2024年安徽省天域全國(guó)協(xié)作體高考數(shù)學(xué)二模試卷

2024年安徽省天域全國(guó)名校協(xié)作體高考數(shù)學(xué)二模試卷

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.（5分）（2024?安徽二模）已知A,8是全集U的非空子集，且AGCuB,則（）

A.BGAB.C.CuAGCuBD.AGB

2.（5分）（2024?安徽二模）我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說(shuō)：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)

難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休.在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象

來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來(lái)分析函數(shù)的圖象特征.則函數(shù)/（%）=島■的

圖象大致為（）

3.（5分）（2024?安徽二模）已知復(fù)數(shù)z-4+加（小虎R）且/-（4+2/）戶4+3—0有實(shí)

數(shù)根。，則H=（）

A.2>/3B.12C.2向D.20

4.（5分）（2024?安徽二模）已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)/）,E分別為AB,的中點(diǎn)，

若法=2EF,則后??品二（）

5.（5分）（2024?安徽二模）已知為，放是雙曲線藍(lán)一瓦=l（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)，

若雙曲線上存在點(diǎn)。滿足P22-PPi=-2a2,則雙曲線離心率的最小值為（）

A.V6B.V5C.V3D.V2

6.（5分）（2024?安徽二模）在數(shù)列｛斯｝中,S〃為其前〃項(xiàng)和，首項(xiàng)m=l,且函數(shù)fCO

=9-a”+isinx+（2an+l）x+\的導(dǎo)函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則S5=（）

A.26B.63C.57D.25

7.（5分）（2024?安徽二碳）已知函數(shù)/（X）的定義域?yàn)镽,且/（x+2）-2為奇函數(shù)，f

（3x+l）為偶函數(shù)，/（I）=0,則粢腎f（k）=（）

A.4036B.4040C.4044D.4048

8.（5分）（2024?安徽二模）己知直線/：Ar+B>+C=0（4+爐工0）與曲線W：-x有

三個(gè)交點(diǎn)。、E、F,且|QE1=|EQ=2,則以下能作為直線/的方向向量的坐標(biāo)是（）

A.（0,1）B.（1,-1）C.（1,1）D.（1,0）

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多

項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

（多選）9.（6分）（2024?安徽二模）已知由樣本數(shù)據(jù)<：xi,yi）（i=l,2,3,10）組成

的一個(gè)樣本，得到回歸直線方程為y=-x+3,.且工=4.剔除一個(gè)偏離直線較大的異常

點(diǎn)（-5,-1）后，得到新的回歸直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（6,-4）.則下列說(shuō)法正確的是（）

A.相關(guān)變量x,），具有正相關(guān)關(guān)系

B.剔除該異常點(diǎn)后，樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值變大

C.剔除該異常點(diǎn)后的回歸直線方程經(jīng)過(guò)點(diǎn)（5,-1）

D.剔除該異常點(diǎn)后，隨x值增加相關(guān)變量），值減小速度變小

（多選）10.（6分）（2024?安徽二模）在平面直角坐標(biāo)系xQv中，角。以坐標(biāo)原點(diǎn)。為頂

點(diǎn)，以4軸的非負(fù)半軸為始邊,其終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)正4"）,|。洶=〃?（〃?工0），定義/'（。）=絆，

ill

g（e）=臀，則（）

A.魔）+96）=1

B.f（9）t/2（6）20

C.若￡^=2,則sE29=1

D./（0）g（9）是周期函數(shù)

（多選）11.（6分）（2024?安徽二模）如圖，多面體PS-48C。由正四棱錐P-A8C。和

正四面體S-P8C組合而成，其中PS=1,則下列關(guān)于該幾何體敘述正確的是（）

A.該幾何體的體積為:

B.該幾何體為七面體

C.二面角A-P4-C的余弦值為一/

D.該幾何體為三棱柱

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.（5分）（2024?安徽二模）從某工廠生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取11個(gè)，其尺寸值為43,45,

45,45,49,50,50,51,51,53,57（單位：〃[〃?），現(xiàn)從這11個(gè)零件中任取3個(gè)，則

3個(gè)零件的尺寸剛好為這11個(gè)零件尺寸的平均數(shù)、第六十百分位數(shù)、眾數(shù)的概率

為?

13.（5分）（2024?安徽二模）已知偶函數(shù)/（x）=sin（wx+（p）（u）＞0）的圖像關(guān)于點(diǎn)杳，。）

中心對(duì)稱，且在區(qū)間[0，*上單調(diào)，則3=.

14.（5分）（2024?安徽二模）若實(shí)數(shù)羽丁滿足/+）2=25,則J50+8x+6y+，50+8x-6y

的最大值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.（13分）（2024?安徽二模）已知函數(shù)/（x）=hix+^-QX，4WR.

（1）若/（外在定義域內(nèi)是減函數(shù)，求。的取值范圍；

（2）當(dāng)QV2時(shí)，求/（外的極值點(diǎn).

