遼寧省北票市第三高級中學(xué)2025屆高三下學(xué)期第五次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題含解析_第1頁
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文檔簡介

遼寧省北票市第三高級中學(xué)2025屆高三下學(xué)期第五次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題注意事項1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知定點都在平面內(nèi),定點是內(nèi)異于的動點,且,那么動點在平面內(nèi)的軌跡是()A.圓,但要去掉兩個點 B.橢圓,但要去掉兩個點C.雙曲線,但要去掉兩個點 D.拋物線,但要去掉兩個點2.函數(shù)的大致圖象為()A. B.C. D.3.設(shè)雙曲線的一條漸近線為,且一個焦點與拋物線的焦點相同,則此雙曲線的方程為()A. B. C. D.4.已知整數(shù)滿足,記點的坐標(biāo)為,則點滿足的概率為()A. B. C. D.5.已知復(fù)數(shù)z滿足i?z=2+i,則z的共軛復(fù)數(shù)是()A.﹣1﹣2i B.﹣1+2i C.1﹣2i D.1+2i6.已知集合,定義集合,則等于()A. B.C. D.7.已知函數(shù)滿足,且,則不等式的解集為()A. B. C. D.8.若的展開式中的系數(shù)為-45,則實數(shù)的值為()A. B.2 C. D.9.已知,則的大小關(guān)系為()A. B. C. D.10.在中,,,,點,分別在線段,上,且,,則().A. B. C.4 D.911.單位正方體ABCD-,黑、白兩螞蟻從點A出發(fā)沿棱向前爬行,每走完一條棱稱為“走完一段”.白螞蟻爬地的路線是AA1→A1D1→‥,黑螞蟻爬行的路線是AB→BB1→‥,它們都遵循如下規(guī)則:所爬行的第i+2段與第i段所在直線必須是異面直線(iN*).設(shè)白、黑螞蟻都走完2020段后各自停止在正方體的某個頂點處,這時黑、白兩螞蟻的距離是()A.1 B. C. D.012.設(shè)實數(shù)、滿足約束條件,則的最小值為()A.2 B.24 C.16 D.14二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知實數(shù),滿足約束條件則的最大值為________.14.已知函數(shù),若關(guān)于的方程恰有四個不同的解,則實數(shù)的取值范圍是______.15.已知集合,,則_________.16.為了抗擊新型冠狀病毒肺炎,某醫(yī)藥公司研究出一種消毒劑,據(jù)實驗表明,該藥物釋放量與時間的函數(shù)關(guān)系為(如圖所示),實驗表明,當(dāng)藥物釋放量對人體無害.(1)______;(2)為了不使人身體受到藥物傷害,若使用該消毒劑對房間進(jìn)行消毒,則在消毒后至少經(jīng)過______分鐘人方可進(jìn)入房間.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)f(x)=ex-x2-kx(其中e為自然對數(shù)的底,k為常數(shù))有一個極大值點和一個極小值點.(1)求實數(shù)k的取值范圍;(2)證明:f(x)的極大值不小于1.18.(12分)在銳角中,分別是角的對邊,,,且.(1)求角的大小;(2)求函數(shù)的值域.19.(12分)據(jù)《人民網(wǎng)》報道,美國國家航空航天局(NASA)發(fā)文稱,相比20年前世界變得更綠色了,衛(wèi)星資料顯示中國和印度的行動主導(dǎo)了地球變綠.據(jù)統(tǒng)計,中國新增綠化面積的來自于植樹造林,下表是中國十個地區(qū)在去年植樹造林的相關(guān)數(shù)據(jù).(造林總面積為人工造林、飛播造林、新封山育林、退化林修復(fù)、人工更新的面積之和)單位:公頃地區(qū)造林總面積造林方式人工造林飛播造林新封山育林退化林修復(fù)人工更新內(nèi)蒙61848431105274094136006903826950河北5833613456253333313507656533643河南14900297647134292241715376133重慶2263331006006240063333陜西297642184108336026386516067甘肅325580260144574387998新疆2639031181056264126647107962091青海178414160511597342629寧夏91531589602293882981335北京1906410012400039991053(1)請根據(jù)上述數(shù)據(jù)分別寫出在這十個地區(qū)中人工造林面積與造林總面積的比值最大和最小的地區(qū);(2)在這十個地區(qū)中,任選一個地區(qū),求該地區(qū)新封山育林面積占造林總面積的比值超過的概率;(3)在這十個地區(qū)中,從退化林修復(fù)面積超過一萬公頃的地區(qū)中,任選兩個地區(qū),記X為這兩個地區(qū)中退化林修復(fù)面積超過六萬公頃的地區(qū)的個數(shù),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.20.(12分)在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù),為實數(shù)).以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,曲線與曲線交于,兩點,線段的中點為.(1)求線段長的最小值;(2)求點的軌跡方程.21.(12分)在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),坐標(biāo)原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)若曲線、交于、兩點,是曲線上的動點,求面積的最大值.22.(10分)某大學(xué)生在開學(xué)季準(zhǔn)備銷售一種文具套盒進(jìn)行試創(chuàng)業(yè),在一個開學(xué)季內(nèi),每售出1盒該產(chǎn)品獲利50元,未售出的產(chǎn)品,每盒虧損30元.根據(jù)歷史資料,得到開學(xué)季市場需求量的頻率分布直方圖,如圖所示.該同學(xué)為這個開學(xué)季進(jìn)了160盒該產(chǎn)品,以(單位:盒,)表示這個開學(xué)季內(nèi)的市場需求量,(單位:元)表示這個開學(xué)季內(nèi)經(jīng)銷該產(chǎn)品的利潤.(1)根據(jù)直方圖估計這個開學(xué)季內(nèi)市場需求量的平均數(shù)和眾數(shù);(2)將表示為的函數(shù);(3)以需求量的頻率作為各需求量的概率,求開學(xué)季利潤不少于4800元的概率.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

