江蘇省鹽城市東臺市第一教育聯(lián)盟2024-2025學年九年級上學期11月期中數(shù)學試題

2024-2025學年江蘇省鹽城市東臺市第一教育聯(lián)盟九年級（上）期中數(shù)學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.用配方法解方程時，原方程應變形為(

)A. B. C. D.2.已知樣本數(shù)據(jù)2，3，5，3，7，下列說法不正確的是(

)A.平均數(shù)是4 B.眾數(shù)是3 C.中位數(shù)是5 D.方差是3.已知的半徑為5，圓心O的坐標為，點P的坐標為，則點P與的位置關系是(

)A.點P在外 B.點P在內 C.點P在上 D.不能確定4.某班要從9名百米跑成績各不相同的同學中選4名參加米接力賽，而這9名同學只知道自己的成績，要想讓他們知道自己是否入選，老師只需公布這9名同學成績的(

)A.中位數(shù) B.眾數(shù) C.方差 D.平均數(shù)5.用半徑為60，圓心角為的扇形紙片圍成一個圓錐的側面，則這個圓錐的底面半徑是(

)A.10 B.20 C.30 D.406.P為內一點，，半徑為5，則經過P點的最短弦長為(

)A.5 B.6 C.8 D.107.如圖，點A、B、C在上，過點A作的切線交OC的延長線于點P，，，則AP的長為(

)A.3

B.

C.

D.8.如圖，AB是的一條弦，點C是上一動點，且，點E、F分別是AC、BC的中點，直線EF與交于G、H兩點，若的半徑為8，則的最大值為(

)A.8

B.12

C.16

D.20二、填空題：本題共10小題，每小題3分，共30分。9.若方程是一元二次方程，則m的值等于______.10.一組數(shù)據(jù)：、、、、，這組數(shù)據(jù)的方差是______.11.已知圓的一條弦把圓周分成1：3兩部分，則這條弦所對的圓周角的度數(shù)是______.12.如果m是一元二次方程的一個根，那么的值是______.13.已知圓錐的底面半徑為2cm，母線長為10cm，則這個圓錐的側面積是______.14.如圖，四邊形ABCD是的內接四邊形，的半徑為5，，則弦AC的長為______.

15.如圖，的半徑為6，如果弦AB是內接正方形的一邊，弦AC是內接正十二邊形的一邊，那么弦BC的長為______.

16.中，，，則的內切圓的半徑長為______.17.已知關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，且，滿足，則a的值為______.18.如圖，在中，，，，將繞點C旋轉，得到，點A的對應點為，P為的中點，連接在旋轉的過程中，線段BP長度的最大值為______.

三、解答題：本題共9小題，共96分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。19.本小題12分

解方程：

；

用配方法；

；

20.本小題8分

如圖，AB是的直徑，C、D為上的點，且AD平分，作于點

求證：；

若，求AC的長．21.本小題10分

已知關于x的方程

求證：方程一定有兩個不相等的實數(shù)根；

若此方程的一個根是1，請求出方程的另一個根，并求出以此兩根為邊長的直角三角形的周長．22.本小題12分每年夏季全國各地總有未成年人因溺水而喪失生命，令人痛心疾首．今年某校為確保學生安全，開展了“遠離溺水珍愛生命”的防溺水安全知識競賽．現(xiàn)從該校七、八年級中各隨機抽取10名學生的競賽成績百分制進行整理、描述和分析成績得分用x表示，共分成四組：，，，，下面給出了部分信息：七年級10名學生的競賽成績是：99，80，99，86，99，96，90，100，89，82；八年級10名學生的競賽成績在C組中的數(shù)據(jù)是：94，90，94，七、八年級抽取的學生競賽成績統(tǒng)計表年級七年級八年級平均數(shù)9292中位數(shù)93b眾數(shù)c100方差52根據(jù)以上信息，解答下列問題：直接寫出上述圖表中a，b，c的值；根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認為該校七、八年級中哪個年級學生掌握防溺水安全知識較好？請說明理由一條理由即可；該校七、八年級共720人參加了此次競賽活動，估計參加此次競賽活動成績優(yōu)秀的學生人數(shù)是多少？23.本小題10分

