2024高考數(shù)學(xué)最后沖刺存在問題寶典-專題10 非主干知識（解析版）

備戰(zhàn)2024高考數(shù)學(xué)最后沖刺存在問題之解決寶典

專題十非主干知識

【考生存在問題報(bào)告】

（一）基本概念模糊不清

本專題中，存在對集合的概念和符號含義、平面向量中向量的投影概念和運(yùn)算的幾何形式、常用邏輯

用語中命題的否定與否命題的概念、復(fù)數(shù)的模與共軌復(fù)數(shù)等概念、計(jì)數(shù)原理與排列組合的辨析等模糊不清

的問題.

[例1]（2020?四川省三臺中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三開學(xué)考試）若集合A={x|2x-dvo},則04=（）

A.（0,2）B.[0,2]C.（y,。）D.[2,+oo）

【答案】B

【解析】由題意，集合A={x|2x—Yvo}={x|xv?；?>2},所以。A={x|0KxK2}=[0,2],故

選B.

【評析】本題主要考查了集合的補(bǔ)集的運(yùn)算，其中解答中正確求解集合A，熟記集合的補(bǔ)集的運(yùn)算是解答

的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力.求得集合A={x|x<0或x>2},根據(jù)集合的補(bǔ)集的運(yùn)算，即可求解.

【例2】（2020?上海高三）設(shè)馬，馬為復(fù)數(shù)，則下列命題中一定成立的是（）

A.如果Z]-z?>0,那么Z|>Z2B.如果㈤=區(qū)|,那么馬=±Z2

C.如果五>1,那么聞〉區(qū)|D.如果z：+W=O,那么Z|=Z2=0

Z2

【答案】C

【解析】對于A取4=3+i,z?=1+i時(shí),4-Z?>0,即3+i>1+>但虛數(shù)不能比較大小,，故A錯(cuò)誤;對于B.

22

由⑷=㈤,可得a+b=d+[2,不能得到z尸±z2，故B錯(cuò)誤；

對于C因?yàn)槲?gt;1,所以㈤>區(qū)|,故C正確;對于D,取4=1,4=i,滿足z-+z；=0,但是z,wz2H0,故D

錯(cuò)誤.故選:C.

【評析】本題解題關(guān)鍵是掌握復(fù)數(shù)定義，在判斷時(shí)可采用特殊值法檢驗(yàn)，考查了分析能力,根據(jù)復(fù)數(shù)定義，逐項(xiàng)

判斷，即可求得答案.

【例3】（2020.天津高三期末）命題“三%。（0,+8）,山工=%-1”的否定是（）

A.e（0,+oo）,Inx0x0-1B.三/任（0,+oo）,Inx0=x0-1

C.Vxe（0,+co）,lnx^x-1D.Vx任（0,+co）.|nx=x-l

【答案】C

【解析】特稱命題的否定是全稱命題，并將結(jié)論加以否定，所以命題的否定為：Vxe（0,+co）,lnx^x-1

【評析】對于常用邏輯用語，主要考查命題概念及真假判斷，全稱量詞和存在量詞的意義的理解，充要條

件含義的理解，屬概念辨析.在選擇題或填空題考查這部分知識時(shí).，都屬容易題，應(yīng)努力確保所有考生都

能做對.本題中易混淆的是命題的否定與否命題的概念，體現(xiàn)為常用邏輯用語中出現(xiàn)的概念模糊問題.產(chǎn)生

問題原因主要在于：①對概念及符號語言的含義理解不夠深入，②此類試題訓(xùn)練偏少.

（二）知識置景的應(yīng)用意識和化歸與轉(zhuǎn)化意識不強(qiáng)

在設(shè)置新情景中應(yīng)用相關(guān)知識解決問題，需要經(jīng)歷將新情景轉(zhuǎn)化為適合知識直接應(yīng)用的熟悉情景，體

現(xiàn)為某種數(shù)學(xué)模型的建立過程.知識置景應(yīng)用意識和化歸與轉(zhuǎn)化意識不強(qiáng)，在本板塊中的二項(xiàng)式定理應(yīng)用

和排列組合應(yīng)用上，表現(xiàn)得更為突出.

f1

【例4】（2020?湖南省高三期末）(3x+1)——1的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）

A.14B.-14

C.16D.-16

【答案】A

【解析】AC1510105

(3-+1)|-!--1=(3x+l)f++

xX\八八八入八/

故它的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為3x5+lx（-1）=14,故選：A.

（\y

【評析】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，把士-1按照

二項(xiàng)式定理展開，可得（3x+l）1）的展開式中的常數(shù)項(xiàng).

I工）

（三）算法程序框圖語句解讀能力欠缺

知識的建構(gòu)與內(nèi)化、能力的形成與提升是素養(yǎng)養(yǎng)成的基礎(chǔ)，心理素質(zhì)等情感態(tài)度也是需要培育的基本

素養(yǎng).全國卷算法框圖的考查往往融入更多的知識內(nèi)涵、要求有更高的思維含量和讀圖（框圖）理解能力,

考生由于對框圖語句解讀的能力欠缺，而容易出現(xiàn)解題失誤.

