【高考數(shù)學(xué) 特色題型匯編】第31講 結(jié)構(gòu)不良試題-解三角形（原卷及答案）（新高考地區(qū)專用）高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)

結(jié)構(gòu)不良試題——解三角形

I.從①8=￡；②sinA+sinC=V^sinAsinC；③,+1中任選兩個(gè)作為條件，另一

3ac2

個(gè)作為(1)小題證明的結(jié)論.

已知銳知4ABe的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,且b=36,.

(1)證明：:

(2)求4BC的面積.

注：若選不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

2.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知叵=上咨0.

asinA

⑴求B.

⑵若a=21c=1,,求忸Z)|.

在①。為AC的中點(diǎn)，②8。為NABC的角平分線這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在橫線

上.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

3.在①Aos導(dǎo)Cj=7iccos8：@2SAnc=y/3BABC：這兩個(gè)條件中仔詵一個(gè)，補(bǔ)充

在下面的問題中，并進(jìn)行解答.

問題：在二ABC中，內(nèi)角A8,C的對(duì)邊分別為a/,c,且.

⑴求角8;

(2)在一ABC中，b=26,求一A8C周長的最大值.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

4.在AA8C中，角ARC的對(duì)邊分別為a也c,下面給出有關(guān)的三個(gè)論斷：①

a1+c2-b1=ac：②c=2Z?cosB；@acosC+\/3asinC=Z?+c.

化簡上述三個(gè)論斷，求出角的值或角的關(guān)系，并以其中兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)

論斷作為結(jié)論，寫出所有可能的真命題.(不必證明)

5.在二A8c中，角A,B,。所對(duì)的邊分別為a,b,c,且滿足2Z?cosC=2a-c

⑴求角B；

(2)在①&A8C的外接圓的面積為野，②.ABC的周長為12,③b=4,這三個(gè)條件中

任選一個(gè).求-ABC的面積的最大值.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)

分.

6.a?sinB+sinC=—,②cos8+cosC=￡，③b+c=5這三個(gè)條件中任選一個(gè)，

99

補(bǔ)充在下面的問題中，并解決該問題.

已知二ABC的內(nèi)角A,B.C的對(duì)邊分別為a",c,且a=3,sinA=22,，

3

求.43。的面積.

7.在△A8C中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知。=2中，加ingC=asinB.

(I)求角4的值;

⑵在①M(fèi)C=2MB,②SAABM=③sin/MBG祗這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下

面的橫線上，并解答下列問題.若M為AC邊上一點(diǎn)，且M4=MB,,求AABC

的面積S^ABC.

8.一ABC的內(nèi)角A,B,。所對(duì)的邊分別為4c,〃=6,〃+12cos8=2c.

(I)求A的大??；

(2)例為內(nèi)一點(diǎn)，AM的延長線交4c于點(diǎn)。，,求..ABC的面積.

請?jiān)谙铝腥齻€(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件補(bǔ)充在橫線上，使一43c存在，并解決問題.

①M(fèi)為一ABC的外心，AM=4；

②用為..A8C的垂心，MD=6

③M為..A8C的內(nèi)心，AD=3y/3.

9.在AAAC中.2r*cos.4=2/?-fl.kin>4+tanC+1=tanAkinC.

⑴求。的大??；

(2)在下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使./8C存在且唯一確定，并求出AB的長.

①Gc=四;②AB截得角。的角平分線的線段CD長為1；③面積為％8°=等.

10.從①(b-c)2=c『-bc,②2c=GasinC+ccosA這兩個(gè)條件中選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問

題中，并解答.

已知aABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,C,且.

(1)求A的值；

⑵若J8c的外接圓半徑為G，求〃+c的最大值.(注：如果選擇多個(gè)條件分別作答，按

第一個(gè)解答記分)

11.在sABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為〃，b,c,已知〃2-2Z?ccosA=/-2accosB?

c=2.

(I)證明：ABC為等腰三角形；

(2)設(shè)-ABC的面積為S,若,求S的值.

在①7cos6=2cosC；②CAC8=2S;③/+6=8/三個(gè)選項(xiàng)中，選擇一個(gè)填入上面

空白處，并求解.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

2JI

12.已知在AARC中.4.B,。為二個(gè)內(nèi)角,a,4.：為二邊，r=2/?cos?C=—

⑴求角B的大??；

(2)在下列兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求出邊二的中線的長度.

①，A8C的面積為地；

4

②.A8C的周長為4+2后.

