第二十七章 圓與正多邊形（14類題型突破）

第1頁共2頁第二十七章圓與正多邊形14類題型突破重要題型題型一圓的確定與基本概念1．（2020上·上海浦東新·九年級上海民辦建平遠(yuǎn)翔學(xué)校校考階段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．半圓是弧 B．過圓心的線段是直徑C．弦是直徑 D．長度相等的兩條弧是等弧2．（2020上·上海閔行·九年級統(tǒng)考期末）下列命題是真命題的是(

)A．經(jīng)過平面內(nèi)任意三點可作一個圓B．相等的圓心角所對的弧一定相等C．相交兩圓的公共弦一定垂直于兩圓的連心線D．內(nèi)切兩圓的圓心距等于兩圓的半徑的和3．（2022·上海徐匯·統(tǒng)考二模）下列說法中，正確的個數(shù)共有（）（1）一個三角形只有一個外接圓；（2）圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形；（3）在同圓中，相等的圓心角所對的弧相等；（4）三角形的內(nèi)心到該三角形三個頂點距離相等；A．1個 B．2個 C．3個 D．4個鞏固訓(xùn)練：1．（2023上·浙江紹興·九年級?？计谥校┫铝忻}不正確的是（

）A．過一點有無數(shù)個圓B．過三點能作一個圓C．三角形的外心是三角形三邊的中垂線的交點D．直角三角形的外接圓的直徑為直角三角形的斜邊2．（2023上·甘肅武威·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）已知⊙O的最大弦長為8cm，點A，B，C與圓心O的距離分別為2cm，4cm，6cm，則點A在圓，點B在圓，點3．（2023上·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在⊙O中，直徑為MN，正方形ABCD的四個頂點分別在半徑OM、OP以及⊙O上，并且∠POM=45°，若(1)求OD的長；(2)求⊙O

題型二圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系4．（2022·上海金山·校考一模）如圖，O是弧AD所在圓的圓心．已知點B、C將弧AD三等分，那么下列四個選項中不正確的是（

）A．AC=2CD B．AC=2CD C．∠AOC=2∠COD D．5．（2023上·黑龍江齊齊哈爾·九年級統(tǒng)考期中）下列命題正確的有（

）①長度相等的弧是等??；②任意三點確定一個圓；③90°的圓周角所對的弦是直徑；④相等的圓心角所對的弦相等；⑤A．0個 B．1個 C．2個 D．3個6．（2023上·河北唐山·九年級統(tǒng)考期中）在⊙O中AC=2CD，則弦AB與弦A．AB>2CD B．AB=2CD C．AB<2CD D．AB=CD鞏固訓(xùn)練1．（2023上·河北唐山·九年級統(tǒng)考期中）在⊙O中AC=2CD，則弦AB與弦A．AB>2CD B．AB=2CD C．AB<2CD D．AB=CD2．（2023上·北京西城·九年級北京鐵路二中校考期中）如圖，CD是⊙O的直徑，CD=8，，點B為弧AD的中點，點P是直徑CD上的一個動點，則PA+PB的最小值為．

3．（2023上·九年級課時練習(xí)）如圖，AB是的直徑，點C，D在⊙O上，且點C，D在AB的異側(cè)，連接AD，OD，OC．若AC所對圓心角的度數(shù)為70°，且AD∥OC，求AD所對圓心角的度數(shù)．

題型三圓周角定理7．（2023上·浙江臺州·九年級校聯(lián)考期中）如圖，BD是⊙O的直徑，點A,C在⊙O上，AB=AD,AC交BD于點G．若∠COD=126°，則∠AGB的度數(shù)為(

A．108° B．110° C．117° D．1268．（2023上·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期中）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，BD平分∠ABC，若∠D=20°，則∠ABDA．20° B．25° C．30° D．359．（2023上·浙江湖州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在⊙O中，弦AC與半徑OB交于點D，連接，若，則∠AOB的度數(shù)為（

）

A．132° B．120° C．112° D．110鞏固訓(xùn)練1．（2023上·河南新鄉(xiāng)·九年級校考期中）如圖，點A，B，C在⊙O上，∠C+∠AOB=75°，則∠AOB的大小為A．50° B．45° C．40° D．252．（2023上·江蘇泰州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，，∠BAC=30°，則⊙O的半徑長等于．3．（2023上·山東臨沂·九年級統(tǒng)考期中）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠A=45°，BD是直徑，且，連接CD，求BC的長．題型四90度的圓周角所對的弦是直徑10．（2023·江蘇宿遷·校聯(lián)考二模）如圖，直徑為10的⊙A經(jīng)過點C和點O，點B是y軸右側(cè)⊙A優(yōu)弧上一點，∠OBC=30°，則點C的坐標(biāo)為（

）．A．0,5 B．0,53 C．0,5211．（2023上·河南周口·九年級?？计谀⒁粋€含60°角的直角三角板和一個量角器按如圖所示的方式放置，∠ACB=90°，其中點D所在位置在量角器外側(cè)的讀數(shù)為30°，連接DC交AB于點E，則圖中∠BEC的度數(shù)是（

A．75° B．65° C．55° D．4512．（2023上·江蘇揚州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABCD為矩形，AB=6,BC=8，點P是線段BC上一動點，DM⊥AP，垂足為P，則BM的最小值為（

）A．5 B．245 C．485 D鞏固訓(xùn)練1．（2022上·江蘇宿遷·九年級沭陽縣懷文中學(xué)校考階段練習(xí)）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=14，BC=24，點D為線段BC上一動點，以CD為⊙O直徑，作AD交⊙O于點E，則A．16 B．18 C．20 D．222．（2022上·江蘇南京·九年級南京市科利華中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，點D是AC邊上一動點，連結(jié)BD，以AD為直徑的圓交BD于點E，則CE長度的最小值是．

3．（2021上·浙江紹興·九年級新昌縣七星中學(xué)?？计谥校┤鐖D，∠BAC的平分線AD交△ABC外接圓于點D，若∠BAD=∠CAD=45°．連結(jié)BD，AB=2，時，(1)求⊙O的半徑；(2)求BD的長(3)求AD的長題型五已知圓內(nèi)接四邊形求角度13．（2022上·北京朝陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若∠C=130°，則∠BOD的度數(shù)為（

A．50° B．100° C．130° D．15014．（2023上·山東德州·九年級校聯(lián)考期中）如圖，已知ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∠B=40°，AD=CD，則下列結(jié)論錯誤的是(

)A．∠D=140° B．∠ACD=20° C．∠AOC=90° D．∠15．（2023上·浙江溫州·九年級溫州市第八中學(xué)校考期中）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，已知點C為BD的中點，若∠A=50°，則∠CBD的度數(shù)為（

A．25° B．30° C．35° D．40鞏固訓(xùn)練1．（2023上·山東濟寧·九年級統(tǒng)考期中）如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠A=100°，則∠BOD的度數(shù)是（

A．130° B．140° C．150° D．1602．（2023上·江蘇泰州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AD、BC的延長線相交于點E，AB、DC的延長線相交于點F．若∠E=52°，∠F=36°，則∠A的度數(shù)為3．（2023上·福建福州·九年級校聯(lián)考期中）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB=AC，連接AC，若，求∠

題型六利用垂徑定理求值16．（2023上·山西朔州·九年級?？计谥校┤鐖D，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，若CD=8，，則⊙O的半徑為（

）A．4 B．5 C．6 D．717．（2023上·浙江麗水·九年級統(tǒng)考期中）如圖，⊙O的半徑是3，點P是弦AB延長線上的一點，連結(jié)OP，若，∠APO=30°，則弦AB的長為（

）A． B．5 C．23 D．218．（2023上·河南駐馬店·九年級統(tǒng)考期中）如圖，點在圓O上，OC⊥AB，垂足為D，若⊙O的半徑是10，AB=12，則CD=（

）

A．2 B．2.4 C．3 D．4鞏固訓(xùn)練1．（2022上·黑龍江齊齊哈爾·九年級統(tǒng)考期中）如圖，⊙O的直徑CD過弦AB的中點G，∠AOD=60°，則∠DCBA．120° B．60° C．50° D．302．（2023上·河南許昌·九年級統(tǒng)考期中）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，筒車盛水桶的運行軌道是以軸心O為圓心的圓，如圖1．唐代陳廷章在《水輪賦》中寫道“水能利物，輪乃曲成”．如圖2，已知圓心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB長為8米，若點C為運行軌道的最低點，點C到弦AB所在直線的距離是2，則⊙O的半徑長為3．（2023上·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期中）根據(jù)江心洲地質(zhì)水文條件量身打造的“新時代號”泥水平衡盾構(gòu)機，是目前世界上最先進(jìn)的盾構(gòu)設(shè)備之一，被譽為“國之重器”．如圖1，盾構(gòu)機核心部件——刀盤的形狀是一個圓形．如圖2，當(dāng)機器暫停時，刀盤露在地上部分的跨度AB=12m，拱高（弧的中點到弦的距離CD）3