【例5】（2020?莆田第二十五中學(xué)而三期末）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，當(dāng)輸入的X的值為4時(shí)，輸出的）

的值為2,則空白判斷框中的條件可能為（）.

B.x>4?

C.x<4?D.x<5?

【答案】B

【蟀析】方法一：當(dāng)x=4,輸出）=2,則由產(chǎn)/〃g2X輸出，需要x>4,本題選擇8選項(xiàng).

方法二：若空白判斷框中的條件Q3,輸入尸4,滿足4>3,輸出）=4+2=6,不滿足，故A錯(cuò)俁，

若空白判斷框中的條件x>4,輸入戶4,滿足4=4,不滿足x>3,輸出y=y=logi^=2,故B正確；

若空白判斷框中的條件x44,輸入尸4,滿足4=4,滿足x44,輸出產(chǎn)4+2=6,不滿足，故C錯(cuò)誤，

若空白判斷框中的條件入<5,輸入44,滿足445,滿足工45,輸出廣4+2=6,不滿足，故￡>錯(cuò)誤，本題選

擇B選項(xiàng).

【評析】本題主要考查算法框圖的識別與算法含義的解讀能力、循環(huán)結(jié)構(gòu)等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力

與運(yùn)算求解能力.對于這種“逆襲''框圖中算法過程條件的，要求較高思維水平、較高推理論證能力的試題，

理科相比文科有明顯的優(yōu)勢.產(chǎn)生問題的主要原因在于?平時(shí)考試較少關(guān)注心理調(diào)適訓(xùn)練，較少提供獨(dú)立思

考與感悟、自我反思與糾錯(cuò)的機(jī)會.

叭“

3x+y=300

2!00x*90(h-z

10x*3%-900

將N=2100、+900y變形，My=--x+—,當(dāng)直線y=-2]+三經(jīng)過點(diǎn)M時(shí)，z取得最大值.

39003900

（4）求解最優(yōu)解

10.r+3y=900,.......八…

解方程組5x+3-600得知的坐標(biāo)為(6°，10°>

所以當(dāng)文=60，y=100時(shí)，Zirax=2100x60+900x100=216000.

【評析】本題表象上考查線性規(guī)劃問題所涉及的有關(guān)基礎(chǔ)知識，實(shí)際上考查了抽象概括能力、推理論證能

力、運(yùn)算求解能力和數(shù)形結(jié)合思想，特別彰顯了對數(shù)學(xué)應(yīng)用意識的考查，實(shí)現(xiàn)了對數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象、

數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的綜合檢測.

主要問題有下列可能：①數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)不高，難于正確地建立數(shù)學(xué)模型；②目標(biāo)函數(shù)的斜率看錯(cuò)，可

行域判斷出錯(cuò)；③三條直線的方向差異關(guān)系（傾斜度關(guān)系）弄錯(cuò)；④解題過程的草圖過草，或揭示草圖中

點(diǎn)線位置關(guān)系的某些關(guān)鍵點(diǎn)標(biāo)錯(cuò).

產(chǎn)生問題原因主要在于：運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析解決實(shí)際問題的能力很低，學(xué)科特色的圖表應(yīng)用意識不強(qiáng),

教學(xué)過程中對讀題與析題的示范不夠，對數(shù)學(xué)模型意識的培育重視不夠.

（六）關(guān)鍵信息的提取能力及信息轉(zhuǎn)換能力不強(qiáng)

試題中每個(gè)已知信息都應(yīng)是試題解答之需，有些信息更是問題解決的突破口、或解題思路的重要啟示,

即問題解決的關(guān)鍵信息.條件的顯化或信息的轉(zhuǎn)換，使之可直接用于解題，是試題解答的必經(jīng)過程.關(guān)鍵

信息的提取能力及信息轉(zhuǎn)換能力不強(qiáng)，在本板塊中的考查創(chuàng)新意識的推理題中，表現(xiàn)得尤為突出.

【例7】（2020?榆樹市第一高級中學(xué)校高三期末）學(xué)校藝術(shù)節(jié)對同一類的4，B,C,。四件參賽作品，

只評一件一等獎，在評獎揭曉前，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對這四項(xiàng)參賽作品預(yù)測如下：

甲說：“C或。作品獲得一等獎”；乙說：“B作品獲得一等獎”；

丙說：“4，。兩項(xiàng)作品未獲得一等獎“；丁說：“。作品獲得一等獎

若這四位同學(xué)中有且只有兩位說的話是對的，則獲得一等獎的作品是.

【答案】B

【解析】若A為一等獎，則甲、丙、丁的說法均錯(cuò)誤，不滿足題意；

若B為一等獎，則乙、丙的說法正確，甲、丁的說法錯(cuò)誤，滿足題意；

若C為一等獎，則甲、丙、丁的說法均正確，不滿足題意；

若D為一等獎，則乙、丙、丁的說法均錯(cuò)誤，不滿足題意；

綜上所述，故B獲得一等獎.

