初中數(shù)學(xué)必會(huì)幾何模型精講精練之圓中不規(guī)則圖形面積解法

初中數(shù)學(xué)常見幾何模型精講精練圓中不規(guī)則圖形面積解法方法一公式法例題11.如圖，在半徑為的圓形紙片中，剪一個(gè)圓心角為90°的最大扇形（陰影部分），則這個(gè)扇形的面積為_____；若將此扇形圍成一個(gè)無底的圓錐（不計(jì)接頭），則圓錐底面半徑為_____．【答案】①.π②.【解析】【分析】由勾股定理求扇形的半徑，再根據(jù)扇形面積公式求值；根據(jù)扇形的弧長(zhǎng)等于底面周長(zhǎng)求得底面半徑即可．【詳解】解：連接BC，由∠BAC＝90°得BC為⊙O的直徑，∴BC＝2，在Rt△ABC中，由勾股定理可得：AB＝AC＝2，∴S扇形ABC＝＝π；∴扇形的弧長(zhǎng)為：＝π，設(shè)底面半徑為r，則2πr＝π，解得：r＝，故答案為：π，．【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．變式12.如圖，將邊長(zhǎng)為3的正六邊形鐵絲框（面積記為）變形為以點(diǎn)D為圓心，為半徑的扇形（面積記為），則與的關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由正六邊形的性質(zhì)出的長(zhǎng)，根據(jù)扇形面積公式=×弧長(zhǎng)×半徑，可得結(jié)果【詳解】解：由題意：∴∴∴故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓、正六邊形的性質(zhì)、扇形面積公式；熟練掌握正六邊形的性質(zhì)，求出弧長(zhǎng)是解決問題的關(guān)鍵．變式23.如圖，在中，E為BC的中點(diǎn)，以E為圓心，BE長(zhǎng)為半徑畫弧交對(duì)角線AC于點(diǎn)F，若，，，則扇形BEF的面積為________．

【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和、三角形的外角以及等腰三角形性質(zhì)求出，然后根據(jù)扇形面積公式計(jì)算．【詳解】解：∵，，∴，∵E為BC的中點(diǎn)，EB、EF為半徑，∴，∴，∵，∴，∴扇形BEF的面積．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是扇形面積計(jì)算，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形性質(zhì)，掌握扇形面積計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．變式34.如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)，的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，把繞著點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到．（1）求的正切值．（2）求扇形的面積．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】(1)過點(diǎn)C作CD⊥AB，交AB的延長(zhǎng)線于D，如圖,根據(jù)正切的定義求解；

(2)連接CC′，如圖，先利用勾股定理的逆定理證明△ACC為直角三角形，則∠CAC=90°，然后根據(jù)扇形的面積公式計(jì)算．【詳解】解：（1）過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于，則，，∴在中，．（2）連接，，，∵，∴為直角三角形，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖一旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對(duì)應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．方法二直接和差法特征：陰影部分是幾個(gè)常見圖形組合而成．計(jì)算方法：一、直接和差法：圖形轉(zhuǎn)化后的圖形面積計(jì)算方法例題25.某種冰激凌的外包裝可以視為圓錐，它的底面圓直徑與母線長(zhǎng)之比為．制作這種外包裝需要用如圖所示的等腰三角形材料，其中，．將扇形圍成圓錐時(shí)，，恰好重合．（1）求這種加工材料的頂角的大?。?）若圓錐底面圓的直徑為5cm，求加工材料剩余部分（圖中陰影部分）的面積．（結(jié)果保留）

【答案】（1）=90°；（2）S陰影=（100-）cm2．【解析】【分析】（1）設(shè)ED=x，則AD=2x，根據(jù)圓的周長(zhǎng)求弧長(zhǎng)，利用弧長(zhǎng)公式求即可；（2）由，=90°，可得△ABC為等腰直角三角形，由可求BD=CD=AD=10cm，利用三角形面積公式求S△BAC=，利用扇形面積公式求，利用面積差求S陰影即可．【詳解】解：（1）設(shè)ED=x，則AD=2x，∴弧長(zhǎng)，∴，∴=90°；（2）∵ED=5cm，∴AD=2ED=10cm，∵，=90°，∴△ABC為等腰直角三角形，∵，∴BD=CD=AD=10cm，∴BC=BD+CD=20cm，∴S△BAC=cm2，∴，∴S陰影=S△BAC-=（100-）cm2．【點(diǎn)睛】本題考查圓錐，側(cè)面展開圖，扇形面積公式，等腰直角三角形判定與性質(zhì)，利用割補(bǔ)法求陰影面積，掌握?qǐng)A錐，側(cè)面展開圖，扇形面積公式，等腰直角三角形判定與性質(zhì)，利用割補(bǔ)法求陰影面積是解題關(guān)鍵．