根據(jù)題意可得,即知C在以AB為直徑的圓上.【詳解】,,,又,,平面,又平面,故在以為直徑的圓上,又是內(nèi)異于的動點,所以的軌跡是圓,但要去掉兩個點A,B故選:A【點睛】本題主要考查了線面垂直、線線垂直的判定,圓的性質(zhì),軌跡問題,屬于中檔題.2、A【解析】

利用特殊點的坐標(biāo)代入,排除掉C,D;再由判斷A選項正確.【詳解】,排除掉C,D;,,,.故選:A.【點睛】本題考查了由函數(shù)解析式判斷函數(shù)的大致圖象問題,代入特殊點,采用排除法求解是解決這類問題的一種常用方法,屬于中檔題.3、C【解析】

求得拋物線的焦點坐標(biāo),可得雙曲線方程的漸近線方程為,由題意可得,又,即,解得,,即可得到所求雙曲線的方程.【詳解】解:拋物線的焦點為可得雙曲線即為的漸近線方程為由題意可得,即又,即解得,.即雙曲線的方程為.故選:C【點睛】本題主要考查了求雙曲線的方程,屬于中檔題.4、D【解析】

列出所有圓內(nèi)的整數(shù)點共有37個,滿足條件的有7個,相除得到概率.【詳解】因為是整數(shù),所以所有滿足條件的點是位于圓(含邊界)內(nèi)的整數(shù)點,滿足條件的整數(shù)點有共37個,滿足的整數(shù)點有7個,則所求概率為.故選:.【點睛】本題考查了古典概率的計算,意在考查學(xué)生的應(yīng)用能力.5、D【解析】

兩邊同乘-i,化簡即可得出答案.【詳解】i?z=2+i兩邊同乘-i得z=1-2i,共軛復(fù)數(shù)為1+2i,選D.【點睛】的共軛復(fù)數(shù)為6、C【解析】

根據(jù)定義,求出,即可求出結(jié)論.【詳解】因為集合,所以,則,所以.故選:C.【點睛】本題考查集合的新定義運算,理解新定義是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,即可得到結(jié)論.【詳解】設(shè),則函數(shù)的導(dǎo)數(shù),,,即函數(shù)為減函數(shù),,,則不等式等價為,則不等式的解集為,即的解為,,由得或,解得或,故不等式的解集為.故選:.【點睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式,考查學(xué)生分析問題解決問題的能力,是難題.8、D【解析】

