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文檔簡(jiǎn)介
2025屆廣東省中山一中等七校重點(diǎn)中學(xué)高考數(shù)學(xué)押題試卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若為純虛數(shù),則z=()A. B.6i C. D.202.函數(shù)f(x)=2x-3A.[32C.[323.若函數(shù)在時(shí)取得極值,則()A. B. C. D.4.若函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖象,若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則的最大值為().A. B. C. D.5.某人2018年的家庭總收人為元,各種用途占比如圖中的折線圖,年家庭總收入的各種用途占比統(tǒng)計(jì)如圖中的條形圖,已知年的就醫(yī)費(fèi)用比年的就醫(yī)費(fèi)用增加了元,則該人年的儲(chǔ)畜費(fèi)用為()A.元 B.元 C.元 D.元6.若復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上,則實(shí)數(shù)a為()A. B.2 C. D.7.函數(shù)在上單調(diào)遞減,且是偶函數(shù),若,則的取值范圍是()A.(2,+∞) B.(﹣∞,1)∪(2,+∞)C.(1,2) D.(﹣∞,1)8.某學(xué)校組織學(xué)生參加英語測(cè)試,成績(jī)的頻率分布直方圖如圖,數(shù)據(jù)的分組依次為,若低于60分的人數(shù)是18人,則該班的學(xué)生人數(shù)是()A.45 B.50 C.55 D.609.已知三棱錐中,為的中點(diǎn),平面,,,則有下列四個(gè)結(jié)論:①若為的外心,則;②若為等邊三角形,則;③當(dāng)時(shí),與平面所成的角的范圍為;④當(dāng)時(shí),為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),若OM∥平面,則在內(nèi)軌跡的長度為1.其中正確的個(gè)數(shù)是().A.1 B.1 C.3 D.410.已知函數(shù),,其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),若存在實(shí)數(shù),使成立,則實(shí)數(shù)的值為()A. B. C. D.11.已知函數(shù)(,是常數(shù),其中且)的大致圖象如圖所示,下列關(guān)于,的表述正確的是()A., B.,C., D.,12.如圖,在圓錐SO中,AB,CD為底面圓的兩條直徑,AB∩CD=O,且AB⊥CD,SO=OB=3,SE.,異面直線SC與OE所成角的正切值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若,則__________.14.已知數(shù)列為等差數(shù)列,數(shù)列為等比數(shù)列,滿足,其中,,則的值為_______________.15.二項(xiàng)式的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為_____.16.已知復(fù)數(shù)z1=1﹣2i,z2=a+2i(其中i是虛數(shù)單位,a∈R),若z1?z2是純虛數(shù),則a的值為_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓與拋物線有共同的焦點(diǎn),且離心率為,設(shè)分別是為橢圓的上下頂點(diǎn)(1)求橢圓的方程;(2)過點(diǎn)與軸不垂直的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),當(dāng)弦的中點(diǎn)落在四邊形內(nèi)(含邊界)時(shí),求直線的斜率的取值范圍.18.(12分)有甲、乙兩家外賣公司,其送餐員的日工資方案如下:甲公司底薪元,送餐員每單制成元;乙公司無底薪,單以內(nèi)(含單)的部分送餐員每單抽成元,超過單的部分送餐員每單抽成元.現(xiàn)從這兩家公司各隨機(jī)選取一名送餐員,分別記錄其天的送餐單數(shù),得到如下頻數(shù)分布表:送餐單數(shù)3839404142甲公司天數(shù)101015105乙公司天數(shù)101510105(1)從記錄甲公司的天送餐單數(shù)中隨機(jī)抽取天,求這天的送餐單數(shù)都不小于單的概率;(2)假設(shè)同一公司的送餐員一天的送餐單數(shù)相同,將頻率視為概率,回答下列兩個(gè)問題:①求乙公司送餐員日工資的分布列和數(shù)學(xué)期望;②小張打算到甲、乙兩家公司中的一家應(yīng)聘送餐員,如果僅從日工資的角度考慮,小張應(yīng)選擇哪家公司應(yīng)聘?說明你的理由.19.(12分)為提供市民的健身素質(zhì),某市把四個(gè)籃球館全部轉(zhuǎn)為免費(fèi)民用(1)在一次全民健身活動(dòng)中,四個(gè)籃球館的使用場(chǎng)數(shù)如圖,用分層抽樣的方法從四場(chǎng)館的使用場(chǎng)數(shù)中依次抽取共25場(chǎng),在中隨機(jī)取兩數(shù),求這兩數(shù)和的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)設(shè)四個(gè)籃球館一個(gè)月內(nèi)各館使用次數(shù)之和為,其相應(yīng)維修費(fèi)用為元,根據(jù)統(tǒng)計(jì),得到如下表的數(shù)據(jù):x10152025303540y100001176113010139801477115440160202.993.494.054.504.995.495.99①用最小二乘法求與的回歸直線方程;②叫做籃球館月惠值,根據(jù)①的結(jié)論,試估計(jì)這四個(gè)籃球館月惠值最大時(shí)的值參考數(shù)據(jù)和公式:,20.