第07講 端點(diǎn)效應(yīng)（先猜后證-必要性探索）在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用（教師版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫

Page第07講端點(diǎn)效應(yīng)（先猜后證-必要性探索）在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用（2類核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2024年新I卷，第18題,17分端點(diǎn)效應(yīng)證明函數(shù)的對稱性利用導(dǎo)數(shù)證明不等式利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題利用不等式求取值范圍2023年全國甲卷理數(shù)，第21題,12分端點(diǎn)效應(yīng)求已知函數(shù)的極值利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題2023年全國甲卷理數(shù)，第21題,12分端點(diǎn)效應(yīng)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題2021年全國甲卷文數(shù)，第20題,12分端點(diǎn)效應(yīng)用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題2021年全國Ⅰ卷理數(shù)，第21題,12分端點(diǎn)效應(yīng)用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的載體內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較大，分值為15-17分【備考策略】1能用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)基本問題2能求解含參不等式的基本問題3能利用端點(diǎn)效應(yīng)解決含參不等式恒成立問題【命題預(yù)測】求解含參不等式恒成立問題中參數(shù)的取值范圍是高考中的?？碱}型，解決這類問題的基本方法有三種:1.分離參數(shù)、構(gòu)造函數(shù)求參數(shù)取值范圍；2.構(gòu)造含參函數(shù)，通過討論參數(shù)取值范圍將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題；3.通過所構(gòu)造函數(shù)在定義域端點(diǎn)處滿足的條件，縮小參數(shù)的取值范圍，求出使不等式恒成立的必要條件，再證明充分條件，得出參數(shù)的取值范圍，即所謂的“端點(diǎn)效應(yīng)”，其中端點(diǎn)效應(yīng)需要學(xué)生重點(diǎn)復(fù)習(xí)掌握，也是高考熱點(diǎn)問題知識講解端點(diǎn)效應(yīng)的定義恒成立問題中,我們常常能見到類似的命題:“對于任意的,都有恒成立”，這里的端點(diǎn),往往是使結(jié)論成立的臨界條件,因此,如果能利用好這兩個值,能方便解題，比如對于上述的命題,觀察和的取值，這種觀察區(qū)間端點(diǎn)值來解決問題的做法,我們稱之為端點(diǎn)效應(yīng)端點(diǎn)效應(yīng)的核心思想利用端點(diǎn)處所需滿足的必要條件縮小參數(shù)的取值范圍,而在很多情況下,該范圍即為所求.端點(diǎn)效應(yīng)的解題思路端點(diǎn)效應(yīng)問題中，可以通過取所構(gòu)造函數(shù)定義域內(nèi)的某些特殊的值使不等式成立進(jìn)而得出恒成立的一個必要條件，初步獲得所求參數(shù)的范圍再在該范圍內(nèi)討論，進(jìn)而縮小了參數(shù)的討論范圍，使問題得以順利的解決。