第二十八章 銳角三角函數(shù)（6類題型突破）

第二十八章銳角三角函數(shù)（題型突破）題型一正弦的定義及應(yīng)用【例1】（2023上·江蘇淮安·九年級校考期中）如圖，點A，B，C都是正方形網(wǎng)格的格點，連接，，則的正弦值為（

）

A． B． C． D．2鞏固訓(xùn)練：1．（2023上·江蘇無錫·九年級校聯(lián)考期中）在中，，若的三邊都擴大5倍，則的值（）A．放大5倍 B．縮小5倍 C．不能確定 D．不變2．（2023下·浙江杭州·九年級統(tǒng)考期中）在中，，、、所對的邊分別是a、b、c．則下列各式中，正確的是（

）A． B． C． D．3．（2023·安徽合肥·一模）一個鋼球沿坡角的斜坡向上滾動了5米，此時鋼球距地面的高度是（單位：米）（

）A． B． C． D．4．（2023上·陜西西安·九年級西安市鐵一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在中，，，，則的值是（

）A． B． C． D．5．（2022上·福建漳州·九年級統(tǒng)考期末）在中，，那么的值是（

）A．2 B． C． D．6．（2023上·陜西西安·九年級校聯(lián)考期中）如圖，每個小正方形的邊長均為1，若點，，都在格點上，則的值為（

）

A． B． C． D．7．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出“趙爽弦圖”，如圖所示，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形．如果大正方形面積為25，小正方形面積為1，則sinθ=（

）A． B． C．4 D．8．（2023上·黑龍江大慶·九年級統(tǒng)考期中）在中，，，則，則（

）A．24 B．20 C．16 D．159．（2023·山東淄博·山東省淄博第六中學(xué)校聯(lián)考一模）如圖，線段是的直徑，C，D為上兩點，如果，那么的度數(shù)是（

）A． B． C． D．10．（2022上·黑龍江大慶·九年級校考開學(xué)考試）在中，，斜邊上的中線，，則（

）A．18 B． C． D．沒有正確答案11．（2023上·山東濟南·九年級統(tǒng)考期中）在中，，，則．12．（2023上·山西臨汾·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在邊長為1的小正方形網(wǎng)格中，點、、、都在格點上，、相交于點，則為．

13．（2023上·福建泉州·九年級校聯(lián)考期中）如圖，的頂點都在邊長相等的小正方形的頂點上，則等于．14．（2021上·河北邢臺·八年級統(tǒng)考期中）如圖所示，在中，，，且，求：

(1)的值；(2)的周長及面積．15．（2023上·江蘇蘇州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，垂足為點，，.(1)求的值；(2)點在上，且，過作，垂足為點，求的長.16．（2022下·九年級單元測試）如圖，在中，，，分別是角，，的的對邊，探索與的關(guān)系：∵，，∴．

(1)根據(jù)以上三角函數(shù)知識的探索，在圖銳角三角形中，探索，，之間的關(guān)系，并寫出探索過程；(2)鈍角三角形形中，上面結(jié)論是否仍然成立？簡單說明17．（2023·河南洛陽·統(tǒng)考一模）水車是我國古老的農(nóng)業(yè)灌溉工具，是古人們在征服世界的過程中創(chuàng)造出來的高超勞動技藝，是珍貴的歷史文化遺產(chǎn)，水車是由立式水輪、竹筒、支撐架和水槽等部件組成．小明受此啟發(fā)設(shè)計了一個“水車玩具”，設(shè)計圖如圖2，若水輪在動力的作用下將水運送到點A處，水沿水槽流到水池中，與水面交于點B，D，且點D，O，B，C在同一直線上，與相切于點A，連接．

請僅就圖2解答下列問題．(1)求證：．(2)若點B到點C的距離為32cm，．請求出水槽的長度．題型二余弦的定義即應(yīng)用【例2】（1）（2023上·山西臨汾·九年級統(tǒng)考期中）在中，，，則的值是（）A． B． C． D．（2）（2023上·黑龍江大慶·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，，則（

）

A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練1．（2023上·河北邢臺·九年級統(tǒng)考期中）把各邊的長度都擴大倍得到，其中與是對應(yīng)頂點，則銳角的余弦值比銳角的余弦值（

）A．?dāng)U大4倍 B．保持不變 C．縮小4倍 D．?dāng)U大2倍2．（2023上·浙江杭州·九年級校考期中）如圖，在中，若，則（

）A． B． C． D．3．（2023上·山東泰安·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，于點，則下列結(jié)論不正確的是（

）

A． B． C． D．4．（2022上·黑龍江哈爾濱·九年級?？紝ｎ}練習(xí)）在直角三角形中，各邊的長度都擴大到原來的3倍，則銳角A的三角函數(shù)值（

）A．都擴大到原來的3倍 B．都縮小為原來的3倍C．都保持原來的數(shù)值不變 D．有的變大，有的縮小5．（2023·重慶渝中·重慶巴蜀中學(xué)?？既＃┤鐖D，是的直徑，延長至切于點，過點作交于點，連接．若，則．的長為(

)

A．3 B． C． D．6．（2023·福建泉州·統(tǒng)考一模）在中，，，則的值是（

）A． B． C． D．7．（2023上·山東煙臺·九年級統(tǒng)考期中）如圖，將放在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點A，B，C均在格點上，則的值是（

）

A． B． C． D．8．（2023上·山東濟南·九年級統(tǒng)考期中）在中，，是邊上的中線，，，則（）A． B． C． D．9．（2023上·上海寶山·九年級統(tǒng)考期中）已知平面直角坐標(biāo)系中，第一象限內(nèi)射線與x軸正半軸的夾角為，點P在射線上，如果且，那么點P的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．10．（2023上·河北石家莊·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，點與原點的距離，線段與軸正半軸的夾角為，且，則點的坐標(biāo)是（）

A． B． C． D．11．（2023上·河北石家莊·九年級統(tǒng)考期中）如圖是釘板示意圖，每相鄰4個釘點是邊長為1個單位長度的小正方形頂點，釘點A，B的連線與釘點C，D的連線交于點，則（1）與是否垂直？（填“是”或“否”）．（2）．（3）．

12．（2022下·九年級單元測試）比較大?。?/p>

（1）；（2）．13．（2023上·江蘇淮安·九年級?？计谥校┲?，，，，則的長為．14．（2023上·上海崇明·九年級校聯(lián)考期中）在中，，，，那么．15．（2023上·山東濟南·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，．

(1)求的長；(2)求的值．16．（2023上·上海寶山·九年級統(tǒng)考期中）如圖，中，，，D是邊的中點，連結(jié)．

(1)已知，求的長；(2)求的值．題型三正切的定義及應(yīng)用【例3】（2023上·福建泉州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，是的中點，，．(1)求的長；(2)求與的值．鞏固訓(xùn)練1．（2023下·北京西城·九年級北師大實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，梯子（長度不變）跟地面所成的銳角為，敘述正確的是（）

A．的值越大，梯子越陡B．的值越大，梯子越陡C．的值越小，梯子越陡D．陡緩程度與的函數(shù)值無關(guān)2．（2022上·上海浦東新·九年級校考階段練習(xí)）在中，，，那么等于（

）A． B． C． D．3．（2023上·河北石家莊·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，則（

）

A． B．3 C． D．4．（2023上·河南周口·九年級統(tǒng)考期中）如圖，的頂點位于正方形網(wǎng)格的格點上，若，則滿足條件的是（）A． B．C． D．5．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱市第十七中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）已知為銳角，，則的值為．6．（2023上·陜西西安·九年級西安市鐵一中學(xué)?？计谥校佄锞€的圖象與x軸交于點A、點B，頂點為C，則的值是（

）A．3 B． C．1 D．7．（2021下·福建龍巖·九年級龍巖初級中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，點A是雙曲線第三象限分支上的一動點，連接并延長交另一支于點，以為邊作等邊，點在第二象限內(nèi)，則過點的反比例函數(shù)解析式為．

8．（2023上·湖南岳陽·九年級岳陽市弘毅新華中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，點A在反比例函數(shù)的圖象上，點B在反比例函數(shù)的圖象上，且．線段交反比例函數(shù)的圖象于另一點C，連接，若點C為的中點，則的值為（

）A．1 B． C． D．9．（2023·浙江溫州·校聯(lián)考三模）如圖，在的方格紙中，線段的端點均是格點，請按要求畫圖．

(1)在圖1中，找一個格點，使得為直角三角形，且．(2)在圖2中，找一個格點，使得為非直角三角形，且．10．（2023上·山東濰坊·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點，點分別在軸上，連接并延長至點，連接，若滿足，求所在直線的函數(shù)表達式．

11．（2023上·上海崇明·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，，，．

(1)求的長．(2)若點D在邊上，且，求的值．題型四特殊角三角函數(shù)值的應(yīng)用【例4】（2023上·山東濰坊·九年級統(tǒng)考期中）計算：(1)(2)鞏固訓(xùn)練1．（2023上·山東濰坊·九年級統(tǒng)考期中）若是銳角，，則的值是（

）A． B． C． D．12．（2020·廣東深圳·統(tǒng)考二模）在中，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．3．（2023上·福建泉州·九年級統(tǒng)考期中）在中，若，則的形狀是（

）A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形4．（2023上·湖北武漢·九年級統(tǒng)考期中）如圖，是的弦，半徑，，則的面積為.