如圖，AB是的直徑，弦于點E，連接AC，

求證：；

若，，求扇形陰影部分的面積．24.本小題10分

某商店經銷一批小商品，每件商品的成本為8元．據(jù)市場分析，銷售單價定為10元時，每天能售出200件；現(xiàn)采用提高商品售價，減少銷售量的辦法增加利潤，若銷售單價每漲1元，每天的銷售量就減少20件．

設銷售單價定為x元．據(jù)此規(guī)律，請回答：

商店日銷售量減少______件，每件商品盈利______元用含x的代數(shù)式表示；

針對這種小商品的銷售情況，該商店要保證每天盈利640元，同時又要使顧客得到實惠，那么銷售單價應定為多少元？25.本小題10分

在一次趣味數(shù)學的社團活動中，有這樣的一道數(shù)學探究性問題．

問題情境：如圖1，在中，，，則的外接圓的半徑為______；

操作實踐：如圖2，用無刻度直尺與圓規(guī)在矩形ABCD的內部作出一點P，使得，且不寫作法，保留作圖痕跡；

遷移應用：已知，在中，，，，求BC的取值范圍．

26.本小題12分

如圖，在中，，，點P為AB的中點，E為BC上一動點，過P點作交AC于F點，經過P、E、F三點確定

試說明：點C也一定在上．

點E在運動過程中，的度數(shù)是否變化？若不變，求出的度數(shù)；若變化，說明理由．

求線段EF的取值范圍，并說明理由．27.本小題12分

如圖①，在矩形ABCD中，動點P以的速度在矩形ABCD的邊上沿的方向勻速運動，動點Q在矩形ABCD的邊上沿的方向勻速運動．P、Q兩點同時出發(fā)，當點P到達終點D時，點Q立即停止運動．設運動的時間為，的面積為，S與t的函數(shù)圖象如圖②所示．

______cm，點Q的運動速度為______；

在點P、Q出發(fā)的同時，點O也從CD的中點出發(fā)，以的速度沿CD的垂直平分線向左勻速運動，以點O為圓心的始終與邊AD、BC相切，當點P到達終點D時，運動同時停止．

①當點O在QD上時，求t的值；

②當PQ與有公共點時，求t的取值范圍．

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：，

移項，得，

配方，得，

即，

故選：

移項后配方，再根據(jù)完全平方公式變形，最后得出選項即可．

本題考查了解一元二次方程，能正確配方是解此題的關鍵．2.【答案】C

【解析】解：樣本數(shù)據(jù)2，3，5，3，7中平均數(shù)是4，中位數(shù)是3，眾數(shù)是3，

方差是

故選：

根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差的定義和計算公式分別進行分析即可．

本題考查方差、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．關鍵是掌握各種數(shù)的定義，熟練記住方差公式是解題的關鍵．3.【答案】C

【解析】解：圓心O的坐標為，點P的坐標為，

的半徑為5，

點P在圓上．

故選：

先根據(jù)勾股定理求出OP的長，再與圓的半徑相比較即可．

本題考查的是點與圓的位置關系，熟知設的半徑為r，點P到圓心的距離，當時，點在圓內是解答此題的關鍵．4.【答案】A

【解析】【分析】

此題主要考查統(tǒng)計的有關知識，主要包括平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的意義．9人成績的中位數(shù)是第5名的成績．