題型七垂徑定理的實際應(yīng)用19．（2023上·九年級課時練習(xí)）小明不慎把家里的圓形玻璃打碎了，其中四塊碎片如圖所示，為配到與原來大小一樣的圓形玻璃，小明帶到商店去的一塊玻璃碎片應(yīng)該是（

）

A．第①塊 B．第②塊 C．第③塊 D．第④塊20．（2023上·山東德州·九年級校聯(lián)考期中）如圖是一個圓形餐盤的正面及其固定支架的截面圖，凹槽ABCD是矩形．當(dāng)餐盤正立且緊靠支架于點A，D時，恰好與BC邊相切，則此餐盤的半徑是（

）A．10cm B．45cm C．621．（2022上·云南紅河·九年級統(tǒng)考期末）為了落實“雙減”政策，一些學(xué)校在課后服務(wù)時段開設(shè)了與冬奧會項目冰壺有關(guān)的選修課，如圖，在冰壺比賽場地的一端畫有一些同心圓作為營壘，其中有兩個圓的半徑分別約為60cm和180cm，小明擲出一球恰好沿著小圓的切線滑行出界，則該球在大圓內(nèi)滑行的路徑MN的長度為（

）A．240 B．2402 C．120 D．鞏固訓(xùn)練1．（2023下·廣東廣州·九年級統(tǒng)考開學(xué)考試）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，彰顯了我國古代勞動人民的智慧，如圖1，點M表示筒車的一個盛水桶．如圖2，當(dāng)筒車工作時，盛水桶的運行路徑是以軸心O為圓心．5米為半徑的圓，且圓心在水面上方，若圓被水面截得的弦AB長為8米，則筒車工作時，盛水桶在水面以下的最大深度為（

）

A．2米 B．3米 C．4米 D．5米2．（2023上·北京豐臺·九年級統(tǒng)考期中）《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中記載了一個“圓材埋壁”的問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大?。凿忎徶?、深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”用幾何語言表達(dá)為：如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，EB=1寸，CD=10寸，則直徑AB長為寸．3．（2023上·河北唐山·九年級統(tǒng)考期中）如圖1，裝有水的水槽放置在水平桌面上，其橫截面是以AB為直徑的半圓O，AB=52cm,MN為水面截線，MN=48

(1)作于點C，求OC的長；(2)將圖中的水倒出一部分得到圖2，發(fā)現(xiàn)水面高度下降了14cm題型八直線與圓的位置關(guān)系22．（2023上·安徽阜陽·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，直線AB與⊙O相切于點A,∠ABO=30°,⊙O的半徑為3，則線段OB的長為（

）A．63 B．6 C．33 D23．（2023上·山東臨沂·九年級統(tǒng)考期中）如圖，AB切⊙O于點B，連結(jié)OA交⊙O于點交⊙O于點D，連接CD，若∠OCD=20°，則∠A的度數(shù)為（

）A．25° B．35° C．40° D．5024．（2023上·江蘇連云港·九年級校考期中）如圖，PA，PB是⊙O的切線，A，B為切點，AC是⊙O的直徑，若∠BAC=25°，則∠P的度數(shù)為（

A．45° B．50° C．55° D．60鞏固訓(xùn)練1．（2023上·重慶·九年級重慶一中?？计谥校┤鐖D，AB是⊙O的直徑，BC與⊙O相切于點B，連接OC交⊙O于點D，連接AD，若∠BCO=40°，則∠OAD的度數(shù)為（

A．20° B．22° C．25° D．262．（2023上·河南漯河·九年級統(tǒng)考期中）如圖，PA，PB分別與⊙O相切于點A，B，AC為⊙O的直徑，若∠C=60°，則△PAB

3.點D在AB邊上且DE⊥(1)判斷直線AC與△DBE(2)若AE=62，AD=8，求tan題型九圓與圓的位置關(guān)系25．（2023下·四川瀘州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，⊙O1，⊙O2的圓心O1，O2都在直線l上，且半徑分別為2cm，3cm，O1O2=8cm．若⊙O1以A．外切 B．相交 C．內(nèi)含 D．內(nèi)切26．（2023上·遼寧大連·九年級統(tǒng)考期末）如圖，長方形ABCD中，AB=4，AD=2，圓B半徑為1，圓A與圓B外切，則點C、D與圓A的位置關(guān)系是（

）A．點C在圓A外，點D在圓A內(nèi) B．點C在圓A外，點D在圓A外C．點C在圓A上，點D在圓A內(nèi) D．點C在圓A內(nèi)，點D在圓A外27．（2022下·上海閔行·九年級?？计谥校┤鐖D，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=7，點D在邊BC上，CD=3，⊙A的半徑長為3，⊙D與⊙A相交，且點B在⊙D外，那么⊙D的半徑長r的取值范圍是（A．1<r<4 B．2<r<4 C．1<r<8 D．鞏固訓(xùn)練1．（2022上·新疆烏魯木齊·九年級?？茧A段練習(xí)）已知△ABC，AB=10cm，BC=6cm，以點B為圓心，以BC為半徑畫圓⊙B，以點A為圓心，半徑為r，畫圓⊙A．已知⊙A與⊙B外離，A．0<r≤4 B．0≤r≤4 C．0<r<4 D．02．（2023下·上海浦東新·九年級?？茧A段練習(xí)）已知⊙O的半徑OA長為3，點B在線段OA上，且OB=2，如果⊙B與⊙O有公共點，那么⊙B的半徑r的取值范圍是3．（2022下·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）如圖，AB＝a，P是線段AB上一點，分別以AP，BP為直徑作圓．(1)設(shè)AP＝x，求兩個圓的面積之和S；(2)當(dāng)AP分別為a和12a時，比較S的大?。}型十正多邊形與圓28．（2022·河北石家莊·統(tǒng)考二模）如圖，邊AB是⊙O內(nèi)接正六邊形的一邊，點C在AB上，且BC是⊙O內(nèi)接正八邊形的一邊，若AC是⊙O內(nèi)接正n邊形的一邊，則n的值是（）A．6 B．12 C．24 D．4829．（2023上·福建福州·九年級統(tǒng)考期中）如圖1，是北京故宮博物院內(nèi)的太和殿上方的八角渾金蟠龍藻井，它展示出精美的裝飾空間和造型藝術(shù)從分層構(gòu)造上來看，太和殿藻井由三層組成：最外層為正方井，中層為正八角井，內(nèi)層為圓井，圖2是圖1抽象出的平面圖形，若最外層正方井ABCD的邊長是2，則內(nèi)層圓井的面積為（

）

A．π2 B．π C． D．2π30．（2023上·山東臨沂·九年級統(tǒng)考期中）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，點P在弧AB上，點Q是弧DE的中點，則∠CPQ的度數(shù)為（

A．30° B．45° C．36° D．60鞏固訓(xùn)練1．（2023上·江蘇徐州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，正六邊形ABCDEF中，△ABD的面積為4，則正六邊形ABCDEF的面積是（

）A．8 B．10 C．12 D．142．（2023上·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在正六邊形ABCDEF中，點P是上任意一點，連接PC，PD，則△PCD與正六邊形ABCDEF的面積之比為．

3．（2023下·安徽安慶·八年級統(tǒng)考期末）我們學(xué)習(xí)了，多邊形中，如果各條邊都相等，各個內(nèi)角都相等，這樣的多邊形叫做正多邊形．觀察每個正多邊形中∠α

(1)將如表的表格補充完整：正多邊形邊數(shù)3456______∠α度數(shù)________________________10(2)根據(jù)規(guī)律，是否存在一個正n邊形，使其中的∠α=25°？若存在，直接寫出n的值；若不存在，請說明理由．題型十一求弧長31．（2023上·河北張家口·九年級統(tǒng)考期中）如圖，一條公路環(huán)繞山腳的部分是一段圓弧形狀（O為圓心），過A、B兩點的切線交于點C，測得∠C=120°，A，B兩點之間的距離為72米．則這段公路AB的長度為（

）A．12π米 B．24π米 C．36π米 D．48π米32．（2023上·河北唐山·九年級統(tǒng)考期中）如圖，已知⊙O的半徑為6，AB，BC是⊙O的弦，若∠ABC=60°，則AC的長是（

）A．3π B．4π C．10π33．（2023上·河南商丘·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=40°，AB=6，斜邊AB是半圓O的直徑，點D是半圓上的一個動點，連接CD與AB交于點E，若BE=BC時，弧BD的長為（

A．43π B．73π C．鞏固訓(xùn)練1．（2023上·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，D是邊BC上的一點，以AD為直徑的⊙O交邊AC于點E，若AD=6，則