5．（2023上·湖南衡陽·九年級校聯(lián)考期中）在中，若，則．6．（2022上·山東泰安·九年級?？茧A段練習(xí)）在中，若，則是三角形．7．（2023上·浙江金華·九年級校聯(lián)考期中）計算：．8．（2023上·山東濟南·九年級統(tǒng)考期中）計算：．9．（2023上·湖南永州·九年級校考階段練習(xí)）計算：(1)．(2)（2023上·江西宜春·九年級江西省豐城中學(xué)校考期中）已知α是銳角，且，計算的值．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校?？计谥校┫然啠偾蟠鷶?shù)式的值，其中．題型五解直角三角形【例5】（2023上·湖南衡陽·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，，，，，，交．求：(1)的長；(2)的值．鞏固訓(xùn)練1．（2023上·浙江金華·九年級校聯(lián)考期中）已知為銳角，，則的值為（

）A． B． C． D．2．（2023上·廣東深圳·九年級校考期中）如圖，在矩形中，，點在直線上，若矩形的周長為，點到直線的距離的長為6，則點到直線的距離的長為（

）

A． B． C． D．3．（2023上·福建福州·九年級校聯(lián)考期中）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點在第一象限，，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，點B的對應(yīng)點的坐標(biāo)是()A． B． C． D．4．（2023上·河北廊坊·九年級校聯(lián)考期中）如圖，邊長為3的正六邊形內(nèi)接于，則的內(nèi)接正三角形的邊長為（

）

A． B． C． D．656．（2023上·江蘇常州·九年級?？计谥校┤鐖D，中，，．能夠?qū)⑼耆采w的最小圓形紙片的半徑為（

）

A． B． C． D．6．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級校聯(lián)考期中）在中，，則______________7．（2023上·山東煙臺·九年級統(tǒng)考期中）在中，，，，則的度數(shù)為．8．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級校考階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，，，，則．

9．（2023上·江蘇揚州·九年級?？计谥校┤鐖D，中，，，D為邊延長線上一點，，求的值．

10．（2023上·山東菏澤·九年級統(tǒng)考期中）中，，，點在上，，，求的長．

11．（2023上·山東菏澤·九年級統(tǒng)考期中）中，．(1)如果，，求的長；(2)如果，，求的長．12．（2023上·上海黃浦·九年級上海市格致初級中學(xué)校考期中）已知：如圖，在中，，，，，垂足為點D，E是的中點，連結(jié)并延長，交邊于點F．

(1)求的正切值；(2)求的值．13．（2023上·山東淄博·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，．

(1)求的長；(2)利用此圖形求的值．（精確到，參考數(shù)據(jù)：，，）14．（2023上·山東煙臺·九年級統(tǒng)考期中）中，，，解這個直角三角形．15．（2023上·江蘇常州·九年級?？计谥校┮阎本€經(jīng)過上的點，且，

(1)求證：直線是的切線(2)已知的半徑是1，．①求邊的長；②求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留）16．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，AB是☉O的直徑，AC是一條弦，D是弧AC的中點，DE⊥AB于點E，交AC于點F，交☉O于點H，DB交AC于點G．(1)求證；AF=DF；(2)若AF=，sin∠B=，求☉O的半徑．題型六解直角三角形的應(yīng)用【例6】（2023上·山西臨汾·九年級統(tǒng)考期中）如圖，圖①②分別是某種型號跑步機的實物圖與示意圖，已知踏板長為1.7米，與地面的夾角為，支架長為，為，手柄與地面平行．求跑步機手柄的一端距離地面的高度．（精確到）（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）

鞏固訓(xùn)練1．（2023上·山東濟寧·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖所示，熱氣球的探測器顯示，從熱氣球A處看一棟樓頂部B處的仰角為，看這棟樓底部C處的俯角為，熱氣球A處與樓的水平距離為120m，則這棟樓的高度為（

）

A． B．C． D．2．（2023上·山東濰坊·九年級統(tǒng)考期中）一艘游輪從小島正南方向的點處向西航行海里到達點處，然后沿北偏西方向航行海里到達點處，此時觀測到小島在北偏東方向，則小島與出發(fā)點之間的距離為（

）

A． B．C． D．3．（2023下·九年級課時練習(xí)）王英同學(xué)從地沿北偏西方向走到地，再從地向正南方向走到地，此時王英同學(xué)離地（

）．A． B． C． D．4．（2023上·江蘇淮安·九年級?？计谥校┤鐖D，要測量小河兩岸相對的兩點P，A的距離，可以在小河邊取的垂線上的一點C，測得米，，則小河寬等于（

）A．米 B．米 C．米 D．米5．（2023上·山東濟南·九年級統(tǒng)考期中）電線桿直立在水平的地面上，是電線桿的一根拉線，測得，，則拉線的長為（

）A． B． C． D．6．（2022·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，一飛機到達A點時，測得觀禮臺C在飛機前下方，俯角為，此時飛行路線改為沿仰角為方向的直線飛行，飛機飛行了6千米到B處時，居民區(qū)D恰好在飛機的正下方，現(xiàn)在的飛行高度為5千米，則觀禮臺C和居民區(qū)D的距離是千米．（，，，，結(jié)果精確到0.1）7．（2022·湖北武漢·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，航拍無人機從A處測得一幢建筑物頂部B處的仰角為、底部C處的俯角為，此時航拍無人機A處與該建筑物的水平距離為80米．該建筑物的高度（精確到1米）．[參考數(shù)據(jù)：，，]

8．（2023上·山東濰坊·九年級統(tǒng)考期中）如圖，數(shù)學(xué)興趣小組用無人機測量一幢樓的高度．小亮站立在距離樓底部米的點處，操控?zé)o人機從地面點，豎直起飛到正上方米點處時，測得樓的頂端的俯角為，小亮的眼睛點看無人機的仰角為（點三點在同一直線上）．求樓的高度．（參考數(shù)據(jù)：小亮的眼睛距離地面米，）9．（2023上·江蘇泰州·九年級統(tǒng)考期中）某數(shù)學(xué)興趣小組要測量實驗大樓部分樓體的高度（如圖1所示，部分），在起點處測得大樓部分樓體的頂端點的仰角為，底端點的仰角為，在同一平面內(nèi)沿水平地面向前走米到達處，測得頂端的仰角為（如圖2所示），結(jié)合以上信息，從①，②，③這三個條件中選擇一個作為補充條件，求大樓部分樓體的高度約為多少米？（精確到1米）你選擇的條件是_________．（只填序號）10．（2023上·江蘇常州·九年級?？计谥校┤鐖D，、為兩個建筑物，建筑物的高度為，從建筑物的頂部點測得建筑物的頂部點的俯角為，測得建筑物的底部點的俯角為．

(1)求兩建筑物兩底部之間的水平距離的長度：(2)求建筑物的高度（結(jié)果保留根號）11．（2023上·福建泉州·九年級統(tǒng)考期中）小明利用所學(xué)三角函數(shù)知識對小區(qū)樓房的高度進行測量．他們在地面的點處用測角儀測得樓房頂端點的仰角為，向樓房前行在點處測得樓房頂端點的仰角為，已知測角儀的高度是（點，，在同一條直線上），根據(jù)以上數(shù)據(jù)求樓房的高度．（，結(jié)果保留一位小數(shù)）

12．（2023上·山東煙臺·九年級統(tǒng)考期中）某校為了迎接祖國華誕74周年，豐富學(xué)生社會實踐活動，決定組織九年級學(xué)生到紅色文化基地A和人工智能科技館C參觀學(xué)習(xí)．如圖，A位于學(xué)校的東北方向，C位于學(xué)校南偏東方向，C在A的南偏西方向處．如果將九年級學(xué)生分成兩組分別參觀學(xué)習(xí)，兩組學(xué)生同時從學(xué)校出發(fā)，速度是：第二組學(xué)生乘坐公交車前往C地，速度是．請問：哪組學(xué)生先到達目的地？并通過計算說明理由．（參考數(shù)據(jù)：，，）