參賽選手要想知道自己是否能進入前4名，只需要了解自己的成績以及全部成績的中位數(shù)，比較即可．

【解答】

解：知道自己是否入選，老師只需公布第五名的成績，即中位數(shù)．

故選：5.【答案】B

【解析】解：設圓錐的底面圓半徑為r，依題意，得

，

解得

故選：

圓錐的底面圓半徑為r，根據(jù)圓錐的底面圓周長=扇形的弧長，列方程求解．

本題考查了圓錐的計算．圓錐的側面展開圖為扇形，計算要體現(xiàn)兩個轉化：1、圓錐的母線長為扇形的半徑，2、圓錐的底面圓周長為扇形的弧長．6.【答案】C

【解析】【分析】

此題主要考查的是垂徑定理及勾股定理的應用，能夠正確的判斷出過P點的最短弦的位置是解答此題的關鍵．過P點作垂直于OP的弦AB，連接OA，由勾股定理可求出PA的長，進而可由垂徑定理得到弦AB的長即過P點的最短弦長

【解答】

解：如圖；過P作，交于AB，連接OA，

中，，，

由勾股定理，得：，

，

故選7.【答案】D

【解析】解：

連接OA，

，

，

過點A作的切線交OC的延長線于點P，

，

，

，

故選：

連接OA，根據(jù)圓周角定理求出，根據(jù)切線的性質求出，解直角三角形求出AP即可．

本題考查了切線的性質和圓周角定理、解直角三角形等知識點，能熟記切線的性質是解此題的關鍵，注意：圓的切線垂直于過切點的半徑．8.【答案】B

【解析】解：連接OA、OB，如圖所示：

，

，

，

為等邊三角形，

的半徑為8，

，

點E，F(xiàn)分別是AC、BC的中點，

，

要求的最大值，即求弦的最大值，

當弦GH是圓的直徑時，它的最大值為：，

的最大值為：

故選：

連接OA、OB，根據(jù)圓周角定理，求出，進而判斷出為等邊三角形；然后根據(jù)的半徑為8，可得，再根據(jù)三角形的中位線定理，求出EF的長度；最后判斷出當弦GH是圓的直徑時，它的值最大，進而求出的最大值是多少即可．

本題考查了圓周角定理，三角形中位線定理，等邊三角形的判定與性質等知識．確定GH的位置是解題的關鍵．9.【答案】0

【解析】解：方程是一元二次方程，

，

解得

故答案為：

根據(jù)一元二次方程必須滿足四個條件：未知數(shù)的最高次數(shù)是2；二次項系數(shù)不為0；是整式方程；含有一個未知數(shù)，可得答案．

本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡后是否是只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是10.【答案】2

【解析】解：這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是：，

則組數(shù)據(jù)的方差是

故答案為：

先由平均數(shù)的公式計算出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，再根據(jù)方差的公式計算即可．

本題考查方差的定義：一般地設n個數(shù)據(jù)，，，…的平均數(shù)為，則方差…，它反映了一組數(shù)據(jù)的波動大小，方差越大，波動性越大，反之也成立．11.【答案】或

【解析】解：弦AB把分成1：3兩部分，

，

，

四邊形ADBC是的內接四邊形，

這條弦所對的圓周角的度數(shù)是：或

故答案為：或

首先根據(jù)題意畫出圖形，然后由圓的一條弦把圓周分成1：3兩部分，求得的度數(shù)，又由圓周角定理，求得的度數(shù)，然后根據(jù)圓的內接四邊形的對角互補，求得的度數(shù)，繼而可求得答案．

此題考查了圓周角定理與圓的內接四邊形的性質，以及圓心角與弧的關系．此題難度不大，解題的關鍵是注意數(shù)形結合思想的應用．12.【答案】

【解析】解：為一元二次方程的一個根．

，

即，

故答案為：

利用一元二次方程的解的定義得到，再把變形為，然后利用整體代入的方法計算．

本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．13.【答案】

【解析】解：圓錐側面積；

故答案為：

圓錐的側面積底面半徑母線長．

考查圓錐的側面展開圖公式；用到的知識點為：圓錐的側面積底面半徑母線長．14.【答案】

【解析】解：連接OA、OC，AC，

四邊形ABCD是的內接四邊形，

，

，

，

，

的半徑為5，

，

故答案為：

連接OA、OC，根據(jù)圓內接四邊形的性質和已知條件求出的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理求出，再根據(jù)等腰直角三角形的性質求出答案即可．

