高中數(shù)學 第二講 參數(shù)方程 一 第二課時 參數(shù)方程和普通方程的互化課件 新人教A版選修4-4-新人教A版高二選修4-4數(shù)學課件

第2課時參數(shù)方程和普通方程的互化第二講一曲線的參數(shù)方程學習目標1.了解參數(shù)方程化為普通方程的意義.2.掌握參數(shù)方程化為普通方程的基本方法.3.能根據(jù)參數(shù)方程與普通方程的互化靈活解決問題.問題導學達標檢測題型探究內容索引問題導學思考1要判斷一個點是否在曲線上，你覺得用參數(shù)方程方便還是用普通方程方便？知識點參數(shù)方程和普通方程的互化答案用普通方程比較方便.思考2把參數(shù)方程化為普通方程的關鍵是什么？答案關鍵是消參數(shù).梳理(1)曲線的普通方程和參數(shù)方程的互相轉化①曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式.一般地，可以通過而從參數(shù)方程得到普通方程；②如果知道變數(shù)x，y中的一個與參數(shù)t的關系，例如，把它代入普通方程，求出另一個變數(shù)與參數(shù)的關系，那么就是曲線的參數(shù)方程.消去參數(shù)x＝f(t)y＝g(t)(2)參數(shù)方程化為普通方程的三種常用方法①代入法：利用解方程的技巧求出參數(shù)t，然后代入消去參數(shù)；②三角函數(shù)法：利用三角恒等式消去參數(shù)；③整體消元法：根據(jù)參數(shù)方程本身的結構特征，從整體上消去.特別提醒：化參數(shù)方程為普通方程F(x，y)＝0，在消參過程中注意變量x，y的取值范圍，必須根據(jù)參數(shù)的取值范圍，確定f(t)和g(t)的值域得x，y的取值范圍.題型探究例1將下列參數(shù)方程化為普通方程，并判斷曲線的形狀.類型一參數(shù)方程化為普通方程解答得y＝－2x＋3(x≥1)，這是以(1,1)為端點的一條射線.解答解答所以所求的方程為x＋y＝1(x≠－1，y≠2).方程表示直線(去掉一點(－1,2)).所以x＋y＝1(x≠－1，y≠2).方程表示直線(去掉一點(－1,2)).反思與感悟消去參數(shù)方程中參數(shù)的技巧(1)加減消參數(shù)法：如果參數(shù)方程中參數(shù)的符號相等或相反，常常利用兩式相減或相加的方法消去參數(shù).(2)代入消參數(shù)法：利用方程思想，解出參數(shù)的值，代入另一個方程消去參數(shù)的方法，稱為代入消參法，這是非常重要的消參方法.(3)三角函數(shù)式消參數(shù)法：利用三角函數(shù)基本關系式sin2θ＋cos2θ＝1消去參數(shù)θ.解答跟蹤訓練1將下列參數(shù)方程化為普通方程：∴x≥2或x≤－2，∴普通方程為x2＝y(tǒng)＋2(x≥2或x≤－2).解答兩式平方相加得(x－2)2＋y2＝9，即普通方程為(x－2)2＋y2＝9.例2已知圓C的方程為x2＋y2－2x＝0，根據(jù)下列條件，求圓C的參數(shù)方程.(1)以過原點的直線的傾斜角θ為參數(shù)；類型二普通方程化為參數(shù)方程解答解過原點且傾斜角為θ的直線方程為y＝xtanθ，當x＝0時，y＝0，當x＝2cos2θ時，y＝xtanθ＝2cosθ·sinθ＝sin2θ.(2)設x＝2m，m為參數(shù).解答解把x＝2m代入圓C的普通方程，得4m2＋y2－4m＝0，反思與感悟(1)普通方程化為參數(shù)方程時，選取參數(shù)后，要特別注意參數(shù)的取值范圍，它將決定參數(shù)方程是否與普通方程等價.(2)參數(shù)的選取不同，得到的參數(shù)方程是不同的.