變式46.如圖，在扇形中，已知，，過的中點(diǎn)C作，，垂足分別為點(diǎn)D，E，則圖中陰影部分的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)矩形的判定定理得到四邊形ODCE是矩形，連接OC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到OD=OE，然后得到矩形ODCE是正方形，最后利用扇形和正方形的面積公式計(jì)算即可．【詳解】如圖所示，連接OC∵，，∴四邊形ODCE是矩形∵點(diǎn)C是的中點(diǎn)∴∴∴∴四邊形ODCE是正方形∴∴∴即由扇形的面積公式可得：∴故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的判定定理和性質(zhì)、正方形的判定定理和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、扇形面積的計(jì)算公式，熟練掌握相應(yīng)的判定定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式57.如圖，在中，，，則圖中陰影部分的面積是_________．（結(jié)果保留）【答案】【解析】【分析】由，根據(jù)圓周角定理得出，根據(jù)S陰影=S扇形AOB－可得出結(jié)論．【詳解】解：∵，∴，∴S陰影=S扇形AOB－，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓周角定理、扇形的面積計(jì)算，根據(jù)題意求得三角形與扇形的面積是解答此題的關(guān)鍵．變式68.如圖，在中，BC＝4，且的面積為4，以點(diǎn)A為圓心，2為半徑的⊙A交AB于E，交AC于F，點(diǎn)P是⊙A上一點(diǎn)，且∠＝45°．（1）求證：BC為⊙A的切線；（2）求圖中陰影部分的面積．【答案】（1）證明見詳解；（2）．【解析】【分析】（1）作AD⊥BC，根據(jù)三角形的面積，可求出AD＝2=半徑且為BC邊上的高，即可判定；（2）再根據(jù)圓周角定理得∠EAF＝2∠EPF＝90°，而＝，然后利用扇形的面積公式：S＝和三角形的面積公式即可計(jì)算出圖中陰影部分的面積．【詳解】解：（1）過點(diǎn)A作AD⊥BC，如圖，∵BC=4，S△ABC=4，∴，∴AD=2，又⊙A的半徑為2，∴BC與⊙A相切，切點(diǎn)為點(diǎn)D，（2）∵由（1）可知⊙A與BC相切于點(diǎn)D，∴AD⊥BC，且AD＝2，又∵∠EPF＝45°∴∠BAC=90°，而BC＝4，，∴＝＝BC×AD﹣＝．【點(diǎn)睛】本題考查了扇形的面積公式：S＝（其中n為扇形的圓心角的度數(shù)，R為圓的半徑），或S＝lR，l為扇形的弧長(zhǎng)，R為半徑．同時(shí)考查了切線的性質(zhì)定理和圓周角定理．二、構(gòu)造和差法：圖形轉(zhuǎn)化后的圖形面積計(jì)算方法例題39.如圖，已知⊙O的半徑是4，點(diǎn)A,B,C在⊙O上，若四邊形OABC為菱形，則圖中陰影部分面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】連接OB和AC交于點(diǎn)D，根據(jù)菱形及直角三角形的性質(zhì)先求出AC的長(zhǎng)及∠AOC的度數(shù)，然后求出菱形ABCO及扇形AOC的面積，則由S扇形AOC-S菱形ABCO可得答案．【詳解】連接OB和AC交于點(diǎn)D，如圖所示：

∵圓的半徑為4，

∴OB=OA=OC=4，

又四邊形OABC是菱形，

∴OB⊥AC，OD=OB=2，

在Rt△COD中利用勾股定理可知：CD=,∵sin∠COD=∴∠COD=60°，∠AOC=2∠COD=120°，

∴S菱形ABCO=,∴S扇形=,則圖中陰影部分面積為S扇形AOC-S菱形ABCO=.故選B.【點(diǎn)睛】考查扇形面積的計(jì)算及菱形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握菱形的面積=a?b（a、b是兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度）；扇形的面積=.變式7【2019·泰安】10.如圖，，，以點(diǎn)為圓心，為半徑作弧交于點(diǎn)，點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，則陰影部分的面積為_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意連接OC，可得陰影部分的面積等于兩個(gè)陰影部分面積之和，再根據(jù)弧AC所對(duì)的陰影部分面積等于弧AC所對(duì)圓心角的面積減去的面積，而不規(guī)則圖形BCD的面積等于的面積減去弧DC所對(duì)圓心角的面積.進(jìn)而可得陰影部分的面積.【詳解】解：根據(jù)題意連接OC為等邊三角形陰影部分面積1=陰影部分面積2=陰影部分面積=陰影部分面積1+陰影部分面積2=故答案為．【點(diǎn)睛】本題只要考查圓弧的面積計(jì)算，關(guān)鍵在于陰影部分面積的分割.變式811.如圖，A，C是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，B，D是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，圓弧與圍成了一個(gè)封閉圖形，當(dāng)線段AC與BD都最短時(shí)，圖中陰影部分的面積為________．