13．（2023上·山東濟南·九年級統(tǒng)考期中）某地修建了一座以“講好家鄉(xiāng)故事，厚植種子情懷”為主題的半徑為的圓形紀(jì)念園．如圖，紀(jì)念園中心位于村西南方向和村南偏東方向上．村在村的正東方向且兩村相距．有關(guān)部門計劃在，兩村之間修一條筆直的公路來連接兩村．問該公路是否穿越紀(jì)念園？試通過計算加以說明．（參考數(shù)據(jù)：，，，）

14．（2023上·上海閔行·九年級統(tǒng)考期中）如圖，海中有一小島P，在以P為圓心，半徑為海里的圓形海域內(nèi)有暗礁．一輪船自西向東航行，它在A處測得小島P位于北偏東方向上，且A，P之間的距離為32海里．

(1)若輪船繼續(xù)向正東方向航行，輪船有無觸礁危險？(2)如果輪船繼續(xù)向正東方向航行有危險，輪船自A處開始改變航行方向，沿南偏東度方向航行確保安全通過這一海域，求的取值范圍．15．（2023下·九年級課時練習(xí)）如圖，一艘緝私艇位于小島北偏東的方向8海里的處，一艘走私船從小島出發(fā)，沿北偏東方向勻速駛離小島，同時緝私艇從處出發(fā)，恰好在處截到走私船，若走私船與緝私艇的速度比為，求緝私艇行駛的路程．16．（2023上·重慶九龍坡·九年級重慶實驗外國語學(xué)校校考期中）校慶期間，小南同學(xué)從天津到北關(guān)中學(xué)瞻仰張伯苓校長的雕塑，聆聽學(xué)校的辦校故事．他從沙坪壩火車站出站后，導(dǎo)航給出兩條線路，如圖：①A﹣E﹣D﹣M；②A﹣B﹣C﹣M．經(jīng)勘測，點E在點A的北偏西方向米處，點D在點E的正北方向200米處，點M在點D的正東方向250米處，點B在點E的正東方向，且在點A的北偏東方向，點C在點D的正東方向，且在點B的北偏西方向．

(1)求EB的長度；（結(jié)果保留根號）(2)由于時間原因，小南決定選擇一條較短路線到達張伯苓校長的雕塑前，請計算說明他應(yīng)該選擇線路①還是線路②？（參考數(shù)據(jù)，，，，）17．（2023上·重慶沙坪壩·九年級重慶八中?？茧A段練習(xí)）如圖，在一筆直的海岸線l上有A，B兩個觀測站，A在B的正東方向．有一艘漁船在點P處，從A處測得漁船在北偏西的方向，從B處測得漁船在其東北方向，且測得B，P兩點之間的距離為30海里．

(1)求觀測站A，B之間的距離（結(jié)果保留根號）；(2)漁船從點P處沿射線的方向航行一段時間后，到點C處等待補給，此時，從B測得漁船在北偏西的方向．在漁船到達C處的同時，一艘補給船從點B出發(fā)，以每小時25海里的速度前往C處，請問補給船能否在100分鐘之內(nèi)到達C處？（參考數(shù)據(jù)：）18．（2023上·河北石家莊·九年級統(tǒng)考期中）超速行駛被稱為“馬路第一殺手”．為了讓駕駛員自覺遵守交通規(guī)則，公路檢測中心在一事故多發(fā)地段安裝了一個測速儀器，如圖所示．已知檢測點設(shè)在距離公路20m的A處，測得一輛汽車從B處行駛到C處所用時間為．已知，．

(1)求B，C之間的距離（結(jié)果保留根號）．(2)如果此地限速為，那么這輛汽車是否超速？請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：，）19．（2023上·吉林長春·九年級?？计谥校┥Ｌ菔俏覈糯l(fā)明的一種采桑工具．圖①是明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政企書》中用圖畫描繪的桑梯，其示意圖如圖②所示，己知米，點在的延長線上，米，與的張角為，為固定張角大小的繩索，若時，求桑梯頂端到地面的距離．(參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果精確到米)20．（2023上·浙江杭州·九年級校考期中）為倡導(dǎo)健康出行，某市道路運輸管理局向市民提供一種公共自行車作為代步工具，如圖（1）所示是一輛自行車的實物圖．車架檔與的長分別為，，且它們互相垂直，，，如圖（2）．（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，，，，）

(1)求車架檔的長；(2)求車鏈橫檔的長．21．（2023上·海南?？凇ぞ拍昙壓Ｄ先A僑中學(xué)校考期中）如圖，在一個坡角位的斜坡上有一棵樹，樹高米．當(dāng)太陽光與水平線成角時，該樹在斜坡上的樹影恰好為線段．

(1)______，______；(2)求樹影的長．（結(jié)果保留一位小數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：，，，，，，）22．（2022·浙江·一模）桑梯一登以採桑，它是我國古代勞動人民發(fā)明的一種采桑工具．圖1是明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪的桑梯，其示意圖如圖2所示，已知米，米，設(shè)，為保證安全，a的調(diào)整范圍是．（參考數(shù)據(jù)：，精確到0.1米）(1)當(dāng)時，若人站在的中點E處，求此人離地面（）的高度．(2)在安全使用范圍下，求桑梯頂端D到地面的距離范圍．

第二十八章銳角三角函數(shù)題型一正弦的定義及應(yīng)用【例1】（2023上·江蘇淮安·九年級?？计谥校┤鐖D，點A，B，C都是正方形網(wǎng)格的格點，連接，，則的正弦值為（

）

A． B． C． D．2【答案】B【分析】本題考查網(wǎng)格中求三角函數(shù)值，三角函數(shù)定義，勾股定理及其逆定理，連接，設(shè)小正方形邊長為，求出，，，即可證明是直角三角形，問題隨之得解．【詳解】解：連接，如圖所示：

設(shè)小正方形邊長為，，，，，∴是直角三角形，在中，，故選：B．鞏固訓(xùn)練：1．（2023上·江蘇無錫·九年級校聯(lián)考期中）在中，，若的三邊都擴大5倍，則的值（）A．放大5倍 B．縮小5倍 C．不能確定 D．不變【答案】D【分析】直接利用銳角的正弦的定義——“銳角A的對邊a與斜邊c的比叫做的正弦，記作”求解．【詳解】解：∵，∴的對邊與斜邊的比，∵的三邊都擴大5倍，∴的對邊與斜邊的比不變，∴的值不變．故選：D．2．（2023下·浙江杭州·九年級統(tǒng)考期中）在中，，、、所對的邊分別是a、b、c．則下列各式中，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)在直角三角形中，銳角的正弦等于對邊比斜邊求解即可．【詳解】解：如圖，∴故選C．【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的概念：在直角三角形中，銳角的正弦等于對邊比斜邊；余弦等于鄰邊比斜邊；銳角的正切等于對邊比鄰邊．3．（2023·安徽合肥·一模）一個鋼球沿坡角的斜坡向上滾動了5米，此時鋼球距地面的高度是（單位：米）（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】鐵球上滾的距離，鐵球距地面的高度，可看作直角三角形的斜邊與已知角的對邊，可利用正弦函數(shù)求解．【詳解】鐵球上滾的距離鐵球距地面的高度，鐵球距地面的高度．故選：B．【點睛】本題考查了一個角的正弦等于這個角的對邊比斜邊，熟知三角形的正弦函數(shù)是解題的關(guān)鍵．4．（2023上·陜西西安·九年級西安市鐵一中學(xué)校考期中）如圖，在中，，，，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了直角三角形的判定，三角函數(shù)的定義．先證明是直角三角形，再利用正弦函數(shù)的定義即可求解．【詳解】解：∵，，，∴，∴是直角三角形，且，∴，故選：C．5．（2022上·福建漳州·九年級統(tǒng)考期末）在中，，那么的值是（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】直接利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出的值即可．【詳解】解：∵，∴，∴．故選：D．

【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，正確記憶正弦值與各邊之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．6．（2023上·陜西西安·九年級校聯(lián)考期中）如圖，每個小正方形的邊長均為1，若點，，都在格點上，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，得到，再利用勾股定理求出，的長，即可求出最后結(jié)果．【詳解】解：如圖，連接，