【評析】本題屬于信息題，可根據(jù)題目所給信息來找出解題所需要的條件并得出答案，在做本題的時(shí)候，

可以采用依次假設(shè)A、3、C、。為一等獎并通過是否滿足題目條件來判斷其是否正確.首先根據(jù)“學(xué)校藝

術(shù)節(jié)對A、B、a。四件參賽作品只評一件一等獎”，故假設(shè)4B、C.。分別為一等獎，然后判斷甲、

乙、丙、丁四位同學(xué)的說法的正確性，即可得出結(jié)果.

【命題專家現(xiàn)場支招】

一、解決問題的思考與對策

（一）正確認(rèn)識集合課程的功能價(jià)值，落實(shí)后進(jìn)生群體的基礎(chǔ)教學(xué)

高考中集合主要考查集合的含義、元素與集合的關(guān)系、集合語言（列舉法和描述法）、集合間的包含與

相等的含義及子集的識別、交集與并集的含義及簡單求解.集合課程的主要功能價(jià)值，在于為數(shù)學(xué)學(xué)科提

供了基本的語言工具，是符號語言的基礎(chǔ)，其基本概念、符號含義是所有學(xué)生都能理解和掌握的.然而，

實(shí)際教學(xué)中往往操之過急，拔高要求，注重其與其它知識的綜合運(yùn)用，定位過高而疏忽了對學(xué)生，特別是

后進(jìn)學(xué)生群體的關(guān)注和幫扶.下述例9意在說明集合教學(xué)的難度控制問題.

【例8】（2020?四川省瀘縣第四中學(xué)高三月考）設(shè)全集U=R,集合例={x|-lvxv4},

N={.v|log2Cv-2）<l},則Mc（Q,.N）=（）

A.“B.{x\^<x<2]

C.{x|-4<r<3）D.（x|-l<x<2}

【答案】D

【解析】由Iog2（x-2）<1得人一2>0且x—2<2,所以2Vx<4,

所以=之4},yijMn（CL,N）={jf|-1<x<2]

（二）準(zhǔn)確針對復(fù)數(shù)課程的獨(dú)立痔點(diǎn)，并重落實(shí)概念與運(yùn)算的訓(xùn)練

“數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的引入”的考查，主要是基于知識點(diǎn)覆蓋的需要，著重考查復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)相等、共

視復(fù)數(shù)等概念，考查復(fù)數(shù)代數(shù)表示法及其幾何意義，復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算.在實(shí)際教學(xué)中，容易被復(fù)

數(shù)內(nèi)容“單薄、簡單”所蒙蔽，未能注意到對學(xué)生而言可能是“模糊、抽象”的另一面.未能針對■復(fù)數(shù)內(nèi)容相對

獨(dú)立的課程特點(diǎn)，規(guī)劃好使知識不斷再現(xiàn)和強(qiáng)化的教學(xué)安排，使部分考生臨考時(shí)反而出現(xiàn)了知識的“盲區(qū)”，

常因集中關(guān)注代數(shù)形式運(yùn)算的訓(xùn)練，而忽視了對概念再現(xiàn)的關(guān)注.

【例9】（2020.黑龍江省伊春二中高三期末）已知好數(shù)z滿足（l+i）z=2i,Mz=（）

A.\-iB.14-zC.-J-4D.-1+z

【答案】B

【解析】??,復(fù)數(shù)z滿足（l+i）z=2i,

???（17）（1+i）z=（l-i）x2i,化簡得2z=2（i+D,???z=l+i.故選:B.

（三）把握全國卷計(jì)數(shù)原理的命題特點(diǎn)，落實(shí)全國卷題型的變式訓(xùn)練

計(jì)數(shù)原理（文科不要求）在高考中，著重考查用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡單問題，適當(dāng)

考查對兩計(jì)數(shù)原理的理解和用原理解決一些簡單的實(shí)際問題，結(jié)合考查對排列、組合概念的理解及用排列

數(shù)和組合數(shù)公式解決一些簡單的實(shí)際問題.注意到所有試題都皓曾考試題的變式題的特點(diǎn)，要切實(shí)落實(shí)好

全國卷題型的變式訓(xùn)練，解答錯(cuò)因分析中發(fā)現(xiàn)，二項(xiàng)式定理試題尚未完全擺脫福建卷考查形式的“思維定勢”

影響，仍停留在二項(xiàng)直接展開的低要求上，忽視全國卷在新情景卜考查應(yīng)用意識的命題特點(diǎn).

2

【例10]（2020?廣東省高三月考）（工一一）7的展開式中丁的系數(shù)為（）

x

A.168B.84C.42D.21

【答案】B

2

【蟀析】由于*一一）7的展開式的通項(xiàng)公式為,

x

則令7-2r=3,求得廠=2,可得展開式中F的系數(shù)為C；?4=84,故選：B.