(12分)記為數(shù)列的前項(xiàng)和,N.(1)求;(2)令,證明數(shù)列是等比數(shù)列,并求其前項(xiàng)和.21.(12分)對(duì)于給定的正整數(shù)k,若各項(xiàng)均不為0的數(shù)列滿足:對(duì)任意正整數(shù)總成立,則稱數(shù)列是“數(shù)列”.(1)證明:等比數(shù)列是“數(shù)列”;(2)若數(shù)列既是“數(shù)列”又是“數(shù)列”,證明:數(shù)列是等比數(shù)列.22.(10分)已知函數(shù),(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)當(dāng)時(shí),判斷函數(shù),()有幾個(gè)零點(diǎn),并證明你的結(jié)論;(3)設(shè)函數(shù),若函數(shù)在為增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算以及純虛數(shù)的概念,可得結(jié)果.【詳解】∵為純虛數(shù),∴且得,此時(shí)故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算,屬基礎(chǔ)題.2、A【解析】
根據(jù)冪函數(shù)的定義域與分母不為零列不等式組求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y=2x-3解得x≥32且∴函數(shù)f(x)=2x-3+1【點(diǎn)睛】定義域的三種類型及求法:(1)已知函數(shù)的解析式,則構(gòu)造使解析式有意義的不等式(組)求解;(2)對(duì)實(shí)際問題:由實(shí)際意義及使解析式有意義構(gòu)成的不等式(組)求解;(3)若已知函數(shù)fx的定義域?yàn)閍,b,則函數(shù)fgx3、D【解析】
對(duì)函數(shù)求導(dǎo),根據(jù)函數(shù)在時(shí)取得極值,得到,即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?,又函?shù)在時(shí)取得極值,所以,解得.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)的問題,屬于??碱}型.4、C【解析】
由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律,正弦函數(shù)的單調(diào)性,求出的最大值.【詳解】解:把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖象,若函數(shù)在區(qū)間,上單調(diào)遞增,在區(qū)間,上,,,則當(dāng)最大時(shí),,求得,故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律,正弦函數(shù)的單調(diào)性,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】
根據(jù)2018年的家庭總收人為元,且就醫(yī)費(fèi)用占得到就醫(yī)費(fèi)用,再根據(jù)年的就醫(yī)費(fèi)用比年的就醫(yī)費(fèi)用增加了元,得到年的就醫(yī)費(fèi)用,然后由年的就醫(yī)費(fèi)用占總收人,得到2019年的家庭總收人再根據(jù)儲(chǔ)畜費(fèi)用占總收人求解.【詳解】因?yàn)?018年的家庭總收人為元,且就醫(yī)費(fèi)用占所以就醫(yī)費(fèi)用因?yàn)槟甑木歪t(yī)費(fèi)用比年的就醫(yī)費(fèi)用增加了元,所以年的就醫(yī)費(fèi)用元,而年的就醫(yī)費(fèi)用占總收人所以2019年的家庭總收人為而儲(chǔ)畜費(fèi)用占總收人所以儲(chǔ)畜費(fèi)用:故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查統(tǒng)計(jì)中的折線圖和條形圖的應(yīng)用,還考查了建模解模的能力,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】
利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn),再由實(shí)部為求得值.【詳解】解:在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上,,即.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,是基礎(chǔ)題.7、B【解析】
根據(jù)題意分析的圖像關(guān)于直線對(duì)稱,即可得到的單調(diào)區(qū)間,利用對(duì)稱性以及單調(diào)性即可得到的取值范圍?!驹斀狻扛鶕?jù)題意,函數(shù)滿足是偶函數(shù),則函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱,若函數(shù)在上單調(diào)遞減,則在上遞增,所以要使,則有,變形可得,解可得:或,即的取值范圍為;故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查偶函數(shù)的性質(zhì),以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,有一定綜合性,屬于中檔題。8、D【解析】
