高中數(shù)學(xué) 第二講 參數(shù)方程 三 直線的參數(shù)方程課件 新人教A版選修4-4-新人教A版高二選修4-4數(shù)學(xué)課件

三直線的參數(shù)方程第二講

參數(shù)方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解并掌握直線的參數(shù)方程.2.能夠利用直線的參數(shù)方程解決有關(guān)問(wèn)題.問(wèn)題導(dǎo)學(xué)達(dá)標(biāo)檢測(cè)題型探究?jī)?nèi)容索引問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)直線的參數(shù)方程答案y－y0＝tanα(x－x0).思考1

如圖，直線l過(guò)定點(diǎn)M0(x0，y0)且傾斜角為α，那么直線的點(diǎn)斜式方程是什么？思考2

在思考1中，若令x－x0＝tcosα(t為參數(shù))，那么直線l的參數(shù)方程是什么？梳理(1)直線的參數(shù)方程①過(guò)點(diǎn)M0(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為

(t為參數(shù))；②由α為直線的傾斜角知，當(dāng)0<α<π時(shí)，sinα>0.(2)直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義參數(shù)t的絕對(duì)值表示t對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M到M0的距離.①當(dāng)

與e(直線的單位方向向量)同向時(shí)，t取

；②當(dāng)

與e反向時(shí)，t取

，當(dāng)M與M0重合時(shí)，t＝

.(3)重要公式：設(shè)A，B是直線上任意兩點(diǎn)，它們對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為tA，tB，則|AB|＝|tB－tA|＝

.正數(shù)負(fù)數(shù)0題型探究|t|表示t對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M(x，y)到M0的距離.例1

(1)化直線l1的普通方程x＋

y－1＝0為參數(shù)方程，并說(shuō)明|t|的幾何意義；類型一直線的參數(shù)方程與普通方程的互化解答解直線l1與x軸交于點(diǎn)M0(1,0)，解答①代入②消去參數(shù)t，又∵①②兩式平方相加，得(x＋3)2＋(y－1)2＝4t2，反思與感悟(1)一條直線可以由定點(diǎn)M0(x0，y0)，傾斜角α(0≤α<π)惟一確定，直線上動(dòng)點(diǎn)M(x，y)的參數(shù)方程為

(t為參數(shù))，這是直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，特別地，當(dāng)α＝

時(shí)，直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).(2)直線參數(shù)方程的形式不同，參數(shù)t的幾何意義也不同，過(guò)定點(diǎn)M0(x0，y0)，斜率為

的直線的參數(shù)方程是

(a，b為常數(shù)，t為參數(shù)).(1)分別求t＝0,2，－2時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M(x，y)；解答(2)求直線l的傾斜角；解答(3)求直線l上的點(diǎn)M(－3，0)對(duì)應(yīng)的參數(shù)t，并說(shuō)明t的幾何意義.解答解由(2)可知直線l的單位向量命題角度1求弦長(zhǎng)|AB|問(wèn)題例2

已知拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為2的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn).(1)求|AB|；類型二直線參數(shù)方程的應(yīng)用解答解拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)為F(2,0)，設(shè)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)值為t1，t2，(2)求AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)及|FM|.解答解答跟蹤訓(xùn)練2

直線l過(guò)點(diǎn)P0(－4,0)，傾斜角α＝

，l與圓x2＋y2＝7相交于A，B兩點(diǎn).(1)求弦長(zhǎng)|AB|；設(shè)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，(2)求A，B兩點(diǎn)坐標(biāo).解答命題角度2求積|M0A|·|M0B|問(wèn)題例3

過(guò)點(diǎn)P作傾斜角為α的直線與曲線x2＋12y2＝1交于點(diǎn)M，N，求|PM|·|PN|的最小值及相應(yīng)的α值.解答代入曲線x2＋12y2＝1，反思與感悟利用直線的參數(shù)方程，可以求一些距離問(wèn)題，當(dāng)求直線上某一定點(diǎn)到直線與曲線交點(diǎn)的距離時(shí)，根據(jù)直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義解題更為方便.跟蹤訓(xùn)練3