（四）準(zhǔn)確把握算法課程的價(jià)值取向，落實(shí)框圖類試題的解題示范

高考對算法初步著重考查包含順療、條件分支、循環(huán)二種基本結(jié)構(gòu)的算法框圖的識圖能力和框圖算法

含義的解讀能力，考查對算法的含義和算法的思想的了解.教學(xué)中不能盲目增加試題的難度和訓(xùn)練的數(shù)量,

要做好“讀題、審題、析題、解題”等過程性的教師示范，養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣和做好認(rèn)真、冷睜審題的心理

準(zhǔn)備.其實(shí)，突破算法初步試題的關(guān)鍵不在于試題的難度，而在于方法的掌握、過程的體驗(yàn)、心理的調(diào)適.

【例II】（2018?重慶高三）中國古代名著《孫子算經(jīng)》中的“物不知數(shù)”問題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之

剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？”即“有數(shù)被三除余二，被五除余三，被七除余二，問該數(shù)

為多少？''為解決此問題，現(xiàn)有同學(xué)設(shè)計(jì)如圖所示的程序框圖，則框圖中的“菱形”處應(yīng)填入（）

【答案】A

【解析】由題意可知，該程序框圖的功能是使得實(shí)數(shù)使得3除余2,被5除余3,被七除氽2的數(shù)值，

其中o=5x〃+3表示除5除余3的數(shù)，再使得3除余2,被7除余2的數(shù)，所以是除21余2的數(shù)，所以判

a—2

斷框應(yīng)填入為一wZ,故選A.

（五）調(diào)整對不等式課程地位的認(rèn)識，重視應(yīng)用性的隱性考查訓(xùn)練

不等式部分，高考中全面考查簡單的線性規(guī)劃問題、一元二次不等式、基本不等式、不等式的運(yùn)算性

質(zhì)等基礎(chǔ)知識，著重考查線性規(guī)劃、一元二次不等式.不等式是具有工具特征的特殊板塊，呈現(xiàn)考查形式

的多樣化：除不等式選講選考題外，每年都有?道專門考查線性規(guī)劃的試題，并且主要以填空題的形式為

主，偶爾也有選擇題的形式，還營將二次不等式交匯到集合試題中進(jìn)行考查：又常將不等式的運(yùn)算性質(zhì)、

二次不等式、基本不等式等基礎(chǔ)知識，結(jié)合到如函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等試題中進(jìn)行隱性考查，體現(xiàn)綜合考與考應(yīng)用

的考查方式.

要幫助后進(jìn)生掌握求解不含參數(shù)的一次、二次不等式、最簡指數(shù)不等式、最簡對數(shù)不等式的方法；落

實(shí)含參二次不等式、區(qū)間上二次函數(shù)討論問題的訓(xùn)練；以模式化示范和訓(xùn)練線性規(guī)劃模型試題的求解過程

為重要的提分策略：重視基本不等式的應(yīng)用：不可忽視不等式的基本性質(zhì)、比較大小方法的隱性的交匯考

查.

x-2y>0

【例12】（2020.欽州市第三中學(xué)高三月考）己知實(shí)數(shù)M），滿足<則z=r+3y的最大值是

3x+y-7<0

（）

A.5B.1C.13D.11

【答案】B

【解析】不等式組對應(yīng)的可行域如圖所示，

由z=-x+3y得y=,它表示斜率為鼻縱截距為的直線系，

當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，直線的縱截距最大，z最大.

x-2y=()

聯(lián)立°得A（2,l）,

3x+y-7

所以z=-x+3y的最大值—2+3=1.故選：B

（六）遵循推理與證明的方法論特點(diǎn)，適度組織顯性考查試題訓(xùn)練

推理與證明，高考主要考查直接證明的兩種基本方法（綜合法和分析法）、合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作

用、和演繹推理中“三段論”的具體應(yīng)用.推理與證明內(nèi)容特殊，考查形式也特殊.表面上較少出現(xiàn)對推理與

證明進(jìn)行顯性考查的試題，實(shí)質(zhì)二試卷大量地考查數(shù)學(xué)證明的基本思想方法，考查演繹推理在數(shù)學(xué)證明或

數(shù)學(xué)問題解答過程、化歸轉(zhuǎn)化過程中的應(yīng)用，隱性地考查合情推理在探尋問題解決思路中的應(yīng)用價(jià)值.

作為輔助考查應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，可能對邏輯推理和合恃推理進(jìn)行顯性考查.解決此類試題要求有

較高的閱讀理解并有效提取信息的能力、推理論證能力，具備整體與局部思想，具備批判性思維能力，往

往難度較高.教學(xué)安排中要有讀題、析題、解題的完整示范，還要有一定量的訓(xùn)練.

【例13】（2020.全國高三專題練習(xí)）甲、乙、丙、丁四人參加數(shù)學(xué)競賽.賽后，他們四個(gè)人預(yù)測名次的談

話如下：

甲：“丙第一名，我第三名

乙：“我第一名，丁第四名”；

丙：“丁第二名，我第三名”；

丁沒有說話.最后公布結(jié)果時(shí)，發(fā)現(xiàn)他們預(yù)測都只猜對了一半，則這次競賽甲、乙、丙、丁的名次依次是

第（）名.