A．π B．2π C．3π D．4π2．（2023上·北京海淀·九年級?？茧A段練習(xí)）將透明的三角形紙板按如圖所示的方式放置在量角器上，使點B，C落在量角器所在的半圓上，且點B，C的讀數(shù)分別為30°，170°，若該量角器所在半圓的直徑為8cm，則弧BC的長為3．（2023上·河南安陽·九年級校聯(lián)考期中）“抖空竹”在我國有著悠久的歷史，是國家級的非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一．小穎玩“抖空竹”游戲時發(fā)現(xiàn)可以將某時刻的情形抽象成數(shù)學(xué)問題．如圖，AC,BD分別與⊙O相切于點C,D，延長AC,BD交于點P，連接OP,CD,⊙O的半徑為2，∠DPC=90

(1)連接OC,OD，判斷四邊形CODP的形狀，并說明理由；(2)求劣弧CD的長；題型十二求扇形面積34．（2023上·浙江寧波·九年級寧波市第七中學(xué)校聯(lián)考期中）一個扇形的半徑為3，圓心角為120°，則該扇形的面積是（

A．π B．3π C．6π D．35．（2023上·福建廈門·九年級廈門大學(xué)附屬科技中學(xué)?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，已知點P的坐標(biāo)為3,4，將OP繞原點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°到OP'的位置，則在旋轉(zhuǎn)過程中，線段OP掃過的部分的面積為(A．5π2 B．25π4 C．36．（2023上·山西呂梁·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）在學(xué)習(xí)了圓后，數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)開始了對正五邊形拼接的圖案設(shè)計，小明將有公共頂點O的兩個邊長為4的正五邊形（不重疊），以點O為圓心，4為半徑作弧，構(gòu)成一個“盛裝芭蕾”形圖案（陰影部分），則這個“盛裝芭蕾”形圖案的面積為（）A． B．285π C．325π鞏固訓(xùn)練1．（2023上·江西南昌·九年級南昌市心遠(yuǎn)中學(xué)?？计谥校╈巢瞧鯏?shù)列指的是這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，…（從第3個數(shù)起，每個數(shù)是前面兩數(shù)的和），如圖，用以這些數(shù)為邊長的正方形拼成長方形，在以這些數(shù)為邊長的正方形中作出圓心角為90°的圓弧，則接下來一段圓弧對應(yīng)的扇形面積是（

A．254π B．16π C． D．2（2023上·江蘇泰州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，丁丁用一張半徑為10cm的扇形紙板做一個圓錐形帽子側(cè)面（接縫忽略不計），如果做成的圓錐形帽子的底面周長為12πcm，那么這張扇形紙板的面積是3．（2023上·四川德陽·九年級四川省德陽中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上BF的中點，CD⊥AF，垂足為D，AB、(1)求證：CD是⊙O(2)若BE=3，CE=33題型十三求某點的弧形運動路徑長度37．（2022上·江蘇徐州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，有一塊長為4cm、寬為3cm的矩形木板在桌面上按順時針方向無滑動地翻滾，木板上頂點A的位置變化為A→A1→A2，其中，第二次翻滾時被桌面上一個小木塊擋住，使木板邊沿A2C

A．10cm B．3.5πcm C．4.5πcm38．（2023上·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，一塊含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面上繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)到A'B'C的位置．若BC的長為

A．10πcm B．10πcm C．15πcm D．39．（2023·貴州貴陽·統(tǒng)考三模）長為30?cm的細(xì)木條AB用兩個鐵釘固定在墻上，固定點為點A，B（鐵釘?shù)拇笮『雎圆挥嫞?，?dāng)固定點B處的鐵釘脫落后，細(xì)木條順時針旋轉(zhuǎn)至與原來垂直的方向，點B落在點C的位置，則點B旋轉(zhuǎn)的路徑BC長為（

A．450π?cm B．225π?cm C．15π?cm鞏固訓(xùn)練1．（2023上·天津和平·九年級天津二十中?？计谀┤鐖D，將腰長為1cm的等腰Rt△ABC繞點B旋轉(zhuǎn)至△A'BC'的位置，使A、A．34π B．342π C2．（2023上·河北張家口·九年級張北縣第三中學(xué)?？计谥校┤鐖D，△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=23，將△ABC沿直線CB向右無滑動的滾動一次，則點C經(jīng)過的路徑長是，此時旋轉(zhuǎn)過程中邊BC掃過的面積是3．（2023下·廣東梅州·九年級?？奸_學(xué)考試）如圖所示，扇形OAB從圖①無滑動繞著點A旋轉(zhuǎn)到圖②（∠O'AO=90°）的位置，再由圖②緊貼直線運動到圖③，已知∠O=60°(1)求由圖①到圖②點O所運動的路徑長；（結(jié)果保留π）(2)點O所走過的路徑與直線l圍成的面積是多少？（結(jié)果保留π）題型十四求其他不規(guī)則圖形的面積40．（2023上·浙江紹興·七年級校聯(lián)考期中）如圖是一塊弘揚“社會主義核心價值觀”的扇面宣傳展板，該展板的部分示意圖如圖2所示，它是以O(shè)為圓心，OA,OB長分別為半徑，圓心角∠O=120°形成的扇面，若，則陰影部分的面積是（

A．43π B．83π C．41．（2023上·河南新鄉(xiāng)·九年級?？计谥校┤鐖D，⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，CD=4，BC=43A．16π B．16+83 C．16π+83 D42．（2022上·江蘇徐州·九年級江蘇省運河中學(xué)校考期中）如圖，在半徑為4的⊙O中，將劣弧AB沿弦AB翻折，折疊后的AB恰好與OA，OB相切，則陰影部分的面積為（

）

A．16+4π B．16-4π C．4π+8 D．鞏固訓(xùn)練1．（2022·廣東茂名·?？寄M預(yù)測）如圖，已知⊙O的半徑為1，AB是直徑，分別以點A、B為圓心，以AB的長為半徑畫弧．兩弧相交于C、D兩點，則圖中陰影部分的面積是（

）

A．5π3-23 B．5π6-32．（2023上·湖北隨州·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB、AC、BC、分別相切于點D、E、F，且AB=5，BC=13，CA=12，則圖中由線段AD、AE及DE組成的陰影部分的面積是．

3．（2022上·云南昆明·九年級昆明市第三中學(xué)?？计谥校┤鐖D，D是等邊△ABC內(nèi)的一點，將線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE和扇形EAD，連接CD、、DE．

(1)若AD=2，求陰影部分的面積；（結(jié)果保留根號和π）(2)若∠ADC=110°，求

第二十七章圓與正多邊形14類題型突破答案全解全析重要題型題型一圓的確定與基本概念1．（2020上·上海浦東新·九年級上海民辦建平遠(yuǎn)翔學(xué)校?？茧A段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．半圓是弧 B．過圓心的線段是直徑C．弦是直徑 D．長度相等的兩條弧是等弧【答案】A【分析】利用圓的有關(guān)定義分別判斷即可．【詳解】解：A、半圓是弧，正確，符合題意；B、過圓心的弦是直徑，故原命題錯誤，不符合題意；C、直徑是弦，但弦不一定是直徑，故原命題錯誤，不符合題意；D、在同圓或等圓中，長度相等的兩條弧是等弧，故原命題錯誤，不符合題意．故選：A．【點睛】本題考查了圓的認(rèn)識，解題的關(guān)鍵是了解圓的有關(guān)定義及性質(zhì)．2．（2020上·上海閔行·九年級統(tǒng)考期末）下列命題是真命題的是(

)A．經(jīng)過平面內(nèi)任意三點可作一個圓B．相等的圓心角所對的弧一定相等C．相交兩圓的公共弦一定垂直于兩圓的連心線D．內(nèi)切兩圓的圓心距等于兩圓的半徑的和【答案】C【分析】利用經(jīng)過不在同一直線上的三點才可以確定一個圓；在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧一定相等；相交圓的公共線垂直于連心線；內(nèi)切兩圓的圓心距等于兩圓半徑的和或差判斷求解.【詳解】A選項，經(jīng)過平面上在同一直線上的三點不能確定一個圓，錯誤；B選項，需在同圓中才成立，錯誤；C選項，相交兩圓的連心線垂直平分公共弦，正確；D選項，不對，應(yīng)為兩圓半徑之差；故答案為C.【點睛】此題主要考查了與圓有關(guān)的定理和推論，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確記憶有關(guān)定理和推論.3．（2022·上海徐匯·統(tǒng)考二模）下列說法中，正確的個數(shù)共有（）（1）一個三角形只有一個外接圓；（2）圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形；（3）在同圓中，相等的圓心角所對的弧相等；（4）三角形的內(nèi)心到該三角形三個頂點距離相等；A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)外接圓的性質(zhì)，圓的對稱性，三角形的內(nèi)心以及圓周角定理即可解出．【詳解】（1）一個三角形只有一個外接圓，正確；（2）圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，正確；（3）在同圓中，相等的圓心角所對的弧相等，正確；（4）三角形的內(nèi)心是三個內(nèi)角平分線的交點，到三邊的距離相等，錯誤；故選C．【點睛】此題考查了外接圓的性質(zhì)，三角形的內(nèi)心及軸對稱和中心對稱的概念，要求學(xué)生對這些概念熟練掌握．鞏固訓(xùn)練：1．（2023上·浙江紹興·九年級校考期中）下列命題不正確的是（