本題考查了圓內接四邊形的性質，圓周角定理，等腰直角三角形的判定和性質，熟練掌握圓內接四邊形的對角互補是解題的關鍵．15.【答案】

【解析】解：連接OA、OB、OC，作于點D，

是內接正方形的一邊，弦AC是內接正十二邊形的一邊，

，，

，

，

，

，

，

，

故答案為：

連接OA、OB、OC，作于點D，根據(jù)AB是內接正方形的一邊，弦AC是內接正十二邊形的一邊得到，，從而得到，然后求得BC的長即可．

考查了正多邊形和圓的知識，解題的關鍵是求得的度數(shù)，難度不大．16.【答案】3

【解析】解：設的內切圓為，切點分別為E，D，F(xiàn)，AD為BC邊上的高，

，，

，

則

，

解得：

故答案為：

設的內切圓為，切點分別為E，D，F(xiàn)，AD為BC邊上的高，根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結論．

此題主要考查等腰三角形內切圓半徑求法，正確利用勾股定理以及等腰三角形的性質是解題關鍵．17.【答案】

【解析】解：關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，

，

，是關于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根，

，，

，

即，

整理得：，

解得：，不合題意，舍去

故答案為：

根據(jù)方程的系數(shù)結合根的判別式，即可得出關于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范圍，由，是關于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根，利用根與系數(shù)的關系可得出，，結合，即可得出關于a的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結論．

本題考查了根的判別式以及根與系數(shù)的關系，利用根與系數(shù)的關系結合，找出關于a的一元二次方程是解題的關鍵．18.【答案】11

【解析】解：連接CP，

，，，

，

將繞點C旋轉，得到，

，，

為的中點，

，

在旋轉的過程中，點P在以C為圓心，5為半徑的圓上運動，

當B，C，P三點共線時，BP有最大值，

的最大值為

故答案為

連接CP，由勾股定理求出，由旋轉的性質得出，，由直角三角形的性質求出，由題意得出點P在以C為圓心，5為半徑的圓上運動，則可求出答案．

本題考查了旋轉的性質，直角三角形的性質，勾股定理，圓的性質，由直角三角形的性質求出CP的長是解題的關鍵．19.【答案】解：，

，

，

或，

所以，；

，

，

，

所以，；

，

，

或，

所以，；

方程化為一般式為，

，

，

所以

【解析】先移項，再利用因式分解法把方程轉化為或，然后解兩個一次方程即可；

利用配方法得到，然后利用直接開平方法解方程；

先利用因式分解法把方程轉化為或，然后解兩個一次方程即可；

先把方程化為一般式，再利用因式分解法把方程轉化為，然后解一次方程即可．

本題考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．20.【答案】證明：平分，

，

，

解：作于點F，如圖所示：

則，

，

在和中，，

≌，

，

【解析】根據(jù)角平分線的性質可得出，由圓周角定理可得出，進而可得出，利用“同位角相等，兩直線平行”即可證出；

作于點F，由垂徑定理可得出，由可得出，結合、即可證出≌，再根據(jù)全等三角形的性質可得出，即可得出答案．

本題考查了全等三角形的判定與性質、角平分線的性質、垂徑定理、圓周角定理以及平行線的判定等知識；證明三角形全等是解題的關鍵．21.【答案】證明：

方程，

，

方程一定有兩個不相等的實數(shù)根；

解：把代入方程可得，解得，

方程為，解得或，

方程的另一根為，

當邊長為1和3的線段為直角三角形的直角邊時，則斜邊，此時直角三角形的周長，

當邊長為3的直角三角形斜邊時，則另一直角邊，此時直角三角形的周長，

綜上可知直角三角形的周長為或

【解析】計算該方程的判別式，判斷其符號即可；

把方程的根代入可求得m的值，再求解即可，再利用勾股定理可求得直角三角形的第三邊，則可求得直角三角形的周長．

本題主要考查根的判別式及勾股定理的應用，在利用根的判別式時，要熟練掌握根的個數(shù)與根的判別式的關系，在求直角三角形周長時注意分兩種情況．22.【答案】解：，b，c的值分別為40，94，99；