A.一、二、三、四B.三、一、二、四

C.三、一、四、二D.四、三、二、一

【答案】C

【解析】假設(shè)丙是第一名，則丁是第四名，丙是第三名，矛盾；假設(shè)甲是第三名，則丁是第二名，乙是笫

一名，丙是第四名，合理；所以甲、乙、丙、丁的名次依次是第三、一、四、二名.故選C

（七）針對常用邏輯用語的考查要求，落實(shí)后進(jìn)生群體的過關(guān)訓(xùn)練

常用邏輯用語，高考主要考查命題概念及真假判斷，考查對全稱量詞和存在量詞的意義的理解，充要

條件含義的理解.該部分內(nèi)容的考查，偶爾結(jié)合在選擇題中進(jìn)行考查，主要是關(guān)于命題真假的判斷，關(guān)于

全稱命題與特稱命題的含義，也曾結(jié)合到選考題中考查過對?充要條件含義的理解.這部分內(nèi)容的考題難度

較低，是后進(jìn)生群體的重要得分題，要落實(shí)對后進(jìn)生的過關(guān)性訓(xùn)練.

【例14】（2020?北京高三）“桃＜3”是“方程一^+」一二1表示雙曲線”的（）

機(jī)+2w-3

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

22

【解析】若二一+"—=1表示雙曲線，則（m+2）（加-3）＜0,解得：-2＜根＜3.

m+2tn-3

.,.加<34-2<m<3,一2<〃z<3=m<3，

.「根<3”是“方程一一+上一=1表示雙曲線”的必要不充分條件.故選：B.

m+2m-3

二、典型問題剖析

（一）集合

【例15】（2020?安徽省高三）已知集合A={1,2,3},B={X|（X+1）（X-2）<0,XGZ},則AD3=

A.{1}B.{1,2}C.{0,1,23}D.{-L0,1,2,3）

【答案】C

【解析】集48={x[—1<X<2,X￡Z}={0.1},而4={123},所以AD8={0.1.2.3},故選c

【評析】本題主要考查集合的表示法，集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算，二次不等式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能

力和數(shù)形結(jié)合思想.解答此類問題的基本步驟為：正確求解不等式，顯化已知條件中的集合；根據(jù)目標(biāo)選

項(xiàng)的內(nèi)容進(jìn)行相關(guān)的集合運(yùn)算（遇區(qū)間運(yùn)算常以數(shù)軸為輔助工具，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用）.

（二）復(fù)數(shù)

【例16]（2020?河南省高三開學(xué)考試）己知復(fù)數(shù)z滿足z=-L,其中i為虛數(shù)單位，則z的虛部為（

)

1-Z

A.-iB.iC.-1D.I

【答案】D

二二2小,)三i,

【解析】，z的虛部為1.故選：D.

1-/(l-z)(l+z)2

【評析】本題考查復(fù)數(shù)的基本概念，關(guān)鍵是將其分母實(shí)數(shù)化，化為。+〃（。/￡幻的形式，進(jìn)行判斷.根

據(jù)第數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算將復(fù)數(shù)化成標(biāo)準(zhǔn)形式即可得解.

（三）計(jì)數(shù)原理

【例17】（2020?四川省瀘縣第一中學(xué)高三月考）要將甲、乙、丙、丁4名同學(xué)分到A、B、C三個(gè)班級中,

要求每個(gè)班級至少分到一人，則甲被分到A班的分法種數(shù)為

A.6B.12

c.24D.36

【答案】B

【解析】甲和另一個(gè)人一起分到A班有C；用=6種分法，甲一個(gè)人分到A班的方法有：C；W=6種分法，

共有12種分法；故答案為B.

【評析】解答排列、組合問題的角度：

解答排列、組合應(yīng)用題要從“分析、'、“分辨“分類“分步”的角度入手.

（1）“分析”就是找出題目的條件、結(jié)論，哪些是“元素”，哪些是“位置”；

⑵“分辨”就是辨別是排列還是組合，對某些元素的位置有、無限制等；

（3）“分類”就是將較復(fù):雜的應(yīng)用題中的元素分成互相排斥的幾類，然后逐類解決；

（4）“分步”就是把問題化成幾個(gè)互相聯(lián)系的步驟，而每一步都是簡單的排列、組合問題，然后逐步解決.

【例18]（2020?寧夏回族自治區(qū)銀川一中高三）若（一十二）”展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為32,則其展開式中

x

的常數(shù)項(xiàng)為（）

A.1B.5C.10D.20

【答案】C

【解析】由題意，二項(xiàng)式（f+二）〃展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為32,

x

令x=l,可得2”=32,解得〃=5,

則二項(xiàng)式（V+二）5展開式的通項(xiàng)為二。；。2）「（士?產(chǎn)=T5,

X

令r=3,可得常數(shù)項(xiàng)為C；=10.枚選：C.

