重慶市南開(kāi)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

1PAGE第12頁(yè)重慶南開(kāi)中學(xué)高2026級(jí)高二（上）期中考試數(shù)學(xué)試題本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.第Ⅰ卷（選擇題共58分）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知為拋物線上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，則（）A.1 B.2 C.3 D.42.已知數(shù)列滿足：，，則（）A.10 B.11 C.12 D.133.若橢圓的離心率為，上頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為4，則橢圓短軸長(zhǎng)為（）A.2 B. C.4 D.4.已知圓，直線與圓C交于A，B兩點(diǎn)，若為直角三角形，則的值為（）A.1 B.3 C.4 D.95.已知為雙曲線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)的直線交雙曲線于，兩點(diǎn)，其中，則的最小值為（）A. B. C. D.6.已知正方體中，為平面上一動(dòng)點(diǎn)，若到的距離與到的距離相等，則的軌跡為（）A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線7.已知雙曲線的左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為A，F(xiàn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線l與雙曲線的兩條漸近線交于點(diǎn)M，N，設(shè)M，N的中點(diǎn)為P，滿足，則直線l的斜率為（）A. B. C. D.8.已知F為橢圓的右焦點(diǎn)，A，B為圓上兩個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，若恒成立，則該橢圓的離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知數(shù)列滿足：，則以下說(shuō)法正確的是（）A.數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列 B.C. D.10.如圖，，為雙曲線的左右焦點(diǎn)，，為該雙曲線的兩條漸近線，到一條漸近線的距離為2，過(guò)的直線與雙曲線左右兩支分別交于點(diǎn)M，N，.則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C.的內(nèi)切圓半徑是 D.11.如圖所示，橢圓E:x2a2+y2b2=1a>b>0，雙曲線，雙曲線.三條曲線有相同焦點(diǎn)，且，P，Q分別為橢圓E與雙曲線，的交點(diǎn).，三條曲線的離心率分別為e，，，則（）A. B.曲線E和在點(diǎn)Q處的切線互相垂直C. D.若，則第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知直線過(guò)點(diǎn)，并且與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，寫(xiě)出滿足條件的的一個(gè)方程________________.13.已知橢圓，是橢圓C的右頂點(diǎn)，過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)垂直于長(zhǎng)軸的直線交橢圓于M，N兩點(diǎn)，則的面積為_(kāi)_______________.14.已知拋物線，準(zhǔn)線為l，過(guò)直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，AP垂直l于點(diǎn)P，點(diǎn)C滿足，則的最小值為_(kāi)_______________.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.等差數(shù)列前n項(xiàng)和為，若，，公差.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求n的值.16.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為A，，點(diǎn)在橢圓C上.（1）求橢圓C的方程；（2）直線l過(guò)點(diǎn)，與C交于D，E兩點(diǎn)，若，求直線l的方程.17.如圖，在四棱錐中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為平行四邊形，其中∠ABC＝45°，，E為棱PC上一動(dòng)點(diǎn).（1）若E為PC中點(diǎn)，求證：AE⊥平面PBC；（2）若E是棱PC上靠近P的三等分點(diǎn)，求平面ABE和平面PBE夾角的余弦值.18.已知，動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離比到直線的距離小1.記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為E.（1）求E的方程；（2）設(shè)，過(guò)點(diǎn)P作E的切線，與直線l交于點(diǎn)K，直線PT與l交于點(diǎn)M，與拋物線交于另一點(diǎn)Q.（i）證明：點(diǎn)K與點(diǎn)M縱坐標(biāo)的乘積為定值；（ii）設(shè)，，求的最大值.19.