13.ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,acosC-ccosA=2bsinB,S.b2<a2+c2.

⑴求B；

(2)在條件①和條件②中選擇一個(gè)，求,A6c的面積.

條件①：〃=&，c=2.條件②：b=6,，a+c=2.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答給分.

14.△ABC的內(nèi)角A,B、C的對(duì)邊分別為a,b,c,若cos*C-cos?A=sin?3-sin8sinC.

(1)求4的大小；

(2)若a=3,,請?jiān)谙铝腥齻€(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件補(bǔ)充在橫線上，

求c的值.(注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分)

?sin/?=2sinC；②〃=4sinA；ZA/lDC=—4.

15.在中，內(nèi)先4,B,C所對(duì)的邊分別為。，b,c,@b+°cosB=c?從條件

2

①、②中找出能使得,ABC唯一確定的條件,并求邊卜的富/?.

條件①a=2,sinC=^^；條件②a=b=6.

0

16.在①(a+O)(sinA-sin8)=(c?叫sinC；?2Z?-c-2f/cosC=0；③

cos28+cos2C+sin8sinC=l+cos2A這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并

解答問題.

在“ABC中，角人民C所對(duì)的邊分別是以"c,.

⑴求角A；

(2)若AC=2,8c=26，點(diǎn)。在線段48上，且△4CZ)與△8C。的面積比為3：5,

求CD的長.

(注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答內(nèi)容計(jì)分)

人+r

17.1A8c的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,已知asin^----=bsinA.

2

⑴求B；

⑵若點(diǎn)。在邊4c上(不與A,C重合),BD=g,求.ABC面積的最值.

請?jiān)冖貯D=DC;②ZABD=/DBC；③A。_LAC這三個(gè)條件中選擇一個(gè)，補(bǔ)充在上

面的橫線上，并完成解答.

18.在①2c=asinC+百ccosA；②Gsin(A+C)cosA=3sinAsin5：(3)

2cosA(ccos3+》cosC)=Ga,這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并給出解

答.

問題：已知二ABC中，。為四邊上的一點(diǎn)，且BD=2AD,.

(1)若B=g,求//3C。大??；

6

(2)若CD=CB,求cosNACA.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

31

19.在^A8C中，角A,B,C對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c,且￡=二，cosB=-.

b49

(1)證明：a=c.

(2)從條件①、條件②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)作為己知，求^AAC的面積.

條件①：△ABC的中線AO=4r；

條件②：△A8C的角平分線AE=率.

20.在①AB=2石，②/4。8=135。，③N84T>=NC這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在

下面的問題中，使得問題成立，并求4。的長和..ABC的面積.如圖，在..A8C中，D

?/s

為BC邊上一點(diǎn),AD1AC,AD=l,sinZBAC=—,,求AD的長和..ABC的

5

面積.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

21.在△A8C中，角4B,2的對(duì)邊分別為a,b,c,Ra<h<c,現(xiàn)有三個(gè)條件：

①a,b,c,為連續(xù)自然數(shù)；②c=2a；③C=2A.

(1)從上述三個(gè)條件中選出兩個(gè)，使得aABC不存在，并說明理由；

(2)從上述三個(gè)條件中選出兩個(gè)，使得aABC存在，并求AABC的面積(寫出一組作答

即可)

22.在①〃2="+3/記；@cosC=->/7；③tanC=sinA這三個(gè)條件中任選一個(gè)，

補(bǔ)充在下面問題中.

問題：在..A8C中，內(nèi)角A8C的對(duì)邊分別為。力,c,,c=?,點(diǎn)E是線段

BC上一點(diǎn).

(1)若NB4E=m，求段的值；

6EC

⑵若BE=2EC,且4七二石，求二ABC的面積.

°道ln冗gZ?sin4rrsinfi+sinCa、》

23.在①(〃-+L-/r)sin8=——ac且8>:；②-------->J3a；③一；----這

\，241-cosBsin/l-sinCb-c

三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答問題.

問題：在‘ABC中，角4,8,C的對(duì)邊分別為a1,c,且__________.

⑴求8;

(2)若。為邊4c的中點(diǎn)，且a=3,c=4,求中線30長.

24.的內(nèi)角人,8,。的對(duì)邊分別為0,4「，且.(忘吊8-8$。)=(。-/?)854.從下列

①??這二個(gè)條件中選擇一個(gè)補(bǔ)充在橫線處,并作答.