16.（15分）（2024?安徽二模）據(jù)新華社北京2月26日?qǐng)?bào)道，中國(guó)航天全年預(yù)計(jì)實(shí)施100

次左右發(fā)射任務(wù)，有望創(chuàng)造新的紀(jì)錄，我國(guó)首個(gè)商業(yè)航天發(fā)射場(chǎng)將迎來(lái)首次發(fā)射任務(wù)，

多個(gè)衛(wèi)星星座將加速組網(wǎng)建設(shè)；中國(guó)航天科技集團(tuán)有限公司計(jì)劃安排近70次宇航發(fā)射任

務(wù)，發(fā)射290余個(gè)航天器，實(shí)施一系列重大，程任務(wù).由于航天行業(yè)擁有廣闊的發(fā)展前

景，有越來(lái)越多的公司開始從事航天研究，某航天公司研發(fā)了一種火箭推進(jìn)器，為測(cè)試

其性能，對(duì)推進(jìn)器飛行距離與損壞零件數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，數(shù)據(jù)如下：

飛行距離5663717990102110117

損壞零件數(shù)），（個(gè)）617390105119136149163

參考數(shù)據(jù)：x=86,歹=112,S?=i芍%=82743,￡篙xf=62680.

（1）建立y關(guān)于x的回歸模型y=bx+a，根據(jù)所給數(shù)據(jù)及回歸模型，求y關(guān)于x的回

歸方程（b精確到0.1,a精確到1）：

（2）該公司進(jìn)行了第二項(xiàng)測(cè)試，從所有同型號(hào)推進(jìn)器中隨機(jī)抽取1（）0臺(tái)進(jìn)行等距離飛行

測(cè)試，對(duì)其中60臺(tái)進(jìn)行飛行前保養(yǎng)，測(cè)試結(jié)束后，有20臺(tái)報(bào)廢，其中保養(yǎng)過(guò)的推進(jìn)器

占比30%,請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成2X2列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值a=0.0l的獨(dú)立性檢驗(yàn),

能否認(rèn)為推進(jìn)器是否報(bào)廢與保養(yǎng)有關(guān)？

保養(yǎng)未保養(yǎng)合計(jì)

報(bào)廢20

未報(bào)廢

合計(jì)60100

附：回歸方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為b=乙皿-------^―,

（勺一牙）

A2

a=ybx,K2=(Q+b)普d)"c)g+d)，〃_">c+4

P(K22ko)0.250.10.050.0250.010.001

ko1.3232.7063.8415.0246.63510.828

17.（15分）（2024?安徽二模）在三棱錐尸-ABC中，PBJ_平面ABC,AB=BC=BP=2,

點(diǎn)E在平面ABC內(nèi)，且滿足平面用E_L平面PBE,BA垂直于BC.

（1）當(dāng)/48￡€蛤，引時(shí)，求點(diǎn)E的軌跡長(zhǎng)度；

（2）當(dāng)二面角E-%-3的余弦值為（■時(shí)，求三棱性E-PC6的體枳.

p

18.（17分）（2024?安徽二模）在平面直角坐標(biāo)系xO），中，橢圓W：各技=l（a>8>0）的

離心率為e,已知橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，且橢圓W過(guò)點(diǎn)（1,e）.

（1）求橢圓卬的方程；

（2）已知平行四邊形八8c。的四個(gè)頂點(diǎn)均在卬上，求平行四邊形A4co的面積S的最

大值.

19.（17分）（2024?安徽二模）對(duì)稱變換在對(duì)稱數(shù)學(xué)中具有重要的研究意義.

若一個(gè)平面圖形K在?。ㄐD(zhuǎn)變換或反射變換）的作用下仍然與原圖形重合，就稱K具

有對(duì)稱性，并記小為K的一個(gè)對(duì)稱變換.例如，正三角形R在〃，（繞中心。作120°

的旋轉(zhuǎn)）的作用下仍然與R重合（如圖1圖2所示），所以如是R的一個(gè)對(duì)稱變換，考

慮到變換前后R的三個(gè)頂點(diǎn)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，記mi?3\乂如，在人（關(guān)于對(duì)

稱軸”所在直線的反射）的作用下仍然與R重合（婦圖1圖3所示），所以人也是R的

一個(gè)對(duì)稱變換，類似地，記。=（：；》.記正三角形R的所有對(duì)稱變換構(gòu)成集合5.

一個(gè)非空集合G對(duì)于給定的代數(shù)運(yùn)算.來(lái)說(shuō)作成一個(gè)群，假如同時(shí)滿足：

I.Vd,bE.G>ciC）bEG；

II.Vd,b,c￡G,（t/O/?）Oc=aO（/?Oc）；

111.3e￡G,PaCG,aOe=eOa=a；

IV.VaCG,BalEG,aOai=alOa=e.

