北京市通州區(qū)2023-2024學年高一下學期7月期末考試 數(shù)學 含解析

2024北京通州高一（下）期末數(shù)學2024年7月本試卷共4頁，共150分.考試時長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，請將答題卡交回.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.復平面內(nèi)點所對應(yīng)復數(shù)的虛部為（）A.1 B. C. D.2.樣本數(shù)據(jù)3，5，7，2，10，2的中位數(shù)是（）A.7 B.6 C.4 D.23.已知向量，，那么向量可以是（）A. B. C. D.4.在三角形中，角所對的邊分別為，已知，則（）A. B. C.或 D.或5.已知圓錐的底面半徑是1，高為，則圓錐的側(cè)面積是（）A. B. C. D.6.如圖，在正方體中，則與所成角為（）A B. C. D.7.在下列關(guān)于直線與平面的命題中，真命題是（）A.若，且，則 B.若，且，則C.若，，，則 D.若，且，則8.一個口袋內(nèi)裝有大小、形狀相同的紅色、黃色和綠色小球各2個，不放回地逐個取出2個小球，則與事件“2個小球都為紅色”互斥而不對立的事件有（）A.2個小球恰有一個紅球 B.2個小球至多有1個紅球C.2個小球中沒有綠球 D.2個小球至少有1個紅球9.一個長為，寬為長方形，取這個長方形的四條邊的中點依次為