【評析】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，其中解答中熟記二項(xiàng)展開式的系數(shù)的求法，以及二項(xiàng)展開式

的通項(xiàng)是解答的關(guān)鍵.著重考查了計(jì)算能力.由二項(xiàng)式Or?+4）”展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為32,求得〃=5,

x

再結(jié)合展開式的通項(xiàng)，即可求解常數(shù)項(xiàng).

（四）算法初步

【例19]（2020?寧夏回族自治區(qū)銀川一中高三）我國古代名著《莊子?天下篇》中有一句名言“一尺之椀，

口取其半，萬世不竭”，其意思為：一尺的木棍，每天截取一半，永遠(yuǎn)都截不完.現(xiàn)將該木棍依此規(guī)律截取，

如圖所示的程序框圖的功能就是計(jì)算截取7天后所剩木棍的長度（單位：尺），則①②③處可分別填入的是

1.”

A.Z<77,5=5-=z+lB.Z<128?,,9=5--J=2/

ii

1..口

C.Z<7?,5=5-——,1=z+lD.Z<128?,5=J--,Z=2z

2i2/

【答案】B

【蟀析】由題意，執(zhí)行程序框圖，可得：

第I次循環(huán)：5=1——,z=4；

2

第2次循環(huán)：S=l—g—；,i=8；

第3次循環(huán)：5=1————=/=16；

248

依次類推，第7次循環(huán)：S=1——————=77』=256,

241288

此時(shí)不滿足條件，推出循環(huán)，

其中判斷框①應(yīng)填入的條件為：iK128?,

執(zhí)行框②應(yīng)填入：S=S--,③應(yīng)填入：i=2i.故選：B.

i

【評析】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的應(yīng)用，其中解答中正確理解程序框圖的含義是解答的關(guān)鍵,

著重考查了分析問題和解答問題的能力.分析程序中各變量的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可得該程序

的作用是累加并輸出S的值，由此可得到結(jié)論.

（五）不等式

【例20］【2018年江蘇高考卷13］在AA8C中，角A,8,C所對應(yīng)的邊分別為a也c,NA8C=120",NA8C的

平分線交AC于點(diǎn)。，且80=1,口」4a+c的最小值為.

【解析】由面積得：—t/csin120°=—fzsin60°+—csin60°

222

化簡得a+c=ac=>-+-=\

ac

.、/11、.4ac「c4ae八

4a+c=（4a+c）（—+—）=4d------4i-l>5+2.----------=9

acca\ca

當(dāng)且僅當(dāng)4絲a=上c，即。=33,c=3時(shí)取等號.答案為9.

ca2

【評析】本題主要考查三角形的面積公式，基本不等式等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力和運(yùn)算求解能力，

考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想等，檢測數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)等.類似這種自然的

交匯在各種試題中都有可能出現(xiàn).

（六）推理與證明

從思維方法和思想方法上，推理方式與證明方法，到滲透數(shù)學(xué)問題的方方面面.顯性考查，一般有兩

類試題：合情推理試題和純推理試題.

【例21】網(wǎng)上購鞋常?？吹竭@樣一張腳的長度與鞋號的對照表，第一行可以理解為腳的長度，笫二行是我

們習(xí)慣稱呼的“鞋號

腳的長度與鞋號對照表

中國鞋碼實(shí)際標(biāo)注（同國際碼）mm220225230235240245250255260265

中國鞋碼習(xí)慣叫法（同歐碼）34353637383940414243

從上述表格中可以推算出30號的童鞋對應(yīng)的腳的長度為；若一個(gè)籃球運(yùn)動員的腳長為282mm,

則他該穿碼的鞋.

【解析】通過描點(diǎn)畫出散點(diǎn)圖，觀察散點(diǎn)圖猜想兩碼可能具有線性的換算關(guān)系，求解并檢驗(yàn)確認(rèn)關(guān)系：中

國鞋碼習(xí)慣叫法=實(shí)際標(biāo)注X0.2-I0.故30號的童鞋對應(yīng)的腳長為200mm,當(dāng)腳長為282mm，對應(yīng)的中國

鞋碼習(xí)慣叫法為282x0.2-10=46.4,應(yīng)穿47碼鞋.故答案為200mm,47.

【評析】本題意圖考查觀察能力，考查合情推理能力.觀察能力強(qiáng)的或許可以通過觀察，猜想規(guī)律，驗(yàn)證

規(guī)律，得出猜想的換算關(guān)系.但本題有明顯的不公平性缺陷，可能有些考生知道了換算關(guān)系，就沒有考查

的價(jià)值了.

（七）簡單邏輯用語

【例22】（2020?四川省棠湖中學(xué)高三月考）設(shè)則“。|。|>〃屹|(zhì)”是成立的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】充分性證明分4|。|>切勿

①若。則有〃2>從,于是/>/；

②若。>0,b<0,則有aIa|>0,切勿v0,可知aIa|>勿勿顯然成立，于是/>之；

③若4V0,b>0,則。|。|>加。|不成立，不滿足條件；

④若avO、〃v（）,由?？傻?〃>.〃即〃v/所以有

??."aIa|>回b是“a3>護(hù)”的充分條件.

