第06講 權方和不等式（含柯西不等式的應用）（高階拓展、競賽適用）（學生版）-2025版高中數(shù)學一輪復習考點幫

Page第06講權方和不等式（含柯西不等式的應用）（高階拓展、競賽適用）本節(jié)內(nèi)容為基本不等式的高階拓展，熟練掌握后能快速解決基本不等式中的最值問題，常在高考及競賽中做到類型題的秒解！知識講解一、柯西不等式

1.二維形式的柯西不等式

a2+b2c2+d2≥ac+bd2(a,b,c,d∈R,當且僅當權方和不等式:若則當且僅當時取等.(注：熟練掌握這個足以應付高考中的這類型最值問題可以實現(xiàn)對一些問題的秒殺)廣義上更為一般的權方和不等式:設,若或,則;若,則;上述兩個不等式中的等號當且僅當時取等注意觀察這個不等式的結構特征,分子分母均為正數(shù),且始終要求分子的次數(shù)比分母的次數(shù)多1,出現(xiàn)定值是解題的關鍵,特別的,高考題中以最為常見,此時這個不等式是大家熟悉的柯西不等式.考點一、權方和不等式全解析例1：若正數(shù)，滿足，則的最小值為______________例2：若，，，則的最小值為______________例3：已知正數(shù)滿足，則的最小值為例4：若，，，則的最小值為______________例5：若，，則的最小值為______________例6：已知正數(shù)，，滿足，則的最小值為______________例7：已知正數(shù)，，滿足，則的最小值為______________例8：已知正數(shù)，滿足，則的最小值為______________例9：求的最小值為______________例10：求的最小值為______________例11：權方和不等式”是由湖南理工大學楊克昌教授于上世紀80年代初命名的．其具體內(nèi)容為：設，則，當且僅當時，等號成立．根據(jù)權方和不等式，若，當取得最小值時，的值為（

）A． B． C． D．例12：已知正數(shù)，滿足，則的最小值為______________例13：已知，求的最小值為______________例14：已知，，，求的最大值為______________例15：求的最大值為______________例16：已知正數(shù)，，滿足，求的最大值為___________考點二、柯西不等式全解析例1：用柯西不等式求函數(shù)的最大值為A． B．3 C．4 D．5例2：由柯西不等式，當時，求的最大值為（

）A．10 B．4 C．2 D．例3：已知，若恒成立，利用柯西不等式可求得實數(shù)的取值范圍是．例4：已知，求的最小值.（利用柯西不等式）例5：已知正實數(shù)，，，滿足，則的最小值是．例6：已知非負實數(shù)a、b、c、d滿足，求證：一、單選題1．（2024·山西臨汾·三模）若，則的最小值是（

）A．1 B．4 C． D．2．（2024·江蘇揚州·模擬預測）已知，，且，則的最小值為（

）A．4 B． C．6 D．3．（2024·江蘇南通·二模）設，，，則的最小值為（）A． B． C． D．34．（2024·四川成都·模擬預測）若是正實數(shù)，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．5．（2024·河南·模擬預測）已知點在以原點為圓心，半徑的圓上，則的最小值為（

）A． B． C． D．16．（2024·全國·模擬預測）設正實數(shù)a，b滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．7．（2021·浙江·模擬預測）已知，，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．8．（高三上·浙江寧波·期中）設a，b為正實數(shù)，且，則的最大值和最小值之和為（

）A．2 B． C． D．99．（2024·遼寧·一模）已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．10．（23-24高一上·甘肅蘭州·期末）對任意實數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)的最大值（

）A．2 B．4 C． D．二、填空題11．（2024·寧夏石嘴山·模擬預測）已知，，則的最小值為.12．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）已知實數(shù)，且，則的最小值是．13．（2024·河南·三模）在中，角的對邊分別為，若，則的最小值為．14．（2024·廣西河池·模擬預測）若實數(shù)，且，則的最小值為.15．（2024·全國·模擬預測）已知，，且，則的最小值是．16．（2024·全國·模擬預測）已知，，則的最小值為．17．（21-22高三上·天津南開·期中）已知正實數(shù)a，b滿足，則的最小值為.18．（2024·江西·一模）已知正數(shù)x，y滿足，若不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是．19．（22-23高三上·山東·階段練習）已知正實數(shù)，滿足，則的最小值為.20．（23-24高三上·上海黃浦·開學考試）已知，則的最小值為.21．（2024·江西宜春·三模）已知，，且滿足，則的最大值為．22．（22-23高一上