）A．過一點有無數(shù)個圓B．過三點能作一個圓C．三角形的外心是三角形三邊的中垂線的交點D．直角三角形的外接圓的直徑為直角三角形的斜邊【答案】B【分析】考查確定圓的條件以及三角形外接圓的知識，根據(jù)圓的性質(zhì)定理逐項排查即可．掌握三角形的外接圓是三條垂直平分線的交點是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、過一點有無數(shù)個圓，正確，不符合題意；B、不在同一條直線上的三點確定一個圓，選項錯誤，符合題意；C、三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點，正確，不符合題意；D、直角三角形的外接圓的直徑為直角三角形的斜邊，正確，不符合題意；故選：B．2．（2023上·甘肅武威·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）已知⊙O的最大弦長為8cm，點A，B，C與圓心O的距離分別為2cm，4cm，6cm，則點A在圓，點B在圓，點【答案】內(nèi)上外【分析】本題考查了點與圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP=d，則有點P在圓外時，d>r；點P在圓上時，d=r；點P在圓內(nèi)時，d<r根據(jù)點與圓的位置關(guān)系的判定方法進(jìn)行判斷．【詳解】解：∵⊙O的直徑為8∴⊙O的半徑為4∵點A到圓心O的距離OA=2cm即點A到圓心O的距離小于圓的半徑，∴點A在⊙O∵點B到圓心O的距離，即點B到圓心O的距離等于圓的半徑，∴點B在⊙O∵點C到圓心O的距離OC=6cm即點C到圓心O的距離大于圓的半徑，∴點C在⊙O答案為：內(nèi)，上，外．3．（2023上·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在⊙O中，直徑為MN，正方形ABCD的四個頂點分別在半徑OM、OP以及⊙O上，并且

(1)求OD的長；(2)求⊙O【答案】(1)2(2)5【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和等腰三角形的判定可得，再根據(jù)勾股定理求解即可；（2）連接AO，根據(jù)勾股定理求出AO即得答案．【詳解】（1）∵四邊形ABCD為正方形，∴DC=BC=AB=1，∵∠POM=45∴∠POM=∴，∴OD=1（2）連接AO，則△ABO∵BO=BC+CO=2∴．即⊙O的半徑為5

【點睛】本題考查了圓的基本知識、正方形的性質(zhì)和勾股定理等知識，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．題型二圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系4．（2022·上海金山·?？家荒＃┤鐖D，O是弧AD所在圓的圓心．已知點B、C將弧AD三等分，那么下列四個選項中不正確的是（

）A．AC=2CD B．AC=2CD C．∠AOC=2∠【答案】B【分析】利用三等分點得到AB=BC=CD，由此判斷A；根據(jù)AB=BC=CD，得到AB+BC>AC，由此判斷B；根據(jù)AC=2CD即可判斷C；根據(jù)【詳解】解：連接AB、BC，OB，∵點B、C將弧AD三等分，∴AB=∴AC=2CD，故∵AB=∴AB=BC=CD，∵AB+BC>AC，∴AC<2CD，故B選項錯誤；∵AC=2∴∠AOC=2∠COD∵AB=∴∠AOB=∠BOC=∠COD，∴S扇形∴S扇形AOC=2故選：B．【點睛】此題考查了圓心角、弧、弦定理：在同圓或等圓中，圓心角、弧、弦中有一個量相等，另兩個量也對應(yīng)相等．5．（2023上·黑龍江齊齊哈爾·九年級統(tǒng)考期中）下列命題正確的有（

）①長度相等的弧是等??；②任意三點確定一個圓；③90°的圓周角所對的弦是直徑；④相等的圓心角所對的弦相等；⑤A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】B【分析】根據(jù)能夠完全重合的弧是等??；不在同一直線上的三點確定一個圓；在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等；平分弦(不是直徑的弦)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧可得答案．此題主要考查了命題與定理，關(guān)鍵是掌握與圓有關(guān)的定理．【詳解】①能夠重合的弧是等弧，故本選項錯誤，不符合題意；②任意不同線的三點確定一個圓，故本選項錯誤，不符合題意；③90°④在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，故本選項錯誤，不符合題意；⑤圓是軸對稱圖形，對稱軸是直徑所在的直線，故本選項錯誤，不符合題意；其中正確的命題共1個；故選：B．6．（2023上·河北唐山·九年級統(tǒng)考期中）在⊙O中AC=2CD，則弦ABA．AB>2CD B．AB=2CD C．AB<2CD D．AB=CD【答案】C【分析】本題考查了弧、弦之間的關(guān)系及三角形的三邊關(guān)系，根據(jù)兩弧的關(guān)系，作出AB的中點E，則EA=EB=CD，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊就可以得到結(jié)論，熟練掌握基礎(chǔ)知識是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：取AB的中點E，連接EA、EB，則EA=EA=EB=CD，在△ABE中，AE+BE>AB，即2CD>AB則AB<2CD，故選：C．

鞏固訓(xùn)練1．（2023上·河北唐山·九年級統(tǒng)考期中）在⊙O中AC=2CD，則弦ABA．AB>2CD B．AB=2CD C．AB<2CD D．AB=CD【答案】C【分析】本題考查了弧、弦之間的關(guān)系及三角形的三邊關(guān)系，根據(jù)兩弧的關(guān)系，作出AB的中點E，則EA=EB=CD，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊就可以得到結(jié)論，熟練掌握基礎(chǔ)知識是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：取AB的中點E，連接EA、EB，則EA=EA=EB=CD在△ABE中，AE+BE>AB，即2CD>AB則AB<2CD，故選：C．

2．（2023上·北京西城·九年級北京鐵路二中?？计谥校┤鐖D，CD是⊙O的直徑，CD=8，，點B為弧AD的中點，點P是直徑CD上的一個動點，則PA+PB的最小值為．

【答案】4【分析】本題主要考查最短路徑及圓的基本性質(zhì)．作點B關(guān)于直徑CD的對稱點E，連接AE、OA、OE、【詳解】解：作點B關(guān)于直徑CD的對稱點E，連接AE、OA、OE、

∴BD=∵，∴∠AOD=40∵點B為弧AD的中點，∴BD與ED的度數(shù)為20°∴∠EOD=20∴∠AOE=60∵OA=OE，∴△AOE∵CD=8，∴AE=OA=4，即PA+PB的最小值為4，故答案為：4．3．（2023上·九年級課時練習(xí)）如圖，AB是的直徑，點C，D在⊙O上，且點C，D在AB的異側(cè)，連接AD，OD，OC．若AC所對圓心角的度數(shù)為70°，且AD∥OC

【答案】40【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠A=70°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠D=70【詳解】解：∵AC所對圓心角的度數(shù)為70°∴∠AOC=70∵AD∥∴∠A=∵OA=OD，∴∠D=∴∠AOD=180∴AD所對圓心角的度數(shù)為40°【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．題型三圓周角定理7．（2023上·浙江臺州·九年級校聯(lián)考期中）如圖，BD是⊙O的直徑，點A,C在⊙O上，AB=AD,AC交BD于點G．若∠COD=126°，則∠AGBA．108° B．110° C．117°【答案】A【分析】本題考查了圓周角定理，根據(jù)圓周角定理得到∠BAD=90°，∠DAC=12∠COD=63°，再由AB=AD,【詳解】解：∵BD是⊙，∵∴∠，∴∠AGB=故選：A．8．（2023上·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期中）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，BD平分∠ABC，若∠D=20°，則A．20° B．25° C．30° D．35【答案】D【分析】此題考查了圓周角定理，連接AC，根據(jù)圓周角定理得出∠ACB=90°，∠A=20°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠ABC=70【詳解】解：如圖，連接AC，∵AB為⊙O∴∠ACB=90，∵∠D=∴∠∵BD平分∠ABC∴∠故選：D．9．（2023上·浙江湖州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在⊙O中，弦AC與半徑OB交于點D，連接，若，則∠AOB的度數(shù)為（