則，，，故選：A．【點睛】本題考查了銳角三角形函數(shù)，勾股定理，利用勾股定理求出邊長是解答本題的關(guān)鍵．7．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出“趙爽弦圖”，如圖所示，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形．如果大正方形面積為25，小正方形面積為1，則sinθ=（

）A． B． C．4 D．【答案】A【詳解】設(shè)大正方形的邊長為c，直角三角形的短直角邊為a，長直角邊為b，由題意，得c2=25，b-a==1，a2+b2=c2，解得a=3，b=4，c=5，∴sinθ=．8．（2023上·黑龍江大慶·九年級統(tǒng)考期中）在中，，，則，則（

）A．24 B．20 C．16 D．15【答案】D【分析】本題主要考查了正弦的性質(zhì)，利用正弦的性質(zhì)求值即可．理解正弦的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】在中，，即，解得：．故選：D．9．（2023·山東淄博·山東省淄博第六中學(xué)校聯(lián)考一模）如圖，線段是的直徑，C，D為上兩點，如果，那么的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，構(gòu)造直角三角形，利用已知邊的長度結(jié)合銳角三角函數(shù)的定義求得的度數(shù)，最后利用圓周角定理確定的度數(shù)即可．【詳解】解：如圖，連接，∵是直徑，∴，∵，∴，∴，∴，故選：B．【點睛】考查了圓周角定理的知識，解題的關(guān)鍵是能夠作出半徑構(gòu)造直角三角形．10．（2022上·黑龍江大慶·九年級?？奸_學(xué)考試）在中，，斜邊上的中線，，則（

）A．18 B． C． D．沒有正確答案【答案】C【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可求出，再根據(jù)三角形正弦的定義求出，根據(jù)勾股定理求出，最后根據(jù)三角形的面積公式進行計算即可得到答案．【詳解】解：在中，，斜邊上的中線，，，，，，故選：C．【點睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的概念、勾股定理，熟練掌握以上知識點是解此題的關(guān)鍵．11．（2023上·山東濟南·九年級統(tǒng)考期中）在中，，，則．【答案】/【分析】本題主要考查余弦的計算方法，掌握三角函數(shù)值的計算是解題的關(guān)鍵．根據(jù)，，可求出，的關(guān)系，再根據(jù)三角函數(shù)值的計算方法即可求解．【詳解】解：如圖所示，，∴，則，∴，∴，∴，∴，故答案為：．12．（2023上·山西臨汾·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在邊長為1的小正方形網(wǎng)格中，點、、、都在格點上，、相交于點，則為．

【答案】【分析】設(shè)右下角頂點為點F，取的中點E，連接，由點B為CF的中點、點E為的中點可得出，進而可得出，在中，由可得出，再利用正弦的定義即可求出的值，此題得解．【詳解】解：設(shè)右下角頂點為點F，取的中點E，連接，如圖所示．∵點B為CF的中點，點E為的中點，∴，∴在中，，∵，∴，∴∴故答案為．

【點睛】本題考查了解直角三角形、勾股定理逆定理、正弦的定義、以及平行線的性質(zhì)，構(gòu)造出含有一個銳角等于的直角三角形是解題的關(guān)鍵．13．（2023上·福建泉州·九年級校聯(lián)考期中）如圖，的頂點都在邊長相等的小正方形的頂點上，則等于．【答案】/【分析】本題考查了解直角三角形．設(shè)小正方形的邊長為1，過C作于D，求出的面積，根據(jù)勾股定理求出和，根據(jù)三角形的面積求出高長，再求出答案即可．【詳解】解：設(shè)小正方形的邊長為1，過C作于D，，由勾股定理得：，，∴，解得：CD，∴，故答案為：．14．（2021上·河北邢臺·八年級統(tǒng)考期中）如圖所示，在中，，，且，求：

(1)的值；(2)的周長及面積．【答案】(1)(2)；【分析】（1）根據(jù)銳角三角形函數(shù)的定義求得，根據(jù)勾股定理求得，根據(jù)銳角三角形函數(shù)的定義即可求解；（2）結(jié)合（1）中結(jié)論即可求解．【詳解】（1）解：∵，，∴，∴，∴，∴．（2）解：的周長，．【點睛】本題考查了銳角三角形函數(shù)，勾股定理，三角形的面積公式等，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．15．（2023上·江蘇蘇州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，垂足為點，，.(1)求的值；(2)點在上，且，過作，垂足為點，求的長.【答案】(1)(2)5【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，再由勾股定理確定，利用正弦函數(shù)的定義求解即可；（2）根據(jù)題意及相似三角形的判定得出，再由其性質(zhì)得出，繼續(xù)利用勾股定理求解即可【詳解】（1）解：∵，，∴，∵，∴，∴．（2）∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．【點睛】題目主要考查等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理解三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，正弦函數(shù)的定義等，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關(guān)鍵．16．（2022下·九年級單元測試）如圖，在中，，，分別是角，，的的對邊，探索與的關(guān)系：∵，，∴．

(1)根據(jù)以上三角函數(shù)知識的探索，在圖銳角三角形中，探索，，之間的關(guān)系，并寫出探索過程；(2)鈍角三角形形中，上面結(jié)論是否仍然成立？簡單說明【答案】(1)，理由見解析(2)==，理由見解析【分析】（1）過作，，在直角三角形中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出，在直角三角形中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出，兩者相等即可得證．（2），過作交的延長線于點，過點作于點，同（1）的方法分別表示出，即可求解．【詳解】（1），理由如下，如圖，過作，，在中，，即，在中，，即，∴=，即=，同理可得=，則==．

（2）==．解：如圖所示，過作交的延長線于點，過點作于點，

∵，∴∵即，∴∴==．【點睛】本題考查了解直角三角形，熟練掌握銳角三角函數(shù)定義是解本題的關(guān)鍵．17．（2023·河南洛陽·統(tǒng)考一模）水車是我國古老的農(nóng)業(yè)灌溉工具，是古人們在征服世界的過程中創(chuàng)造出來的高超勞動技藝，是珍貴的歷史文化遺產(chǎn)，水車是由立式水輪、竹筒、支撐架和水槽等部件組成．小明受此啟發(fā)設(shè)計了一個“水車玩具”，設(shè)計圖如圖2，若水輪在動力的作用下將水運送到點A處，水沿水槽流到水池中，與水面交于點B，D，且點D，O，B，C在同一直線上，與相切于點A，連接．

請僅就圖2解答下列問題．(1)求證：．(2)若點B到點C的距離為32cm，．請求出水槽的長度．【答案】(1)見解析(2)48cm【分析】（1）根據(jù)與相切于點A，可得，可得，在根據(jù)三角形內(nèi)角和，即可解答；（2）設(shè)的半徑為x，根據(jù)題意列出方程，即可解答．【詳解】（1）證明：與相切于點A，，，，，．（2）解：設(shè)的半徑為xcm，cm，，解得，經(jīng)檢驗，是方程的解，cm．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，正弦的概念，熟知正弦的概念是解題的關(guān)鍵．題型二余弦的定義即應(yīng)用【例2】（1）（2023上·山西臨汾·九年級統(tǒng)考期中）在中，，，則的值是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)已知先設(shè)，然后利用勾股定理求出，再利用銳角三角函數(shù)的定義進行計算即可解答．【詳解】∵，∴，∴設(shè)，∴，∴，故選：B．（2）（2023上·黑龍江大慶·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，，則（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】此題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，正確把握邊角之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．直接利用勾股定理得出的值，再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出答案．【詳解】解：在中，，，，，．故選：C．鞏固訓(xùn)練1．（2023上·河北邢臺·九年級統(tǒng)考期中）把各邊的長度都擴大倍得到，其中與是對應(yīng)頂點，則銳角的余弦值比銳角的余弦值（

）A．?dāng)U大4倍 B．保持不變 C．縮小4倍 D．?dāng)U大2倍【答案】B【分析】本題考查銳角三角函數(shù)．根據(jù)題意可知大小不變，即得出銳角A的余弦值保持不變．【詳解】解：∵在中，各邊的長度都擴大4倍，∴各角的大小不變，即大小不變．∵一個角的銳角三角函數(shù)值只與角的大小有關(guān)，∴銳角A的余弦值保持不變．故選B．2．（2023上·浙江杭州·九年級校考期中）如圖，在中，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】考查銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握正弦，余弦的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，，故選A．3．（2023上·山東泰安·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，于點，則下列結(jié)論不正確的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】利用余弦的定義即可判斷A、B，根據(jù)同角的余角相等可得，再根據(jù)余弦的定義即可判斷C、D，即可得到答案．【詳解】解：，，在中，，故A正確，不符合題意；，在中，，故B正確，不符合題意；，，，在中，，故D正確，不符合題意，C錯誤，符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了余弦的定義、同角的余角相等，熟練掌握以上知識點是解此題的關(guān)鍵．4．（2022上·黑龍江哈爾濱·九年級?？紝ｎ}練習(xí)）在直角三角形中，各邊的長度都擴大到原來的3倍，則銳角A的三角函數(shù)值（