跟蹤訓練2已知曲線的普通方程為4x2＋y2＝16.(1)若令y＝4sinθ(θ為參數(shù))，如何求曲線的參數(shù)方程？解答解把y＝4sinθ代入方程，得到4x2＋16sin2θ＝16，于是4x2＝16－16sin2θ＝16cos2θ，∴x＝±2cosθ(由θ的任意性可取x＝2cosθ).(2)若令y＝t(t為參數(shù))，如何求曲線的參數(shù)方程？若令x＝2t(t為參數(shù))，如何求曲線的參數(shù)方程？解答解將y＝t代入普通方程4x2＋y2＝16，得4x2＋t2＝16，因此，橢圓4x2＋y2＝16的參數(shù)方程是同理將x＝2t代入普通方程4x2＋y2＝16，例3已知x，y滿足圓C：x2＋(y－1)2＝1的方程，直線l的參數(shù)方程為

(t為參數(shù)).(1)求3x＋4y的最大值和最小值；類型三參數(shù)方程與普通方程互化的應用∴3x＋4y的最大值為9，最小值為－1.解答解答(2)若P(x，y)是圓C上的點，求P到直線l的最小距離，并求此時點P的坐標.反思與感悟(1)參普互化有利于問題的解決，根據(jù)需要，合理選擇用參數(shù)方程還是普通方程.(2)解決與圓有關的最大值，最小值問題時，通常用圓的參數(shù)方程，將問題轉化為求三角函數(shù)的最大值，最小值問題.跟蹤訓練3在平面直角坐標系xOy中，直線l的方程為x－y＋4＝0.以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C的極坐標方程為ρ2－4ρcos＋6＝0.(1)求直線l的極坐標方程，曲線C的直角坐標方程；解答解直線l的方程為x－y＋4＝0，因為x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以l的極坐標方程為ρcosθ－ρsinθ＋4＝0.所以ρ2－4ρcosθ－4ρsinθ＋6＝0，因為ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以曲線C的直角坐標方程為(x－2)2＋(y－2)2＝2.(2)若點P是曲線C上任意一點，P點的直角坐標為(x，y)，求x＋2y的最大值和最小值.解答達標檢測1.若點P在曲線ρcosθ＋2ρsinθ＝3上，其中0≤θ≤，ρ>0，則點P的軌跡是A.直線x＋2y＝3B.以(3,0)為端點的射線C.圓(x－1)2＋y2＝1D.以(1,1)，(3,0)為端點的線段答案12345√2.將參數(shù)方程(θ為參數(shù))化成普通方程為A.y＝x－2 B.y＝x＋2C.y＝x－2(2≤x≤3) D.y＝x＋2(0≤y≤1)12345√解析由x＝2＋sin2θ，得sin2θ＝x－2，代入y＝sin2θ，∴y＝x－2.又sin2θ＝x－2∈[0,1]，∴x∈[2,3].答案解析3.參數(shù)方程(θ為參數(shù))表示的曲線的普通方程是____________________.12345(－1≤x≤1)y2＝x＋1答案4.將參數(shù)方程(t為參數(shù))化成普通方程為_______________.12345答案解析x2－y＝2(y≥2)12345答案解析圓解析x2＋y2＝(3cosφ＋4sinφ)2＋(4cosφ－3sinφ)2＝25，表示圓.5.參數(shù)方程(φ為參數(shù))表示的圖形是____.1.參數(shù)方程和普通方程的互化參數(shù)方程化為普通方程，可通過代入消元法和三角恒等式消參法消去參數(shù)方程中的參數(shù)，通過曲線的普通方程來判斷曲線的類型，研究曲線的性質.由普通方程化為參數(shù)方程要選定恰當?shù)膮?shù)，尋求曲線上任一點M的坐標(x，y)和參數(shù)的關系，根據(jù)實際問