福建省六校(福清第三中學(xué)等)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷(解析)

高中數(shù)學(xué)精編資源-2023學(xué)年第二學(xué)期高一年段期中六校聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（完卷時間：120分鐘滿分：150分）班級__________座號_____________姓名__________________第Ⅰ卷一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解絕對值不等式、指數(shù)不等式求集合，再應(yīng)用交運算求集合即可.【詳解】由題設(shè)，，所以.故選：C2.復(fù)數(shù)的虛部是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】化簡復(fù)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)定義即可得到虛部.【詳解】∵，∴復(fù)數(shù)的虛部為.故選：A．3.已知非零向量滿足，且，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由垂直得到，再設(shè)夾角，利用代入計算，結(jié)合范圍即得結(jié)果.【詳解】由知，，即，設(shè)與的夾角為，則，，所以與的夾角為.故選：C.4.若是第四象限角，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系式進行求解即可.詳解】，因為是第四象限角，所以所以，又因為，故選：D5.四邊形為平行四邊形，，．若點滿足，，則（）A.20 B.16 C.9 D.6【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量基本定理將和用和表示出來，再根據(jù)向量乘法計算即可.【詳解】因為，，所以，，所以.故選：B．6.正方體的全面積為a,它的頂點都在球面上，則這個球的表面積是：A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先求得外接球半徑，然后求解其表面積即可.【詳解】由題意可知，正方體的體對角線為外接球的直徑，設(shè)正方體的棱長為，由題意可得：，則，設(shè)外接球半徑為，由題意可知：，則，這個球的表面積為：.本題選擇B選項.【點睛】本題主要考查球的表面積公式，正方體外接球半徑的求解等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.7.如圖所示，內(nèi)有一點滿足，過點作一直線分別交于點.若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三角形重心向量表達式，結(jié)合共線向量的運算性質(zhì)進行求解即可.【詳解】因為，所以G為的重心，所以，所以且，所以，故選：B8.設(shè)函數(shù)，則使得的的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)單調(diào)性和奇偶性，將外函數(shù)大小比較轉(zhuǎn)換為內(nèi)函數(shù)的大小比較，由此得出答案.【詳解】函數(shù)的定義域為，且所以函數(shù)為偶函數(shù)，

又因為當時，函數(shù)，單調(diào)遞增，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

因為偶函數(shù)有，

所以由可得，

所以，即，整理得：，

解得：，

所以的取值范圍為.

故選：C.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知向量，，則正確的是（）A.若，則B.若，則C.若與的夾角為鈍角，則D.若向量是與共線的單位向量，則【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)向量坐標與向量的幾何關(guān)系求解即可.【詳解】對于A，若，則，所以，故A正確；對于B，若，則，所以，故B正確；對于C，若與的夾角為鈍角，則，且與不共線，即，解得，且，故C不正確；對于D，若向量是與共線的單位向量，則，則或，故D不正確.故選：AB.10.下列函數(shù)中滿足“對任意，都有”的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)題意可知為上的增函數(shù)，由函數(shù)單調(diào)性對選項進行判斷即可.【詳解】因為“對任意，都有＞0”，所以為上的增函數(shù).對于A：在上為增函數(shù)，故A正確;對于B：在上為減函數(shù)，故B錯誤;對于C：對稱軸為，開口向上，所以在上為增函數(shù)，故C正確;對于D：，因為在上為增函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，故D正確.故選：ACD11.下列說法中正確的有（）A.若，則符合條件的有兩個B.在中，若，則為等腰三角形C.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則或D.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在第三象限【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)正弦定理，可判定A錯誤；根據(jù)向量的數(shù)量積的運算法則和余弦函數(shù)的性質(zhì)，可判定B正確；根據(jù)復(fù)數(shù)分類和復(fù)數(shù)的運算法則，可判定C錯誤，D正確.【詳解】對于A中，由正弦定理可得，因為，則符合條件的有1個，所以A錯誤；對于B中，因為，所以，即，即，所以，又因為，所以，所以為等腰三角形，所以B正確；對于C中，因為為純虛數(shù)，則，解得，所以C錯誤；對于D中，復(fù)數(shù)，所復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標是在第三象限，所以D正確；故選：BD.12.重慶榮昌折扇是中國四大名扇之一，其精雅宜士人，其華燦宜艷女，深受各階層人民喜愛.古人曾有詩贊曰：“開合清風紙半張，隨機舒卷豈尋常；金環(huán)并束龍腰細，玉柵齊編鳳翅長”.榮昌折扇平面圖為下圖的扇形COD，其中，，動點P在上（含端點），連結(jié)OP交扇形OAB的弧于點Q，且，則下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則C. D.【答案】BD【解析】【分析】作，分別以為x，y軸建立平面直角坐標系，利用向量坐標求解即可.【詳解】如圖，作，分別以為x，y軸建立平面直角坐標系，則，，，，設(shè)，則由可得，且，若，則，解得（負值舍去），故，A錯誤；若，則，，，故B正確；由于，故，故，故C錯誤；由于而，所以，所以，故D正確，故選：BD第Ⅱ卷三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上．13.當時，不等式恒成立，則實數(shù)的最大值是__________．【答案】3【解析】【詳解】令，則由題意可知，∵，∴，當且僅當，即時，等號成立，∴，從而．故實數(shù)的最大值是．故答案為3.點睛：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性和最值的關(guān)系以及不等式恒成立問題，屬于中檔題．對于函數(shù)恒成立或者有解求參的問題，常用方法有：變量分離，參變分離，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題；或者直接求函數(shù)最值，使得函數(shù)最值大于或者小于0；或者分離成兩個函數(shù)，使得一個函數(shù)恒大于或小于另一個函數(shù).14.一個平行于圓錐底面的平面將圓錐分成上下兩個部分，若該平面恰好將圓錐的高等分，那么分割后的上下兩部分體積比是_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)圓錐體積公式計算即可.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，，，，故答案為：15.已知，，分別為三個內(nèi)角，，的對邊，若，，則的外接圓的半徑為_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)正弦定理邊角互換與余弦定理化解原式，求解出角A，最后根據(jù)正弦定理求出的外接圓的半徑.【詳解】由正弦定理得，則，所以的外接圓的半徑為．故答案為：.16.筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟又環(huán)保，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（圖1）．假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動．如圖2，將筒車抽象為一個半徑為R的圓，設(shè)筒車按逆時針方向每旋轉(zhuǎn)一周用時120秒，當，盛水筒M位于點，經(jīng)過t秒后運動到點，點P的縱坐標滿足（，，），則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，結(jié)合正弦型函數(shù)的周期公式、代入法進行求解即可.【詳解】依題意得，筒車的半徑，，因為當，盛水筒M位于點，所以有，因為，所以，故故答案為：四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位.（1）求；（2）若復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為，若四邊形是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形，求點對應(yīng)的復(fù)數(shù).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義，結(jié)合復(fù)數(shù)相等的定義進行求解即可；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義進行求解即可.【小問1詳解】設(shè)，則，故，所以解得：，∴；小問2詳解】由（1）得：，因為四邊形是復(fù)平面內(nèi)平行四邊形所以故點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為.18.在平面直角坐標系中，已知點，，，點是直線上的一個動點.（1）若為的中點，求的值；（2）求的最小值.【答案】（1）（2）0【解析】【分析】（1）根據(jù)平面向量坐標表示公式，結(jié)合平面向量模的坐標表示公式進行求解即可；（2）根據(jù)平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可.【小問1詳解】因為M為的中點，所以，因為，，，所以，所以；【小問2詳解】由題意可得，因為點是直線上的一個動點，所以，所以，，，所以當時，取得最小值0.19.已知函數(shù)的圖象與直線的相鄰兩個交點間的距離為，且________．在以下三個條件中任選一個，補充在上面問題中，并解答．（若選擇多個分別解答，以選擇第一個計分.）①函數(shù)為偶函數(shù)；②；③；（1）求函數(shù)的解析式；（2）若將的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞增區(qū)間與最值．【答案】（1）條件選擇見解析，（2）答案見解析【解析】【分析】根據(jù)題意可知的相鄰最大值的距離為，即，由此可得.（1）選①根據(jù)三角函數(shù)奇偶性求解即可；選②將條件代入解析式即可；選③根據(jù)條件可知的最大值，代入解析式即可.（2）由（1）可得解析式，根據(jù)函數(shù)平移即可得的解析式，根據(jù)區(qū)間即求出的最值.【小問1詳解】∵的圖象與直線的相鄰兩個交點間的距離為，∴即∴，∴選條件①，∵為偶函數(shù)，，即.∵∴

