的變量是所有流向該節(jié)點(diǎn)的信號(hào)之代數(shù)和，而從同一節(jié)點(diǎn)流向各支路的信號(hào)均用該節(jié)點(diǎn)的變量表示。

(3)支路相當(dāng)于乘法器，信號(hào)流經(jīng)支路時(shí)，被乘以支路增益而變換為另一信號(hào)。

(4)支路表示一個(gè)變量與另一個(gè)變量之間的關(guān)系，信號(hào)只能沿箭頭方向流通。

(5)對(duì)于給定的系統(tǒng)，節(jié)點(diǎn)變量的設(shè)置是任意的，因此其信號(hào)流圖不是惟一的。

4.信號(hào)流圖的繪制

信號(hào)流圖可以根據(jù)微分方程繪制，也可以從系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖按照對(duì)應(yīng)關(guān)系得到。

1)由系統(tǒng)微分方程繪制信號(hào)流圖

任何線性數(shù)學(xué)方程都可以用信號(hào)流圖表示，但含有微分或積分的線性方程，一般應(yīng)通過拉氏變換，將微分或積分變換為關(guān)于s的代數(shù)方程后再畫信號(hào)流圖。繪制信號(hào)流圖時(shí)，首先要對(duì)系統(tǒng)的每個(gè)變量指定一個(gè)節(jié)點(diǎn)，并按照系統(tǒng)中變量的因果關(guān)系，從左向右順序排列；然后，將標(biāo)明支路增益的支路，根據(jù)數(shù)學(xué)方程式將各節(jié)點(diǎn)變量正確連接，便可得到系統(tǒng)的信號(hào)流圖。

2)由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖繪制信號(hào)流圖

由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖繪制信號(hào)流圖時(shí)，只需將結(jié)構(gòu)圖的輸入量、輸出量、引出點(diǎn)、比較點(diǎn)以及中間變量均改為節(jié)點(diǎn)，用標(biāo)有傳遞函數(shù)的定向線段代替結(jié)構(gòu)圖中的方框，結(jié)構(gòu)圖就變換為相應(yīng)的信號(hào)流圖了，如圖2-33所示。

圖2-33由結(jié)構(gòu)圖繪制信號(hào)流圖

5.信號(hào)流圖的等效變換

信號(hào)流圖繪制出后，可根據(jù)表2-3中所列的法則對(duì)信號(hào)流圖進(jìn)行簡化運(yùn)算，以便求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。這些法則是與前面所敘述的結(jié)構(gòu)圖等效變換法則相對(duì)應(yīng)的。表2-3信號(hào)流圖的等效變換法則

2.5.2梅遜公式及其應(yīng)用

信號(hào)流圖雖比動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖簡單，但通過等效變換來簡化系統(tǒng)也很麻煩。利用梅遜公式可以不必簡化信號(hào)流圖，直接求出從源節(jié)點(diǎn)到匯節(jié)點(diǎn)的傳遞函數(shù)，這就為信號(hào)流圖的廣泛應(yīng)用提供了方便。同時(shí)，由于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖和信號(hào)流圖一一對(duì)應(yīng)，因此，梅遜公式也可以直接用于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。

在信號(hào)流圖上，從任意源節(jié)點(diǎn)到任意匯節(jié)點(diǎn)之間的總傳輸公式，即梅遜公式為

(2-64)式中：n為從源節(jié)點(diǎn)到匯節(jié)點(diǎn)之間的前向通路總數(shù)；Pk為第k條前向通路的總傳輸；Δ為信號(hào)流圖特征式，計(jì)算公式為

(2-65)

其中：∑La為信號(hào)流圖中所有不同回路的傳輸之和；∑LbLc為所有兩兩互不接觸回路傳輸?shù)某朔e之和；∑LdLeLf

為所有三個(gè)互不接觸回路傳輸?shù)某朔e之和。

而Δk為第k條前向通路的信號(hào)流圖特征式的余子式，其值為從Δ中除去與第k條前向通路Pk相接觸的回路后余下的部分。

【例2-16】

試?yán)L制圖2-19所示的兩級(jí)RC網(wǎng)絡(luò)的信號(hào)流圖，并求傳遞函數(shù)