）A．都擴大到原來的3倍 B．都縮小為原來的3倍C．都保持原來的數(shù)值不變 D．有的變大，有的縮小【答案】C【分析】理解銳角三角函數(shù)的概念：銳角三角函數(shù)值即為直角三角形中邊的比值．【詳解】解：根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念，可知在直角三角形中，各邊的長度都擴大3倍，銳角的三角函數(shù)值不變．故選：C．【點睛】本題考查了三角函數(shù)，要能理解銳角三角函數(shù)的概念，明白三角函數(shù)值與邊的長度無關(guān)．5．（2023·重慶渝中·重慶巴蜀中學(xué)?？既＃┤鐖D，是的直徑，延長至切于點，過點作交于點，連接．若，則．的長為(

)

A．3 B． C． D．【答案】D【分析】連接，利用平行線的性質(zhì)和圓周角定理得到，利用切線的性質(zhì)定理得到，在中，利用直角三角形的邊角關(guān)系定理求得，則．【詳解】解：連接，如圖，

，，．切于點，．，是的直徑，，在中，，故選：D．【點睛】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，圓的切線的性質(zhì)定理，直角三角形的性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系定理，連接經(jīng)過切點的半徑是解決此類問題常添加的輔助線．6．（2023·福建泉州·統(tǒng)考一模）在中，，，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義得到，設(shè)，，利用勾股定理得到，即可求出的值．【詳解】解：如圖，中，，，，設(shè)，，由勾股定理得：，，故選：C．【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)，勾股定理，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．7．（2023上·山東煙臺·九年級統(tǒng)考期中）如圖，將放在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點A，B，C均在格點上，則的值是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】在直角三角形中，根據(jù)正切的意義可求解．【詳解】解：如圖，

在中，，故選：D．【點睛】本題考查銳角三角函數(shù)的定義．將角轉(zhuǎn)化到直角三角形中是解答的關(guān)鍵．8．（2023上·山東濟南·九年級統(tǒng)考期中）在中，，是邊上的中線，，，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了解直角三角形，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)得，所以，根據(jù)勾股定理得，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出答案．【詳解】如圖，

∵是邊上的中線，，∴，∴，∵，∴，∴．故選：D．9．（2023上·上海寶山·九年級統(tǒng)考期中）已知平面直角坐標(biāo)系中，第一象限內(nèi)射線與x軸正半軸的夾角為，點P在射線上，如果且，那么點P的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)；過點P作軸于點H，根據(jù)“銳角的鄰邊與斜邊的比叫做該銳角的余弦”可得，再由勾股定理求出，即可．【詳解】解：如圖，過點P作軸于點H，∵且，∴，解得：，∴，∴點P的坐標(biāo)是．故選：B10．（2023上·河北石家莊·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，點與原點的距離，線段與軸正半軸的夾角為，且，則點的坐標(biāo)是（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】作軸于點B，如圖，先根據(jù)余弦的定義求出，再利用勾股定理求出，進而得解.【詳解】解：作軸于點B，如圖，∵，，∴，∴，∴點的坐標(biāo)是；故選：D.

【點睛】本題考查了余弦的定義和勾股定理，熟知余弦的定義是解題的關(guān)鍵.11．（2023上·河北石家莊·九年級統(tǒng)考期中）如圖是釘板示意圖，每相鄰4個釘點是邊長為1個單位長度的小正方形頂點，釘點A，B的連線與釘點C，D的連線交于點，則（1）與是否垂直？（填“是”或“否”）．（2）．（3）．

【答案】是//【分析】（1）如圖，作于，的延長線于，由題意知，，，由，，證明，則，則，進而結(jié)論得證；（2）由勾股定理得，，由，可得；（3）由題意知，，即，解得，，由勾股定理得，，計算求解即可．【詳解】（1）解：如圖，作于，的延長線于，

由題意知，，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：是；（2）解：由勾股定理得，，∵，∴，故答案為：；（3）解：由題意知，，即，解得，，由勾股定理得，，故答案為：．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，余弦，三角形內(nèi)角和定理等知識．熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2022下·九年級單元測試）比較大小：

（1）；（2）．【答案】【分析】（1）如圖所示，在中，，證明越大，的值越小即可得到答案；（2）先證明，再根據(jù)（1）的結(jié)論求解即可．【詳解】解：（1）如圖所示，在中，設(shè)，∴，當(dāng)減小時，的值減小，而此時的度數(shù)在增大，∴可知越大，的值越小，∵，∴，故答案為：；

（2）如圖所示，在中，設(shè)，∴，，∴，又∵，∴，∴，由（1）可得，∴，故答案為：．

【點睛】本題主要考查了銳角三角函數(shù)，熟知余弦和正弦的定義是解題的關(guān)鍵．13．（2023上·江蘇淮安·九年級?？计谥校┲校?，，，則的長為．【答案】【分析】本題主要考查了解直角三角形，先利用三角函數(shù)值求出，再利用勾股定理求出．【詳解】解：在中，，∵，，∴．∴．故答案為：．14．（2023上·上海崇明·九年級校聯(lián)考期中）在中，，，，那么．【答案】4【分析】本題考查了余弦．熟練掌握：是解題的關(guān)鍵．根據(jù)，計算求解即可．【詳解】解：如圖，

∵，，，∴，即，解得，，故答案為：4．15．（2023上·山東濟南·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，．

(1)求的長；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）本題考查了解直角三角形，根據(jù)，即可求出，再根據(jù)勾股定理“直角三角形兩直角邊平方和等于斜邊平方”即可求解；（2）本題考查了解直角三角形，根據(jù)，即可解答．【詳解】（1）解：在中，，，，∴，∵，∴，解得：，∴根據(jù)勾股定理可得，（2）解：在中，，∴．16．（2023上·上海寶山·九年級統(tǒng)考期中）如圖，中，，，D是邊的中點，連結(jié)．

(1)已知，求的長；(2)求的值．【答案】(1)；(2)．【分析】本題考查了解直角三角形，掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意設(shè)，則，利用勾股定理列式計算求得，據(jù)此求解即可；（2）作于，求得，利用余弦函數(shù)求得，再利用勾股定理和余切函數(shù)的定義求解即可．【詳解】（1）解：∵，，∴設(shè)，則，∵，即，解得，∴；（2）解：作于，

由（1）得，∵D是邊的中點，∴，∵，∴，∴，∴，，∴．題型三正切的定義及應(yīng)用【例3】（2023上·福建泉州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，是的中點，，．(1)求的長；(2)求與的值．【答案】(1)的長為(2)，【分析】本題考查了直角三角形中，斜邊的上的中線等于斜邊的一半，勾股定理，求角的余弦和正切等知識點．熟記相關(guān)幾何結(jié)論是解題關(guān)鍵．（1）由“斜邊的上的中線等于斜邊的一半”可得，根據(jù)勾股定理即可求解；（2）由“斜邊的上的中線等于斜邊的一半”可得，可推出，結(jié)合三角函數(shù)的定義即可求解．【詳解】（1）解：，是的中點，，.，，（2）解：由（1）得，，，.鞏固訓(xùn)練1．（2023下·北京西城·九年級北師大實驗中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，梯子（長度不變）跟地面所成的銳角為，敘述正確的是（）

A．的值越大，梯子越陡B．的值越大，梯子越陡C．的值越小，梯子越陡D．陡緩程度與的函數(shù)值無關(guān)【答案】A【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)值的變化規(guī)律，正弦值和正切值隨著角的增大而增大，余弦值隨著角增大而減小，逐一判斷即可．【詳解】解：根據(jù)銳角三角函數(shù)的變化規(guī)律，知的值越大，梯子越陡，故A符合題意；的值越小，梯子越陡，故B不符合題意；的值越大，梯子越陡，故C不符合題意；陡緩程度與的函數(shù)值有關(guān)，故D不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)值的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．2．（2022上·上海浦東新·九年級校考階段練習(xí)）在中，，，那么等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】畫出圖形，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出即可．【詳解】解：如圖，