八年級學生掌握防溺水安全知識較好，

理由：雖然七、八年級的平均分均為92分，但八年級的中位數(shù)和眾數(shù)均高于七年級．

參加此次競賽活動成績優(yōu)秀的學生人數(shù)人，

答：參加此次競賽活動成績優(yōu)秀的學生人數(shù)是468人．

【解析】本題考查扇形統(tǒng)計圖，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差，用樣本估計總體，屬于中檔題．

用整體1減去其它所占的百分比即可求出a；根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)的定義即可求出b，c；

根據(jù)八年級的中位數(shù)和眾數(shù)均高于七年級，于是得到八年級學生掌握防溺水安全知識較好；

利用樣本估計總體思想求解可得．

解：，

八年級10名學生的競賽成績的中位數(shù)是第5和第6個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，

；

在七年級10名學生的競賽成績中99出現(xiàn)的次數(shù)最多，；

見答案；

見答案.23.【答案】證明：是的直徑，弦，

，

；

解：，，

為等邊三角形，

，

，

是的直徑，弦，

，，

在中，，

扇形陰影部分的面積

【解析】根據(jù)垂徑定理得到，根據(jù)圓周角定理證明結論；

根據(jù)等邊三角形的判定定理得到為等邊三角形，求出，根據(jù)勾股定理求出OC，利用扇形面積公式計算即可．

本題考查的是扇形面積計算、垂徑定理、圓周角定理，掌握扇形面積公式是解題的關鍵．24.【答案】解：；；

由題意可得：，

解得：，舍去

答：該商店要保證每天盈利640元，同時又要使顧客得到實惠，銷售單價應定為12元．

【解析】【分析】

本題考查了一元二次方程的應用．

根據(jù)題目的條件：銷售單價每漲1元，每天的銷售量就減少20件，填空即可；因為每件商品的成本為8元，所以每件商品盈利元；

由利潤=每件利潤銷售數(shù)量建立方程求出其解即可．

【解答】

解：銷售單價每漲1元，每天的銷售量就減少20件，

商店日銷售量減少件，

每件商品的成本為8元．

每件商品盈利為元；

見答案．25.【答案】解：；

如圖，作BC的垂直平分線，交BE于點O，以O為圓心，OB為半徑畫圓，交垂直平分線于點P，

如圖，作的外接圓，

，，

當時，BC為最長直徑，

，

，

，，

，

，

當時，是等邊三角形，

，

，

的取值范圍為：

【解析】解：連接OB、OC，

，

，

，

是等邊三角形，

，

的外接圓的半徑為

故答案為：

見答案.

連接OB、OC，根據(jù)圓周角定理及等邊三角形的性質可得答案；

作BC的垂直平分線，交BE于點O，以O為圓心，OB為半徑畫圓，交垂直平分線于點P，可得圖；

作的外接圓，利用特殊直角三角形的性質及等邊三角形的性質可得答案．

此題考查的是圓的綜合題目，涉及圓的性質、直角三角形的性質、等邊三角形的性質等知識，正確作出輔助線是解決此題關鍵．26.【答案】解：由于，

經過P、E、F三點確定，由圓周角定理可知：的直徑為EF，

，

點C在圓O上．

連接PC

，

是等腰直角三角形，

點P是AB的中點，

平分，

，

，

，

由于的度數(shù)不變，

的度數(shù)不會發(fā)生變化．

是等腰直角三角形，

當