解在例2-12中已得到兩級(jí)RC網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖如圖2-20所示，可直接繪出相應(yīng)的信號(hào)流圖，如圖2-34所示。

從源節(jié)點(diǎn)Ur(s)到匯節(jié)點(diǎn)Uc(s)之間，只有一條前向通路，其增益為

圖2-34兩級(jí)RC網(wǎng)絡(luò)的信號(hào)流圖有三個(gè)單獨(dú)的回路，分別為

其中，只有L1和L2兩個(gè)回路互不接觸，其回路增益乘積為

于是，特征式為

由于這三個(gè)回路都與前向通路P1相接觸，因此其余子式Δ1＝1。故有【例2-17】

一系統(tǒng)的信號(hào)流圖如圖2-35所示，試用梅遜公式確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

解由圖2-35可知，系統(tǒng)有3條前向通路，其增益分別為 P1＝G1G2G3G4G5，P2＝G1G6G4G5，P3＝G1G2G7

有4個(gè)單獨(dú)的回路，各回路增益分別為

L1＝－G4H1，L2＝－G2G7H2，L3＝－G6G4G5H2，L4＝－G2G3G4G5H2其中，回路L1與L2互不接觸，則

圖2-35系統(tǒng)信號(hào)流圖因此，信號(hào)流圖特征式為

從Δ中將與前向通路P1相接觸的回環(huán)去掉，可獲得余子式

Δ1＝1

同理，有

Δ2＝1，Δ3＝1＋G4H1

于是，可得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

其實(shí)，在結(jié)構(gòu)圖中同樣可以使用梅遜公式，求傳遞函數(shù)時(shí)比結(jié)構(gòu)圖的等效變換簡單得多，讀者可自行討論。

閉環(huán)控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)如圖2-36所示。圖中，R(s)為給定輸入信號(hào)，

N(s)為擾動(dòng)輸入信號(hào)，C(s)為系統(tǒng)輸出。現(xiàn)分別討論閉環(huán)控制系統(tǒng)中各種輸入量與輸出量間的閉環(huán)傳遞函數(shù)。2.6閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

圖2-36閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖2.6.1閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)是指閉環(huán)系統(tǒng)反饋信號(hào)的拉氏變換B(s)與偏差信號(hào)的拉氏變換E(s)之比，用Gk(s)表示。因此，圖2-36所示的典型閉環(huán)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

(2-66)

Gk(s)是今后用根軌跡法和頻率特性法分析系統(tǒng)的主要數(shù)學(xué)模型，它在數(shù)值上等于系統(tǒng)的前向通路傳遞函數(shù)乘以反饋通路傳遞函數(shù)。2.6.2閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

1.給定信號(hào)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)

當(dāng)只討論給定信號(hào)R(s)作用時(shí)，可令擾動(dòng)信號(hào)N(s)＝0，圖2-36變?yōu)閳D2-37所示的系統(tǒng)。

圖2-37R(s)單獨(dú)作用的結(jié)構(gòu)圖用Φ(s)表示系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)，利用結(jié)構(gòu)圖的等效變換可求得

(2-67)

由Φ(s)可進(jìn)一步求得在給定信號(hào)作用下，系統(tǒng)的輸出為

(2-68)

2.給定信號(hào)作用下的誤差傳遞函數(shù)

取系統(tǒng)偏差信號(hào)E(s)＝R(s)－B(s)。在控制系統(tǒng)中常用偏差代替誤差，關(guān)于偏差和誤差的關(guān)系將在3.6節(jié)中詳細(xì)討論。E(s)與R(s)之比稱為給定信號(hào)R(s)作用下的誤差傳遞函數(shù)，用Φe(s)表示。由圖2-37可得：

(2-69)

而給定信號(hào)作用下的誤差為

(2-70)如果系統(tǒng)為單位反饋系統(tǒng)，H(s)＝1，系統(tǒng)的前向通道傳遞函數(shù)即為開環(huán)傳遞函數(shù)，則有

(2-71)

(2-72)

如果已知單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)Φ(s)，由式(2-71)和式(2-72)可得

(2-73)

(2-74)

圖2-38N(s)單獨(dú)作用的結(jié)構(gòu)圖3.擾動(dòng)信號(hào)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)