，在中，，，，，故選：B．【點睛】本題考查了解直角三角形，掌握銳角三角函數(shù)的定義是關(guān)鍵．3．（2023上·河北石家莊·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，則（

）

A． B．3 C． D．【答案】A【分析】本題考查正切的計算，熟知直角三角形中正切的表示是解題的關(guān)鍵．根據(jù)正切的定義計算，得到答案．【詳解】解：在中，，，故選：A．4．（2023上·河南周口·九年級統(tǒng)考期中）如圖，的頂點位于正方形網(wǎng)格的格點上，若，則滿足條件的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題主要考查角的正切，因此此題可結(jié)合網(wǎng)格特點，利用正切的定義逐項判斷即可得．【詳解】解：A、，則此項符合題意；B、，則此項不符合題意；C、，則此項不符合題意；D、，則此項不符合題意；故選：A5．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱市第十七中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）已知為銳角，，則的值為．【答案】/【分析】先確定銳角的對邊與鄰邊的比，再根據(jù)勾股定理求出斜邊，即可求出的值．【詳解】由，則設(shè)銳角的對邊為，鄰邊為，由勾股定理得：斜邊為，∴，故答案為：．【點睛】此題考查了銳角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是正確理解三角函數(shù)的概念．6．（2023上·陜西西安·九年級西安市鐵一中學(xué)校考期中）拋物線的圖象與x軸交于點A、點B，頂點為C，則的值是（

）A．3 B． C．1 D．【答案】D【分析】本題考查拋物線與x軸的交點，銳角三角函數(shù)．先求出A，B，C的坐標(biāo)，作于點，利用面積法求得和的長，利用三角形函數(shù)的知識即可求解．【詳解】解：當(dāng)時，，解得，，∴A，B的坐標(biāo)為，∴，∵，∴，∴C到的距離為9，∴．如圖，作于點，則，，∴，∴，即，∴，∴，∴，故選：D．7．（2021下·福建龍巖·九年級龍巖初級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，點A是雙曲線第三象限分支上的一動點，連接并延長交另一支于點，以為邊作等邊，點在第二象限內(nèi)，則過點的反比例函數(shù)解析式為．

【答案】【分析】連接，過C點作x軸于D，過B點作x軸于E，證，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：連接，過C點作x軸于D，過B點作x軸于E，設(shè)過點的反比例函數(shù)解析式為，

∵點A與點B在反比例函數(shù)的圖象上，∴點A與點B關(guān)于原點對稱，∴，∵為等邊三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴即，∴，∵點C在第三象限，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查反比例函數(shù)，涉及了三角函數(shù)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點．掌握反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義是解題關(guān)鍵．8．（2023上·湖南岳陽·九年級岳陽市弘毅新華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，點A在反比例函數(shù)的圖象上，點B在反比例函數(shù)的圖象上，且．線段交反比例函數(shù)的圖象于另一點C，連接，若點C為的中點，則的值為（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、斜中半定理、求角度的正弦值等知識點．掌握“設(shè)而不求”的數(shù)學(xué)思想是解題關(guān)鍵．設(shè)點，，作軸，軸，證可得，進一步可推出，求出，確定，即可求解．【詳解】解：由題意得：設(shè)點，，作軸，軸，如圖所示：則，∵，∴∴∴∴，即：，整理得：∴∵，∴，∴∵點C為的中點，∴∴∴∴故選：B9．（2023·浙江溫州·校聯(lián)考三模）如圖，在的方格紙中，線段的端點均是格點，請按要求畫圖．

(1)在圖1中，找一個格點，使得為直角三角形，且．(2)在圖2中，找一個格點，使得為非直角三角形，且．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）在圖中畫出和的直角三角形即可；（2）根據(jù)為非直角三角形，，在圖中畫出圖形即可．【詳解】（1）解：如圖1或圖2或圖3，

；（2）解：如圖4或圖5，

．【點睛】本題考查了作圖—應(yīng)用與設(shè)計作圖，正切的應(yīng)用，熟練掌握正切的定義是解題的關(guān)鍵．10．（2023上·山東濰坊·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點，點分別在軸上，連接并延長至點，連接，若滿足，求所在直線的函數(shù)表達式．

【答案】【分析】此題考查待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，三角函數(shù)，相似三角形的判定和性質(zhì)：根據(jù)及公共角證得，得到，根據(jù)三角函數(shù)值求得，得到，再利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，綜合掌握所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴

又∵∠C是公共角，∴，∴，∵，∴，即，∵，∴，在中，，∴，∴，∴，設(shè)所在的直線方程為，將，代入得，，∴，∴所在的直線為．11．（2023上·上海崇明·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，，，．

(1)求的長．(2)若點D在邊上，且，求的值．【答案】(1)10(2)【分析】本題考查了正弦，正切，勾股定理．熟練掌握，是解題的關(guān)鍵．（1）如圖1，過A作于E．在中，由，解得，由勾股定理得，．在中，由，解得，根據(jù)，計算求解即可．（2）如圖2，過D作于H．由題意知，，，在中，由，設(shè)，則，由勾股定理得，，由，解得，則，，由（1）知，，則，在中，根據(jù)，計算求解即可．【詳解】（1）解：如圖1，過A作于E．

在中，∵，，解得，由勾股定理得，．在中，∵，解得，∴．（2）解：如圖2，過D作于H．

∵，，∴，，在中，，設(shè)，則，由勾股定理得，，又∵，解得，∴，，由（1）知，，∴，在中，，∴的值為．題型四特殊角三角函數(shù)值的應(yīng)用【例4】（2023上·山東濰坊·九年級統(tǒng)考期中）計算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題考查了特殊角三角函數(shù)值的混合運算，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵：．（1）將特殊角的三角函數(shù)值代入計算即可；（2）將特殊角的三角函數(shù)值代入計算即可．【詳解】（1）解：原式（2）解：原式鞏固訓(xùn)練1．（2023上·山東濰坊·九年級統(tǒng)考期中）若是銳角，，則的值是（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】本題考查了特殊角三角函數(shù)的函數(shù)值，根據(jù)是銳角，，得到，即可求的值．【詳解】解：是銳角，，，，故選：B．2．（2020·廣東深圳·統(tǒng)考二模）在中，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴的度數(shù)是；故選A．3．（2023上·福建泉州·九年級統(tǒng)考期中）在中，若，則的形狀是（

）A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】本題考查根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求角度，絕對值的非負(fù)性，牢記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵∴，，解得：，，∴，∴是鈍角三角形，故選B．4．（2023上·湖北武漢·九年級統(tǒng)考期中）如圖，是的弦，半徑，，則的面積為.

【答案】【分析】本題考查了等腰三角形的三線合一性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)，過點O作，垂足為C，利用垂徑定理，勾股定理計算即可.【詳解】過點O作，垂足為C，∵，，∴，，∴，，