必要性證明:當(dāng)

①若a>力>0,則有Ia>1b],于是a|a|>61b|；

②若。>0>》則有a|a|>0,bg|〈0,于是4|。|>。川;

③若0>a>6,則有/〈力2,于是-a2>-從，因?yàn)?|〉|=一。2,》|加=一從,所以有4|。|>。|加成立.

二."a|a|〉為b|”是“a3>的必要條件.

綜上所述,“。|a|>b|句”是“/>/，，的充要條件.故選。

【評析】充分、必要條件的三種判斷方法.

1.定義法：直接判斷“若P則q”、“若q則P”的真假.并注意和圖示相結(jié)合，例如>=葉為真，則P是q的充分

條件.

2.等價(jià)法：利用p=q與非q=>非p,q=p與非非q,pu>q與非q<=HEp的等價(jià)關(guān)系，對于條件或結(jié)論是否定

式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法.

3.集合法：若AG5,則4是B的充分條件或b是4的必要條件；若4=8,則4是B的充要條件..

【新題好題針對訓(xùn)練】

一、單選題

1.（2020?海南省高三）已知集合4={工|一3<工<4},8={x|-4<x<6},則（二4）04=（）

A.{x[4<x<6}B.{x|TvxV_3}D{XI4cx〈6}

C.{x|4<x<6}D.{x\^<x<-3）{x14<x<6}

【答案】D

【解析】因?yàn)閍={x|-3vx<4},R={x\^<x<6},

所以（6RA）C5=3-4〈XV_3}U{X|4W6}.故選：D

2.（2020.云南省高三）若p:3xwR,sinx=o-2,夕：函數(shù)/（x）=一寸+ov在R上是增函數(shù)，則〃是

4的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】p:3xeR,sinx=a-2f則一14。一2二1,解得1W〃W3；

2

夕:函數(shù)fM=gd-/+辦在R上是增函數(shù)，則f?（x）=x-2.r+6/>0恒成立，

故A=4-4aW0,即。21.則〃是9的充分不必要條件.故選：A.

3.（2020?陜西省高三月考）命題“▽人七R,國一工十1W0”的否定是（）

A.3xeR,W-x+lwOB.X4reR,|R-x+l=O

C.HxeR,|A|-X+1=0D.Vx晝R,國一五+1工。

【答案】C

【蟀析】由題,“立￡凡兇一工+1工0”的否定是小￡7?.討一元+1=0,故選9

4.（2020.江西省高三）在銳角A43C中，內(nèi)角A8,C的對邊分別為己知〃+2。=4,

asinA+4Z?sin3=6〃sin3sinC,則AA8C的面積取得最小值時(shí)有c?=（）

A.5+—B.5+—C.5—\/5D.5—5/5

2333

【答案】D

【解析】由已知有6zsinA+4/?sinB=6tzsinBsinC，

根據(jù)正弦定理得a2+4b2=GabsinC?

V.S--6/hsinC,即/+4〃=12S.

2

由于a+2b=4,即有。2+4/=（。+2b）2_^ab=16-4ab,

即有4a/?=16—12S,

/.9/7

由于4H"2^-=^-=8,即16—12SW8,解得sN；,

I2）3

當(dāng)且僅當(dāng)。=2/?=2時(shí)取等號，

2

當(dāng)〃=2,b=l,S取最小值§，

又sinC=]（C為銳角），則cosC=好，

33

則d=+〃-2他cosC=5-&石.故選：D

3

5.（2020?全國高三專題練習(xí)）某企業(yè)在“精準(zhǔn)扶貧”行動中，決定幫助一貧困山區(qū)將水果運(yùn)出銷售.現(xiàn)有8輛

甲型車和4輛乙型車，甲型車每次最多能運(yùn)6噸且每天能運(yùn)4次，乙型車每次最多能運(yùn)10噸且每天能運(yùn)3

次，甲型車每天費(fèi)用32（）元，乙型車每天費(fèi)用504元.若需要一天內(nèi)把180噸水果運(yùn)輸?shù)交疖囌?，則通過

合理調(diào)配車輛，運(yùn)送這批水果的費(fèi)用最少為（）

A.2400元B.2560元C.2816元D.4576元

【答案】B

【解析】設(shè)甲型車X輛.乙型車）'輛.運(yùn)送這批水果的費(fèi)用為Z元.