已知雙曲線，過(guò)右焦點(diǎn)的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn).當(dāng)直線的斜率為時(shí)，線段AB的中點(diǎn)為.（1）求雙曲線的方程；（2）直線上有兩點(diǎn)P，Q滿足：，，其中，.已知，點(diǎn)P在雙曲線上.（i）證明：點(diǎn)Q也雙曲線上；（ii）若，是否存在以PQ為直徑的圓，與y軸相切.若存在，求出圓的方程；若不存在，說(shuō)明理由.重慶南開(kāi)中學(xué)高2026級(jí)高二（上）期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.【答案】C2.【答案】B3.【答案】D4.【答案】B5.【答案】B6.【答案】D7.【答案】A8.【答案】C二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.【答案】AD10.【答案】ABD11.【答案】BCD第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.【答案】（答案不唯一）13.【答案】14.【答案】四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.【解析】【分析】（1）由等差數(shù)列及其求和公式的基本量的計(jì)算即可得解；（2）直接由等差數(shù)列求和公式列方程即可求解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，則，解得，所以；【小問(wèn)2詳解】若，即，解得或（舍去）.16.【解析】【分析】（1）根據(jù)題設(shè)可得、，結(jié)合橢圓參數(shù)關(guān)系求橢圓方程；（2）由題設(shè)，可設(shè)，，聯(lián)立橢圓并應(yīng)用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式列方程求參數(shù)m，即可得直線方程.【小問(wèn)1詳解】由，得，易知，又且，可得，所以橢圓方程為.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線斜率為0時(shí)，與橢圓沒(méi)有交點(diǎn)，不合題意，可設(shè)，，聯(lián)立拋物線，則，整理得，所以，即，則，，所以，整理得，可得（負(fù)值舍），即，所以，直線的方程為.17.【解析】【分析】（1）根據(jù)題設(shè)可得，由線面垂直的性質(zhì)有，再根據(jù)線面垂直的判定、性質(zhì)定理得，等腰三角形性質(zhì)得，最后根據(jù)線面垂直的判定證結(jié)論；（2）構(gòu)建合適的空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法求面面角的余弦值即可.【小問(wèn)1詳解】由題設(shè)，所以，由PA⊥平面ABCD，面，則，又均在面內(nèi)，所以面，由面，則，因?yàn)?，且E為PC中點(diǎn)，則，由均在面內(nèi)，所以AE⊥平面PBC；【小問(wèn)2詳解】由（1），且四邊形ABCD為平行四邊形，則，又PA⊥平面ABCD，故可構(gòu)建如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，所以，由，則，所以，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，若平面ABE和平面PBE夾角為，則.18.【解析】【分析】（1）根據(jù)題設(shè)并利用兩點(diǎn)距離公式列方程求軌跡方程；（2）（i）由題意有，設(shè)直線，聯(lián)立拋物線并結(jié)合相切關(guān)系求得，進(jìn)而有，即可求K坐標(biāo)，即可證；（ii）由題意得，聯(lián)立與拋物線，應(yīng)用韋達(dá)定理最值即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，顯然，由題設(shè)，所以，即為動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；【小問(wèn)2詳解】由題意，可設(shè)直線，則，（i）設(shè)直線，聯(lián)立，得，因?yàn)榕c拋物線相切，所以，則，所以，令，得，而，所以，故點(diǎn)K與點(diǎn)M的縱坐標(biāo)的乘積為定值；（ii）由題意，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，聯(lián)立，得，顯然，所以，，則，，所以，綜上，，即目標(biāo)式最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立.19.【解析】【分析】（1）先根據(jù)題設(shè)求得，再應(yīng)用點(diǎn)差法得到，結(jié)合雙曲線參數(shù)關(guān)系求出參數(shù)，即可得方程；（2）（i）由題意，，先將代入雙曲線得到，再把代入雙曲線左側(cè)表達(dá)式化簡(jiǎn)判斷否等于1，即可證；（ii）設(shè)、，結(jié)合在上，得到、中橫縱坐標(biāo)關(guān)系，并化簡(jiǎn)得直線的方程為，聯(lián)立雙曲線應(yīng)用韋達(dá)定理，結(jié)合等于2倍的圓心橫坐標(biāo)絕對(duì)值列方程求得、，進(jìn)而寫(xiě)出圓的方程，即可判斷存在性.【小問(wèn)1詳解】令直線，若，有，設(shè)，則，作差并整理得，代入斜率和中點(diǎn)得，又，可得，故雙曲線方程為.【小問(wèn)2詳解】（i）由題意，，由在雙曲線上，則，整理得，所以，將代入雙曲線左側(cè)得，所以點(diǎn)Q也在雙曲線