選條件②，

∵，∴，

∵即，

∴．

選條件③，

∵∴的最大值，

，即.∵∴【小問2詳解】由（1）得，，則令，遞增區(qū)間為，，解得遞增區(qū)間為即時，取到最大值，即時，取到最大值，20.如圖所示，在中，已知點在邊上，且，，.（1）若，求線段的長；（2）若點是的中點，，求線段的長.【答案】（1）（2）9【解析】【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)求得，再根據(jù)正選定理即可求解；（2）方法一：利用，兩邊同平方即可得到答案；方法二：因為和互補可，根據(jù)余弦定理列出關(guān)于和的等式，由（1）知，根據(jù)余弦定理可列出關(guān)于和等式，兩式聯(lián)立即可求解；方法三：以AB，AC為鄰邊作平行四邊形ABFC，再利用余弦定理即可.【小問1詳解】由條件可得.在中，由正弦定理得，【小問2詳解】方法一：由（1）知，因為為鈍角，所以.因為，所以，所以，整理得，解得或（負值舍去），所以線段AC的長為9.方法二：由（1）知，因為為鈍角，所以.由點是的中點，設(shè)在中，由余弦定理得，①在和中，因為所以，所以，整理得②將②代入①，得解得或（負值舍去），所以線段AC的長為9.方法三：由（1）知，因為為鈍角，所以如圖，以AB，AC為鄰邊作平行四邊形ABFC，因為，所以，因為，在中，即，整理得解得或（負值舍去），所以線段AC的長為921.已知函數(shù)（其中，為自然對數(shù)的底數(shù)）是定義在上的偶函數(shù)．（1）求的值；（2）判斷在上的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明你的結(jié)論．（3）對，不等式恒成立，求實數(shù)的最大值；【答案】（1）（2）增函數(shù)，證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)求解即可；（2）用定義法證明單調(diào)性即可；（3）展開不等式，利用還原法簡化不等式，最后用基本不等式求出答案即可.【小問1詳解】為上的偶函數(shù)；；即，即在上恒成立，故，又因，解得.【小問2詳解】，設(shè)，則；∵；∴，，；∴，；∴；∴在上是增函數(shù)．【小問3詳解】由（1）得，∵，∴，∴，令，且，故，當且僅當，即時，等號成立，故，，，，因為在上單調(diào)遞增，所以，故，所以當時，對任意，不等式恒成立.22.如圖，設(shè)是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，分別是與軸、軸同方向的單位向量．若向量，則把有序數(shù)對叫做在斜坐標系中的坐標．（1）若，，求在上的投影向量斜坐