【答案】【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)A，要使當(dāng)線段AC與BD都最短，就是使OA最短，利用勾股定理表示出OA與x的函數(shù)解析式，將其函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求出OA的最小值，即可求出AC的值；再利用同樣的方法可求出BC的長(zhǎng)；再證明△ABC是等邊三角形，然后利用扇形的面積公式和三角形的面積公式可求出陰影部分的面積．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)A，要使當(dāng)線段AC與BD都最短，就是使OA最短，∴，∴當(dāng)時(shí)，OA的最小值為，∴x=1（負(fù)值舍去），∴點(diǎn)A（1，1），點(diǎn)；∴AC=，設(shè)點(diǎn)B，要使當(dāng)線段BD都最短，就是使OB最短，∴，∴當(dāng)時(shí)，OB的最小值為，∴x=-（負(fù)值舍去），∴點(diǎn)B，點(diǎn)D；∵點(diǎn)B和點(diǎn)D，點(diǎn)A和點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴BC=AB=CD=AD，∴，∴△ABC是等邊三角形，∴BC=AC=AB，∴，∴S陰影部分=．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)，線段最值，二次函數(shù)求最值，等邊三角形，弓形面積的計(jì)算，解題關(guān)鍵在于求出線段的最值．變式92019·新?lián)釁^(qū)三?！?2.如圖，AB＝AC，⊙O為△ABC的外接圓，AF為⊙O的直徑，四邊形ABCD是平行四邊形．（1）求證：AD是⊙O的切線；（2）若∠BAC＝45°，AF＝2，求陰影部分的面積．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）由題意根據(jù)垂徑定理得到AF⊥BC，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD∥BC，求得AD⊥AF，于是得到AD是⊙O的切線；（2）根據(jù)題意連接OC，OB，根據(jù)圓周角定理得到∠BOC=90°，根據(jù)勾股定理得到BC=，求得AD=BC=，連接OE，根據(jù)梯形和扇形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）∵AB＝AC，∴，∵AF為⊙O的直徑，∴AF⊥BC，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∠AD⊥AF，∴AD是⊙O的切線；（2）連接OC，OB，∵∠BAC＝45°，∴∠BOC＝90°，∵AF＝2，∴OB＝OC＝1，∴BC＝，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC＝，連接OE，∵AB∥BD，∴∠ACE＝∠BAC＝45°，∴∠AOE＝2∠ACE＝90°，∵OA＝OE＝1，∴陰影部分的面積＝S梯形AOED﹣S扇形AOE＝（1+）×1﹣＝．【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，扇形的面積的計(jì)算，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．方法三：重疊法特征：幾個(gè)常見圖形經(jīng)過一次性重疊組成常見圖形，從而重疊部分是陰影部分．計(jì)算方法：例題413.如圖，正方形的邊長(zhǎng)為a，以各邊為直徑在正方形內(nèi)畫半圓．求圖中陰影部分的面積．【答案】【解析】【分析】陰影部分的面積為正方形的面積減去四空白的面積．而正方形的面積減去兩個(gè)半圓的面積就得兩個(gè)空隙的面積，正方形的面積為a2，半圓的面積為π.【詳解】解：如圖，圖中四個(gè)半圓都通過正方形的中心，用正方形的面積減去四空白的面積，剩下的就是陰影部分的面積，而正方形的面積減去兩個(gè)半圓的面積就得兩個(gè)空隙的面積，∴，∴∴【點(diǎn)睛】本題考查了圓的面積以及不規(guī)則的幾何圖形的面積的求法，將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何圖形的面積的和與差是解題的關(guān)鍵．變式1014.如圖，在Rt中，∠BCA=90°兩分圓別以為半徑畫圓，則陰影部分的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】設(shè)各個(gè)部分的面積為：S1、S2、S3、S4、S5，如圖所示，∵兩個(gè)半圓的面積和是：S1+S5+S4+S2+S3+S4，△ABC的面積是S3+S4+S5，陰影部分面積是：S1+S2+S4，∴圖中陰影部分的面積為兩個(gè)半圓的面積減去三角形的面積．即陰影部分的面積=π×4+π×1-4×2÷2=π-4．故選A.變式1115.正三角形的邊長(zhǎng)為2，分別以A、B、C為圓心，以1為半徑在三角形形內(nèi)作弧，作內(nèi)切圓，求陰影部分面積．【答案】【解析】【分析】根據(jù)切線長(zhǎng)定理求出∠OBD=∠OBF=30°，由切線的性質(zhì)得∠ODB=90°，根據(jù)勾股定理求出OD，然后根據(jù)S圓中間空白=6S△BDO-3S扇形BDF和S陰影=S⊙O-S圓中間空白求解即可．