根據(jù)頻率分布直方圖中頻率=小矩形的高×組距計(jì)算成績(jī)低于60分的頻率,再根據(jù)樣本容量求出班級(jí)人數(shù).【詳解】根據(jù)頻率分布直方圖,得:低于60分的頻率是(0.005+0.010)×20=0.30,∴樣本容量(即該班的學(xué)生人數(shù))是60(人).故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問題,也考查了頻率的應(yīng)用問題,屬于基礎(chǔ)題9、C【解析】
由線面垂直的性質(zhì),結(jié)合勾股定理可判斷①正確;反證法由線面垂直的判斷和性質(zhì)可判斷②錯(cuò)誤;由線面角的定義和轉(zhuǎn)化為三棱錐的體積,求得C到平面PAB的距離的范圍,可判斷③正確;由面面平行的性質(zhì)定理可得線面平行,可得④正確.【詳解】畫出圖形:若為的外心,則,平面,可得,即,①正確;若為等邊三角形,,又可得平面,即,由可得,矛盾,②錯(cuò)誤;若,設(shè)與平面所成角為可得,設(shè)到平面的距離為由可得即有,當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào).可得的最大值為,即的范圍為,③正確;取中點(diǎn),的中點(diǎn),連接由中位線定理可得平面平面可得在線段上,而,可得④正確;所以正確的是:①③④故選:C【點(diǎn)睛】此題考查立體幾何中與點(diǎn)、線、面位置關(guān)系有關(guān)的命題的真假判斷,處理這類問題,可以用已知的定理或性質(zhì)來證明,也可以用反證法來說明命題的不成立.屬于一般性題目.10、A【解析】令f(x)﹣g(x)=x+ex﹣a﹣1n(x+1)+4ea﹣x,令y=x﹣ln(x+1),y′=1﹣=,故y=x﹣ln(x+1)在(﹣1,﹣1)上是減函數(shù),(﹣1,+∞)上是增函數(shù),故當(dāng)x=﹣1時(shí),y有最小值﹣1﹣0=﹣1,而ex﹣a+4ea﹣x≥4,(當(dāng)且僅當(dāng)ex﹣a=4ea﹣x,即x=a+ln1時(shí),等號(hào)成立);故f(x)﹣g(x)≥3(當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)同時(shí)成立時(shí),等號(hào)成立);故x=a+ln1=﹣1,即a=﹣1﹣ln1.故選:A.11、D【解析】
根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和特征以及圖象的平移可得正確的選項(xiàng).【詳解】從題設(shè)中提供的圖像可以看出,故得,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查圖象的平移以及指數(shù)函數(shù)的圖象和特征,本題屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】
可過點(diǎn)S作SF∥OE,交AB于點(diǎn)F,并連接CF,從而可得出∠CSF(或補(bǔ)角)為異面直線SC與OE所成的角,根據(jù)條件即可求出,這樣即可得出tan∠CSF的值.【詳解】如圖,過點(diǎn)S作SF∥OE,交AB于點(diǎn)F,連接CF,則∠CSF(或補(bǔ)角)即為異面直線SC與OE所成的角,∵,∴,又OB=3,∴,SO⊥OC,SO=OC=3,∴;SO⊥OF,SO=3,OF=1,∴;OC⊥OF,OC=3,OF=1,∴,∴等腰△SCF中,.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了異面直線所成角的定義及求法,直角三角形的邊角的關(guān)系,平行線分線段成比例的定理,考查了計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
因?yàn)?,由二倍角公式得到,故得到.故答案為?4、【解析】
根據(jù)題意,判斷出,根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得,再令數(shù)列中的,,,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),列出等式,求出和的值即可.【詳解】解:由,其中,,可得,則,令,,可得.①又令數(shù)列中的,,,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),可得,所以.②根據(jù)①②得出,.所以.故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.15、15【解析】
由題得,,令,解得,代入可得展開式中含x6項(xiàng)的系數(shù).【詳解】由題得,,令,解得,所以二項(xiàng)式的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為:15【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,考查了利用通項(xiàng)公式去求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)問題.16、-1【解析】
由題意,令即可得解.【詳解】∵z1=1﹣2i,z2=a+2i,∴,又z1?z2是純虛數(shù),∴,解得:a=﹣1.故答案為:﹣1.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的概念和運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)或【解析】