）

A．132° B．120° C．112° D．110【答案】C【分析】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，圓周角定理；先利用三角形外角的性質(zhì)求出∠C【詳解】解：∵∠B=70°，∠ADB=126∴∠C=∴∠AOB=2故選：C．鞏固訓(xùn)練1．（2023上·河南新鄉(xiāng)·九年級校考期中）如圖，點A，B，C在⊙O上，∠C+∠AOB=75°，則∠AOB的大小為A．50° B．45° C．40° D．25【答案】A【分析】根據(jù)圓周角定理得到∠C=本題考查的是圓周角定理，在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．【詳解】解：由圓周角定理得∠C=∵∠∴∠AOB+解得，∠AOB=50故選：A．2．（2023上·江蘇泰州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，，∠BAC=30°，則⊙O的半徑長等于．【答案】5【分析】本題考查的是三角形的外接圓，圓周角定理、等邊三角形的性質(zhì)，連接，得到．由OB=OC，得到△OBC是等邊三角形，即可得到結(jié)果．【詳解】解：如圖，連接，∵∠∴．∵OB=OC∴△∴OB=OC=BC=5，即⊙O的半徑長為5故答案為：5．3．（2023上·山東臨沂·九年級統(tǒng)考期中）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠A=45°，BD是直徑，且，連接CD，求BC的長．【答案】2【分析】先根據(jù)圓周角定理可求出∠D=45°，∠BCD=90°，由銳角三角函數(shù)的定義即可求出BC的長．此題考查了圓周角定理、解直角三角形等知識，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：在⊙O中，∵∠A=45∴∠D=45∵BD是直徑，，∴∠BCD=90∴BC=BD·題型四90度的圓周角所對的弦是直徑10．（2023·江蘇宿遷·校聯(lián)考二模）如圖，直徑為10的⊙A經(jīng)過點C和點O，點B是y軸右側(cè)⊙A優(yōu)弧上一點，∠OBC=30°，則點C的坐標(biāo)為（

）．A．0,5 B．0,53 C．0,52【答案】A【分析】首先設(shè)⊙A與x軸的另一個交點為點D，連接CD．根據(jù)90°的圓周角所對的弦是直徑，即可得CD是⊙A的直徑．由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，即可求得∠ODC的度數(shù)，進(jìn)而由含30°角的直角三角形的性質(zhì)求得OC的長，即得出點C坐標(biāo)．【詳解】解：設(shè)⊙A與x軸的另一個交點為點D，連接CD，如圖，∵∠COD=90∴CD是⊙A的直徑，即CD=10．∵OC=∴∠ODC=∴OC=∴點C的坐標(biāo)為：0,5．故選A．【點睛】此題考查圓周角定理的推論，含30°11．（2023上·河南周口·九年級?？计谀⒁粋€含60°角的直角三角板和一個量角器按如圖所示的方式放置，∠ACB=90°，其中點D所在位置在量角器外側(cè)的讀數(shù)為30°，連接DC交AB于點E，則圖中∠BEC的度數(shù)是（

A．75° B．65° C．55° D．45【答案】D【分析】取AB的中點O，連接DO，由已知得出AB為⊙O的直徑，AOD=30°，在⊙O上，進(jìn)而得出∠ACD=15°【詳解】解：如圖所示，取AB的中點O，連接DO，∵∠ACB=90°，其中點D所在位置在量角器外側(cè)的讀數(shù)為30°∴AB為⊙O的直徑，AOD=30°，在⊙O上，∵AD∴∠∵∠∴∠BEC=故選：D．【點睛】本題考查了直角所對的弦是直徑，圓周角定理，三角形外角的性質(zhì)，掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．12．（2023上·江蘇揚州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABCD為矩形，AB=6,BC=8，點P是線段BC上一動點，DM⊥AP，垂足為P，則BM的最小值為（

）A．5 B．245 C．485 D【答案】D【分析】首先得出點M在O點為圓心，以AO為半徑的圓上，然后得到當(dāng)直線BM過圓心O時，BM最短，從而利用勾股定理計算出答案．【詳解】設(shè)AD的中點為O，以O(shè)點為圓心，AO為半徑畫圓，∵四邊形ABCD為矩形，AB=6,BC=8，∴AD=BC=8，∵DM⊥∴點M在O點為圓心，以AO為半徑的圓上，連接OB交圓O與點N，∵點B為圓O外一點，∴當(dāng)直線BM過圓心O時，BM最短，∵BO2=A∴BO∴BO=213∵BN=BO-故選：D．【點睛】本題考查直角三角形、圓的性質(zhì)，勾股定理，直徑所對圓周角是直角等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握直角三角形和圓的相關(guān)知識．鞏固訓(xùn)練1．（2022上·江蘇宿遷·九年級沭陽縣懷文中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=14，BC=24，點D為線段BC上一動點，以CD為⊙O直徑，作AD交⊙O于點E，則A．16 B．18 C．20 D．22【答案】B【分析】連接CE，可得∠CED=∠CEA=90°，從而得到點E在以AC為直徑的圓Q上，則當(dāng)Q，E，B三點共線時，最小，再根據(jù)勾股定理求出QB，即可求解．【詳解】解：如圖，連接CE，∵CD為⊙O直徑，點E在⊙O∴∠CED=∴點E在以AC為直徑的圓Q上，則當(dāng)Q，E，B三點共線時，最小，∵AC=14，∴QC=QE=7，∵BC=24，∴QB=B∴BE=QB-即的最小值為18．故選：B【點睛】本題考查了圓周角定理和勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是確定E點運動的路徑，從而把問題轉(zhuǎn)化為圓外一點到圓上一點的最短距離問題．2．（2022上·江蘇南京·九年級南京市科利華中學(xué)校考期中）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，點D是AC邊上一動點，連結(jié)BD，以AD為直徑的圓交BD于點E，則CE長度的最小值是．

【答案】2【分析】連接AE，根據(jù)圓周角定理，由AD為直徑得到∠AED=90°，接著由∠AEB=90°得到點E在以AB為直徑的圓O上，于是當(dāng)點O、E、C共線時，CE最小，在Rt△AOC中利用勾股定理計算出OC=25【詳解】解：連接AE，如圖，∵AD為直徑，∴∠AED=90∴∠AEB=90∴點E在以AB為直徑的圓O上，∵AB=AC=4∴圓O的半徑為2，∴當(dāng)點O、E、C共線時，CE最小，在Rt△∵OA=2,AC=4，∴OC=A∴CE=OC-即線段CE長度的最小值為25故答案為：25【點睛】此題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，解題關(guān)鍵在于結(jié)合實際運用圓的相關(guān)性質(zhì)．3．（2021上·浙江紹興·九年級新昌縣七星中學(xué)?？计谥校┤鐖D，∠BAC的平分線AD交△ABC外接圓于點D，若∠BAD=∠CAD=45°．連結(jié)BD，AB=2，時，(1)求⊙O的半徑；(2)求BD的長(3)求AD的長【答案】(1)⊙O的半徑為3(2)BD的長為3(3)AD的長為2【分析】（1）連接BC，由∠BAD=∠CAD=45°得到∠BAC=90°，進(jìn)而得到（2）連接BC，CD，首先根據(jù)圓周角定理得到∠BCD=2（3）作BE⊥AD交AD于點E，首先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出BE的長度，然后求出DE的長度，最后根據(jù)勾股定理即可求出【詳解】（1）如圖連接BC∵∠∴∠∴BC為⊙O的直徑，經(jīng)過點O，∴在Rt△ABC中，∴半徑BO=1（2）如圖連接OD，∵∠BAD=45∴∠BOD=2∵BC=CD=3，∴在中，BD=BC（3）如圖所示，作BE⊥AD交AD于點∵∠BAD=45∴∠ABE=90∴△ABE∴AE2+B∵AB=2，∴AE=BE=2∴在Rt△BDE中，∴AD=AE+DE=2【點睛】此題考查了圓周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點．題型五已知圓內(nèi)接四邊形求角度13．（2022上·北京朝陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若∠C=130°，則∠BOD的度數(shù)為（

A．50° B．100° C．130° D．150【答案】B【分析】根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形對角互補，圓心角是對弧的圓周角的2倍計算即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O∴∠A+∠C=180°，而∠C=130∴∠A=180∴∠BOD=2故選：B．14．（2023上·山東德州·九年級校聯(lián)考期中）如圖，已知ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∠B=40°，AD=CD，則下列結(jié)論錯誤的是(

)A．∠D=140° B．∠ACD=20° C．∠AOC=90° D．∠【答案】C【分析】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形對角互補，弦與弧、圓心角的關(guān)系，根據(jù)已知條件，結(jié)合選項逐項分析判斷，即可求解．【詳解】解：連接AO,CO,DO，∵ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∠B=40∴∠D=180°-∠∵AD=CD，∴AD=∴∠ACD=12∠ABC=20°，∠AOD=∠∵∠B=40∴∠AOC=2∠B=80故選：C．15．（2023上·浙江溫州·九年級溫州市第八中學(xué)?？计谥校┤鐖D，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，已知點C為BD的中點，若∠A=50°，則∠CBD的度數(shù)為（