【詳解】解：連接OD，OB，由題意知BD=1，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=60°，∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，∴∠OBD=∠OBF=30°，∠ODB=90°，∴OB=2OD，∵OD2+BD2=OB2，∴OD2+12=4OD2，∴OD=，S圓中間空白=6S△BDO-3S扇形BDF==，∴S陰影=S⊙O-S圓中間空白==．故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查了切線長(zhǎng)定理，切線的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，以及扇形面積公式，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．方法四割補(bǔ)法特征：把陰影部分某一部分圖形，改變它的位置后，從新組成一個(gè)常見圖形．計(jì)算方法：例如：圖形轉(zhuǎn)化后的圖形面積計(jì)算方法例題516.如圖，在⊙O中，直徑，AC切于，交⊙O于，若，則陰影部分的面積為______.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)題意連接AD，得到ABC為等腰直角三角形，推出AB=BD，則弓形BD的面積=弓形AD的面積，故陰影部分的面積=△ACD的面積，可解出最終結(jié)果．【詳解】連接AD，，AC切⊙O于A點(diǎn)，，ABC為等腰直角三角形，又，AD=BD，弓形BD的面積=弓形AD的面積，故陰影部分的面積=△ACD的面積，AB=2，CD=AD=BD=，∴S△ACD=CD×AD==1，即陰影部分的面積是1．【點(diǎn)睛】本題考查圓的性質(zhì)及切線和弓形面積的知識(shí)，屬于綜合題，需要充分掌握?qǐng)A的基礎(chǔ)知識(shí)，學(xué)會(huì)運(yùn)用圓的性質(zhì)進(jìn)行解題是關(guān)鍵．變式1217.如圖，兩個(gè)半徑長(zhǎng)均為的直角扇形的圓心分別在對(duì)方的圓弧上，扇形的圓心C是的中點(diǎn)，且扇形繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，半徑，交于點(diǎn)G，半徑，交于點(diǎn)H，則圖中陰影面積等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)扇形面積公式求出兩扇形面積，再過C分別作CM⊥AE于M，CN⊥BE于N，連接EC，再證明△CMG≌△CNH，可證得白色部分的面積等于對(duì)角線為的正方形CMEN得面積，進(jìn)而可求得陰影部分的面積．【詳解】解：∵兩個(gè)直角扇形的半徑長(zhǎng)均為，∴兩個(gè)扇形面積和為，過C分別作CM⊥AE于M，CN⊥BE于N，連接EC，則四邊形CMEN是矩形，∵C是的中點(diǎn)，∴∠AEC=∠BEC，即EC平分∠AEB，∴CM=CN，∴四邊形CMEN是正方形，∴∠CMG=∠MCN=∠CNH，∴∠MCG+∠GCN=∠NCH+∠GCN=90°，∴∠MCG=∠NCH，∴△CMG≌△CNH（ASA），∴白色部分的面積等于對(duì)角線為的正方形CMEN的面積，∴空白部分面積為，∴陰影部分面積為，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查扇形面積公式、圓的有關(guān)性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記扇形面積公式，熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理和全等三角形的判定與性質(zhì)，求出空白部分面積是解答的關(guān)鍵．變式1318.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AD是∠BAC的平分線，經(jīng)過A，D兩點(diǎn)的圓的圓心O恰好落在AB上，⊙O分別與AB、AC相交于點(diǎn)E、F．若圓半徑為2，則陰影部分面積＝_____．【答案】【解析】【分析】連接OD，OF．首先證明OD∥AC，推出S陰影＝S扇形OFA，再證明△AOF是等邊三角形即可解決問題．【詳解】解：連接OD，OF．∵AD是∠BAC的平分線，∴∠DAB＝∠DAC，∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠ODA＝∠DAC，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°，∴S△AFD＝S△OFA，∴S陰影＝S扇形OFA，∵OD＝OA＝2，AB＝6，∴OB＝4，∴OB＝2OD，∴∠B＝30°，∴∠BAC＝60°，∵OF＝OA，∴△AOF是等邊三角形，∴∠AOF＝60°，∴S陰影＝S扇形OFA＝．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查扇形的面積，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加常用輔助線，運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題．變式1419.如圖，是⊙O的直徑，是⊙O上一點(diǎn)，平分，過點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)．（1）求證：是⊙O的切線；（2）若，，求陰影部分的面積．