對(duì)于一個(gè)群G,稱HI中的e為群G的單位元，稱IV中的，?為。在群G中的逆元.

一個(gè)群G的一個(gè)非空子集H叫做G的一個(gè)子群，假如〃對(duì)于G的代數(shù)運(yùn)算。來(lái)說(shuō)作成

一個(gè)群.

（1）直接寫出集合S:用符號(hào)語(yǔ)言表示S中的元素）；

⑵同一個(gè)對(duì)稱變換的符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)形式不唯一，如恤=?23\/132\

'DJL乙/乙JL/

1^?）=（?7D=（7l）=（??；）.對(duì)于集合S中的元素，定義一種新

XO乙，'人乙I，、乙。工，'乙XO*

運(yùn)算*,規(guī)則如下避弓凱管3-W

b2,加}={。|,Cl,C3}={1,2,3}.

①證明集合S對(duì)于給定的代數(shù)運(yùn)算*來(lái)說(shuō)作成一個(gè)群；

②已知〃是群G的一個(gè)子群，e,一分別是G,”的單位元，aEH,a],af分別是a

在群G,群〃中的逆元.猜想e,1之間的關(guān)系以及/la'之間的關(guān)系，并給出證明；

③寫出群S的所有子群.

2024年安徽省天域全國(guó)名校協(xié)作體高考數(shù)學(xué)二模試卷

參考答案與試題解析

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.（5分）（2024?安徽二模）已知A,R是全集U的非空子集，且AGCuB，則（）

A.B^AB.8工CuAC.CuACCuBD.

【考點(diǎn)】子集與真子集；補(bǔ)集及其運(yùn)算；集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；集合；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】B

【分析】根據(jù)子集定義即可判斷.

【解答】解：人GCuB,說(shuō)明人的所有元素都不屬于8,等價(jià)于8的所有元素都不屬于A,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.（5分）（2024?安徽二模）我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說(shuō)：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)

難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休.在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象

來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來(lái)分析函數(shù)的圖象特征.則函數(shù)/（%）=島?的

圖象大致為（）

O1X

-1-

A.

O

B.

【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象與圖象的變換.

【專題】數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性求解即可.

【解答】解：函數(shù)/（幻=含的定義域?yàn)镽，

f（r）=（二3=-導(dǎo)=所以函數(shù)/（外為奇函數(shù)，排除A,B選項(xiàng)，

又因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)，/?=477>0,排除C選項(xiàng)，選項(xiàng)。滿足題意.

xz4-l

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)圖象的判斷，是基礎(chǔ)題.

3.（5分）（2024?安徽二模）已知復(fù)數(shù)2=〃+萬(wàn)（小左R）且f-（4+2/）x+4+ai=0有實(shí)

數(shù)根4則朗=（）

A.25/3B.12C.2代D.20

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的模；復(fù)數(shù)的運(yùn)算.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】。

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)相等的條件，以及復(fù)數(shù)模公式，即可求解.

【解答】解：/?（4+2/）x+4+R=0有實(shí)數(shù)根b,

則/?2-（4+2，）b+4+s=0,即（俗一2）2=0,解得〃=4,b=2,

ka-2b=0

故z=4+2i,

所以貝I］團(tuán)=|z|2=42+22=20.

故選：。.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題.

4.（5分）（2024?安徽二模）已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)D,E分別為4B,BC的中點(diǎn),

若茄=2淳，則余?品=（）

465

A.1B.-C.-D.-

554

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算.

【專題】整體思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】A

【分析】由平面向量的線性運(yùn)算，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算求解.

【解答】解：己知等選△A8C的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)。，后分別為A8,3c的中點(diǎn),

又法=2EF,

則命"AF=^DE?（公+而

=^1DfE\ArD+^3DrE）

13心

-+-

44

1T4T

=^ACAB+-^AC2

11?

=_X2X2X_+_X22

=1.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算，重點(diǎn)考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬中檔

題.

%2y2

5.（5分）（2024?安徽二模）已知尸尸2是雙曲線o?—￡7=l（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)，

若雙曲線上存在點(diǎn)尸滿足「句=一2。2,則雙曲線離心率的最小值為（）

A.V6B.V5C.V3D.企

【考點(diǎn)】雙曲線的性質(zhì).

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】C

【分析】設(shè)夕的坐標(biāo)，代入雙曲線的方程，求出數(shù)量積P%「P%2=宗］-廬/?『

-‘2-廬=-廬，再由橢圓可得”,”的關(guān)系，進(jìn)而求出離心率的最小信.

%2y2

【解答】解：設(shè)尸(x,)，)，則|x|2a,所以f-77=l(a>0,b>0),

adb￡

由題意可得21(-c,0),Fi(c,0),

TT%2

所以P&?PF=Cx+cy)(x-c,y)=r-c2+y2=x2-c2+(--I)b2=

2t好aL

?a2-c2-Z>2=-序,

所以?2屋》?廬，即2,，W〃2,所以離心率e=「=|>VS.

a1次

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的性質(zhì)及數(shù)量積的運(yùn)算，屬于中檔題.