利用“端點(diǎn)效應(yīng)”解決問題的一般步驟可分為以下幾步利用端點(diǎn)處函數(shù)值或?qū)?shù)值滿足的條件，初步獲得參數(shù)的取值范圍，這個范圍是不等式恒成立的必要條件利用所得出的參數(shù)范圍判斷函數(shù)在定義域內(nèi)是否單調(diào)(3)若函數(shù)在限定參數(shù)范圍內(nèi)單調(diào)，則必要條件即為充要條件，問題解決.若不單調(diào)，則需進(jìn)一步討論，直至得到使不等式恒成立的充要條件端點(diǎn)效應(yīng)的類型1.如果函數(shù)在區(qū)間上,恒成立,則或.2.如果函數(shù)在區(qū)問上,恒成立,且(或),則或.3.如果函數(shù)在區(qū)問上,恒成立,且(或,則或.考點(diǎn)一、端點(diǎn)效應(yīng)（先猜后證-必要性探索）的初步應(yīng)用1．若對恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.【答案】【方法一】解：因?yàn)閷愠闪?，即對恒成立，記，，所以，令，令，，則，所以當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，，則所以在上是增函數(shù)，所以當(dāng)，即時，在上是增函數(shù)，所以符合題意；當(dāng)時，且當(dāng)時，所以，使得，即當(dāng)時，單調(diào)遞減，此時，所以不符合題意，綜上可得，即故答案為：【方法二-端點(diǎn)效應(yīng)】因?yàn)閷愠闪?，即對恒成立，記，，因?yàn)?，欲在恒成立，則要在單調(diào)遞增即在恒成立，則，解得，再證明充分性，當(dāng)，能否有對恒成立（證明略）綜上可得，即1．已知函數(shù)．若在上恒成立，則a的取值范圍為．【答案】【分析】由題意可知在上恒成立，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f(x)的最小值.【方法一】∵在上恒成立，且，故．當(dāng)時，在上恒成立，即在上為增函數(shù)，所以，，合乎題意；當(dāng)時，由，可得；當(dāng)時，可得．即在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，，又因?yàn)?，所以，不合乎題意．綜上所述，．故答案為：.【方法二-端點(diǎn)效應(yīng)】因?yàn)椋?，解得，結(jié)合已知條件，考點(diǎn)二、端點(diǎn)效應(yīng)（先猜后證-必要性探索）在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用1．（2024·全國新Ⅰ卷第18題·高考真題）已知函數(shù)(1)若，且，求的最小值；(2)證明：曲線是中心對稱圖形；(3)若當(dāng)且僅當(dāng)，求的取值范圍．【詳解】（1）時，，其中，則，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故，而成立，故即，所以的最小值為.，（2）的定義域?yàn)椋O(shè)為圖象上任意一點(diǎn)，關(guān)于的對稱點(diǎn)為，因?yàn)樵趫D象上，故，而，，所以也在圖象上，由的任意性可得圖象為中心對稱圖形，且對稱中心為.【方法一：換元法】因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)，故為的一個解，所以即，先考慮時，恒成立.此時即為在上恒成立，設(shè)，則在上恒成立，設(shè)，則，當(dāng)，，故恒成立，故在上為增函數(shù)，故即在上恒成立.當(dāng)時，，故恒成立，故在上為增函數(shù)，故即在上恒成立.當(dāng)，則當(dāng)時，故在上為減函數(shù)，故，不合題意，舍；綜上，在上恒成立時.而當(dāng)時，而時，由上述過程可得在遞增，故的解為，即的解為.綜上，.【方法二：端點(diǎn)效應(yīng)一】(3)由(1)知，a≥?2.