，，，

，依次沿

，，，，折疊，使得這個長方形的四個頂點都重合而得到的四面體，稱為“薩默維爾四面體”，如下圖，則這個四面體的體積為（）A. B. C. D.10.達芬奇方磚是在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案，把六片這樣的達·芬奇方磚拼成下圖的組合，這個組合再轉(zhuǎn)換成幾何體，則需要10個正方體疊落而成，若一個小球從圖中陰影小正方體出發(fā)，等概率向相鄰小正方體（具有接觸面）移動一步，則經(jīng)過兩步移動后小球又回到陰影小正方體的概率為（）A. B. C. D.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.設(shè)復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的模為________．12.從寫有數(shù)字的5張卡片中有放回的抽取兩次，兩次抽取的卡片數(shù)字和為5的概率是________．13.已知分別是的角的對邊，若，，，則=______，的面積為______．14.在正方形中，是邊上一點，且，點為的延長線上一點，寫出可以使得成立的，的一組數(shù)據(jù)為________．15.如圖，正方體的棱長為1，為的中點，為線段上的動點，過點，，的平面截該正方體所得截面記為，則下列命題正確的是________．①直線與直線相交；②當時，為四邊形；③當為的中點時，平面截正方體所得的截面面積為；④當時，截面與，分別交于，則．三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16已知向量，．（1）求；（2）若，，，求證：，，三點共線．17.在中小學生體質(zhì)健康測試中，甲、乙兩人各自測試通過的概率分別是0.6和0.8，且測試結(jié)果相互獨立，求：（1）兩人都通過體質(zhì)健康測試的概率；（2）恰有一人通過體質(zhì)健康測試的概率；（3）至少有一人通過體質(zhì)健康測試的概率．18.如圖，在棱長為2的正方體中，點E，F(xiàn)分別是棱的中點．求證：（1）平面；（2）平面；（3）求三棱錐體積．19.某地區(qū)高考實行新方案，規(guī)定：語文、數(shù)學和英語是考生的必考科目，考生還要從物理、化學、生物、歷史、地理和政治六個科目中選取三個科目作為選考科目．為了解某校學生選科情況，現(xiàn)從高一、高二、高三學生中各隨機選取了100名學生作為樣本進行調(diào)查，調(diào)查數(shù)據(jù)如下表，用頻率估計概率．選考情況第1門第2門第3門第4門第5門第6門物理化學生物歷史地理政治高一選科人數(shù)807035203560高二選科人數(shù)604555404060高三選科人數(shù)504060404070（1）已知該校高一年級有400人，估計該學校高一年級學生中選考歷史的人數(shù)；（2）現(xiàn)采用分層抽樣的方式從樣本中隨機抽取三個年級中選擇歷史學科的5名學生組成興趣小組，再從這5人中隨機抽取2名同學參加知識問答比賽，求這2名參賽同學來自不同年級的概率；（3）假設(shè)三個年級選擇選考科目是相互獨立．為了解不同年級學生對各科目的選擇傾向，現(xiàn)從高一、高二、高三樣本中各隨機選取1名學生進行調(diào)查，設(shè)這3名學生均選擇了第k門科目的概率為，當取得最大值時，寫出k的值．（結(jié)論不要求證明）20.在△中，角所對的邊為，△的面積為S，且．（1）求角；（2）若，試判斷△的形狀，并說明理由．21.如圖，七面體中，菱形所在平面與矩形交于，平面與平面交于直線．（1）求證：；（2）再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知條件，試求當為何值時，平面平面？并證明你的結(jié)論．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．2024北京通州高一（下）期末數(shù)學2024年7月本試卷共4頁，共150分.考試時長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，請將答題卡交回.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.復平面內(nèi)點所對應(yīng)復數(shù)的虛部為（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由復數(shù)的幾何意義即可得到點對應(yīng)的復數(shù)，從而得到結(jié)果.【詳解】復平面內(nèi)點所對應(yīng)復數(shù)為，其虛部為.故選：B2.樣本數(shù)據(jù)3，5，7，2，10，2的中位數(shù)是（）A.7 B.6 C.4 D.2【答案】C【解析】【分析】找中位數(shù)要把數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，位于最中間的一個數(shù)（或兩個數(shù)的平均數(shù)）為中位數(shù)．【詳解】解：先對這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序重新排序：2，2，3，5，7，10．位于最中間的數(shù)是3，5，所以這組數(shù)中位數(shù)是．故選：C．3.已知向量，，那么向量可以是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由可得，逐個驗證即可.【詳解】因為，所以，對于A，若，則，所以A正確，對于B，若，則，所以B錯誤，對于C，若，則，所以C錯誤，對于D，若，則，所以D錯誤.故選：A4.在三角形中，角所對的邊分別為，已知，則（）A. B. C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】由得，再由正弦定理計算即可.【詳解】由題意，,因為，所以,由正弦定理得,即，因為,所以或.故選：C.5.已知圓錐的底面半徑是1，高為，則圓錐的側(cè)面積是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意求出圓錐的母線長，再利用圓錐的側(cè)面積公式可求得答案.【詳解】因為圓錐底面半徑是1，高為，所以圓錐的母線長為，所以圓錐的側(cè)面積為.故選：D6.如圖，在正方體中，則與所成角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】連接，根據(jù)定義，得到即為與所成角，即可求解.【詳解】如圖所示：連接，由正方體的性質(zhì)可得，，則即為與所成角，又，所以.故選：C.7.在下列關(guān)于直線與平面的命題中，真命題是（）A.若，且，則 B.若，且，則C.若，，，則 D.若，且，則【答案】B【解析】【分析】利用線面垂直的判定條件說明、推理判斷AB；利用面面平行的判定說明判斷C,利用線面平行的判定說明判斷D.【詳解】對于A，，當平面的交線為時，滿足，此時，A錯誤；對于B，由，得存在過直線平面，，由于，則平面與平面必相交，令，于是，顯然，而，則，同理，又是平面內(nèi)的兩條相交直線，因此，B正確；對于C，,,,或異面，C錯誤；對于D，，令，當直線在平面內(nèi)，且時，滿足，此時不成立，D錯誤.故選：B8.一個口袋內(nèi)裝有大小、形狀相同紅色、黃色和綠色小球各2個，不放回地逐個取出2個小球，則與事件“2個小球都為紅色”互斥而不對立的事件有（）A.2個小球恰有一個紅球 B.2個小球至多有1個紅球C.2個小球中沒有綠球 D.2個小球至少有1個紅球【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，由互斥事件的定義依次分析選項，即可得到結(jié)果.【詳解】2個小球恰有一個紅球包括2個小球1個紅球1個黃球和2個小球1個紅球1個綠球，與事件“2個小球都為紅色”互斥而不對立，符合題意，故A正確；2個小球至多有1個紅球包括2個小球都不是紅球和2個小球恰有1個紅球，則2個小球至多有1個紅球與事件“2個小球都為紅色”是對立事件，故B錯誤；2個小球中沒有綠球包括2個小球都為紅色，2個小球都為黃色和2個小球1個紅球1個黃球，則事件“2個小球都為紅色”是2個小球中沒有綠球的子事件，故C錯誤；2個小球至少有1個紅球包括2個小球都是紅球和2個小球1個紅球1個不是紅球，則事件“2個小球都為紅色”是2個小球至少有1個紅球的子事件，故D錯誤；故選：A9.一個長為，寬為的長方形，取這個長方形的四條邊的中點依次為