6.(5分)(2024?安徽二模)在數(shù)列｛〃〃｝中，S〃為其前〃項(xiàng)和，首項(xiàng)m=l,且函數(shù)/a)

=9-a〃+isiiu+(2a〃+l)x+1的導(dǎo)函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則S5=()

A.26B.63C.57D.25

【考點(diǎn)】數(shù)列與函數(shù)的綜合.

【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；等差數(shù)列與等比

數(shù)列：數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)/(X),分析可得/(公為偶函數(shù)，由此可得/

(0)=-a“+i+2a〃+l=0,即a〃+i=2a〃+l,由此求出。2、。3、04、45的值,進(jìn)而計(jì)算可

得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)/(x)=/-〃〃+isinx+(2a〃+l)x+1,其導(dǎo)數(shù)/'(x)=3.v2

-an+1cosx+(2a”+1),

易得，a)的定義域?yàn)镽,

且，(-%)=/(x),則廣(x)為偶函數(shù)，

若函數(shù)/<A)=X3-〃〃+i$inx+(2a“+l)x+l的導(dǎo)函數(shù)有唯一零點(diǎn)，必有f(0)=-a〃+i+2a〃+l

=0,

則有cin+1=2a〃+11

故42=2/1+1=3,03=2f/24-1=7,44=243+1=15,公=2。4+1=31,

故55=1+3+7+15+31=57.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的遞推公式，涉及導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，屬于中檔題.

7.(5分)(2024?安徽二噗)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且f(x+2)-2為奇函數(shù)，f

(3x+l)為偶函數(shù)，/(I)=0,則%字f(k)=()

A.4036B.4040C.4044D.4048

【考點(diǎn)】抽象函數(shù)及其應(yīng)用：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷.

【專題】計(jì)算題；方程思想：轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】。

【分析】根據(jù)題意，先由函數(shù)的對(duì)稱性分析函數(shù)的周期，結(jié)合對(duì)稱性可得f(I)力，(3)

=4,/(2)4/(4)=4.即/(I)4/(2)4/(3)V(4)=8,結(jié)合周期性分析可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，若/(x+2)-2為奇函數(shù)，則有/(-x+2)4/G+2)=4,

故/(#的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,2)對(duì)稱，

又由/(3x+l)為偶函數(shù)，則/(-3x+l)=/(3x+l),

變形可得：/(-x)=f(x+2),則/(x)的圖象關(guān)于直線工=1對(duì)稱，

又由/(7+2)4/(X+2)=4,則有/(-幻4/(-x+2)=4,變形可得/Cr)4/G+2)

=4①，

由此可得：f(x+2)+/(x+4)=4(2),

聯(lián)立①②可得：/(x+4)=f(x),則/(x)是周期為4的周期函數(shù)，

由于/(x)+f(x+2)=4,則/(I)4/(3)=4,/(2)+f(4)=4,

故/(I)V(2)4/(3)4/(4)=8,

故》曾"(2)4/(3)4/(4)+……4/(2024)=506X(/(1)+/(2)+f

(3)V<4)1=506X8=4048.

故選：。.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查抽象函數(shù)的性質(zhì)，涉及函數(shù)的奇偶性和周期性，屬于中檔題.

8.(5分)(2024?安徽二模)已知直線/：Ax+By+C=0(AM2^0)與曲線VV：y=.p-x有

三個(gè)交點(diǎn)。、E、F,且|OE|=|EQ=2,則以下能作為直線/的方向向量的坐標(biāo)是()

A.(0,1)B.(1,-1)C.(1,1)D.(1,0)

【考點(diǎn)】曲線與方程.

【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】C

【分析】由函數(shù)y=F-x的性質(zhì)可得曲線卬的對(duì)稱中心(()，())，即得七(0,0),再根

據(jù)給定長(zhǎng)度求出由D的坐標(biāo)即得.

【解答】解：顯然函數(shù)/（x）的定義域?yàn)镽,

/（-x）=（-x）3-（-x）=-/（x）,即函數(shù)/（1）是奇函數(shù)，

因此曲線W的對(duì)稱中心為（0,0）,

由直線/與曲線卬的三個(gè)交點(diǎn)。，E,尸滿足|。￡|=|￡￡1=2,得E（0,0）,

設(shè)。（》,X3-X）,則，+（A3-X）2=4,

令f=f,貝|J有％3-2戶+21?4=0,

即（P+2）（r-2）=0,解得/=2,即X=±&，

因此點(diǎn)。（或，夜）或。［一VL-V2）,ED=（V2,或）或前=（一&，-V2）,

選項(xiàng)中只有坐標(biāo)為（I,I）的向量與訪共線，能作為直線/的方向向量的坐標(biāo)是（1,1）.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了曲線與方程的應(yīng)用，屬于中檔題.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多