【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）連接OC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BAC=∠ACO，推出ADOC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠OCD=90°，于是得到CD是⊙O的切線；（2）求出∠OEA=∠EOC=60°，由扇形的面積公式可得出答案．【詳解】（1）連接，∵OC=OA，∴∠BAC=∠ACO，∵AC是∠BAD的平分線，∴∠DAC=∠BAC，∴∠DAC=∠ACO，∴ADOC，∴∠OCD+∠D=180°，∵∴∠CDA=90°，∴∠OCD=90°，∴CD是⊙O的切線．（2）連接CE，OE，∵，∴，∵，，∴，和為等邊三角形∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，扇形的面積的計(jì)算，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．方法五等積法特征：陰影部分圖形在不改變面積的前提下，改變它的形狀后，是一個(gè)常見圖形．計(jì)算方法：一、平移法圖形轉(zhuǎn)化后的圖形面積計(jì)算方法例題620.直徑為4cm的圓O1，平移5cm到圓O2，則圖中陰影部分面積為()A.20cm2 B.10cm2C.25cm2 D.16cm2【答案】A【解析】【詳解】分析：通過平移，把⊙O2的半圓向左平移到⊙O1的位置，則圓中陰影部分面積等于一個(gè)矩形的面積，然后根據(jù)面積公式計(jì)算即可．詳解：圓中陰影部分面積=5×4=20（cm2）．故選A．點(diǎn)睛：本題考查了平移的性質(zhì)：把一個(gè)圖形整體沿某一直線方向移動(dòng)，會(huì)得到一個(gè)新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同；新圖形中的每一點(diǎn)，都是由原圖形中的某一點(diǎn)移動(dòng)后得到的，這兩個(gè)點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)．連接各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段平行且相等．二、旋轉(zhuǎn)法圖形轉(zhuǎn)化后的圖形面積計(jì)算方法例題7【2019·揚(yáng)州】21.如圖，將四邊形繞頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至四邊形的位置，若，則圖中陰影部分的面積為________．【答案】【解析】【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠BAB'=45°，四邊形AB'C'D'≌四邊形ABCD，圖中陰影部分的面積=四邊形ABCD的面積+扇形ABB'的面積-四邊形AB'C'D'的面積=扇形ABB'的面積，代入扇形面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠BAB'=45°，四邊形AB'C'D'≌四邊形ABCD，則圖中陰影部分的面積=四邊形ABCD的面積+扇形ABB'的面積-四邊形AB'C'D'的面積=扇形ABB'的面積==2π；故答案為：2π．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、扇形面積公式；熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得出陰影部分的面積=扇形ABB'的面積是解題的關(guān)鍵．變式1822.如圖，，，，，相互外離，它們的半徑都是2，順次連接五個(gè)圓心得到五邊形，則圖中五個(gè)扇形（陰影部分）的面積之和是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出五個(gè)扇形的圓心角之和，利用扇形面積公式求解即可．【詳解】故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形內(nèi)角和，扇形面積公式，理解題意是解題的關(guān)鍵．變式1923.如圖，已知A(2，2)，B(2，1)，將△AOB繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)A′(－2，2)的位置，則圖中陰影部分的面積為________．【答案】【解析】【詳解】試題分析：∵A（，2）、B（，1），∴OA=4，OB=，∵由A（，2）使點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)A′（﹣2，），∴∠A′OA=∠B′OB=90°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，∴陰影部分的面積等于S扇形A'OA﹣S扇形C'OC==，故答案為．考點(diǎn)：1．扇形面積的計(jì)算；2．坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)．視頻變式2024.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為．（1）作出關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的；（2）將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，根據(jù)三角形掃過的痕跡，求圖中陰影部分的面積．