將多項式的乘法式展開,結(jié)合二項式定理展開式通項,即可求得的值.【詳解】∵所以展開式中的系數(shù)為,∴解得.故選:D.【點睛】本題考查了二項式定理展開式通項的簡單應(yīng)用,指定項系數(shù)的求法,屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,可得,再利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,將與對比,即可求出結(jié)論.【詳解】由題知,,則.故選:A.【點睛】本題考查利用函數(shù)性質(zhì)比較大小,注意與特殊數(shù)的對比,屬于基礎(chǔ)題..10、B【解析】

根據(jù)題意,分析可得,由余弦定理求得的值,由可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意,,則在中,又,則則則則故選:B【點睛】此題考查余弦定理和向量的數(shù)量積運算,掌握基本概念和公式即可解決,屬于簡單題目.11、B【解析】

根據(jù)規(guī)則,觀察黑螞蟻與白螞蟻經(jīng)過幾段后又回到起點,得到每爬1步回到起點,周期為1.計算黑螞蟻爬完2020段后實質(zhì)是到達(dá)哪個點以及計算白螞蟻爬完2020段后實質(zhì)是到達(dá)哪個點,即可計算出它們的距離.【詳解】由題意,白螞蟻爬行路線為AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA,即過1段后又回到起點,可以看作以1為周期,由,白螞蟻爬完2020段后到回到C點;同理,黑螞蟻爬行路線為AB→BB1→B1C1→C1D1→D1D→DA,黑螞蟻爬完2020段后回到D1點,所以它們此時的距離為.故選B.【點睛】本題考查多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問題,考查空間想象與推理能力,屬于中等題.12、D【解析】

做出滿足條件的可行域,根據(jù)圖形即可求解.【詳解】做出滿足的可行域,如下圖陰影部分,根據(jù)圖象,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點時,取得最小值,由,解得,即,所以的最小值為.故選:D.【點睛】本題考查二元一次不等式組表示平面區(qū)域,利用數(shù)形結(jié)合求線性目標(biāo)函數(shù)的最值,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】

作出約束條件表示的可行域,轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)為,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過點時,直線的截距最大,取得最大值,即得解.【詳解】作出約束條件表示的可行域是以為頂點的三角形及其內(nèi)部,轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)為當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過點時,直線的截距最大此時取得最大值1.故答案為:1【點睛】本題考查了線性規(guī)劃問題,考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)形結(jié)合,數(shù)學(xué)運算能力,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

設(shè),判斷為偶函數(shù),考慮x>0時,的解析式和零點個數(shù),利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性,作函數(shù)大致圖象,即可得到的范圍.【詳解】設(shè),則在是偶函數(shù),當(dāng)時,,由得,記,,,故函數(shù)在增,而,所以在減,在增,,當(dāng)時,,當(dāng)時,,因此的圖象為因此實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題主要考查了函數(shù)的零點的個數(shù)問題,涉及構(gòu)造函數(shù),函數(shù)的奇偶性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,考查了數(shù)形結(jié)合思想方法,以及化簡運算能力和推理能力,屬于難題.15、【解析】

根據(jù)交集的定義即可寫出答案?!驹斀狻浚?,故填【點睛】本題考查集合的交集,需熟練掌握集合交集的定義,屬于基礎(chǔ)題。16、240【解析】

(1)由時,,即可得出的值;(2)解不等式組,即可得出答案.【詳解】(1)由圖可知,當(dāng)時,,即(2)由題意可得,解得則為了不使人身體受到藥物傷害,若使用該消毒劑對房間進(jìn)行消毒,則在消毒后至少經(jīng)過分鐘人方可進(jìn)入房間.故答案為:(1)2;(2)40【點睛】本題主要考查了分段函數(shù)的應(yīng)用,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)見解析【解析】