A．25° B．30° C．35° D．40【答案】A【分析】本題考查了圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，先根據(jù)“圓的內(nèi)接四邊形對角互補”求出∠C=130°，再得出BC=CD，進(jìn)而得出【詳解】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠A=50∴∠C=180∵C為BD的中點，∴BC=∴∠CBD=∴∠CBD=故選：A．鞏固訓(xùn)練1．（2023上·山東濟寧·九年級統(tǒng)考期中）如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠A=100°，則∠BOD的度數(shù)是（

A．130° B．140° C．150° D．160【答案】D【分析】本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理等知識，先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠C【詳解】解：∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∠A=100∴∠∴故選：D．2．（2023上·江蘇泰州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AD、BC的延長線相交于點E，AB、DC的延長線相交于點F．若∠E=52°，∠F=36°，則∠A的度數(shù)為【答案】46°/46【分析】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)．先兩次根據(jù)三角形的外角定理，得∠ECF=∠E+∠A+∠F=∠A+88°，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，得∠ECF=【詳解】解：∵∠ECF是△CDE∴∠ECF=∵∠EDC是△ADF∴∠EDC=∴∠ECF=∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O∴∠ECF=∴∠A+88∴∠A=46故答案為：46°3．（2023上·福建福州·九年級校聯(lián)考期中）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB=AC，連接AC，若，求∠

【答案】120度【分析】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是了解圓的有關(guān)定義及性質(zhì)，難度不大．首先利用等弧對等弦得到AB=AC，然后判定△ABC是等邊三角形，從而求得∠B【詳解】解：∵弧AB=弧AC∴AB=AC，∴△ABC，∵∠B+．題型六利用垂徑定理求值16．（2023上·山西朔州·九年級校考期中）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，若CD=8，，則⊙O的半徑為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】本題主要考查了圓半徑的求法，根據(jù)題意，連接OC，通過垂徑定理及勾股定理求半徑即可．熟練掌握垂徑定理及勾股定理是解決本題的關(guān)鍵．【詳解】如下圖，連接OC，∵CD⊥AB，CD=8，∴CE=1∵，OC2∴OC=O故選：B．17．（2023上·浙江麗水·九年級統(tǒng)考期中）如圖，⊙O的半徑是3，點P是弦AB延長線上的一點，連結(jié)OP，若，∠APO=30°，則弦AB的長為（

）A． B．5 C．23 D．2【答案】D【分析】此題考查了垂經(jīng)定理，用到的知識點是垂經(jīng)定理、含30度角的直角三角形、勾股定理，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造直角三角形．先過O作OC⊥AP，連結(jié)OB，根據(jù)，∠APO=30°，求出OC的值，在Rt△BCO中，根據(jù)勾股定理求出BC的值，即可求出AB的值．【詳解】如圖，過O作OC⊥AP，連結(jié)OB，∵，∠APO=30°∴OC=∵OB=3∴根據(jù)勾股定理得：BC=O∴由垂徑定理得：AB=25故選：D．18．（2023上·河南駐馬店·九年級統(tǒng)考期中）如圖，點在圓O上，OC⊥AB，垂足為D，若⊙O的半徑是10，AB=12，則CD=（

）

A．2 B．2.4 C．3 D．4【答案】A【分析】本題主要考查了垂徑定理以及勾股定理，先構(gòu)造出直接三角形，再利用勾股定理解題即可．【詳解】解：∵⊙O的半徑是10，AB=12，OC是⊙O的半徑且OC∴OA=OC=10cm，∵在Rt△AOD中，OA=10∴OD=∴CD=OC故選：A．鞏固訓(xùn)練1．（2022上·黑龍江齊齊哈爾·九年級統(tǒng)考期中）如圖，⊙O的直徑CD過弦AB的中點G，∠AOD=60°，則∠DCBA．120° B．60° C．50° D．30【答案】D【分析】本題考查的是圓周角定理及垂徑定理．根據(jù)垂徑定理得出，再利用圓周角定理得出∠DCB=30°【詳解】解：∵⊙O的直徑CD過弦AB的中點G，∴∴∠DCB=∵∠AOD=60∴∠DCB=30故選：D．2．（2023上·河南許昌·九年級統(tǒng)考期中）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，筒車盛水桶的運行軌道是以軸心O為圓心的圓，如圖1．唐代陳廷章在《水輪賦》中寫道“水能利物，輪乃曲成”．如圖2，已知圓心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB長為8米，若點C為運行軌道的最低點，點C到弦AB所在直線的距離是2，則⊙O的半徑長為【答案】5【分析】本題考查垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．連接OC交AB于點E．利用垂徑定理得AE=4，再利用勾股定理即可求出半徑．【詳解】解：連接OC交AB于點E．設(shè)OA=OC=r，由題意OC⊥∴AE=BE=1∵CE=2，∴OE=r-在Rt△AEO中，∴r=5米，故答案為：5．3．（2023上·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期中）根據(jù)江心洲地質(zhì)水文條件量身打造的“新時代號”泥水平衡盾構(gòu)機，是目前世界上最先進(jìn)的盾構(gòu)設(shè)備之一，被譽為“國之重器”．如圖1，盾構(gòu)機核心部件——刀盤的形狀是一個圓形．如圖2，當(dāng)機器暫停時，刀盤露在地上部分的跨度AB=12m，拱高（弧的中點到弦的距離CD）3

【答案】盾構(gòu)機刀盤的半徑為7.5【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理等知識，設(shè)OA=OC=rm【詳解】解：依題意，如圖：

設(shè)OA=OC=r∵OC⊥∴AD=DB=∵OA∴r2∴r=7.5．所以盾構(gòu)機刀盤的半徑為7.5m題型七垂徑定理的實際應(yīng)用19．（2023上·九年級課時練習(xí)）小明不慎把家里的圓形玻璃打碎了，其中四塊碎片如圖所示，為配到與原來大小一樣的圓形玻璃，小明帶到商店去的一塊玻璃碎片應(yīng)該是（

）

A．第①塊 B．第②塊 C．第③塊 D．第④塊【答案】B【分析】本題考查了利用垂徑定理的實際應(yīng)用．根據(jù)垂徑定理可得，弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，只要有兩條既不平行也不重合的弦，通過作弦的垂直平分線即可確定圓心和半徑，得出答案，熟記垂徑定理“垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧”是解本題關(guān)鍵．【詳解】解：第②塊碎片有一段完整的弧，在這段弧上任作兩條既不平行也不重合的弦，作出這兩條弦的垂直平分線，兩條垂直平分線的交點就是圓心，進(jìn)而可得到半徑的長，這樣就可配到一塊與原來大小一樣的圓形玻璃；故選：B．20．（2023上·山東德州·九年級校聯(lián)考期中）如圖是一個圓形餐盤的正面及其固定支架的截面圖，凹槽ABCD是矩形．當(dāng)餐盤正立且緊靠支架于點A，D時，恰好與BC邊相切，則此餐盤的半徑是（

）A．10cm B．45cm C．6【答案】A【分析】本題考查了切線的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．連接OA，過O點作OE⊥BC，交BC于點E，交AD于點F，則點E為餐盤與邊BC的切點，由矩形的性質(zhì)得AD=BC=16cm，AD∥BC，則OE⊥AD，得CD=EF=4cm，，AF=DF=8cm，設(shè)餐盤的半徑為r，則，【詳解】連接OA，過O點作OE⊥BC，交BC于點E，交AD于點F，則，∵餐盤與BC邊相切，∴點E為切點，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC=16cm，AD∴OE∴CD=EF=4cm，，AF=DF=8cm設(shè)餐盤的半徑為r，則，OA=OE=r，OF=r-在Rt△AOF中，由勾股定理得：OF即r-42∴餐盤的半徑是10cm故選：A．21．（2022上·云南紅河·九年級統(tǒng)考期末）為了落實“雙減”政策，一些學(xué)校在課后服務(wù)時段開設(shè)了與冬奧會項目冰壺有關(guān)的選修課，如圖，在冰壺比賽場地的一端畫有一些同心圓作為營壘，其中有兩個圓的半徑分別約為60cm和180cm，小明擲出一球恰好沿著小圓的切線滑行出界，則該球在大圓內(nèi)滑行的路徑MN的長度為（