0<x<8

0<y<4

則,2以+3叱18。?目標(biāo)函數(shù)力32。/+504-

xsN、ysN

0<x<8

作出不等式組，0<y<4所表示的平面區(qū)域，如圖所示的陰影部分：

24x+30y〉180

x=8

牛|廠』

320x+504r3」1（8。）一

。下7

?'4x+5y=30

作白線320x+504y=0,并平移，分析可得當(dāng)直線過點(diǎn)（8,0）時(shí),z取得最小值,

即=8x320+0x504=2560元?故選:B

6.（2020?黑龍江省牡丹江一中高三期木）第十一屆全國少數(shù)民族傳統(tǒng)體育運(yùn)動會在河南鄭州卷行，某項(xiàng)目

比賽期間需要安排3名志愿者完成5項(xiàng)工作，每人至少完成一項(xiàng)，每項(xiàng)工作由一人完成，則不同的安排方

式共有多少種

A.60B.90C.120D.150

【答案】D

【解析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：

①、將5項(xiàng)工作分成3組，

々C氾C

若分成1、1、3的三組,丁=10種分組方法,

有空

若分成1、2、2的三組,=15種分組方法,

則將5項(xiàng)工作分成3組,有10+15=25種分組方法;

②、將分好的三組全排列，對應(yīng)3名志愿者，有A?3=6種情況，

則有25x6=150種不同的分組方法;故選:D.

7.（2020.湖北省高三期末）（2、-1）（2-2］丫的展開式中8、的項(xiàng)的系數(shù)為（）

A.120B.80C.60D.40

【答案】A

【解析】=2匚（2_2、）5_（2_2）'

展開式中8V的項(xiàng)為2VC^23（-2r）2-C-22（-2A）3=120x8,.故選：A

8.（202。陜西省高三）關(guān)于甲、乙、丙三人參加高考的結(jié)果有下列三個(gè)正確的判斷：①若甲未被錄取，則

乙、丙都被錄取；②乙與丙中必有一個(gè)未被錄??；③或者甲未被錄取，或者乙被錄取.則三人中被錄取的是

（）

A.甲B.丙C.甲與丙D.甲與乙

【答案】D

【解析】若甲被錄取，對于命題①，其逆否命題成立，即若乙、內(nèi)未全被錄取，則中被錄取，命題②成立,

則乙、丙有且只有一人錄取，命題③成立，則乙被錄取，三個(gè)命題能同時(shí)成立；若乙被錄取，命題②成立,

則內(nèi)未被錄取，命題③成立，命題①成立，其逆否命題成立，即若乙、丙未全被錄取，則甲被錄取，三個(gè)

命題能同時(shí)成立；

若丙被錄取，命題②成立，則乙未被錄取，命題③成立，則甲未被錄取，那么命題①就不能成立，三個(gè)命

題不能同時(shí)成立.綜上所述，甲與乙被錄取.故選：D.

9.（2020.湖南省長沙一中高三月考）如圖所示的程序框圖，則輸出的E）'，z的值分別是（）

13001120

A.--------,600,---------B.1200,500,300

93

C.110(),400,600D.300,500,1200

【答案】B

【解析】根據(jù)程序框圖得：①），=300,7=1,滿足i<3；②y=400,i=2,滿足i<3；

③y=5OO,z=3OO,%=1200j=3,不滿足i<3.故輸出的x=1200,y=5OO,z=3OO.故選：氏

10.（2020.山東省高三）若友=1十》（其中i是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的共斑及數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【解析】由iz=-1+i,得2=—=--------——=1+i>z=1—/

i-i2

,復(fù)數(shù)z的共桅復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,

位于第四象限，故選D.

11.（2020?湖南省高三期末）己知（/+幺］的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32,且各項(xiàng)系數(shù)和為243,

則展開式中丁的系數(shù)為（）

A.20B.30C.40D.50

【答案】C

【解析】因?yàn)椋ǘ?3）的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32

則2"=32,解得〃=5,所以二項(xiàng)式為卜3+

因?yàn)椋ǘ?烏j展開式各項(xiàng)系數(shù)和為243

令x=l,代入可得（1+。）'=243=35,解得。=2

所以二項(xiàng)式為（r+：j

則該二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為7]華=Cg13廣,{2j=2仁eg—一圻

所以當(dāng)展開式為/時(shí)，即』5一4「二/，解得廠=2

則展開式的系數(shù)為22.（^=4x10=40,故選：C

二、填空題

12.（2020?江蘇省高三專題練習(xí)）設(shè)。是實(shí)數(shù)，若復(fù)數(shù)二+=（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在

\-i2

直線x+），=0上，則。的值為.

【答案】0.

，a1-Zcia.11.6/1(a1Y一一1a1、

【解析］因?yàn)閊~~:+^-=-+-;+---/=-+-+---%對應(yīng)點(diǎn)為(7+:^彳一彳)，

1—12222222\21)2222

n1—7

又復(fù)數(shù)丁一+一?。╥為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在直線x+y=0上,

\-12

a1

,—|-----H=0,解得。=0.故答案為：0.

“222-2；

13.（2020?重慶市合川瑞山中學(xué)高三）已知QER,命題〃：VXG[1,2],x2-a>0,命題?：BXGR,

x2+2cix+2-a=O,若命題〃八1為真命題，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是.

【答案】或4=1

【解析】若命題〃："Dxe[l,2].%2_々20’,