①。為/WC的內(nèi)心；②。為一"C的外心；③。為人8。的重心.

⑴求A;

(2)若〃=6,。=1(),,求.O8C的面積.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

25.在①方sin"2=asin8；②Gasinb=b(2-cosA)這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在

下面的問題中，并作答.

問題：己知_ABC中，”,6,c分別為角所對(duì)的邊，.

(1)求角A的大小；

(2)已知/1B=2,4C=8,若8cAe邊上的兩條中線AM,8V相交于點(diǎn)。，求NMPN的余

弦值.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

26.在①2asin8一力cosC-ccos8=0,@sin2A-sin2S+sin2C-\/3sinAsinC=0,③

sinAsinC-6sinB-cosAcosC=0三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面問題中，并解答.

已知銳角,ABC的內(nèi)角A,B,C,的對(duì)邊分別為〃，從c滿足_______(填寫序號(hào)即可)

⑴求8;

(2)若4=1,求〃+C的取值范圍.

27.在①asin2C=4csinCcos29；②/一。2=A；這兩個(gè)條件中任取一個(gè)，補(bǔ)充在下

面問題中,并解答補(bǔ)充完整的題目

在一A3C中，角AB,C所對(duì)的邊分別為。b,c,S為aA4C的面積，已知.

(1)求證：A=2C；

(2)若2a=3c,且。=5,求S的值.

28.在一A8C中.48=47,D為8c邊上的?點(diǎn)，ZZMC=9O°,再從下列三個(gè)條件中

選擇兩個(gè)作為已知，求△A3。的面積及的長.

①"二6；②cos/BAC=-g；③CD=3瓜.

注：如果選擇多種方案分別解答，那么按第一種方案解答II分.

BD

29.在①(2c-4)sinC=(從+(?一片)包生(2)cos:-cosAcosC=—,(3)

植一=lanA+tan8這三個(gè)條件中，任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，

bcosA

問題：在.SBC中，〃，b,。分別為角A,B,C所對(duì)的邊，〃=26,

⑴求角B;

⑵求2a-c的范圍.

30.在①2sinB=Ian4cosc+sinC,?sinA=V3sin—,③cos2A+cosA=0這三個(gè)條件中

2

仔選一個(gè),補(bǔ)充在下面問題中,并完成問題的解答.

已知”，。，c分別是AABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，b=\,c=3,且一.

⑴求4

(2)若點(diǎn)。在邊8C上，且BC=3BD,求AD

注：如果選擇多個(gè)方案進(jìn)行解答，則按第一個(gè)方案解答計(jì)分

31.在①2%sinC=^/5ccosB+csinB,②8sg=一兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下

cosC2a-c

面的問題中，并解答該問題.在一ABC中，內(nèi)角A、R、。所對(duì)的邊分別是〃、b、c,

且________.

⑴求角8;

(2)若a+c=G，點(diǎn)。是4C的中點(diǎn)，求線段80的取值范圍.

32.(sinA-sinC)?=(/?-c?)(sinB+sinC),②(2〃一c)cos4=4*；-,③

sin(B+C)=/os(8-￡］這三個(gè)條件中選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并解答.已知..MC

中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為mAc,且.

⑴求8

(2)若方=舊，乙鉆。的平分線交AC于點(diǎn)。，且80=亭，求二AAC的面積.

33.在A8C中，角AB,。的對(duì)邊長分別為ab,c,,.A8C的面積為S,且

4s，DJA

----=a'cosB+abcosA.

tanB

⑴求角/?的大小：

3

(2)若AB=2,8C=弓，點(diǎn)。在邊AC上，,求8。的長.

乙

請?jiān)冖貯O=DC；②ZDBC=NDBA；③8。_LAC這三個(gè)條件中選擇一個(gè)，補(bǔ)充在上

面的橫線上，并完成解答.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

34.在①A3=2AD,②sinNACB=2sinNACO,③S詆=2S,皿這三個(gè)條件中任選一

個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并解答.

已知在四邊形ABC。中，ZABC+ZADC=7i,BC=CD=2,且______.

(1)證明：tan/A8C=3lanN84C；

(2)若AC=3,求四邊形A8C。的面枳.

35.已知..A8C的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為0,c,且sinfB+彳cos|--5.

I3J16Jd

⑴求角B的大?。?/p>

(2)若a"C為鈍角三角形，,求，/WC外接圓的半徑R的取值范圍.

