工程測量學（第二版）課件：測量誤差的基本知識

§1測量誤差的概念用儀器對某量進行觀測，就會產(chǎn)生誤差。表現(xiàn)——在同等條件下對某個量進行多次重復觀測，所得觀測值l1，l2，…，ln一般互不相等。設觀測量的真值——，觀測量li的誤差——產(chǎn)生誤差的原因——儀器誤差、觀測誤差與外界環(huán)境。誤差分類——偶然誤差、系統(tǒng)誤差、粗差。測量誤差的基本知識(1)偶然誤差——符號與大小呈偶然性，單個偶然誤差無規(guī)律，大量的偶然誤差有統(tǒng)計規(guī)律。偶然誤差——真誤差。案例三等、四等水準測量，在cm分劃的水準標尺上估讀mm位，估讀的數(shù)有時過大，有時偏??；經(jīng)緯儀測量水平角，大氣折光使望遠鏡中目標的成像不穩(wěn)定，引起瞄準目標有時偏左、有時偏右。多次觀測取平均值可以削弱偶然誤差的影響，不能完全消除偶然誤差的影響。(2)系統(tǒng)誤差——符號與大小保持不變，或按一定規(guī)律變化。案例鋼尺量距，用沒有鑒定、名義長為30m、實際長為30.005m的鋼尺量距，每丈量一整尺段距離就量短了0.005m，產(chǎn)生-0.005m的量距誤差。各整尺段的量距誤差大小都是0.005m，符號都是負，不能抵消，具有累積性。系統(tǒng)誤差對觀測值的影響具有一定的規(guī)律性，找到規(guī)律就可對觀測值施加改正以消除或削弱系統(tǒng)誤差的影響。(3)粗差——測量中的錯誤。案例三角形內(nèi)角和的理論值等于180°，只要測量了任意兩內(nèi)角，第三個內(nèi)角可用180°減去兩內(nèi)角和求得，確定三角形形狀的必要觀測數(shù)為2。若內(nèi)角測量時，經(jīng)緯儀對中對錯了點，所測內(nèi)角就有粗差，沒有檢核條件時，該粗差不能被發(fā)現(xiàn)，更不能被消除。若測量了第三個內(nèi)角——多余觀測，三內(nèi)角和等于180°就構成了一個檢核條件。若角度閉合差超過限差要求，應舍棄錯誤觀測值，重新觀測。粗差可通過多余觀測發(fā)現(xiàn)，重新觀測含粗差的觀測量消除粗差。誤差定義——規(guī)范規(guī)定測量儀器使用前應進行檢驗和校正；按規(guī)范要求操作；布設平面與高程控制網(wǎng)測量控制點的三維坐標時，應有一定量的多余觀測。嚴格按規(guī)范要求進行測量時，系統(tǒng)誤差與粗差是可被消除或削弱到很小，只討論誤差包含有偶然誤差(真誤差)的情形?！?偶然誤差的特性定義——大部分情況下，真值未知，求不出Δ。某些情形中，觀測量函數(shù)的真值已知，案例，三角形內(nèi)角和閉合差ω定義為ωi=(β1+β2+β3)i－180°真值，ω的真誤差——結論：三角形閉合差的真誤差等于閉合差本身。358個三角形閉合差真誤差統(tǒng)計分析案例①偶然誤差有界。一定觀測條件、有限次觀測中，偶然誤差的絕對值不超過一定限值；②小誤差出現(xiàn)的頻率大，大誤差出現(xiàn)的頻率小，③絕對值相等的正、負誤差出現(xiàn)的頻率大致相等；④觀測次數(shù)n→∞，偶然誤差平均值→0偶然誤差的特性當誤差數(shù)n→∞，誤差區(qū)間dΔ→0，小長條矩形頂邊折線變成光滑曲線——正態(tài)分布密度曲線，函數(shù)式——正態(tài)分布概率密度函數(shù)，德國科學家高斯(Gauss)1794年研究誤差規(guī)律時發(fā)現(xiàn)。2衡量精度的標準

一、精度（Precision）

測量值與其真值的接近程度準確度（Accuracy）：表示測量結果與其真值接近程度的量。反映系統(tǒng)誤差的大小。精密度（Precision）：表示測量結果的離散程度。反映偶然誤差的大小量。二、衡量精度的指標

1.中誤差（rootmeansquareerror）

根據(jù)偶然誤差概率分布規(guī)律，以標準差σ為標準衡量在一定觀測條件下觀測結果的精度是比較合適的。在測量中定義：按有限次觀測的偶然誤差求得的標準差為中誤差，用m表示，即兩組觀測值的誤差絕對值相等m1<m2，第一組的觀測成果的精度高于第二組觀測成果的精度次序第一組觀測第二組觀測觀測值真誤差Δ"Δ２觀測值真誤差Δ"Δ２１180°00ˊ03"-39180°00ˊ00"00２180°00ˊ02"-24179°59ˊ59"+11３179°59ˊ58"+24180°00ˊ07"-749４179°59ˊ56"+416180°00ˊ02"-24５180°00ˊ01"-11180°00ˊ01"-11６180°00ˊ00"00179°59ˊ59"+11７180°00ˊ04"-416179°59ˊ52"+864８179°59ˊ57"+39180°00ˊ00"00９179°59ˊ58"+24179°59ˊ57"+39１０180°00ˊ03-39180°00ˊ01"-11Σ||247224130中誤差

-m2-m1+m1+m2XY不同中誤差的正態(tài)分布曲線2.相對誤差（relativeerror）

觀測值的中誤差與觀測值之比，一般用分子為1的分式表示。例如：用鋼卷尺丈量200m和40m兩段距離，量距的中誤差都是±2cm，可見其精度相同，但前者的相對中誤差為0.02／200＝1／10000，而后者則為0.02／40＝l／2000，顯然前者的量距精度高于后者。3.極限誤差（limiterror）

根據(jù)正態(tài)分布曲線，可以表示出偶然誤差出現(xiàn)在微小區(qū)間dΔ中的概率：根據(jù)上式的積分，可得到偶然誤差在任意大小區(qū)間中出現(xiàn)的概率。設以k倍中誤差作為區(qū)間，則在此區(qū)間中誤差出現(xiàn)的概率為：

分別以k＝1，2，3代入上式，可得到偶然誤差的絕對值不大于中誤差、2倍中誤差和3倍中誤差的概率：

由此可見，偶然誤差的絕對值大于2倍中誤差的約占誤差總數(shù)的5%，而大于3倍中誤差的僅占誤差總數(shù)的0.3%。一般進行的測量次數(shù)有限，2倍中誤差應該很少遇到，因此，以2倍中誤差作為允許的誤差極限，稱為允許誤差，簡稱“限差”，即Δ允＝2m

現(xiàn)行測量規(guī)范中通常取2倍中誤差作為限差。用Excel計算§4誤差傳播定律及其應用§5等精度獨立觀測量的最可靠值與精度評定用Excel計算§6.6不等精度獨立觀測量的最可靠值與精度評定§6.6.1權

[例6-6]1，2，3點為已知高等級水準點，獨立觀測了三段水準路線高差，求P點高程的最可靠值與中誤差?！?.6.2加權平均值及其中誤差點高程的加權平均值加權平均值及其中誤差推廣到多元設不等精度獨立觀測量l1，l2，l3…ln權W1，W2，…，Wn§6.6.3單位權中誤差的計算

不等精度獨立觀測量l