已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,1)，傾斜角α＝

，(1)寫(xiě)出直線l的參數(shù)方程；解答解答(2)設(shè)l與圓x2＋y2＝4相交于兩點(diǎn)A，B，求點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)的距離之積.解因?yàn)辄c(diǎn)A，B都在直線l上，所以可設(shè)它們對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t1和t2，把直線l的參數(shù)方程代入圓的方程x2＋y2＝4，因?yàn)閠1和t2是方程①的解，從而t1t2＝－2.所以|PA|·|PB|＝|t1t2|＝|－2|＝2.類型三直線參數(shù)方程的綜合應(yīng)用解答(1)化C1，C2的方程為普通方程，并說(shuō)明它們分別表示什么曲線；所以曲線C1表示一條直線.得(x＋2)2＋(y－1)2＝1，所以曲線C2表示以(－2,1)為圓心，1為半徑的圓.(2)若曲線C1和C2相交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|.解答代入曲線C2：(x＋2)2＋(y－1)2＝1，設(shè)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，引申探究1.若點(diǎn)P(－4,0)是曲線C1上的定點(diǎn)，本例其它條件不變，求|PA|＋|PB|的值.解答曲線C2是圓(x＋2)2＋(y－1)2＝1.因?yàn)辄c(diǎn)P(－4,0)在圓(x＋2)2＋(y－1)2＝1外，代入曲線C2：(x＋2)2＋(y－1)2＝1，設(shè)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t1，t2，則t1，t2同號(hào)，解答|PA|·|PB|＝|t1t2|＝4.反思與感悟(1)參數(shù)方程中一個(gè)確定的參數(shù)值對(duì)應(yīng)著曲線上一個(gè)確定的點(diǎn)，由參數(shù)方程求曲線交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可以通過(guò)方程組求出參數(shù)值，再根據(jù)參數(shù)值得出交點(diǎn)坐標(biāo).(2)解題時(shí)如果涉及求直線被曲線截得的線段的長(zhǎng)度或者直線上的點(diǎn)與曲線交點(diǎn)之間線段長(zhǎng)度的和、乘積等，都可以利用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義加以解決.跟蹤訓(xùn)練4已知直線l：

(t為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cosθ.(1)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；解曲線C的極坐標(biāo)方程ρ＝2cosθ化為直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x＝0.解答(2)設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(5，

)，直線l與曲線C的交點(diǎn)為A，B，求|MA|·|MB|的值；解答設(shè)這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)根分別為t1，t2，則由參數(shù)t的幾何意義可知，|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18.解由(2)知t1，t2為同號(hào)，解答達(dá)標(biāo)檢測(cè)12345√答案解析解析因?yàn)轭}目所給方程不是參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，參數(shù)t不具有幾何意義，故不能直接由1－0＝1來(lái)得距離，應(yīng)將t＝0，t＝1分別代入方程得到兩點(diǎn)坐標(biāo)(2，－1)和(5,0)，由兩點(diǎn)間距離公式來(lái)求出距離，2.直線

(t為參數(shù)，α＝

)不經(jīng)過(guò)A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限12345答案√12345答案解析－14.設(shè)直線l過(guò)點(diǎn)A(2，－4)，傾斜角為

，則直線l的參數(shù)方程為_(kāi)________________________.12345答案解析12345解答5.一直線過(guò)點(diǎn)P0(3,4)，傾斜角α＝

，求此直線與直線3x＋2y＝6的交點(diǎn)M與P0之間的距離.將它代入已知直線3x＋2y－6＝0，1.經(jīng)過(guò)點(diǎn)M0(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為

(t為參數(shù)).其中t表示直線l上以定點(diǎn)M0為起點(diǎn)，任意一點(diǎn)M(x，y)為終點(diǎn)的有向線段

的數(shù)量，可以為正、為負(fù)，也可以為零.2.直線l：

(t為參數(shù))與二次曲線C交于兩點(diǎn)A，B，A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t1，t2.則|AB|＝|t1－t2|.但|M0