請?jiān)谙铝袃蓚€(gè)條件中選擇一個(gè)作為條件補(bǔ)充在橫線上，并解決問題.①。+。=3；②

a-c=3.

參考答案:

1.（1）答案見解析

⑵|（3+石）

【分析】（1）若選①②作為條件，先通過正弦定理得出sin4=^.sinC=v%,代入②中

化簡即可得結(jié)果：若選①③作為條件，通過正弦定理得出"J代入即可得證；若選②③作

為條件，通過正弦定理將邊的關(guān)系化為角的關(guān)系，然后再次通過正弦定理得出結(jié)果.

（2）將（1）中的結(jié)論a-c=g，c?進(jìn)行平方，結(jié)合余弦定理得出彼的值，進(jìn)而可得面積.

（I）

證明：若選①②作為條件，③作為證明結(jié)論.

由正弦定理得—7=，；;=3=2#，

sinAsinCsinB

所以sinA=sinC=

276

XsinA+sinC=V6sin/4sinC,

所以侖+=后氏*金

整理得〃+c=9c,

w111

故一+-=1.

ac2

若選①③作為條件，②作為證明結(jié)論.

a_c_b

由正弦定理得=2\/6,

sinAsinCsinB

所以。=2\/6sinA,c=2x/6sinC?

所以2\/^(sinA+sinC)=—x(2>/6)2sinA.sinC,

2

故sinA+sinC=VbsinAsinC.

若選②③作為條件，①作為證明結(jié)論.

,I111

由一+-=-,得Qa+c=—ac,

ac22

由正弦定理得sinA+sinC=-asinC,

2

又sin4+sinC=\/6sinAsinC>所以gosinC=#sinAsin。,

因?yàn)閟inCoO,所以三=2幾，

smA

由正弦定理得邁=」一=2遍，所以sinS二3,

sinBsinA2

又故8=?.

⑵

由(1)知，a+c=^ac,兩邊平方得/+c?+2的=5八2,

由余弦定理得18=/+c.2_〃c，所以/+c2=18+ac，

所以/c2-12ac-72=0,

解得ac=6(G+l)或ac=6(l-G)(舍去).

故.A8C的面積S"=g"csin3=$3+G).

2.(Dy

(2)答案見解析

【分析】（I）利用正弦定理化簡條件可得Gsin/3=l-cos4,從而求出8=子

（2）選擇條件①：利用向量的加法和數(shù)量積運(yùn)算；選擇條件②：利用面積關(guān)系

5ABD+SCBD=S,\BC進(jìn)行計(jì)算；

(I)

(1)由正弦定理得,-75sinBsinA=sinA-sinAcosB.

因?yàn)閟inA/0,所以石sinB=l—cosB,

所以GsinB+cos8=2sinB+菅)=1,即sin(8+高=；.

又8￡(0,4)，則B+g=些，所以8=4.

663

(2)

(2)選擇條件①：因?yàn)镋7)=BA；8C,所以,

=^l2+2xlx2x(-l)+2'j=.1,

w堂.

選擇條件②：

因?yàn)锽D為NABC的角平分線，所以S八甌+S(加=S際，

則gc?怛041160。+//?忸Msin60o=g4-csinl20。，

/.^?l|?D|sin60o+^-2|^D|sin60o=1-21sinI20°

7

解得囪=早

3.⑴￡

⑵6G

【分析】（1）選擇①：由正弦定理化邊為角即可求出；選擇②：利用面積公式和數(shù)量積關(guān)系

化簡可得出;

（2）利用余弦定理結(jié)合基本不等式即可求出.

(1)

選擇①：條件即/?sinC=，3ccosB,

由正弦定理可知，sinZ?sinC=>/5sinCcos4,

在一A6C中，B,Ce(0,4),所以sinB工O,sinCHO,

所以sinB=J5cos8,且COS8H(),即tan8=J5,所以3=g；

選擇②：條件即2x」acsinB=&4cosB,

2

即sin8=>/3cosB?.

在一A8C中，3w((U),所以sinBwO,貝UcosBwO,

所以tan/?=G，所以3=?.

(2)

由(1)知，B=gb=2拒

由余弦定理知：bz=a2+e2-laccos—

3

所以12-6J%/一一(，$。尸_34。得

(t?+c)2-12=3ac<

所以(a+c)W46,當(dāng)且僅當(dāng)。=。時(shí)，等號(hào)成立

所以求.ABC周長的最大值為6G.