）A．240 B．2402 C．120 D．【答案】B【分析】設(shè)小圓的切線MN與小圓相切于點D，與大圓交于M，N連接OD、OM，根據(jù)切線的性質(zhì)定理和垂徑定理求解即可．【詳解】解：如圖，設(shè)小圓的切線MN與小圓相切于點D，與大圓交于M、N，連接OD、OM，，∴MD=DN在Rt△ODM中，OM=180cm∴MD=∴MN=2MD=240即該球在大圓內(nèi)滑行的路徑MN的長度為2402故選B．【點睛】本題考查切線的性質(zhì)定理、垂徑定理、勾股定理，熟練掌握切線的性質(zhì)和垂徑定理是解答的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（2023下·廣東廣州·九年級統(tǒng)考開學(xué)考試）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，彰顯了我國古代勞動人民的智慧，如圖1，點M表示筒車的一個盛水桶．如圖2，當(dāng)筒車工作時，盛水桶的運行路徑是以軸心O為圓心．5米為半徑的圓，且圓心在水面上方，若圓被水面截得的弦AB長為8米，則筒車工作時，盛水桶在水面以下的最大深度為（

）

A．2米 B．3米 C．4米 D．5米【答案】A【分析】作OD⊥AB于點C，確定盛水桶在水面以下的最大深度即為CD的長度，進(jìn)而結(jié)合垂徑定理以及勾股定理進(jìn)行計算即可．【詳解】解：如圖所示，作OD⊥AB于點C，盛水桶在水面以下的最大深度即為CD的長度，

∵AB=8，∴根據(jù)垂徑定理，AC=BC=4，∵OA=OD=5，∴Rt△AOC中，∴，∴盛水桶在水面以下的最大深度為2米，故選：A．【點睛】本題考查垂徑定理的實際應(yīng)用，理解圓的基本性質(zhì)，熟練運用垂徑定理是解題關(guān)鍵．2．（2023上·北京豐臺·九年級統(tǒng)考期中）《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中記載了一個“圓材埋壁”的問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大?。凿忎徶?、深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”用幾何語言表達(dá)為：如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，EB=1寸，CD=10寸，則直徑AB長為寸．【答案】26【分析】證明E為CD的中點，可得CE=DE=12CD=5，設(shè)，則AB=2x，OE=x-1，由勾股定理得：O【詳解】解：∵弦CD⊥AB，AB為⊙O∴E為CD的中點，又∵CD=10（寸），∴CE=DE=1設(shè)（寸），則AB=2x（寸），OE=x由勾股定理得：OE即x-解得x=13，∴AB=26（寸），故答案為：26．【點睛】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，熟練的利用垂徑定理解決問題是關(guān)鍵．3．（2023上·河北唐山·九年級統(tǒng)考期中）如圖1，裝有水的水槽放置在水平桌面上，其橫截面是以AB為直徑的半圓O，AB=52cm,MN為水面截線，MN=48

(1)作于點C，求OC的長；(2)將圖中的水倒出一部分得到圖2，發(fā)現(xiàn)水面高度下降了14cm【答案】(1)10(2)28【分析】本題主要考查了垂徑定理的實際應(yīng)用，勾股定理：（1）連接OM，利用垂徑定理得出MC=1（2）過O作OD⊥EF于點D，連接OE，利用勾股定理求出ED，再利用垂徑定理得出EF=2ED=20cm,MN與【詳解】（1）解：連接OM，

∵O為圓心，，MN=48cm，∴MC=1∵AB=52cm∴OM=1在Rt△OMC中，∴OC的長為10cm（2）解：過O作OD⊥EF于點D，連接OE，

由題意得，OD=10+14=24cm在Rt△OED中，∴EF=2ED=20cm∴48∴水面截線減少了28cm題型八直線與圓的位置關(guān)系22．（2023上·安徽阜陽·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，直線AB與⊙O相切于點A,∠ABO=30°,⊙O的半徑為3，則線段OB的長為（

）A．63 B．6 C．33 D【答案】B【分析】本題主要利用了切線的性質(zhì)和含30°直角三角形性質(zhì)，由于直線AB與⊙O相切于點A，則∠OAB=90°，而OA=3，∠OBA=30°，根據(jù)含30°直角三角形性質(zhì)即可求出【詳解】解：∵直線AB與⊙O相切于點A則∠OAB=90∵OA=3，∴OB=2OA=6．故選：B．23．（2023上·山東臨沂·九年級統(tǒng)考期中）如圖，AB切⊙O于點B，連結(jié)OA交⊙O于點交⊙O于點D，連接CD，若∠OCD=20°，則∠A的度數(shù)為（

）A．25° B．35° C．40° D．50【答案】D【分析】本題考查的是切線的性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，連接OB，證明∠ABO=90°，∠CDB=20°，可得∠BOC=2∠BDC=40°，從而可得∠A=50【詳解】解：如圖，連接OB，

∵AB切⊙O于點B，∴∠ABO=90∵BD∥OA，∠OCD=20∴∠CDB=20∴∠BOC=2∴∠A=50故選：D．24．（2023上·江蘇連云港·九年級?？计谥校┤鐖D，PA，PB是⊙O的切線，A，B為切點，AC是⊙O的直徑，若∠BAC=25°，則∠P的度數(shù)為（

A．45° B．50° C．55° D．60【答案】B【分析】本題主要考查切線的性質(zhì)和切線長的性質(zhì)定理，根據(jù)切線的性質(zhì)和切線長的性質(zhì)定理，得出∠PAB=∠CAP-∠BAC=65【詳解】∵PA，PB是⊙O的切線，AC是⊙O∴∠CAP=90°，PA=PB，∴∠∵∠∴∠PAB=∠CAP-∠BAC=65∴∠P=180故選B．鞏固訓(xùn)練1．（2023上·重慶·九年級重慶一中?？计谥校┤鐖D，AB是⊙O的直徑，BC與⊙O相切于點B，連接OC交⊙O于點D，連接AD，若∠BCO=40°，則∠OAD的度數(shù)為（

A．20° B．22° C．25° D．26【答案】C【分析】本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OBC=90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠BOC【詳解】解：∵BC與⊙O相切于點B，∴AB⊥BC，即∠OBC=90∵∠BCO=40∴∠由圓周角定理得：∠OAD=故選：C．2．（2023上·河南漯河·九年級統(tǒng)考期中）如圖，PA，PB分別與⊙O相切于點A，B，AC為⊙O的直徑，若∠C=60°，則△PAB

【答案】等邊三角形【分析】本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理，連接OB，根據(jù)圓周角定理求出∠AOB，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OA⊥PA，OB⊥PB，【詳解】解：如圖，連接OB，

∵AC為⊙O∴∠ABC=90由圓周角定理得：∠AOB=2∵PA，PB分別與⊙O相切于點A∴OA⊥∴∠P=360∴△PAB故答案為：等邊三角形．3．（2023上·山東菏澤·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，平分∠ABC交AC于點E，點D在AB邊上且DE(1)判斷直線AC與△DBE(2)若AE=62，AD=8，求tan【答案】(1)直線AC與△DBE(2)12【分析】本題考查了切線的判定以及勾股定理的有關(guān)知識．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．（1）連接OE，結(jié)合兩半徑構(gòu)成的等腰三角形性質(zhì)和角平分線定義，易證為OE、（2）由（1）的結(jié)論，根據(jù)勾股定理構(gòu)造方程，可求出半徑長，再求出tan∠【詳解】（1）解：直線AC與△DBE理由如下：設(shè)△DBE外接圓的圓心為O，連接OE∵平分∠ABC，∴∠CBE=∵OB=OE，∴∠OBE=∴∠CBE=∴OE∥∴∠OEA=∴OE⊥∴AC為⊙O（2）解：設(shè)⊙O的半徑為r，則OE=OD=r，OA=8+r，在Rt△AOE中，解得：r=1∴tan∠∵OE∥∴∠ABC=∴tan∠題型九圓與圓的位置關(guān)系25．（2023下·四川瀘州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，⊙O1，⊙O2的圓心O1，O2都在直線l上，且半徑分別為2cm，3cm，O1O2=8cm．若⊙O1以1cm/sA．外切 B．相交 C．內(nèi)含 D．內(nèi)切【答案】D【分析】先求出7s后，兩圓的圓心距為1cm【詳解】解：∵⊙O1的半徑為2cm，⊙O2的半徑為3cm，O1O2∴7s后，兩圓的圓心距為8∵兩圓的半徑差為3-∴此時兩圓內(nèi)切，故選D．【點睛】本題主要考查圓與圓的位置關(guān)系，掌握d=R+r，則兩圓外切，d=R-26．（2023上·遼寧大連·九年級統(tǒng)考期末）如圖，長方形ABCD中，AB=4，AD=2，圓B半徑為1，圓A與圓B外切，則點C、D與圓A的位置關(guān)系是（