當(dāng)只討論擾動(dòng)信號(hào)N(s)作用時(shí)，可令給定信號(hào)R(s)＝0，圖2-36變?yōu)閳D2-38所示的系統(tǒng)。

用Φn(s)表示系統(tǒng)在擾動(dòng)信號(hào)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)，利用結(jié)構(gòu)圖的等效變換可求得

(2-75)

此時(shí)系統(tǒng)的輸出為

(2-76)4.擾動(dòng)信號(hào)作用下的誤差傳遞函數(shù)

E(s)與N(s)之比稱為擾動(dòng)信號(hào)N(s)作用下的誤差傳遞函數(shù)，用Φen(s)表示。圖2-36轉(zhuǎn)化為圖2-39，利用結(jié)構(gòu)圖的等效變換可求得

(2-77)

而擾動(dòng)信號(hào)作用下的誤差為

(2-78)

圖2-39N(s)作用下的誤差傳遞函數(shù)根據(jù)線性系統(tǒng)疊加原理，可以求出給定輸入信號(hào)和擾動(dòng)輸入信號(hào)同時(shí)作用下，閉環(huán)控制系統(tǒng)的總輸出C(s)和總的誤差E(s)。即

(2-79)

(2-80)由以上各式可以看出，圖2-36所示的系統(tǒng)在各種情況下的閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)都具有相同的分母多項(xiàng)式［1＋Gk(s)］，這是因?yàn)樗鼈兌际峭粋€(gè)信號(hào)流圖的特征式

于是稱［1＋Gk(s)］為閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式，稱

(2-81)

為閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程式。

2.7.1基本概念

所謂脈沖響應(yīng)是指在零初始條件下，線性系統(tǒng)在單位脈沖輸入信號(hào)作用下的輸出。單位脈沖信號(hào)用δ(t)表示，它定義為

(2-82)2.7脈沖響應(yīng)函數(shù)單位脈沖函數(shù)的拉氏變換為

L［δ(t)］＝1

(2-83)

設(shè)線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G(s)，則系統(tǒng)在給定輸入r(t)＝δ(t)的作用下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換為

C(s)＝G(s)R(s)＝G(s)

(2-84)

則系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為

c(t)＝L－1［G(s)］＝g(t)

(2-85)

式中：g(t)稱為線性系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)。

顯然，系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)函數(shù)的拉普拉斯變換即為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。根據(jù)拉氏變換的惟一性定理，g(t)與G(s)一一對(duì)應(yīng)。因此，脈沖響應(yīng)函數(shù)g(t)也是一種數(shù)學(xué)模型。2.7.2脈沖響應(yīng)函數(shù)的應(yīng)用

1.由脈沖響應(yīng)函數(shù)g(t)求取系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)

因?yàn)槊}沖響應(yīng)函數(shù)g(t)與系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)一一對(duì)應(yīng)，所以就系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性而言，它們包含相同的信息。因此，若以脈沖信號(hào)作用于系統(tǒng)，并測定其輸出響應(yīng)，則可獲得有關(guān)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的全部信息。對(duì)于那些難以寫出其傳遞函數(shù)的系統(tǒng)，無疑是一種簡便方法。

【例2-18】

已知某系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為

試求其傳遞函數(shù)G(s)。

解由式(2-66)可得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

L2.利用脈沖響應(yīng)函數(shù)g(t)求取任意輸入r(t)作用下的輸出響應(yīng)

分析系統(tǒng)對(duì)任意輸入信號(hào)r(t)作用下的輸出響應(yīng)，應(yīng)首先討論如何將任意信號(hào)用一系列脈沖函數(shù)表示。式(2-63)已經(jīng)定義了發(fā)生在t＝0時(shí)刻的單位脈沖函數(shù)δ(t)。對(duì)于發(fā)生在t＝τ時(shí)刻，即從t＝0開始，延遲時(shí)間τ發(fā)生的單位脈沖函數(shù)應(yīng)表示為