4.論斷①：B吟:論斷②：C=23或C+23=不；論斷③：A=5；所有可能的真命題有：

JJ

①?二②和①②=>③.

【分析】論斷①中，利用余弦定理可求得COS。，進(jìn)而得到笈；論斷②中，利用正弦定理邊

化角可得sinC=sin28,進(jìn)而得到結(jié)論；論斷③中，利用正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和差公

式、輔助角公式進(jìn)行化簡整理得到sin(A-著)=!，由此可得A；由三角形內(nèi)角和可確定結(jié)果.

【詳解】論斷①中，由余弦定理得：cosB=^—^-=—=-,Bw(O，G，.』=三.

2ac2ac23

論斷②中，c=2Z?COSB1由正弦定理得：sinC=2sinKcosB=sin2B,

Ce(O,^),28w(0,2/r),或。+28=%，

論斷③中，由正弦定理得：sinAcosC+\/3sinAsinC=sinfi+sinC?

即sinAcosC+y/3sinAsinC=sin(A+C)+sinC,

sinAcosC+A/JsinAsinC=sinAcosC+cosAsinC+sinC,

即GsinAsinC=cosAsinC+sinC，

Cs(O,^),/.sinC*0,x/5sinA=cosA+1,

即GsinA-cosA=2sin(A-7)=l,,即sin(A-*)=g,

—y./八\4加兀57t7T7tAyr/a44

又Ae(。,4)，??^-Te~~2'~T，^--7=T?解得：K二=

o<o67663

以其中兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，所有可能的真命題有：

①@=>②和①②二>③.

5.⑴8=?

⑵4后

【分析】(I)由已知，根據(jù)給的2/?cosC=2a-c,先使用正弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化全部轉(zhuǎn)化成

角的關(guān)系，然后再利用sinA=sin(B+C),把sinA換掉，展開和差公式合并同類項(xiàng)，然后根據(jù)

角B的取值范闈，即可完成求解：

(2)由已知，根據(jù)第(I)問計(jì)算出的角8,若選①，現(xiàn)根據(jù)給的外接圓的面積計(jì)算出外接

圓半徑R，然后根據(jù)角B利用正弦定理計(jì)算出邊長江然后使用余弦定理結(jié)合基本不等式求

解好的最值，即可完成面積最值得求解；若選②，利用〃+0+c=l2,表示出三邊關(guān)系，利

用余弦定理借助基本不等式求解出的最值，然后再利用基本不等式找到比與〃+c的關(guān)

系，從而求解出面積的最值：若詵③，可根據(jù)邊長從角B借助余弦定理使用基本不等式直

接求解出戊的最值，即可完成面積最值得求解.

(1)

*.*2bcosC=2a-c

/.2sin￡?cosC=2sinA-sinC

2sinBcosC=2sin(B+C)-sinC

2sinBeesC=2sin6cosc+2cosfisinC-sinC

/.2cosAsinC=sinC

,/Ce(O,乃)

:.sinC。0

cosB=—

2

丁Be(O,^-)

??B=—

3

(2)

若選①，設(shè)一人8。的外接圓半徑為R,

則3江=此星2,...夫=二

3V3

4G

b=2RsinB=2x=4

由余弦定理，得:

b2=a2+c2-2accosB

即16="+C2-ac>2ac-ac=ac，

當(dāng)且僅當(dāng)〃=c時(shí)，等號(hào)成立.

即.A8C的面枳的最大值為45Q

若選②??Z+〃+c=12,：,b=\2-(a+c)

由余弦定理b2=a+c2-2accosB

[12-(。+c)F=a2+c2-ac

ac=8（o+c）-48

a+c

又>ac

2

—8（。+c）+48>0

：,a+c>24（舍）或a+c<8,當(dāng)且僅當(dāng)。=c時(shí)等號(hào)成立

a+c

*'?S=—flcsinB=鼠巫=473

244

當(dāng)且僅當(dāng)。=c時(shí)等號(hào)成立

若選③，由余弦定理，得:

b'=a2+c2-2accosB

即16="+c2-ac>2ac-ac=ac，

當(dāng)且僅當(dāng)〃=c時(shí)，等號(hào)成立.

，SABC='sinBwL16x

ADL222

即A8C的面積的最大值為4G

6.2>/2.

【分析】選①，由已知結(jié)合正弦定理角化邊，求出。+c,再按4是銳角和鈍角分類計(jì)算作

答.