）A．點C在圓A外，點D在圓A內(nèi) B．點C在圓A外，點D在圓A外C．點C在圓A上，點D在圓A內(nèi) D．點C在圓A內(nèi)，點D在圓A外【答案】A【分析】先根據(jù)兩圓外切求出圓A的半徑，連接AC，根據(jù)勾股定理求出AC的長，進(jìn)而可得出結(jié)論．【詳解】解：∵AB=4，圓B半徑為1，圓A與圓B外切，∴圓A的半徑為4-∵AD=2<3，∴點D在圓內(nèi)，連接AC，∵BC=AD=2，∴AC=4∴點C在圓外，故選：A．【點睛】本題考查了點與圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系、勾股定理，熟練掌握點與圓的位置關(guān)系是關(guān)鍵，還利用了數(shù)形結(jié)合的思想，通過圖形確定圓的位置．27．（2022下·上海閔行·九年級?？计谥校┤鐖D，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=7，點D在邊BC上，CD=3，⊙A的半徑長為3，⊙D與⊙A相交，且點B在⊙D外，那么⊙D的半徑長r的取值范圍是（A．1<r<4 B．2<r<4 C．1<r<8 D．【答案】B【分析】連接AD，根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系得到r>5-3=2由點B在⊙D外，于是得到r<4，即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接AD，∵AC=4，CD=3，∠C=90∴AD=∵⊙A的半徑長為3，⊙D與⊙A∴r>5-∵BC=7，∴BD=4，∵點B在⊙D∴r<4，∴⊙D的半徑長r的取值范圍是2<r<4，故選：B．【點睛】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系，點與圓的位置關(guān)系，設(shè)點到圓心的距離為d，則當(dāng)d=r時，點在圓上；當(dāng)d>r時，點在圓外；當(dāng)d<r時，點在圓內(nèi)．鞏固訓(xùn)練1．（2022上·新疆烏魯木齊·九年級?？茧A段練習(xí)）已知△ABC，AB=10cm，BC=6cm，以點B為圓心，以BC為半徑畫圓⊙B，以點A為圓心，半徑為r，畫圓⊙A．已知⊙A與⊙BA．0<r≤4 B．0≤r≤4 C．0<r<4 D．0【答案】C【分析】設(shè)⊙B半徑為R，則R=BC=6cm，根據(jù)⊙A與⊙B外離得到AB>R+r，進(jìn)一步求得r<4，又由r>0即可求得r的取值范圍．【詳解】解：設(shè)⊙B半徑為R，則R=BC=6cm，∵⊙A與⊙B∴AB>R+r，∴r<AB-即r<4，∵r>0，∴0<r<4．故選：C．【點睛】此題考查了圓與圓的位置關(guān)系，熟練掌握外離的條件是解題的關(guān)鍵．2．（2023下·上海浦東新·九年級?？茧A段練習(xí)）已知⊙O的半徑OA長為3，點B在線段OA上，且OB=2，如果⊙B與⊙O有公共點，那么⊙B的半徑r的取值范圍是【答案】1【分析】求得⊙B在⊙O內(nèi)部且有唯一公共點時⊙B的半徑和⊙O在⊙B內(nèi)部且有唯一公共點時⊙B【詳解】解：如圖，當(dāng)⊙B在⊙O內(nèi)部且有唯一公共點時，⊙B的半徑為：3-當(dāng)⊙O在⊙B內(nèi)部且有唯一公共點時，⊙B的半徑為3+2=5，

∴如果⊙B與⊙O有公共點，那么⊙B的半徑r的取值范圍是1≤故答案為：1≤【點睛】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系，注意掌握數(shù)形結(jié)合和分類討論思想的應(yīng)用．3．（2022下·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）如圖，AB＝a，P是線段AB上一點，分別以AP，BP為直徑作圓．(1)設(shè)AP＝x，求兩個圓的面積之和S；(2)當(dāng)AP分別為a和12a時，比較S的大?。敬鸢浮?1)1(2)AP=a時的面積大于AP=12a時的面積【分析】（1）用圓形的面積公式求解；（2）根據(jù)AP的長度，分別計算兩個圓形的面積之和，比較即可．【詳解】（1）解：∵AP＝x，∴S=π(=1（2）當(dāng)AP＝a時，BP＝a，S=5當(dāng)AP＝12a時，BP＝12S=1∵5∴AP=a時的面積大于AP=12a時的面積．【點睛】本題考查了動點問題的解決方法圓形的面積公式，完全平方公式，正確進(jìn)行計算是解決本題的關(guān)鍵．題型十正多邊形與圓28．（2022·河北石家莊·統(tǒng)考二模）如圖，邊AB是⊙O內(nèi)接正六邊形的一邊，點C在AB上，且BC是⊙O內(nèi)接正八邊形的一邊，若AC是⊙O內(nèi)接正n邊形的一邊，則n的值是（）A．6 B．12 C．24 D．48【答案】C【分析】根據(jù)中心角的度數(shù)=360°÷邊數(shù)，列式計算分別求出∠AOB，∠BOC的度數(shù)，可得∠AOC=15°，然后根據(jù)邊數(shù)n=360°÷中心角即可求得答案．【詳解】解：連接OC，∵AB是⊙O內(nèi)接正六邊形的一邊，∴∠AOB＝360°÷6＝60°，∵BC是⊙O內(nèi)接正八邊形的一邊，∴∠BOC＝360°÷8＝45°，∴∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝60°－45°＝15°∴n＝360°÷15°＝24．故選：C．【點睛】本題考查了正多邊形和圓、正六邊形的性質(zhì)、正八邊形、正二十四邊形的性質(zhì)；根據(jù)題意求出中心角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．29．（2023上·福建福州·九年級統(tǒng)考期中）如圖1，是北京故宮博物院內(nèi)的太和殿上方的八角渾金蟠龍藻井，它展示出精美的裝飾空間和造型藝術(shù)從分層構(gòu)造上來看，太和殿藻井由三層組成：最外層為正方井，中層為正八角井，內(nèi)層為圓井，圖2是圖1抽象出的平面圖形，若最外層正方井ABCD的邊長是2，則內(nèi)層圓井的面積為（

）

A．π2 B．π C． D．2π【答案】A【分析】本題考查了正多邊形與圓，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，圓的面積的計算，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AB=BC=2，∠B=90°，根據(jù)題意得到BE=BF=12AB=1，求得EF=【詳解】解：由題意得，如圖2，四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC=2，∠B=90°∴BE=BF=1∴EF=2∴圓的直徑為2，∴圓的半徑為22∴上層圓的面積是22故選：A．30．（2023上·山東臨沂·九年級統(tǒng)考期中）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，點P在弧AB上，點Q是弧DE的中點，則∠CPQ的度數(shù)為（

A．30° B．45° C．36° D．60【答案】B【分析】本題考查了正多邊形與圓,圓周角定理；先求出正六邊形的中心角，再利用圓周角定理求解即可．【詳解】解：如圖所示，連接OC,OD,OQ，∵正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O∴∠COD=3606=60°∵點Q是弧DE的中點，∴∴∠∴∠故選：B．鞏固訓(xùn)練1．（2023上·江蘇徐州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，正六邊形ABCDEF中，△ABD的面積為4，則正六邊形ABCDEF的面積是（

）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】C【分析】本題考查了求幾何圖形面積，“割補法”是解題關(guān)鍵．【詳解】如圖所示：將三角形△DEF分割為△DEJ,△EFJ，補到△AHB,S正六邊形故選：C．2．（2023上·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在正六邊形ABCDEF中，點P是上任意一點，連接PC，PD，則△PCD與正六邊形ABCDEF的面積之比為．

【答案】1：3【分析】本題考查正多邊形與圓，三角形的面積，等邊三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．設(shè)正多邊形的中心為O，如圖，連接CF，DF，OD，根據(jù)AF∥CD，得到S△PCD=S△FCD，根據(jù)得到S【詳解】解：設(shè)正多邊形的中心為O，如圖，連接CF，DF，OD，

∵AF∴S∵OC=OF∴S∵S∴△PCD與正六邊形ABCDEF的面積之比為1：故答案為：1：3．（2023下·安徽安慶·八年級統(tǒng)考期末）我們學(xué)習(xí)了，多邊形中，如果各條邊都相等，各個內(nèi)角都相等，這樣的多邊形叫做正多邊形．觀察每個正多邊形中∠α

(1)將如表的表格補充完整：正多邊形邊數(shù)3456______∠α度數(shù)________________________10(2)根據(jù)規(guī)律，是否存在一個正n邊形，使其中的∠α=25°？若存在，直接寫出n的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)60°，45°，36°，30°，18(2)不存在一個正n邊形，使其中的∠α=25【分析】（1）根據(jù)正多邊形的內(nèi)角，內(nèi)角和以及三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計算即可；（2）根據(jù)（1）中的計算方法得出∠α=【詳解】（1）解：正三角形中∠α的度數(shù)