.∴，∴的面積為,故答案為：.5．（2023上·湖南衡陽·九年級校聯(lián)考期中）在中，若，則．【答案】/105度【分析】本題考查了絕對值的非負(fù)性，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，特殊角三角函數(shù)值，三角形內(nèi)角和定理，利用非負(fù)數(shù)和為零得出，，求出、度數(shù)，再由三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：∵∴，，∴，，，，．故答案為：．6．（2022上·山東泰安·九年級?？茧A段練習(xí)）在中，若，則是三角形．【答案】等邊【分析】直接絕對值的性質(zhì)以及偶次方的性質(zhì)得出，，再利用特殊角的三角函數(shù)值求出答案．【詳解】解：，，，，，是等邊三角形．故答案為：等邊．【點睛】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵．7．（2023上·浙江金華·九年級校聯(lián)考期中）計算：．【答案】【分析】本題主要考查了特殊角三角函數(shù)值，實數(shù)的混合計算，零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，先計算特殊角三角函數(shù)值，零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，再根據(jù)實數(shù)的混合計算法則求解即可．【詳解】解：原式．8．（2023上·山東濟南·九年級統(tǒng)考期中）計算：．【答案】【分析】本題主要考查了零指數(shù)冪運算，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪運算法則，特殊角的三角函數(shù)值，準(zhǔn)確計算．【詳解】解：．9．（2023上·湖南永州·九年級?？茧A段練習(xí)）計算：(1)．(2)【答案】(1)(2)【分析】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，（1）根據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值代入計算即可；（2）根據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值代入計算即可．掌握特殊銳角的三角函數(shù)值是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】（1）；（2）．10．（2023上·江西宜春·九年級江西省豐城中學(xué)?？计谥校┮阎潦卿J角，且，計算的值．【答案】【分析】此題考查了含特殊角三角函數(shù)值的實數(shù)計算，利用特殊角的三角函數(shù)值求出的度數(shù)，代入原式計算是解本題的關(guān)鍵．【詳解】∵α是銳角，且，∴，即，則．11．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校校考期中）先化簡，再求代數(shù)式的值，其中．【答案】，【分析】本題考查了分式的化簡求值，特殊角的三角函數(shù)值，分母有理化，先根據(jù)分式的運算法則把所給分式化簡，然后把x化簡后代入計算．【詳解】解：原式，∵，∴原式．題型五解直角三角形【例5】（2023上·湖南衡陽·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，，，，，，交．求：(1)的長；(2)的值．【答案】(1)(2)1【分析】（1）由銳角三角函數(shù)定義求出，再由勾股定理求出的長即可；（2）先利用勾股定理求得，從而得到是等腰直角三角形，可求得，再求得，即可由特殊角三角函數(shù)值得出答案．【詳解】（1）解：，，，，，；（2）解：，，由（1）知，由勾股定理得：，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了解直角三角形、特殊角三角函數(shù)值，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理．熟練掌握解直角三角形的知識是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（2023上·浙江金華·九年級校聯(lián)考期中）已知為銳角，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了解直角三角形，根據(jù)得到，再利用勾股定理得到，則．【詳解】解：如圖所示，在中，，∴，∴，∴，∴，故選B．2．（2023上·廣東深圳·九年級?？计谥校┤鐖D，在矩形中，，點在直線上，若矩形的周長為，點到直線的距離的長為6，則點到直線的距離的長為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，同角的余角相等，解直角三角形，勾股定理等知識．利用矩形性質(zhì)求出的長，利用銳角三角函數(shù)求出的長，再利用勾股定理即可求出最后結(jié)果，其中證明是解題關(guān)鍵．【詳解】解：四邊形為矩形，，，，，且矩形的周長為，，解得：，于點，于點，，，，，，，，點到直線的距離的長為，故選:．3．（2023上·福建福州·九年級校聯(lián)考期中）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點在第一象限，，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，點B的對應(yīng)點的坐標(biāo)是()A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形變化旋轉(zhuǎn)，解直角三角形等知識如圖，過點作軸于．解直角三角形求出，H即可．【詳解】解：如圖，過點作軸于．∵，．∴∵旋轉(zhuǎn)，∴在中，，，∴，∴，故選：B．4．（2023上·河北廊坊·九年級校聯(lián)考期中）如圖，邊長為3的正六邊形內(nèi)接于，則的內(nèi)接正三角形的邊長為（

）

A． B． C． D．6【答案】C【分析】本題考查了正多邊形與圓，等邊三角形的性質(zhì)，三角形的外接圓等知識，解題的關(guān)鍵是首先證明，解直角三角形求出．【詳解】解：連接交于H．

在正六邊形中，∵，，∴，∴，∴，，∴，∴，故選C．56．（2023上·江蘇常州·九年級?？计谥校┤鐖D，中，，．能夠?qū)⑼耆采w的最小圓形紙片的半徑為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接、，作于點，根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)正弦的定義計算即可．【詳解】解：設(shè)圓的圓心為點，能夠?qū)⑼耆采w的最小圓是的外接圓，連接、，作于點，

則，，，，，，，，即外接圓的半徑是，故選：B．【點睛】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握三角形的外接圓的概念、圓周角定理、垂徑定理、解直角三角形是解題的關(guān)鍵．6．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級校聯(lián)考期中）在中，，則【答案】5或11【分析】本題考查了正切函數(shù)型的解三角形，勾股定理，根據(jù)題意分是銳角三角形和鈍角三角形兩種情況討論，利用正切的定義和勾股定理求解即可．【詳解】當(dāng)是銳角三角形時，如圖，過點B作于點D，∵，∴設(shè)，則，∴，解得（舍去），

∴，當(dāng)是鈍角三角形時，如圖，過點B作，交的延長線于點E，∵，∴設(shè)，則，∴，解得（舍去），

故答案為：5或11．7．（2023上·山東煙臺·九年級統(tǒng)考期中）在中，，，，則的度數(shù)為．【答案】/60度【分析】本題考查解直角三角形，根據(jù)，由特殊角三角函數(shù)值即可得出角度，從而求解．【詳解】解：，，，∴∴故答案為：．8．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，，，，則．

【答案】/【分析】延長于點E，利用三角函數(shù)求得，的長，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理可得的長，從而得到，，進而得到，即可求解．【詳解】解：如圖，延長于點E，

∵，∴，∵，∴，∵，∴，，∴，，∴，，設(shè)，則，∴，∴，∴，∴，，

∴，∴．故答案為：【點睛】本題考查了解直角三角形，構(gòu)造輔助線得到直角三角形是解題的關(guān)鍵．9．（2023上·江蘇揚州·九年級校考期中）如圖，中，，，D為邊延長線上一點，，求的值．

【答案】/【分析】本題考查解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：過點作于點．根據(jù)，即可求出，從而由勾股定理可求出．再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求出，結(jié)合，即可求出，最后根據(jù)正切的定義求解即可．【詳解】解：如圖，過點作于點．

．，，．，，，，，．10．（2023上·山東菏澤·九年級統(tǒng)考期中）中，，，點在上，，，求的長．

【答案】【分析】本題考查了解直角三角形，等角對等邊；根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)可得，進而可得，解即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∴，∴，在中，．11．（2023上·山東菏澤·九年級統(tǒng)考期中）中，．(1)如果，，求的長；(2)如果，，求的長．【答案】(1)(2)【分析】本題考查解直角三角形；（1）根據(jù)正弦函數(shù)的定義和度角的正弦值求解即可；（2）根據(jù)正切函數(shù)的定義和勾股定理求解即可．【詳解】（1）解：在中，，∴，∵，，∴，∴；

（2）解：中，，設(shè)則，∵，∴，∴．12．（2023上·上海黃浦·九年級上海市格致初級中學(xué)?？计谥校┮阎喝鐖D，在中，，，，，垂足為點D，E是的中點，連結(jié)并延長，交邊于點F．

(1)求的正切值；(2)求的值．【答案】(1)的正切值為，詳見解析(2)，詳見解析【分析】（1）先根據(jù)三角函數(shù)值求的長，由勾股定理得的長，根據(jù)三角函數(shù)定義可得結(jié)論；（2）作平行線，構(gòu)建平行線分線段成比例定理可設(shè)，分別表示和的長，代入可得結(jié)論．【詳解】（1）∵，∴，在中，，∴，由勾股定理得：，∵E是的中點，∴，∴的正切；（2）過D作交于G，

∵，∴，∵，∴，設(shè)，∵，∴，∴．【點睛】本題是考查了解直角三角形，平行線截線段成比例定理，勾股定理等知識點，熟練掌握三角函數(shù)的定義，在直角三角形中，根據(jù)三角函數(shù)的定義列式，如果沒有直角三角形，或?qū)⒔寝D(zhuǎn)化到直角三角形內(nèi)，或作垂線構(gòu)建直角三角形．13．（2023上·山東淄博·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，．

(1)求的長；(2)利用此圖形求的值．（精確到，參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】(1)；(2)．【分析】（）過作延長線于點，根據(jù)三角函數(shù)即可求解；（）在上截取，使，連接，則，在中即可求解；或作的平分線交于點，則，過點作于點，設(shè)，利用等面積法求出，在中即可求解．此題考查了解直角三角形，銳角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．【詳解】（1）過點作延長線于點，

∵∴∴，，∵∴∴（2）解法一：在上截取，使，

∴，∴，∵，，∴；解法二：作的平分線交于點，

∴過點作于點，設(shè)，∴，，∴，，∴，∴，解得，，∴．14．（2023上·山東煙臺·九年級統(tǒng)考期中）中，，，解這個直角三角形．【答案】，，【分析】解直角三角形就是求直角三角形中出直角以外的兩銳角，三邊中的未知的元素．【詳解】解：在中，，，，，∵，∴，．【點睛】此題主要考查了解直角三角形，已知三角形的一邊與一個銳角，就可以求出另一個銳角與三角形的另外兩邊．15．（2023上·江蘇常州·九年級?？计谥校┮阎本€經(jīng)過上的點，且，

(1)求證：直線是的切線(2)已知的半徑是1，．①求邊的長；②求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留）【答案】(1)見解析(2)①；②【分析】（1）連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，再根據(jù)切線的判定推出即可；（2）①先求出的度數(shù)，解即可求出求出長，即可求出的長；②利用求解即可．【詳解】（1）證明：連接，

