高等數(shù)學(xué)課件：三重積分

三重積分9.3.1三重積分的概念9.3.2三重積分的計(jì)算9.3.1三重積分的概念①分割：③求和：④取極限:例9.3.1已知物體占有的空間有界閉區(qū)域物體在點(diǎn)求出第i小塊物體質(zhì)量的近似值任?、诮疲罕硎镜趇

個(gè)小區(qū)域，將讓分割越來越細(xì)，得到質(zhì)量的精確值任意分割成n個(gè)閉區(qū)域處的密度，且在表示上連續(xù)，求該物體的質(zhì)量

所求物體質(zhì)量的近似值①分割：③求和：④

取極限:則稱此極限值為定義9.3.1：設(shè)是空間有界閉區(qū)域上的作乘積任?、诮疲罕硎镜趇

個(gè)小區(qū)域，也表示該區(qū)域的體積，將如果極限值存在，在區(qū)域記為任意分割成n個(gè)閉區(qū)域上的三重積分，有界函數(shù)稱為體積元素,

在直角坐標(biāo)系下常寫作注意(1)連續(xù)必可積(2)(3)若表示物體在處的密度，表示物體占有的空間閉區(qū)域，則表示該物體的質(zhì)量(4)若則體積1.直角坐標(biāo)系下計(jì)算三重積分設(shè)積分區(qū)域由在面上的投影區(qū)域?yàn)?.3.2三重積分的計(jì)算特點(diǎn)：用平行于z

軸的直線穿越閉區(qū)域與邊界曲面最多只有兩個(gè)交點(diǎn)，是在xoy

面上的投影方法1投影法

則三次積分把區(qū)域投影到xoz

平面或者yoz

平面，方法一樣其中

為三個(gè)坐標(biāo)例9.3.2

計(jì)算三重積分所圍成的閉區(qū)域.解:面及平面投影區(qū)域方法2截面法(“先二后一”)有時(shí)三重積分可化為先計(jì)算二重積分，再計(jì)算定積分適用于被積函數(shù)只含一個(gè)變量設(shè)積分區(qū)域是豎坐標(biāo)為的平面截閉區(qū)域所得的一個(gè)平面閉區(qū)域，則其中

為三個(gè)坐標(biāo)例9.3.3計(jì)算三重積分所圍成的閉區(qū)域.解:面及平面用平面截得平面就稱為點(diǎn)M

的柱坐標(biāo).直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系:2.柱面坐標(biāo)系下計(jì)算三重積分因此體積元素為其中坐標(biāo)面分別為圓柱面半平面平面適用范圍:1)積分域表面用柱面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡單;2)被積函數(shù)用柱面坐標(biāo)表示時(shí)變量互相分離.其中

由例9.3.4計(jì)算三重積分解:及平面原式設(shè)則所圍成的閉區(qū)域例9.3.5

計(jì)算三重積分解:其中積分區(qū)域因?yàn)榉e分區(qū)域關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)面都對(duì)稱，且被積函數(shù)是變量的奇函數(shù)，所以一般地，當(dāng)積分區(qū)域關(guān)于xoy平面對(duì)稱時(shí)，如果被積函數(shù)是關(guān)于z的奇函數(shù)，則三重積分為零；如果被積函數(shù)是關(guān)于z的偶函數(shù)，則一般地，當(dāng)積分區(qū)域關(guān)于xoy平面對(duì)稱時(shí)，如果被積是關(guān)于z的奇函數(shù)，則三重積分為零