圖2-40δ(t－τ)函數(shù)的圖形如圖2-40所示。顯然，Aδ(t－τ)表示發(fā)生在t＝τ時(shí)刻，且面積為A的脈沖函數(shù)。

為了用脈沖函數(shù)表示任意輸入信號(hào)r(t)，可以用無限多個(gè)互相連接的實(shí)際脈沖近似表示，在τ時(shí)刻的幅值為r(τ),脈沖寬度為Δτ，則此時(shí)刻的脈沖面積可表示為r(τ)Δτ,發(fā)生在τ時(shí)刻且面積為r(τ)Δτ的脈沖函數(shù)可表示為r(τ)Δτδ(t－τ)，如圖2-41(a)所示。那么，任意輸入信號(hào)r(t)就可近似表示為

(2-86)當(dāng)線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為已知時(shí)，則系統(tǒng)對(duì)單位脈沖函數(shù)δ(t)的響應(yīng)為g(t)，即在零初始條件下，系統(tǒng)對(duì)單位脈沖函數(shù)δ(t－τ)的響應(yīng)為g(t－τ)。由于線性系統(tǒng)服從疊加原理，因此在任意輸入r(t)作用下的響應(yīng)函數(shù)應(yīng)為所有脈沖響應(yīng)函數(shù)之和，可表示為

(2-87)

式(2-87)的物理意義可以由圖2-41(b)很好地說明。

圖2-41式(2-87)的物理意義(a)用窄脈沖表示任意輸入r(t)；(b)式(2-87)的物理意義若將脈沖寬度取得足夠小，即當(dāng)Δτ→0時(shí)，Δτ可用微分dτ表示。此時(shí)，式(2-87)變?yōu)榉e分形式

(2-88)

此式正是r(t)與g(t)的卷積，記為

因?yàn)閠＜τ時(shí)，g(t－τ)＝0，即τ＞t時(shí)，有

(2-89)

根據(jù)拉氏變換的卷積定理有

C(s)＝R(s)G(s)＝G(s)R(s)

(2-90)

因此，只要知道系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)g(t)，就可求得系統(tǒng)對(duì)任意函數(shù)r(t)作用下的輸出響應(yīng)c(t)。

【例2-19】

已知g(t)＝e－tsint(t≥0)，r(t)＝e－t(t≥0)，求c(t)。

解由式(2-90)可得系統(tǒng)的輸出

所以

c(t)＝e－t－e－tcost＝e－t(1－cost)

LL

在進(jìn)行控制系統(tǒng)分析之前，首先要建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。MATLAB命令行中可以建立3種控制系統(tǒng)模型：傳遞函數(shù)模型(TF模型)、零極點(diǎn)模型(ZPK模型)和狀態(tài)空間模型(SS模型)。各種模型之間可以由轉(zhuǎn)換函數(shù)相互轉(zhuǎn)換，以滿足不同的使用需求。對(duì)于用結(jié)構(gòu)圖表示的系統(tǒng)可以用反饋函數(shù)、并聯(lián)函數(shù)、串聯(lián)函數(shù)實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立。2.8MATLAB中數(shù)學(xué)模型的表示2.8.1傳遞函數(shù)模型(TF模型)

線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)一般可以表示為

式中：bj(j＝0，1，2，…，m)和ai(i＝0，1，2，…，n)可以惟一地確定一個(gè)系統(tǒng)。因此，在MATLAB中可以用分子、分母系數(shù)向量num、den來表示傳遞函數(shù)G(s)，實(shí)現(xiàn)函數(shù)為tf()，其調(diào)用格式如下：

num＝［b0，b1，…，bm－1，bm］

den＝［a0，a1，…，an－1，an］

sys＝tf(num，den)

注意：構(gòu)成分子、分母的向量應(yīng)按降冪排列，缺項(xiàng)部分用0補(bǔ)齊。

【例2-20】

系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

試用MATLAB語句建立傳遞函數(shù)模型。

解

MATLAB程序如下：

%example2-20

>>num＝［1，2，4，8］；

>>den＝［1，16，80，17，10］；

>>sys＝tf(num，den)

Transferfunction：

s^3＋2s^2＋4s＋8

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

s^4＋16s^3＋80s^2＋17s＋10

【例2-21】

已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

試在MATLAB中生成系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型。

解

MATLAB程序如下：

%example2-21

>>num＝［10，10］；

>>den＝conv(［1，0，0］，conv(［1，3］，［1，6，10］))；

>>sys＝tf(num，den)