項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

（多選）9.（6分）（2024?安徽二模）已知由樣本數(shù)據(jù)5,yi）（/=!,2,3,…，10）組成

的一個(gè)樣本，得到回歸直線方程為y=-x+3,且5=4.剔除一個(gè)偏離直線較大的異常

點(diǎn)（?5,?1）后，得到新的回歸直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（6,-4）.則下列說(shuō)法正確的是（）

A.相關(guān)變量x,y具有正相關(guān)關(guān)系

B.剔除該異常點(diǎn)后，樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值變大

C.剔除該異常點(diǎn)后的回歸直線方程經(jīng)過(guò)點(diǎn)（5,-1）

D.剔除該異常點(diǎn)后，隨x值增加相關(guān)變量y值減小速度變小

【考點(diǎn)】線性回歸方程.

【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】BC

【分析】利用回歸直線方程的斜率判斷A;根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)判斷從求出去除異

常點(diǎn)后的回歸直線方程，再分別計(jì)算判斷CD.

【解答】解：由回歸直線方程的斜率為-1,知變量力y具有負(fù)相關(guān)關(guān)系，A錯(cuò)誤；

剔除一個(gè)偏離直線較大的異常點(diǎn)（-5,-1）后，擬合程度變大，故樣本相關(guān)系數(shù)的絕

對(duì)值變大，8正確；

回歸直線方程為y=-%+3,且M=4,則歹二一1,

剔除一個(gè)偏離直線較大的異常點(diǎn)（-5,-1）后，

得到新的歹=4''5=5,歹=-*+1=一],

故剔除該異常點(diǎn)后的叵歸直線方程經(jīng)過(guò)點(diǎn)（5,-1）,C正確；

新的回歸直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（6,-4）,

r**a

列方程組一l=bx5+a,解得。=]〃b=-3,

—4=匕x6+a

故剔除該異常點(diǎn)后的叵歸直線方程為y=-3x+14,

斜率由-1變成-3,所以剔除該異常點(diǎn)后，隨x值增加相關(guān)變量y值減小速度變大，。

錯(cuò)誤.

故選：BC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查回歸方程的應(yīng)用，屬于中檔題.

（多選）10.（6分）（2024?安徽二模）在平面直角坐標(biāo)系中，角8以坐標(biāo)原點(diǎn)。為頂

點(diǎn)，以工軸的非負(fù)半軸為始邊,其終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)加（4,8）,[0歷1=〃?（〃?^0）,定義/（。）=等，

g（8）=譬，則（）

A.r哈）+.9/）=1

B.y（e）t/2（0）2o

C.若=2,則sE26=i

g（。）5

D./（9）g（0）是周期函數(shù)

【考點(diǎn)】任意角的三角函數(shù)的定義.

【專題】函數(shù)思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】ACD

【分析】利用任意角的三角函數(shù)的定義可得/（0）=sin0+cose,（0）=sin0-cos0.再

利用三角函數(shù)的性質(zhì)對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一分析可得答案.

【解答】解：’?,/（。）=^^=sin8+cos。，g（O）==sin0-cos0.

7vzm八

；?f（看）+g。=2sin-=1,A正確；

令r=f⑹=sinO+cosO=VZsin令+今)e[-V2,V5],

2

則/⑹+Z（0）=/+P=（Z+l）2-1>_1（當(dāng)且僅當(dāng)仁一細(xì)取等號(hào)），B錯(cuò)誤:

N44N

?/(0)sE8+cos8

若兩=sini產(chǎn)則sinO=3cos。，即tan0=3.

2sE8cos8_2tan863

.*.sin28=。正確;

sin^e+cos2^tan20-Vl105'

V/(6)g(0)=(sin0+cos0)(sine-cosG)=sin20-cos20=-cos20?

???/（。）g（0）是周期函數(shù)（最小正周期周期為71）,。正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查任意角的三角函數(shù)的定義及其應(yīng)用，屬于中檔題.

（多選）11.（6分）（2024?安徽二模）如圖，多面體PS-4BCD由正四棱錐P-ABCQ和

正四面體S-P8C組合而成，其中PS=1,則下列關(guān)于該幾何體敘述正確的是（）

A.該幾何體的體積為二

B.該幾何體為七面體

C.二面角A-P4-C的余弦值為一之

D.該幾何體為三棱柱

【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；棱錐的結(jié)構(gòu)特征；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積.

【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；立體幾何；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】ACD

【分析】選項(xiàng)A,可以分別求正四棱錐P-A5CO和正四面體S?P6C的體積即可；

選項(xiàng)C,先確定二面角4-P8-C的平面角為N4PC，在三角形中利用余弦定理可得；

選項(xiàng)B,通過(guò)計(jì)算易判斷平面PBS與PBA為同一平面，平面POC和平面PDS也為同一

平面即可；

選項(xiàng)。，先根據(jù)二面角A-PB-C與二面角S-PB-C的關(guān)系確定P,A,B,S四點(diǎn)共面，

再證得平面SC8〃平面PAD,三個(gè)側(cè)面都是平行四邊形即可.

