第03講 利用二階導函數(shù)解決9類函數(shù)問題（高階拓展、競賽適用）（學生版）-2025版高中數(shù)學一輪復習考點幫

Page第03講利用二階導函數(shù)解決函數(shù)問題（高階拓展、競賽適用）（9類核心考點精講精練）命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設題穩(wěn)定，難度較大，分值為13-17分【備考策略】1會導數(shù)的基本運算2能理解導函數(shù)與原函數(shù)關系3能進行函數(shù)轉化求原函數(shù)導函數(shù)的導函數(shù)，并得到原函數(shù)導函數(shù)關系，進而求解原函數(shù)單調(diào)性及其他綜合問題【命題預測】在歷年全國高考數(shù)學試題中，函數(shù)與導數(shù)部分是高考重點考查的內(nèi)容，利用導數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值等問題是高考考查導數(shù)問題的主要內(nèi)容和形式，并多以壓軸題的形式出現(xiàn).常?？疾檫\算求解能力、概括抽象能力、推理論證能力和函數(shù)與方程、化歸與轉化思想、分類與整合思想、特殊與一般思想的滲透和綜合運用，難度較大.知識講解一般導數(shù)題目中求出導函數(shù)即可判斷原函數(shù)的單調(diào)性，而在有些函數(shù)問題中，如含有指數(shù)式、對數(shù)式的函數(shù)問題，求導之后往往不易或不能直接判斷出原函數(shù)的單調(diào)性，從而不能進一步判斷函數(shù)的單調(diào)性及極值、最值情況，此時解題受阻。需要利用“二次求導才能找到導數(shù)的正負，找到原函數(shù)的單調(diào)性，才能解決問題，若遇這類問題，必須“再構造，再求導”。本文會說明函數(shù)的二階導數(shù)在解高考函數(shù)題中的應用。二階導的定義定義1:若函數(shù)的導函數(shù)在點處可導,則稱在點的導數(shù)為在點的二階導數(shù),記作,同時稱在點為二階可導.定義2:若在區(qū)間上每一點都二階可導,則得到一個定義在上的二階可導函數(shù),記作函數(shù)極值的第二判定定理若在附近有連續(xù)的導函數(shù),且（1）若,則在點處取極大值;（2）若,則在點處取極小值曲線的凹凸性