，，，

，依次沿

，，，，折疊，使得這個長方形的四個頂點都重合而得到的四面體，稱為“薩默維爾四面體”，如下圖，則這個四面體的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由線面垂直的判定定理可得平面，再由錐體的體積公式代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，，，取中點，連接，又，所以，且，，則，所以，且，平面，所以平面，則.故選：B10.達芬奇方磚是在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案，把六片這樣的達·芬奇方磚拼成下圖的組合，這個組合再轉(zhuǎn)換成幾何體，則需要10個正方體疊落而成，若一個小球從圖中陰影小正方體出發(fā)，等概率向相鄰小正方體（具有接觸面）移動一步，則經(jīng)過兩步移動后小球又回到陰影小正方體的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】，根據(jù)題意，由全概率公式代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，一個小球從圖中陰影小正方體出發(fā)，可以向上，向下或水平移動，設(shè)小球向上移動為事件，小球水平移動為事件，小球向下移動為事件，小球回到陰影為事件，則，則.故選：D第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.設(shè)復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的模為________．【答案】【解析】【分析】由復數(shù)的除法、乘法運算以及模的計算公式即可得解.【詳解】.故答案為：.12.從寫有數(shù)字的5張卡片中有放回的抽取兩次，兩次抽取的卡片數(shù)字和為5的概率是________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件，求出樣本空間及事件包含的樣本點，再利用古典概率公式，即可求出結(jié)果..【詳解】用中的表示第一次取到的卡片數(shù)字，表示第一次取到的卡片數(shù)字，由題知，樣本空間為，共25個，記事件：兩次抽取的卡片數(shù)字和為5，事件包含的樣本點為，共個，所以兩次抽取的卡片數(shù)字和為5的概率是，故答案為：.13.已知分別是的角的對邊，若，，，則=______，的面積為______．【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用向量夾角公式計算即得，再利用三角形面積公式求出面積.【詳解】依題意，，在中，，所以；的面積.故答案為：；14.在正方形中，是邊上一點，且，點為的延長線上一點，寫出可以使得成立的，的一組數(shù)據(jù)為________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運算表示出，再結(jié)合向量的共線即可求得答案.【詳解】由題意知，而，故,則，又點為的延長線上一點，故,可取，則，故使得成立的的一組數(shù)據(jù)為，故答案為：.15.如圖，正方體的棱長為1，為的中點，為線段上的動點，過點，，的平面截該正方體所得截面記為，則下列命題正確的是________．①直線與直線相交；②當時，為四邊形；③當為的中點時，平面截正方體所得的截面面積為；④當時，截面與，分別交于，則．【答案】②③④【解析】【分析】①，由平面，可知直線與直線不可能相交，即可判斷；②，由可得截面S與正方體的另一個交點落在線段上，即可判斷；③，由為的中點，為的中點，可得截面為等腰梯形，求出等腰梯形的上、下底和高，即可求得截面面積，即可判斷；④，當時，延長至，使，連接交于，連接交于連接，取的中點，上一點，使，連接，可求得，再利用勾股定理求出，即可判斷.【詳解】①，因為為線段上的動點，所以平面，由正方體可知平面，所以直線與直線不可能相交，故①錯誤；②，當時，截面S與正方體的另一個交點落在線段上，如圖所示：所以截面為四邊形；又面，故//面，故②正確；③，連接，如下所示：