【解答】解，如圖，在正四面體中S?"8C.中，G為/力的中點(diǎn),

連接CG,連接SG,作SOJ_CG于。則。為△P8C的中心，50為正四面體中S-P8C

的高，

22

因PS=1,CG=與,CO=|CG=*,SO=y/SC-CO=,VS_PBC=|x|x

P^xCGxSO=|x|xlx^x^y=j|,

在正四面體中S-PBC中，G為PB的中點(diǎn)，所以SG_LPB,CGA.PB,

故4GS為二面角S-P3-C的一個(gè)平面角，

cos/CGS嚏=巖=雪J

-j"

如圖，在正四棱錐P-A4co中，由題意PC=CB=1,

連接AC,RD交于點(diǎn)E,連接PE,則PF為正四棱錐P-/WCD的高,

則CE=*CB=寺,PE=VPC2-CE2=Jl2-（孝）2=孝，

所以Vp—.CD=|xCDx5CxPE=|xlxlx^=^,

該幾何體的體積為UpSTBCD=^S-PBC+^P-ABCD==*,故人正確,

對(duì)于C,取P8的中點(diǎn)F,連接AF,CF,

由題意正四棱錐尸-A8CD的棱長(zhǎng)都為1,所以4凡LPB,CFLPB,

故Z1FC即為二面角A-P4-C的一個(gè)平面角，

其中4尸=CF=字8C=苧，AC=y[2BC=V2,

/1；A一二-2（孚a+（,）2-（、②2]

在△AFC中，cosZAFC=_2ArcF=?%—=一可故C正確,

對(duì)于4,因cos/CGS=2=-cos41FC,可知二面角S-C與二面角4-PB-C所

成角互補(bǔ)，

故平面PBS與PBA為同一平面，同理，平面PDC和平面PCS也為同一平面，

故該幾何體有5個(gè)面，故8錯(cuò)誤；

對(duì)于。，因P,A,B,S四點(diǎn)共面，且△POC和aPCS都為等邊三角形，

易知SC〃PD,HSC=PD,故側(cè)面尸。CS為平行四邊形，

又尸Qu平面抄1。，SC<t平面外。，所以SC〃平面以。，

同理58〃平面力。，且則面以BS為平行四邊形，

乂SCnSB=S,SCu平面SCB,SBu平面5CB,

所以平面SC8〃平面陰。，又側(cè)面ABCD為正方形，

故多面體PS-48CO因?yàn)槿庵鵄DP-BCS,故。正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了判斷幾何體是否為棱柱，求組合體的體枳，判斷面面平行，求二面

角，屬于中檔題.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.（5分）（2024?安徽二模）從某工廠生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取II個(gè)，其尺寸值為43,45,

45,45,49,50,50,51,51,53,57（單位：〃〃〃），現(xiàn)從這11個(gè)零件中任取3個(gè),則

3個(gè)零件的尺寸剛好為這11個(gè)零件尺寸的平均數(shù)、第六十百分位數(shù)、眾數(shù)的概率為三.

【考點(diǎn)】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù).

【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】卷.

【分析】分別求出11個(gè)零件的平均數(shù)49、第六十百分位數(shù)50,眾數(shù)45,然后分另L求出

取出3個(gè)零件有165種，3個(gè)零件符合平均數(shù)、第六I百分位數(shù)、眾數(shù)有6種情況，再

利用占典概率從而可求解.

【解答】解：由題意知II個(gè)零件的平均數(shù)為

43+454-45+45+49+50+50+51+51+53+57

-------------------------------------=49,

11

第六十百分位數(shù)的位置為IIX6（）%=6.6,即取第7位數(shù)50,故第六十百分位數(shù)為50,

由題可知眾數(shù)為45,

所以當(dāng)從II中取出3個(gè)零件共有仃】=165種情況，

則3個(gè)數(shù)分別為平均數(shù)49、第六十百分位數(shù)50,眾數(shù)45共有C1C，C；=6種情況，

62

所以其概率為

1655o

故答案為：卷.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平均數(shù)、百分位數(shù)和眾數(shù)的定義，考查了古典概型的概率公式，

屬于基礎(chǔ)題.

13.（5分）（2024?安徽二模）已知偶函數(shù)/（x）=sin（u）x+（p）（w>0）的圖像關(guān)于點(diǎn)卷，0）

3

中心對(duì)稱，且在區(qū)間［0,勺上單調(diào)，則3=巖

【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的圖象.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

3

【答案】3

【分析】根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)即可得.