選②，由已知結(jié)合余弦定理角化邊，再求出〃+C,按A是銳角和鈍角分類計(jì)算作答.

選③，按A是銳角和鈍角分類計(jì)算作答.

【詳解】選擇條件①：依題意，sinB+sinC=-^=-sinA,

93

人-.c-,-T-e?ESinAsinBsinC^.5「

在二ABC中，由正弦定理----=----=-----得，b+c=-a=5,

aac3

8sA=^^=（"c）-U-

由余弦定理得:

2bc2bcbe

若A為銳角，則cosA=G7=「|j則

WObe=6?又人+c=5,解得〃=2,c=3或〃=3,c=2,

即有二ABC的面積為IbesinA=LX6X2^=2\/J,

223

若A為鈍角，則cosA=71-sin24=-.11--=--,M—-1=--,有be=12,又〃+c=5,

\93be3

無解，舍去，

綜上可得，ABC的面積為2&.

22222

選擇條件②：因?yàn)閏osB+cosC=?由余弦定理得：^+c-b+a+b-c=10>

92ac2ab9

20of)

整理得：b(a2+c2-b2)+c(a2+b2-c2)=—abc,BP(bc)(a2-b2-c2+2bc)=—abc,

而/-b1-r2=-2/jrcosA,則(0+c)(l-cos4)==學(xué)，

若A為銳角，則cosA=Jl-sin?4=Jl-'=g,有〃+c=5,

1+.AH—工in4日?+c~—(i~(b+c)2—ci~.8.

由余弦定理得：cos4=-------------=-----------------1=——I,

2bc2bcbe

則有Z?c=6,又。+c=5,解得〃=2,c=3或〃=3,c=2,

即有..ABC的面積為LesinA='x6x=2叵,

223

若A為鈍角，則cosA=_Jl_sin2A=一個(gè)1一三=一;,則〃+(?=!■<3=。，舍去，

綜上可得，8c的面積為2&?

③因?yàn)椤?c=5,由余弦定理COSA=_+C，_"2=("+萬_/_1=9_1,

2bc2bcbe

若A為銳角，則cosA=\J[-sin2A=Jl--=-,則言■一1=!，

V93be3

則Z?c=6,又b+c=5,解得〃=Nc=3或Z?=3,c=2,

即有AABC的面積為LesinA=—x6x^^-=242.

223

若A為鈍角，則cosA=—-sin2A=--=--,則9一1二一1，有。c=12,又Z?+c=5,

V93be3

無解，舍去，

綜上可得，ABC的面積為2拉.

7.(Dj

(2)373

【分析】(1)由己知及正弦定理，轉(zhuǎn)化得到sinW~=sinA,借助于誘導(dǎo)公式得到sin3=；,

*、

由不e。，不，即可求出A=[；

(2)選條件①：在△8MC中，設(shè)M8=x,利用余弦定理得解得x=2,求出nABC的面積.

選條件②：由S&\BM=G，求得A8=2.在二ABC中，設(shè)AC=x,利用余弦定理得，解得

AC=6.即可求出一A8W的面積.

選條件③：在△8MC中，由正弦定理求得CM=4.設(shè)8M=x,由余弦定理解得AC=6

即可求出AAZMJ的面積S=-AH-ACsinA=-Y2y6y—=3>j3.

ADM222

(1)

由已知及正弦定理，得sinBsin"C=sinAsin8.

2

因?yàn)?e(0,;r),則sin8w0,

所以sin8+C-sinA,

2

.B+C.(TVA\AA..AA

n即nsin-=$叫萬一引=86萬,貝mliljcos]=2sin5cos],

4/\4

因?yàn)??0,乃)，則弓6o,—,cos—^0,

所以sin*"得如g即4=g.

22263

（2）

選條件①：如圖，因?yàn)镸4=M8,A=p則二ABM為等邊三角形.

在△BMC中，設(shè)M8=工，則MC=2M8=2x.

因?yàn)?c=〃=2/?/BMC=—,

3

由余弦定理得X2+（2x）2-2A-2xcosy=（2，

即7f=28,得X=2

所以AB=x=2,AC—3A=6,的面積S△八BC=gABMCsinA=Jx2x6x^^=3\/5.

選條件②：如圖，因?yàn)镸4=M8，A=g,則一48M為等邊三角形.

因?yàn)镾。咽二G，則（力8'|]4=第482=>/5,所以A8=2.

在-ABC中，因?yàn)锽C=4=2",

設(shè)AC=x,由余弦定理得4+/一2.2xcosy=（2>/7）2

即》—23一24=0,解得x=6,則AC=6.