設函數(shù)y=fx在區(qū)間a,b設函數(shù)在內(nèi)具有二階導數(shù),如果在內(nèi),那么對應的曲線在內(nèi)是凹的,如果在內(nèi),那么對應的曲線在內(nèi)是凸的設在區(qū)間上連續(xù),如果對上任意兩點,恒有則稱在上的圖形是凹的,簡稱為凹弧;如果恒有則稱在上的圖形是凸的,或簡稱為凸弧。曲線的拐點曲線上凸部和凹部的分界點叫做拐點。因此拐點一定是使的點,但是使的點不一定都是拐點。解決這類題的常規(guī)解題步驟為:求函數(shù)的定義域;求函數(shù)的導數(shù),無法判斷導函數(shù)正負;構造求,求;列出的變化關系表;根據(jù)列表解答問題?？键c一、二階導與函數(shù)單調(diào)性1．（23-24高三上·遼寧大連·階段練習）已知函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性.2．（23-24高三上·河南·階段練習）已知函數(shù)，(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若是的極小值點，求實數(shù)a的取值范圍．1．（23-24高三上·重慶·階段練習）已知函數(shù)滿足．(1)討論的單調(diào)性；(2)當時，，求的取值范圍．2．（23-24高三上·廣東湛江·階段練習）（1）證明：函數(shù)在上單調(diào)遞減.（2）已知函數(shù)，若是的極小值點，求實數(shù)的取值范圍.3．（23-24高三上·四川成都·階段練習）已知函數(shù)，其中.(1)當時，求證：在上單調(diào)遞減；(2)若有兩個不相等的實數(shù)根，，求實數(shù)a的取值范圍.考點二、二階導與函數(shù)極值、最值1．（2023·黑龍江·模擬預測）已知函數(shù)．(1)當時，求函數(shù)的極值；(2)證明：．2．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知函數(shù)，.（注：是自然對數(shù)的底數(shù)）(1)若無極值點，求實數(shù)的取值范圍；(2)當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.1．（2024·廣西貴港·模擬預測）已知函數(shù)．(1)當時，請判斷的極值點的個數(shù)并說明理由；(2)若恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．2．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)，.(1)當時，求在區(qū)間內(nèi)極值點的個數(shù)；(2)若恒成立，求的值；(3)求證：，，.考點三、二階導與不等式證明1．（2024高三下·全國·專題練習）已知函數(shù)．(1)證明：；(2)若，且，證明：．2．（23-24高三下·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·開學考試）已知函數(shù)，且恒成立．(1)求實數(shù)a取值的集合；(2)證明：．1．（2024·廣東佛山·一模）已知，其中.(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若，證明：當時，.2．（2023·吉林長春·模擬預測）函數(shù)．(1)求證：；(2)若方程恰有兩個根，求證：．考點四、二階導與恒成立問題1．（23-24高三上·河南周口·階段練習）已知函數(shù)，．(1)若，求函數(shù)的圖象在點處的切線方程；(2)若在上恒成立，求實數(shù)的最大值．2．（23-24高二上·山西呂梁·期末）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.1．（2023高三·全國·專題練習）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍．(2)當時，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．2．（23-24高三上·江蘇·階段練習）已知函數(shù).(1)當時，求的圖象在點處的切線方程；(2)對任意，不等式恒成立，求的取值范圍.考點五、二階導與函數(shù)零點或方程的根1．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)，為的導函數(shù).求證:有且僅有兩個不同的零點.2．（23-24高二下·山東淄博·階段練習）已知函數(shù)，．(1)討論的單調(diào)性；(2)若，試判斷函數(shù)與的圖象的交點個數(shù)，并說明理由．3．（2022·全國·模擬預測）已知函數(shù).(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)若，求函數(shù)的零點個數(shù).1．（23-24高三上·河北廊坊·期中）已知函數(shù)．(1)當時，證明：只有一個零點．(2)若，求的取值范圍．2．（2024·湖北·模擬預測）已知函數(shù)，，其中a為整數(shù)且.記為的極值點，若存在兩個不同的零點，，(1)求a的最小值；(2)求證：；3．（23-24高三上·全國·開學考試）已知函數(shù)．(1)求曲線在處的切線；(2)若對任意，當時，證明函數(shù)存在兩個零點．考點六、二階導與參數(shù)綜合問題1．（23-24高三上·重慶·階段練習）已知函數(shù)滿足．(1)討論的單調(diào)性；(2)當時，，求的取值范圍．2．（2023春·浙江·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，的導函數(shù)為．(1)若存在極值點，求的取值范圍；(2)設的最小值為，的最小值為，證明：．1．（2023·全國·高三專題練習）已知為自然對數(shù)的底數(shù)，為常數(shù)，函數(shù).(1)求函數(shù)的極值；(2)若在軸的右側函數(shù)的圖象總在函數(shù)的圖象上方，求實數(shù)的取值范圍.2．（2023春·山東菏澤·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù).(1)當時，求函數(shù)的極值；(2)若有三個零點，其中.(i)求實數(shù)的取值范圍；(ii)求證：.考點七、二階導與選填小題綜合1．（2024·山西·二模）設，，則下列關系正確的是（

）A． B． C． D．2．（2024·黑龍江哈爾濱·二模）（多選）已知函數(shù)，下列說法正確的有（

）A．當時，則在上單調(diào)遞增B．當時，函數(shù)有唯一極值點C．若函數(shù)只有兩個不等于1的零點，則必有D．若函數(shù)有三個零點，則3．（2024·全國·一模）已知函數(shù)，點在曲線上，則的取值范圍是．1．（2023·湖北武漢·模擬預測）設，則下列關系正確的是（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·福建莆田·期末）（多選）已知函數(shù)，導函數(shù)的極值點是函數(shù)的零點，則（

）A．有且只有一個極值點B．有且只有一個零點C．若，則D．過坐標原點僅有一條直線與曲線相切3．（23-24高三上·山東煙臺·期末）若存在兩個不相等正實數(shù)，使得，則實數(shù)的取值范圍為.考點八、二階導與拐點、對稱中心結合1．（2023·四川成都·模擬預測）對于三次函數(shù)（），給出定義：設是函數(shù)的導數(shù)，是的導數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”．某同學經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心．設函數(shù)，則（

）A．2014 B．2013 C． D．10072．（2022·陜西咸陽·模擬預測）給出定義：設是函數(shù)的導函數(shù)，是函數(shù)的導函數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱為函數(shù)的“拐點”，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)都有“拐點”，且該“拐點”也是函數(shù)的圖像的對稱中心，若函數(shù)，則.1．（21-22高二下·河北滄州·階段練習）對于三次函數(shù)，現(xiàn)給出定義：設是函數(shù)的導數(shù)，是的導數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”．經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”，任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心．設函數(shù)，則（