【解答】解：由/（X）是偶函數(shù)，得/（?x）=/（A）,即函數(shù)/（公的圖像關(guān)于），軸對(duì)

稱，

所以/（x）在x=0時(shí)取得最值，即sin（p=l或-I,取9=*,

由了（幻的圖像關(guān)于點(diǎn)段，0）中心對(duì)稱,

可知$譏（亨3+，）=0,-0）+—=kn,AGZ,解得3=3女—9（k￡Z）,

又/（x）在區(qū)間［0,勺上是單調(diào)函數(shù)，所以即

所以（oW4,Xa）>0,所以當(dāng)％=1時(shí)，u）=i.

故答案為：|.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

14.（5分）（2024?安徽二模）若實(shí)數(shù)x,），滿足/+『=25,則J50+8x+6y+,50+8x-6y

的最大值為_6V10.

【考點(diǎn)】函數(shù)的最值及其幾何意義.

【專題】整體思想；綜合法；解三角形；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】6\/10.

【分析】由題意可知，V50+8x+6y+V50+8x-6y=V(x+4)2+(y+3)2+

jQ+4)2+(y_3)2,幾何意義為圓?+/=25上的任意一點(diǎn)到點(diǎn)A(-4,-3)與6

(-4,3)的距離和，畫出圖形，再結(jié)合余弦定理和基本不等式求解即可.

【解答】解：因?yàn)閷?shí)數(shù)x,y滿足『+/=25,

所以J50+8x+6y+,50+8--6y=+y2+版+6y+25+

222222

Vx+y+8x-6y4-25=J(x4-4)+(y+3)+A/(x+4)+(y-3),

該式子的幾何意義為圓入2+產(chǎn)=25上的任意一點(diǎn)到點(diǎn)A(-4,-3)與3(-4,3)的距

離和，如圖所示：

則|4Q|=|AQ|=口+(4+5==3710,又因?yàn)閨A陰=6,

由z\BQ\Z+\AQ\2-\AB\Z90+90-364

所以8SNAQB=詼命Q|一匚=2x333同=耳’

當(dāng)點(diǎn)P在圓Ay2=25上運(yùn)動(dòng)時(shí)，始終有NAQ8=NAP氏

4

所以COS/APB=￡

設(shè)抬尸|=/〃，18Pl=〃，

則由余弦定理可得，cosNAP8=病,第36=￡

所以"2+"2_36=5mn,

所以(〃?+〃)2-2mn-36=fmn，

所以mn=-jg(rn+n)^—1以

又因?yàn)闄C(jī)>0,〃>o,則〃?，修結(jié)式，當(dāng)且僅當(dāng)用=〃時(shí)，等號(hào)成立,

4

所以卷(m+九)2一小誓必，

解得機(jī)+〃<6VT5，當(dāng)且僅當(dāng)m=〃=3VT5時(shí)，等號(hào)成立，

即J50+8十+6y+j50+8x-6y的最大值為6710.

故答案為：6國(guó).

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用，考查了余弦定理和基本不等式的應(yīng)用，

屬于中檔題.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.(13分)(2024?安徽二模)已知函數(shù)/(%)=濟(jì)x+W-QX，

(1)若/(x)在定義域內(nèi)是減函數(shù)，求。的取值范圍；

(2)當(dāng)QV；時(shí)，求的極值點(diǎn).

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研窮函數(shù)的極伯：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.

【專題】分類討論；轉(zhuǎn)化思想；分類法；轉(zhuǎn)化法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】(1)成，+oo)；

I1—V1—4ci~

(2)當(dāng)GWO時(shí)，/(x)無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng)OVQV多寸，函數(shù)/(外的極小值點(diǎn)為一：-----.極

【分析】(1)先由/久)在定義域內(nèi)是減函數(shù)得出對(duì)于(0,+8),f(%)W0恒成

立，進(jìn)而分離參數(shù)將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值，再利用基本不等式求解即可；

(2)分aWO和0VaV±兩種情況討論，在每一種情況中借助導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)/G)的單

調(diào)性即可求解.

【解答】解：⑴由/'(%)=mx+W-QX，則廣(x)=i-^-a=-^^(x>0).

因?yàn)?(x)在定義域內(nèi)是減函數(shù)，所以對(duì)于必正(0,+8),f(x)W0恒成立，

即對(duì)于VxW(0,+8),or2-x+a20恒成立.

則對(duì)Vxe(0,+8),。之々恒成立.

-v*_LA

因?yàn)閤>0,所以％+當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)等號(hào)成立,

則0V—1工亍所以

每22

故。的取值范圍為核，十8).

aX+a

（2）因?yàn)閺V（x）=[-苴-Q=-x2Xe（0,+oo）,

所以當(dāng)時(shí)，/（.v）>0,則函數(shù)人力="X+三一。不在（0,+8）上單調(diào)遞增，此

時(shí)/（x）無(wú)極值點(diǎn)；

當(dāng)0<aV*時(shí)，方程蘇-工+〃=0的判別式A=1-4c2=（1-2a）（1+2a）>0,

l-Vl-4a2l+Vl-4a2

令/(x)>0,解得

l+Jl-4a2

令/(A-)<0,解得kV

l-Jl-4a2

則函數(shù)/（x）在（0,?）上單調(diào)遞減,

在（I；”?,"J；：4a2）上單調(diào)遞增,在（l+Jl-4a2

，+8）上單調(diào)遞減,

1-Vl-4a21+vl-4a2

所以函數(shù)/a）的極小值點(diǎn)為一-——，極大值點(diǎn)為一-——.