，，，過點，直線是的切線；（2）解：①，，∴，由①知，∴，∵∴；②【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，切線的判定，解直角三角形，扇形面積，三角形面積，正確作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵．16．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，AB是☉O的直徑，AC是一條弦，D是弧AC的中點，DE⊥AB于點E，交AC于點F，交☉O于點H，DB交AC于點G．(1)求證；AF=DF；(2)若AF=，sin∠B=，求☉O的半徑．【答案】(1)見解析(2)☉O的半徑為5【詳解】（1）證明∵D是弧AC的中點，∴．∵AB⊥DH，且AB是☉O的直徑，∴，∴．∴∠ADH=∠CAD，∴AF=DF．（2）解∵AB是☉O的直徑，∴∠ADB=90°，∴∠DAB+∠B=90°．∵∠DAE+∠ADE=90°，∴∠ADE=∠B，∴sin∠ADE=，tan∠ADE=．設(shè)AE=x，則DE=2x．∵DF=AF=，∴EF=2x-．∵AE2+EF2=AF2，∴x=2，∴AD==2，∴AB==10，∴☉O的半徑為5．題型六解直角三角形的應(yīng)用【例6】（2023上·山西臨汾·九年級統(tǒng)考期中）如圖，圖①②分別是某種型號跑步機的實物圖與示意圖，已知踏板長為1.7米，與地面的夾角為，支架長為，為，手柄與地面平行．求跑步機手柄的一端距離地面的高度．（精確到）（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）

【答案】1.1米【分析】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，主要是三角函數(shù)的基本概念及運算，關(guān)鍵是用數(shù)學(xué)知識解決實際問題；過點作于，交于．在中，根據(jù)三角函數(shù)可求，在中，根據(jù)三角函數(shù)可求，再根據(jù)即可求解．【詳解】解：過點作于，交于．，．與地面的夾角為，為，，在中，，則（米）．在中，，則（米）．則（米）．，跑步機手柄的一端距離地面的高度等于為1.1米．

鞏固訓(xùn)練1．（2023上·山東濟寧·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖所示，熱氣球的探測器顯示，從熱氣球A處看一棟樓頂部B處的仰角為，看這棟樓底部C處的俯角為，熱氣球A處與樓的水平距離為120m，則這棟樓的高度為（

）

A． B．C． D．【答案】A【分析】過點A作，分別解直角三角形，求出，即可得出結(jié)果．【詳解】解：過點A作，由題意，得：120m，，

∴，∴；即：樓高為；故選A．【點睛】本題考查解直角三角形的實際應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形．2．（2023上·山東濰坊·九年級統(tǒng)考期中）一艘游輪從小島正南方向的點處向西航行海里到達點處，然后沿北偏西方向航行海里到達點處，此時觀測到小島在北偏東方向，則小島與出發(fā)點之間的距離為（

）

A． B．C． D．【答案】A【分析】過點作，垂足為，過點作交的延長線于點，根據(jù)題意可得然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出和的長，從而求出的長，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，進而求出的長，即可解答.【詳解】如圖：過點作，垂足為，過點作，交的延長線于點，

由題意得：，在中,海里，，(海里)，(海里),海里，海里，在中,海里，海里，∴小島A與出發(fā)點B之間的距離為海里，故選:A.【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.3．（2023下·九年級課時練習(xí)）王英同學(xué)從地沿北偏西方向走到地，再從地向正南方向走到地，此時王英同學(xué)離地（

）．A． B． C． D．【答案】C【詳解】如圖，過點作，交于點．在中，，，，．【易錯點分析】不會畫圖，“地沿北偏西方向”應(yīng)該在地建立方向坐標(biāo)，“地向正南方向”應(yīng)該在地建立方向坐標(biāo)，要根據(jù)需要建立方向坐標(biāo)．4．（2023上·江蘇淮安·九年級?？计谥校┤鐖D，要測量小河兩岸相對的兩點P，A的距離，可以在小河邊取的垂線上的一點C，測得米，，則小河寬等于（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【分析】本題主要考查了解直角三角形的實際應(yīng)用，根據(jù)進行求解是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：在中，，∴，故選C．5．（2023上·山東濟南·九年級統(tǒng)考期中）電線桿直立在水平的地面上，是電線桿的一根拉線，測得，，則拉線的長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用．根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，進行求解即可．【詳解】解：由題意，得：在中，，，則：；故選B．6．（2022·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，一飛機到達A點時，測得觀禮臺C在飛機前下方，俯角為，此時飛行路線改為沿仰角為方向的直線飛行，飛機飛行了6千米到B處時，居民區(qū)D恰好在飛機的正下方，現(xiàn)在的飛行高度為5千米，則觀禮臺C和居民區(qū)D的距離是千米．（，，，，結(jié)果精確到0.1）【答案】【分析】過A作于點E，過C作于點F，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出千米，千米，再證四邊形為矩形，得出千米，，在中，千米，則千米．【詳解】過A作于點E，過C作于點F，∵，∴為直角三角形，，∵，，∴（千米），（千米），∴（千米），∵，，∴，∴四邊形為矩形，∴千米，，∵在中，（千米），∴（千米）．故答案為：．【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，仰角與俯角，利用輔助線構(gòu)造直角三角形，掌握解直角三角形的應(yīng)用，仰角與俯角，利用輔助線構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．7．（2022·湖北武漢·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，航拍無人機從A處測得一幢建筑物頂部B處的仰角為、底部C處的俯角為，此時航拍無人機A處與該建筑物的水平距離為80米．該建筑物的高度（精確到1米）．[參考數(shù)據(jù)：，，]

【答案】米【分析】分別根據(jù)正切的定義求出和，再根據(jù)進行計算．【詳解】解：由題意得：，，∴，，∴，，∴，，∴米，故答案為：米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．8．（2023上·山東濰坊·九年級統(tǒng)考期中）如圖，數(shù)學(xué)興趣小組用無人機測量一幢樓的高度．小亮站立在距離樓底部米的點處，操控?zé)o人機從地面點，豎直起飛到正上方米點處時，測得樓的頂端的俯角為，小亮的眼睛點看無人機的仰角為（點三點在同一直線上）．求樓的高度．（參考數(shù)據(jù)：小亮的眼睛距離地面米，）【答案】的高度為米【分析】本題考查了解直角三角形的實際應(yīng)用，作垂線構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．過點E作，分別過點A，點C作，．設(shè)樓的高度為x米，則米，在中表示出，進一步表示出；在中表示出即可求解．【詳解】解：過點E作，分別過點A，點C作，．設(shè)樓的高度為x米，則米，由題意得，，，∵∴在中，，，∴，由題意知，四邊形是矩形，∴，∴，在中，，∴，∵，，∴，解得，，答：的高度為米．9．（2023上·江蘇泰州·九年級統(tǒng)考期中）某數(shù)學(xué)興趣小組要測量實驗大樓部分樓體的高度（如圖1所示，部分），在起點處測得大樓部分樓體的頂端點的仰角為，底端點的仰角為，在同一平面內(nèi)沿水平地面向前走米到達處，測得頂端的仰角為（如圖2所示），結(jié)合以上信息，從①，②，③這三個條件中選擇一個作為補充條件，求大樓部分樓體的高度約為多少米？（精確到1米）你選擇的條件是．（只填序號）【答案】大樓部分樓體的高度約為米，③【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，即有，在中，可得，進而可得，在中，可得，問題隨之得解．【詳解】根據(jù)題意有：，，，，，∴，∴，∴，∵，，∴在中，，∴，∴，∴，∴，∵在中，，，∴，∴，綜上：選擇的條件為③，大樓部分樓體的高度約為米．10．（2023上·江蘇常州·九年級?？计谥校┤鐖D，、為兩個建筑物，建筑物的高度為，從建筑物的頂部點測得建筑物的頂部點的俯角為，測得建筑物的底部點的俯角為．

(1)求兩建筑物兩底部之間的水平距離的長度：(2)求建筑物的高度（結(jié)果保留根號）【答案】(1)15米(2)米【分析】本題考查了等腰三角形的判定，正方形的性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用仰角和俯角問題：解決此類問題要了解角之間的關(guān)系，找到與已知和未知相關(guān)聯(lián)的直角三角形，當(dāng)圖形中沒有直角三角形時，要通過作高或垂線構(gòu)造直角三角形，把實際問題劃歸為直角三角形中邊角關(guān)系問題加以解決．（1）利用可得到（米；（2）延長交于點，易得四邊形是正方