）A．0 B．1 C． D．2．（20-21高二下·江蘇蘇州·階段練習）設函數(shù)是的導數(shù)，經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，任意一個三次函數(shù)的圖象都有對稱中心，其中滿足，已知函數(shù)，則（

）A．2021 B． C．2022 D．考點九、二階導與函數(shù)凹凸性結合1．（23-24高二上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習）丹麥數(shù)學家琴生是19世紀對數(shù)學分析做出卓越貢獻的巨人，特別是在函數(shù)的凸凹性與不等式方向留下了很多寶貴的成果．設函數(shù)在上的導函數(shù)為在上的導函數(shù)記為，若在上恒成立，則稱函數(shù)在上為“凸函數(shù)”，已知在上為“凸函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（21-22高二下·陜西渭南·期末）給出定義:若函數(shù)在上可導，即存在，且導函數(shù)在上也可導，則稱在上存在二階導函數(shù).記，若在上恒成立，則稱在上為凸函數(shù).以下四個函數(shù)在上是凸函數(shù)的有（

）①，②，③，④.A．4個 B．3個 C．2個 D．1個1．（21-22高三下·河南·階段練習）設函數(shù)f（x）在區(qū)間I上有定義，若對和，都有，那么稱f（x）為I上的凹函數(shù)，若不等號嚴格成立，即“<”號成立，則稱f（x）在I上為嚴格的凹函數(shù).對于上述不等式的證明，19世紀丹麥數(shù)學家琴生給出了如下的判斷方法：設定義在（a，b）上的函數(shù)f（x），其一階導數(shù)為，其二階導數(shù)為（即對函數(shù)再求導，記為），若，那么函數(shù)f（x）是嚴格的凹函數(shù)（，均可導）.試根據(jù)以上信息解決如下問題：函數(shù)在定義域內(nèi)為嚴格的凹函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍為.2．（22-23高二上·重慶沙坪壩·期末）定義：設函數(shù)在上的導函數(shù)為，若在上也存在導函數(shù)，則稱函數(shù)在上存在二階導函數(shù)，簡記為．若在區(qū)間上，則稱函數(shù)在區(qū)間上為“凹函數(shù)”．已知在區(qū)間上為“凹函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍為．3．（22-23高二下·黑龍江鶴崗·階段練習）丹麥數(shù)學家琴生是世紀對數(shù)學分析做出卓越貢獻的巨人，特別是在函數(shù)的凹凸性與不等式方面留下了很多寶貴的成果.定義：函數(shù)在上的導函數(shù)為，在上的導函數(shù)為，若在上恒成立，則稱函數(shù)是上的“嚴格凸函數(shù)”，稱區(qū)間為函數(shù)的“嚴格凸區(qū)間”.則下列正確命題的序號為.①函數(shù)在上為“嚴格凸函數(shù)”；②函數(shù)的“嚴格凸區(qū)間”為；③函數(shù)在為“嚴格凸函數(shù)”，則的取值范圍為.一、單選題1．（22-23高三上·江蘇南通·階段練習）已知函數(shù)存在極大值點和極小值點，則實數(shù)的值可以是（

）A． B． C． D．2．（22-23高三上·江蘇常州·期中）設，，，則（

）A． B．C． D．二、填空題3．（2021高二·江蘇·專題練習）若函數(shù)在單調(diào)遞增，則實數(shù)m的取值范圍為.4．（22-23高二下·重慶南岸·期中）設函數(shù)，若為上的單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為.5．（23-24高二下·河南南陽·階段練習）對，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為.6．（23-24高三上·安徽合肥·階段練習）已知關于x的不等式在上恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是．7．（2023·廣東廣州·模擬預測）已知函數(shù)恰有兩個零點，則.8．（2024·全國·模擬預測）當時，不等式恒成立，則實數(shù)的最小整數(shù)為．9．（2023·全國·模擬預測）已知函數(shù)，在處取到極小值，則實數(shù)．10．（2024高三下·全國·專題練習）已知函數(shù)，時，，則實數(shù)的范圍是.三、解答題11．（2024·陜西西安·二模）已知函數(shù)．(1)當時，，，求的取值范圍；(2)證明：當時，在上單調(diào)遞增．1