(1)由已知條件得到方程組,解得即可;(2)由題意得直線的斜率存在,設(shè)直線方程為,聯(lián)立直線與橢圓方程,消元、列出韋達(dá)定理,由得到的范圍,設(shè)弦中點(diǎn)坐標(biāo)為則,所以在軸上方,只需位于內(nèi)(含邊界)就可以,即滿足,得到不等式組,解得即可;【詳解】解:(1)由已知橢圓右焦點(diǎn)坐標(biāo)為,離心率為,,,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;(2)由題意得直線的斜率存在,設(shè)直線方程為聯(lián)立,消元整理得,,由,解得設(shè)弦中點(diǎn)坐標(biāo)為,所以在軸上方,只需位于內(nèi)(含邊界)就可以,即滿足,即,解得或【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì),直線與橢圓的綜合應(yīng)用,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.18、(1);(2)①分布列見解析,;②小張應(yīng)選擇甲公司應(yīng)聘.【解析】
(1)記抽取的3天送餐單數(shù)都不小于40為事件,可得(A)的值.(2)①設(shè)乙公司送餐員送餐單數(shù)為,可得當(dāng)時(shí),,以此類推可得:當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),的值.當(dāng)時(shí),的值,同理可得:當(dāng)時(shí),.的所有可能取值.可得的分布列及其數(shù)學(xué)期望.②依題意,甲公司送餐員日平均送餐單數(shù).可得甲公司送餐員日平均工資,與乙數(shù)學(xué)期望比較即可得出.【詳解】解:(1)由表知,50天送餐單數(shù)中有30天的送餐單數(shù)不小于40單,記抽取的3天送餐單數(shù)都不小于40為事件,則.(2)①設(shè)乙公司送餐員的送餐單數(shù)為,日工資為元,則當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.所以的分布列為228234240247254.②依題意,甲公司送餐員的日平均送餐單數(shù)為,所以甲公司送餐員的日平均工資為元,因?yàn)?,所以小張?yīng)選擇甲公司應(yīng)聘.【點(diǎn)睛】本題考查了隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望、古典概率計(jì)算公式、組合計(jì)算公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.19、(1)見解析,12.5(2)①②20【解析】
(1)運(yùn)用分層抽樣,結(jié)合總場(chǎng)次為100,可求得的值,再運(yùn)用古典概型的概率計(jì)算公式可求解果;(2)①由公式可計(jì)算的值,進(jìn)而可求與的回歸直線方程;②求出,再對(duì)函數(shù)求導(dǎo),結(jié)合單調(diào)性,可估計(jì)這四個(gè)籃球館月惠值最大時(shí)的值.【詳解】解:(1)抽樣比為,所以分別是,6,7,8,5所以兩數(shù)之和所有可能取值是:10,12,13,15,,,所以分布列為期望為(2)因?yàn)樗?,,;②,設(shè),所以當(dāng)遞增,當(dāng)遞減所以約惠值最大值時(shí)的值為20【點(diǎn)睛】本題考查直方圖的實(shí)際應(yīng)用,涉及求概率,平均數(shù)、擬合直線和導(dǎo)數(shù)等問題,關(guān)鍵是要讀懂題意,屬于中檔題.20、(1);(2)證明見詳解,【解析】
(1)根據(jù),可得,然后作差,可得結(jié)果.(2)根據(jù)(1)的結(jié)論,用取代,得到新的式子,然后作差,可得結(jié)果,最后根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式,可得結(jié)果.【詳解】(1)由①,則②②-①可得:所以(2)由(1)可知:③則④④-③可得:則,且令,則,所以數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列所以【點(diǎn)睛】本題主要考查遞推公式以及之間的關(guān)系的應(yīng)用,考驗(yàn)觀察能力以及分析能力,屬中檔題.21、(1)證明見詳解;(2)證明見詳解【解析】
(1)由是等比數(shù)列,由等比數(shù)列的性質(zhì)可得:即可證明.(2)既是“數(shù)列”又是“數(shù)列”,可得,,則對(duì)于任意都成立,則成等比數(shù)列,設(shè)公比為,驗(yàn)證得答案.【詳解】(1)證明:由是等比數(shù)列,由等比數(shù)列的性質(zhì)可得:等比數(shù)列是“數(shù)列”.(2)證明:既是“數(shù)列”又是“數(shù)列”,可得,()(),()可得:對(duì)于任意都成立,即成等比數(shù)列,即成等比數(shù)列,成等比數(shù)列,成等比數(shù)列,設(shè),()數(shù)列是“數(shù)列”時(shí),由()可得:時(shí),由()可得:,可得,同理可證成等比數(shù)列,數(shù)列是等比數(shù)列【點(diǎn)睛】本題是一道數(shù)列的新定義題目,考查了等比數(shù)列的性質(zhì)、通項(xiàng)公式等基本知識(shí),考查代數(shù)推理、轉(zhuǎn)化與化歸以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)探究與解決問題的能力,屬于難題.22、(1)單調(diào)增區(qū)間,單調(diào)減區(qū)間為,;(2)有2個(gè)零點(diǎn),證明見解析;(3)【解析】
對(duì)函數(shù)求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷
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