Transferfunction：

10s＋10

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

s^5＋9s^4＋28s^3＋30s^22.8.2控制系統(tǒng)的零極點(diǎn)模型(ZPK模型)

控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可表示為零極點(diǎn)形式：

其中，Kg為根軌跡增益；zj(j＝1，2，…，m)為系統(tǒng)的m個(gè)零點(diǎn)；pi(i＝1，2，…，n)為系統(tǒng)的n個(gè)極點(diǎn)；Kg、zj、pi可以惟一地確定一個(gè)系統(tǒng)。因此，在MATLAB中可以用Kg、zj、pi來表示傳遞函數(shù)G(s)。實(shí)現(xiàn)函數(shù)為zpk()，其調(diào)用格式如下：

sys＝zpk(z，p，k)

其中，z為系統(tǒng)的零點(diǎn)向量；p為系統(tǒng)的極點(diǎn)向量；k為系統(tǒng)的根軌跡增益。

【例2-22】

已知一控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為

試用MATLAB語句建立系統(tǒng)零極點(diǎn)模型。

解

MALTAB程序如下：

%example2-22

>>k＝2；

>>z＝［－3，－5］；

>>p＝［－2，－4，－6］；

>>sys＝zpk(z，p，k)

Zero/pole/gain：

2(s＋3)(s＋5)

－－－－－－－－－－－－－－－

(s＋2)(s＋4)(s＋6)

【例2-23】

已知系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為

試用MATLAB語句建立系統(tǒng)零極點(diǎn)模型。

解

MATLAB程序如下：

%example2-23

>>num＝［2，18，40］；

>>den＝［1，6，11，6］；

%傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換為零極點(diǎn)模型

>>［z，p，k］＝tf2zp(num，den)

>>sys＝zpk(z，p，k)

Zero/pole/gain：

2(s＋5)(s＋4)

－－－－－－－－－－－－－－－－－

(s＋3)(s＋2)(s＋1)

也可用下列方法實(shí)現(xiàn)：

>>sys＝tf(num，den)；

>>syszpk＝zpk(sys)

Zero/pole/gain：

2(s＋5)(s＋4)

－－－－－－－－－－－－－－－－－

(s＋3)(s＋2)(s＋1)

在例2-23中我們看到零極點(diǎn)模型和傳遞函數(shù)模型可以相互轉(zhuǎn)換，從零極點(diǎn)模型轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)模型的函數(shù)格式為

［num，den］＝zp2tf(z，p，k)

或 ［num，den］＝tf(sys)2.8.3傳遞函數(shù)的特征根及零極點(diǎn)圖

1.特征根函數(shù)roots()

特征方程的根是一個(gè)非常重要的參數(shù)，因?yàn)樗c控制系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)和系統(tǒng)的穩(wěn)定性密切相關(guān)。在MATLAB中可以用函數(shù)roots()求得特征方程的根。roots()函數(shù)調(diào)用格式如下：

roots(c)

其中，c為特征多項(xiàng)式的系數(shù)向量，按降冪排列，空項(xiàng)補(bǔ)0。

【例2-24】

設(shè)系統(tǒng)特征方程為s4＋2s3＋4s2＋s＋5＝0，試求特征根。

解MATLAB程序如下：

%example2-24

>>c＝［1，2，4，1，5］；

>>roots(c)

ans＝

－1.2575＋1.5760i

－1.2575－1.5760i

0.2575＋1.0787i

0.2575－1.0787i

【例2-25】

已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試求閉環(huán)系統(tǒng)的特征根。

解

MATLAB程序如下：

%example2-25

>>z＝－2；

>>p＝［0，－0.5，－0.8，－3］；

>>k＝0.2；

>>sys1＝zpk(z，p，k)；

%生成多項(xiàng)式形式的閉環(huán)系統(tǒng)

>>sys2＝feedback(sys1，1)；

>>sys＝tf(sys2)

Transferfunction：

0.2s＋0.4

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

s^4＋4.3s^3＋4.3s^2＋1.4s＋0.4

%求閉環(huán)特征多項(xiàng)式

>>dc＝sys.den；

>>dens＝poly2str(d