所以二的面積S.w=-^B-Z\CsinA=-x2x6x—=3x/3.

ADM222

選條件③：如圖，因?yàn)镸4=M8,A=1,則為等邊三角形，從而N3MC=3-,

在△8MC中，由正弦定理，得。知=生任幺絲G=26xpx^=4

sin/BMCV5/3

設(shè)由余弦定理，得/+16-2-4.。§券=(2可，g|Jx2+4x-12=0,解得x=2.

AMfUAB=AM=2>AC=6

所以二ABM的面積S=-^-ACsinA=-x2x6x^=3x/3.

/?￡>iw22

8.⑴4=?

⑵答案見解析

【分析】(1)由余弦定理得力+12/一+廠一"=2c,b2+c2-36=2bccosA,可得cosA=1

2ac2

根據(jù)Ae(Q外可得答案；

(2)選①,設(shè)二A8C的外接圓半徑為R,由正弦定理得R,M為外心得4M=，與⑶=4

盾，故不能選①.

選②，M為“8C的垂心得N8MD=/4C8,由3。=6tan/ACA,

CD=6tanNAC3,BD-CD=6^tanZABC+tanZACB=273,利用

tan(ZABC+NAC3)=-tan/BAC=一行,求得ZABC=ZAC8,可得出一ABC為等邊三角形,

再由面積公式可得答案.

選③，M為二ABC的內(nèi)心，所以NB/1O=/C4O=』NBAC=2,

26

be

由5"依=5."80+5l0和F弦定理可得〃+。=女，結(jié)合/+C2—36=〃C，和面積公式可得答

案；

(1)

在。中，由余弦定理得cos8=心二巨，又因?yàn)椤?6,Z?+12cosB=2c,

2ac

所以"12"+""=①,整理得z^+c?—36=權(quán),.

2ac

在_A6c中，由余弦定理得。2+c?-36=2/?CCOSA,所以權(quán)：=2/?ccosA,

即cos4=!又因?yàn)锳e(0,i),所以A=￡.

23

選①,

BC=6n

設(shè)一ABC的外接圓半徑為R,則在.ABC中，由正弦定理得一sinA一°、4一"，即

sin—

3

R=2s/3,因?yàn)?為外心，所以AM=2G，與4W=4盾，故不能選①.

選②，

-e一/4CB）

因?yàn)镸為一A8C的垂心,所以N8WO吟-/MBD=y=ZACB,

又MD=6所以在中，BD=MDtanZBMD=75tanZACB.

同理可得CO=6tanZABC,

又囚為Q+8=6,所以石【an/A8C+V5【an/ACB=6,即

tan乙ABC+tanZACB=2后，

又因?yàn)樵贏ABC中，tan（NA3C+ZAC13）=-tan/BAC=一6,

.tanZABC+tunZACBnr

所rr以i--------------------=-V3因此tanZA^CtanZACB=3,

1-tanZABCtanZ.ACB

故lanZ48C,1廊4。8為方程/_2>/1￥+3=0兩根，BPtanZABC=tanZACB=，

因?yàn)镹ABC,乙4C3￡（0,I）,所以NA8C=NAC8=g,所以4ABe為等邊三角形,

所以S=—x62x=9VJ.

>AliC22

選③，

囚為M為-ABC的內(nèi)心，所以ZBAD=^CAD=-^BAC=-,

26

由sABC=sABD+sACD,

^—bcsin—=—C'ADsin—+—bADsin—,

232626

因?yàn)槿恕?3\/^，所以=3>/^x1（力+c），即）+。=彳，

223

由(1)nJ得/+。2-36=bc，即S+c)2—3仇,=36,所以——3bc-36=0,

9

即0c+9)^y-4^=O,

又因?yàn)閎c>0,所以bc=36,所以又改=；"csin?=gx36x等=96.

9.(1)3=9；

4

(2)若選②，AB=—；若選③，AB=8

2

【分析】（1）先由正弦定理得到2sinCcosA=2sin8-sinA,再借助正弦和角公式求出C=g.

再由正切和角公式求出A+C=與'即可求得角"

（2）若選①，由2=岑推出矛盾；若選②，由角平分線求得AC=CD=1,再由2=2^求

cV3cV3

解;

若選③,由與^=3".”?./4及￡=黑求解即可.