【答案】（1）所作圖形如圖所示，見解析；（2）圖中陰影部分的面積為．【解析】【分析】（1）根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到A1、B1、C1，然后描點(diǎn)即可；（2）由題意，陰影部分的面積等于線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°所得到的扇形面積，即可求出答案．【詳解】解：（1）所作圖形如圖所示：（2）由題意可知，∵所求陰影部分的面積等于線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°所得到的扇形面積：．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖——旋轉(zhuǎn)變換，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)準(zhǔn)確找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．也考查了三角形的面積和扇形面積公式．三、對(duì)稱法圖形轉(zhuǎn)化后的圖形面積計(jì)算方法例題8【2018·山西】25.如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，⊙O的半徑為2，以點(diǎn)A為圓心，以AC長(zhǎng)為半徑畫弧交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則圖中陰影部分的面積為（）A.4π﹣4 B.4π﹣8 C.8π﹣4 D.8π﹣8【答案】A【解析】【分析】利用對(duì)稱性可知：陰影部分的面積=扇形AEF的面積-△ABD的面積.【詳解】利用對(duì)稱性可知：陰影部分的面積=扇形AEF的面積-△ABD的面積=×4×2=4π-4，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查扇形的面積公式、正方形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題．變式2126.如圖，AB是圓O的直徑，弦CD⊥AB，∠BCD＝30°，CD＝4，則S陰影＝_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)垂徑定理求得，然后由圓周角定理知∠DOE=60°，然后通過解直角三角形求得線段OD、OE的長(zhǎng)度，最后將相關(guān)線段的長(zhǎng)度代入S陰影=S扇形ODB-S△DOE+S△BEC．【詳解】解：如圖，假設(shè)線段CD、AB交于點(diǎn)E，∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，∴CE＝ED＝2，又∵∠BCD＝30°，∴∠DOE＝2∠BCD＝60°，∠ODE＝30°，∴OE＝DE?cot60°＝2×＝2，OD＝2OE＝4，∴S陰影＝S扇形ODB﹣S△DOE+S△BEC＝＝．故答案為．【點(diǎn)睛】此題考查了垂徑定理、扇形面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用分割法求陰影部分面積，用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考常考題型．變式2227.如圖，在菱形中，對(duì)角線和交于點(diǎn)O，，，分別以點(diǎn)A、點(diǎn)C為圓心，以的長(zhǎng)為半徑畫弧分別與菱形的邊相交，則圖中陰影部分的面積為________．（結(jié)果保留）【答案】【解析】【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AC⊥BD，∠ABC=2∠ABD=60°，即可得出∠BAD=120°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出AO、BD，根據(jù)扇形面積公式、三角形面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∠ABD=30°，∴AC⊥BD，∠ABC=2∠ABD=60°，∴∠BAD=120°，OA=AB=×4=2，由勾股定理得，OB==，∴BD=，∴陰影部分的面積=××2-，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是扇形面積計(jì)算、菱形的性質(zhì)，掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．變式2328.如圖，平行四邊形ABCD中，AB=AC=4，AB⊥AC，O是對(duì)角線的交點(diǎn)，若⊙O過A、C兩點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積之和為_____．【答案】4．【解析】【詳解】∵∠AOB=∠COD，∴S陰影=S△AOB．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=AC=×4=2．∵AB⊥AC，∴S陰影=S△AOB=OA?AB=×2×4=4．【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積的計(jì)算．四、等底等高變形例題929.如圖，在中，，，是的平分線，經(jīng)過，兩點(diǎn)的圓的圓心恰好落在上，分別與、相交于點(diǎn)、．若圓半徑為