2a2a

綜上，當(dāng)aW0時(shí)，/（x）無(wú)極值點(diǎn)；

11—71—4a21+V1—4a2

當(dāng)0VaV±時(shí)，函數(shù)/（外的極小值點(diǎn)為———,極大值點(diǎn)為一--.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

與極值，考查了轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想，屬中檔題.

16.（15分）（2024?安徽二模）據(jù)新華社北京2月26日?qǐng)?bào)道，中國(guó)航天全年預(yù)計(jì)實(shí)施100

次左右發(fā)射任務(wù)，有望創(chuàng)造新的紀(jì)錄，我國(guó)首個(gè)商業(yè)航天發(fā)射場(chǎng)將迎來(lái)首次發(fā)射任務(wù)，

多個(gè)衛(wèi)星星座將加速組網(wǎng)建設(shè)；中國(guó)航天科技集團(tuán)有限公司計(jì)劃安排近70次宇航發(fā)射任

務(wù)，發(fā)射290余個(gè)航天器，實(shí)施一系列重大工程任務(wù).由于?航天行業(yè)擁有廣闊的發(fā)展前

景，有越來(lái)越多的公司開始從事航天研究，某航天公司研發(fā)了一種火箭推進(jìn)器，為測(cè)試

其性能，對(duì)推進(jìn)器飛行距離與損壞零件數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，數(shù)據(jù)如下：

飛行距離x（kkm）5663717990102110117

損壞零件數(shù)y（個(gè)）617390105119136149163

參考數(shù)據(jù):x=86,y=112,芍%=82743,Jf=i靖=62680.

（1）建立y關(guān)于x的回歸模型y=bx+a,根據(jù)所給數(shù)據(jù)及回歸模型，求），關(guān)于x的回

歸方程（b精確到0.1,a精確到1）；

（2）該公司進(jìn)行了第二項(xiàng)測(cè)試，從所有同型號(hào)推進(jìn)器中隨機(jī)抽取100臺(tái)進(jìn)行等距離飛行

測(cè)試，對(duì)其中60臺(tái)進(jìn)行飛行前保養(yǎng)，測(cè)試結(jié)束后，有20臺(tái)報(bào)廢，其中保養(yǎng)過(guò)的推進(jìn)器

占比30%,請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成2X2列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn),

能否認(rèn)為推進(jìn)器是否報(bào)廢與保養(yǎng)有關(guān)？

保養(yǎng)未保養(yǎng)合計(jì)

報(bào)廢20

未報(bào)廢

合計(jì)60100

附：回歸方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為b=刃

%C）

A2

Q=ybx,K2=（Q+b）（￡d）（a2）S+d），〃—a+Hc+出

P（片2依）0.250.10.050.0250.010.0C1

ko1.3232.7063.8415.0246.63510.828

【考點(diǎn)】線性回歸方程.

【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】（1）y=1.6X-26；

（2）補(bǔ)充2X2列聯(lián)表如下:

保養(yǎng)未保養(yǎng)合計(jì)

報(bào)廢61420

未報(bào)廢542680

合計(jì)6040100

是否報(bào)廢與是否保養(yǎng)有關(guān)，此推斷的錯(cuò)誤的概率不大丁0.01.

【分析】（1）根據(jù)最小二乘估計(jì)計(jì)算得到線性回歸方程即可;

（2）寫出2X2列聯(lián)表，根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)公式計(jì)算比較即可.

82743-8x86x112

I解答】⑴由題意可知"=上尚警=

七『言「62680-8x86?

1.6

a=y-bx—26,

故），關(guān)于x的線性回歸方程為y=1.6x-26.

（2）設(shè)零假設(shè)為M）：是否報(bào)廢與是否保養(yǎng)無(wú)關(guān)，

由題意，報(bào)廢推進(jìn)器中保養(yǎng)過(guò)的共20X30%=6臺(tái)，未保養(yǎng)的推進(jìn)器共20-6=14臺(tái).

補(bǔ)充2X2列聯(lián)表如下：

保養(yǎng)未保養(yǎng)合計(jì)

報(bào)廢61420

未報(bào)廢542680

合計(jì)6040100

川?2_100x(6x26-14x54)2

刑乂-20x40x60x80=9.375>6,635,

根于小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷〃。不成立，

即認(rèn)為是否報(bào)廢與是否保養(yǎng)有關(guān)，此推斷的錯(cuò)誤的概率不大于0.01.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查回歸方程的應(yīng)