因為為的中點，為的中點，則，故面即為平面截正方體所得截面；在和中，又，故該截面為等腰梯形，又，，故截面面積，故③正確；④，當時，延長至，使，連接交于，連接交于連接，取的中點，上一點，使，連接，如圖所示：因為且，且，所以且，所以四邊形是平行四邊形，則，由，，所以，則為中點，則，所以，又，可得，所以，則在中，故④正確；故答案為：②③④.三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.已知向量，．（1）求；（2）若，，，求證：，，三點共線．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）結(jié)合向量的坐標運算，以及向量模公式，即可求解；（2）結(jié)合向量共線的性質(zhì)，即可求解．【小問1詳解】解：，，則，故；【小問2詳解】證明：，，則；，所以，所以，，三點共線．17.在中小學生體質(zhì)健康測試中，甲、乙兩人各自測試通過的概率分別是0.6和0.8，且測試結(jié)果相互獨立，求：（1）兩人都通過體質(zhì)健康測試的概率；（2）恰有一人通過體質(zhì)健康測試的概率；（3）至少有一人通過體質(zhì)健康測試的概率．【答案】（1）0.48（2）0.44（3）0.92【解析】【分析】根據(jù)題意，由相互獨立事件的概率乘法公式，代入計算，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】根據(jù)題意，記甲通過體能測試為事件，乙通過體能測試為事件，且事件與事件相互獨立，則兩人都通過體能測試的概率.【小問2詳解】由事件與事件相互獨立，則恰有一人通過體能測試的概率為.【小問3詳解】由事件與事件相互獨立，則至少有一人通過體能測試的概率為.18.如圖，在棱長為2的正方體中，點E，F(xiàn)分別是棱的中點．求證：（1）平面；（2）平面；（3）求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）先證明四邊形為平行四邊形，得出，再根據(jù)線面平行的判定定理即可得證；（2）根據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)定理即可得證；（3）利用到平面距離為三棱錐的高，結(jié)合等體積法求解即可．【小問1詳解】證明：，分別為，的中點，，，且，四邊形為平行四邊形，，又平面，不在平面，平面；【小問2詳解】證明：四邊形為正方形，，，，平面，平面，，，，又，，平面，平面；【小問3詳解】到平面距離為三棱錐的高，，故三棱錐的體積．19.某地區(qū)高考實行新方案，規(guī)定：語文、數(shù)學和英語是考生的必考科目，考生還要從物理、化學、生物、歷史、地理和政治六個科目中選取三個科目作為選考科目．為了解某校學生選科情況，現(xiàn)從高一、高二、高三學生中各隨機選取了100名學生作為樣本進行調(diào)查，調(diào)查數(shù)據(jù)如下表，用頻率估計概率．選考情況第1門第2門第3門第4門第5門第6門物理化學生物歷史地理政治高一選科人數(shù)807035203560高二選科人數(shù)604555404060高三選科人數(shù)504060404070（1）已知該校高一年級有400人，估計該學校高一年級學生中選考歷史的人數(shù)；（2）現(xiàn)采用分層抽樣的方式從樣本中隨機抽取三個年級中選擇歷史學科的5名學生組成興趣小組，再從這5人中隨機抽取2名同學參加知識問答比賽，求這2名參賽同學來自不同年級的概率；（3）假設(shè)三個年級選擇選考科目是相互獨立的．為了解不同年級學生對各科目的選擇傾向，現(xiàn)從高一、高二、高三樣本中各隨機選取1名學生進行調(diào)查，設(shè)這3名學生均選擇了第k門科目的概率為，當取得最大值時，寫出k的值．（結(jié)論不要求證明）【答案】（1）80人（2）（3）6【解析】【分析】（1）樣本中高一學生共有100人，其中選擇歷史學科的學生有20人，由此能估計高一年級選歷史學科的學生人數(shù)．（2）應(yīng)從樣本中三個年級選歷史的學生中分別抽取人數(shù)為1，2，2，編號為，，，，，從這5名運動員中隨機抽取2名參加比賽，利用列舉法能求出事件“這2名參賽同學來自相同年級”的概率．（3）利用相互獨立事件概率乘法公式求解．【小問1詳解】解：由題意知，樣本中高一學生共有人，其中選擇歷史學科的學生有人，故估計高一年級選歷史學科的學生有人．【小問2詳解】解：應(yīng)從樣本中三個年級選歷史的學生中分別抽取人數(shù)為1，2，2，編號為，，，，，從這5名運動員中隨機抽取2名參加比賽，所有可能的結(jié)果為，，，，，，，，，，共10種，設(shè)為事件“這2名參賽同學來自不同年級”，則為事件“這2名參賽同學來自相同年級”有，，，共2種，所以事件發(fā)生的概率．【小問3詳解】解：，，，，，，當取得最大值時，．20.在△中，角所對的邊為，△的面積為S，且．（1）求角；（2）若，試判斷△的形狀，并說明理由．【答案】（1）（2）等腰直角三角形，理由見解析【解