⑴

由正弦定理得2sinCeosA=2sin8—sinA,又sinA=sin[)一(A+C)]=sin(A+C),

nl2sinCcosA=2sinAcosC+2sinCcosA-sinA,即2sinAcosC=sinA,

又sinAwO,故cosC=5，又Cw(0,;r),故C=(.

由tanA+tanC+1=tanAtariC可得tan4+tanC=-lanAtanC),

(anA+tanC

即=tan(A+C)=-l,故A+T

1-tanAtanC

⑵

.71

sin—jz

若選①，由（1）知9=當(dāng)=-1

-------T77和辰=?b矛盾,二4BC不存在;

c

sinCsin—

3

若選②,

TT

由為角C的角平分線可知：Z.ACD=-又/A=2,故NAOC=4-W乃一工=二)，

61212612

.冗

,,ACsin8s,n7夜

即AC=CD=\乂=----=-=-=故日洋

tABsinC-￡石

oiln1

3

此時(shí),ABC存在且唯一確定;

.71

sin

甘、6+31T74csinB441

若選③，^BC=-=-4B.AC.sinA,又通=敬="=京'

sin

3

sin4=sin(B+C)=sin—cos—+sin—cos—+,解得AC=2,48=指；

43344

此時(shí)二44c存在且唯一確定.

10.(l)A=y

(2)6

【分析】（1）若選①，利用余弦定理即可求解；若選②，利用正弦定理，再結(jié)合輔助角公式

即可求解（2）由正弦定理求出〃，再利用余弦定理結(jié)合重要不等式即可求解

（1）

若選①：由(力一=a2-be,得//+c2-a-=be,

2

Ab-a

由余弦定理得:cosA=--------

2bc2

又因?yàn)?<4<兀，所以A=g

若選②：由2c=>/5asinC+ccosA,得2sinC=GsiMsinC+sinCcosA

即5/5sinA+cosA=2,故sinA+-^l=1

k6)

又因?yàn)镺vAv九所以+=,所以A+g=g,所以A=f

666623

(2)

由正弦定理得就=2R,即看2生解得“3,

又由余弦定理得：a2=b2+c2-2Z?ccosA,即//+-bc=(b+c)*-3bc=9

所以9N("c)、勺？=”且，

當(dāng)且僅當(dāng)?a=c”時(shí)取等號(hào).

所以8+c?的最大值為6.

11.(1)證明見解析

⑵答案見解析

【分析】(I)由余弦定理化簡即可得出；

(2)選①，由。=乃-28化簡可求出8sB=1,即可求解；

選②，由已知可得C=f,由余弦定理求得。，即可得出面積；

4

選③，由已知求出。，〃即可求出面積.

(1)

因?yàn)閺囊?bccosA=a2-2accosB?所以。2+c?-2bccosA=tz2+c2-2accosB，

由余弦定理可知，a2=h\即a=d即一ABC為等腰三角形；

(2)

選①，由(1)可知，A=B,所以。="一28,

所以7cosB=2cosC=2cos(4一28)=-2cos2B=2-4cos2B,

整理得48"+73人2=。，解得COS*；,

所以cosC=：cosB=：,所以sinC=Jl-cos?。，

288

又由cosB=,，可得〃=4,

a

所以S=4，心sinC=Lx4＞：4x=yf\5;

228

選②，因?yàn)镃4C8=2S，所以42cosc=/sinC,解得C=f,

4

所以4=2/一2八①，得/=4+2應(yīng)，S=-fz2x—=—x(4+2^)=l+V2；

222

選③，因?yàn)?+6=8c?，且a=〃，c=2,所以a=〃=4,

a2+b2-c216+16-47

所以cosC=

lab2x4x4-8,

所以sinC=Jl-cos?C=

8

所以S=L而sinC=，x4＞：4x——=y/\5.

228

12.⑴8=2

o

(2)答案見解析

【分析】（1）由正弦定理可得sinC=2sin3cos3,再由。=三和8的范圍可得答案；

（2）選擇（1）,由（1）可得“=〃，則S.c=g"sinC解得“，則由余弦定理可得月C邊

上的中線的長度為：選擇（2）：由（1）可得A=g,設(shè)4ABe的外接圓半徑為R,則由正弦

6

定理可得C,則周長a+b+c=2A+x/5R解得R,由余弦定理可得4c邊上的中線的長度.

(1)

*.*c=2Z>cosB,則由正弦定理可得sinC=2sinBcosB,

，28=三，解得8=%

36

(2)