(1)求出,記,問題轉(zhuǎn)化為方程有兩個不同解,求導(dǎo),研究極值即可得結(jié)果;(2)由(1)知,在區(qū)間上存在極大值點,且,則可求出極大值,記,求導(dǎo),求單調(diào)性,求出極值即可.【詳解】(1),由,記,,由,且時,,單調(diào)遞減,,時,,單調(diào)遞增,,由題意,方程有兩個不同解,所以;(2)解法一:由(1)知,在區(qū)間上存在極大值點,且,所以的極大值為,記,則,因為,所以,所以時,,單調(diào)遞減,時,,單調(diào)遞增,所以,即函數(shù)的極大值不小于1.解法二:由(1)知,在區(qū)間上存在極大值點,且,所以的極大值為,因為,,所以.即函數(shù)的極大值不小于1.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,極值,考查學(xué)生綜合分析能力與轉(zhuǎn)化能力,是一道中檔題.18、(1);(2)【解析】

(1)由向量平行的坐標(biāo)表示、正弦定理邊化角和兩角和差正弦公式可化簡求得,進(jìn)而得到;(2)利用兩角和差余弦公式、二倍角和輔助角公式化簡函數(shù)為,根據(jù)的范圍可確定的范圍,結(jié)合正弦函數(shù)圖象可確定所求函數(shù)的值域.【詳解】(1),,由正弦定理得:,即,,,,又,.(2)在銳角中,,..,,,,函數(shù)的值域為.【點睛】本題考查三角恒等變換、解三角形和三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用問題;涉及到共線向量的坐標(biāo)表示、利用三角恒等變換公式化簡求值、正弦定理邊化角的應(yīng)用、正弦型函數(shù)值域的求解等知識.19、(1)人工造林面積與總面積比最大的地區(qū)為甘肅省,人工造林面積與總面積比最小的地區(qū)為青海??;(2);(3)分布列見詳解,數(shù)學(xué)期望為【解析】

(1)通過數(shù)據(jù)的觀察以及計算人工造林面積與造林總面積比值,可得結(jié)果.(2)通過數(shù)據(jù)的觀察以及計算新封山育林面積與造林總面積比值,得出比值超過的地區(qū)個數(shù),然后可得結(jié)果.(3)計算退化林修復(fù)面積超過一萬公頃的地區(qū)中選兩個地區(qū)總數(shù),退化林修復(fù)面積超過六萬公頃的地區(qū)的個數(shù)為,列出所有取值并計算相應(yīng)概率,然后可得結(jié)果.【詳解】(1)人工造林面積與總面積比最大的地區(qū)為甘肅省,人工造林面積與總面積比最小的地區(qū)為青海省.(2)記事件A:在這十個地區(qū)中,任選一個地區(qū),該地區(qū)新封山育林面積占總面積的比值超過根據(jù)數(shù)據(jù)可知:青海地區(qū)人工造林面積占總面積比超過,則(3)退化林修復(fù)面積超過一萬公頃有6個地區(qū):內(nèi)蒙、河北、河南、重慶、陜西、新疆,其中退化林修復(fù)面積超過六萬公頃有3個地區(qū):內(nèi)蒙、河北、重慶,所以X的取值為0,1,2所以,,隨機(jī)變量X的分布列如下:【點睛】本題考查數(shù)據(jù)的處理以及離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望,審清題意,細(xì)心計算,屬基礎(chǔ)題.20、(1)(2)【解析】

(1)將曲線的方程化成直角坐標(biāo)方程為,當(dāng)時,線段取得最小值,利用幾何法求弦長即可.(2)當(dāng)點與點不重合時,設(shè),由利用向量的數(shù)量積等于可求解,最后驗證當(dāng)點與點重合時也滿足.【詳解】解曲線的方程化成直角坐標(biāo)方程為即圓心,半徑,曲線為過定點的直線,易知在圓內(nèi),當(dāng)時,線段長最小為當(dāng)點與點不重合時,設(shè),化簡得當(dāng)點與點重合時,也滿足上式,故點的軌跡方程為【點睛】本題考查了極坐標(biāo)與普通方程的互化、直線與圓的位置關(guān)系、列方程

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