因?yàn)閒(1)=a≤?2,否則解集中含有x=1.

故a=?2.f(x)=f

(a)若2+3b≥0,即b≥?23時，f′(x)=(x?1)22x(2?x)+3b

即

≥(x?1)22x+2?x22+3b=(x?1)2(2+3b)≥0,

即f′(x)≥0,?f(x)是(1,2)上的單調(diào)遞增函數(shù)，

f(x)>f(1)=?2,符合題意；

(b)若綜上可知，b的取值范圍是b≥?2【方法三：端點(diǎn)效應(yīng)二】由題意得：0<x≤1,必有f(x)≤?2,所以f(1)=?2,解得a=?2,

故f(x)=ln令?(x)=f(x)+2,?=2(x?1)2x(2?x)+3b(1?x)2=(1?x)22x(2?x)+3b,

令易證當(dāng)b≥?23時，由2x(2?x)≥2知，h′(x)≥0,所以h(x)在(1,2)上單調(diào)遞增，h(x)>h(1)=0,所以b≥-2成立。3另一方面，當(dāng)b<?23時，2x(2?x)+3b=0在(1,2)必定有解，

令?23b=m(2?m),則?(x)在(1,2)上必存在m(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；(2)若恒成立，求a的取值范圍．【答案】(1)答案見解析.(2)【分析】（1）求導(dǎo),然后令,討論導(dǎo)數(shù)的符號即可;（2）構(gòu)造,計(jì)算的最大值,然后與0比較大小,得出的分界點(diǎn),再對討論即可.【詳解】（1）令,則則當(dāng)當(dāng),即.當(dāng),即.所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減（2）【法一】設(shè)設(shè)所以.若,即在上單調(diào)遞減,所以.所以當(dāng),符合題意.若當(dāng),所以..所以,使得,即,使得.當(dāng),即當(dāng)單調(diào)遞增.所以當(dāng),不合題意.綜上,的取值范圍為.【法二】端點(diǎn)效應(yīng)(2)由于,且的,注意到當(dāng),即時,使在成立,故此時單調(diào)遞減,不成立.另一方面,當(dāng)時,,下證它小于等于0.單調(diào)遞減,.特上所述:.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題采取了換元,注意復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性在定義域內(nèi)是減函數(shù),若,當(dāng),對應(yīng)當(dāng).3．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；(2)若，求的取值范圍．【答案】(1)在上單調(diào)遞減(2)【分析】（1）代入后，再對求導(dǎo)，同時利用三角函數(shù)的平方關(guān)系化簡，再利用換元法判斷得其分子與分母的正負(fù)情況，從而得解；（2）法一：構(gòu)造函數(shù)，從而得到，注意到，從而得到，進(jìn)而得到，再分類討論與兩種情況即可得解；法二：先化簡并判斷得恒成立，再分類討論，與三種情況，利用零點(diǎn)存在定理與隱零點(diǎn)的知識判斷得時不滿足題意，從而得解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，則，令，由于，所以，所以，因?yàn)椋?，，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減.（2）法一：構(gòu)建，則，若，且，則，解得，當(dāng)時，因?yàn)椋?，所以，，則，所以，滿足題意；當(dāng)時，由于，顯然，所以，滿足題意；綜上所述：若，等價于，所以的取值范圍為.法二：因?yàn)?，因?yàn)?，所以，，故在上恒成立，所以?dāng)時，，滿足題意；當(dāng)時，由于，顯然，所以，滿足題意；當(dāng)時，因?yàn)?，令，則，注意到，若，，則在上單調(diào)遞增，注意到，所以，即，不滿足題意；若，，則，所以在上最靠近處必存在零點(diǎn)，使得，此時在上有，所以在上單調(diào)遞增，則在上有，即，不滿足題意；綜上：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題方法二第2小問討論這種情況的關(guān)鍵是，注意到，從而分類討論在上的正負(fù)情況，得到總存在靠近處的一個區(qū)間，使得，從而推得存在，由此得解.1．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù).（1）當(dāng)a=1時，討論f（x）的單調(diào)性；（2）當(dāng)x≥0時，f（x）≥x3+1，求a的取值范圍.【答案】（1）當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增.（2）【分析】(1)由題意首先對函數(shù)二次求導(dǎo)，然后確定導(dǎo)函數(shù)的符號，最后確定原函數(shù)的單調(diào)性即可.(2)方法一：首先討論x=0的情況，然后分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)研究構(gòu)造所得的函數(shù)的最大值即可確定實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】(1)當(dāng)時，，，由于，故單調(diào)遞增，注意到，故：當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增.(2)[方法一]【最優(yōu)解】：分離參數(shù)由得，，其中，①.當(dāng)x=0時，不等式為：，顯然成立，符合題意；②.當(dāng)時，分離參數(shù)a得，，記，，令，則，，故單調(diào)遞增，，故函數(shù)單調(diào)遞增，，由可得：恒成立，故當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；因此，,綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.[方法二]：特值探路當(dāng)時，恒成立．只需證當(dāng)時，恒成立．當(dāng)時，．只需證明⑤式成立．⑤式，令，則，所以當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)單調(diào)遞增；當(dāng)單調(diào)遞減．從而，即，⑤式成立．所以當(dāng)時，恒成立．綜上．[方法三]：指數(shù)集中當(dāng)時，恒成立，記，，①.當(dāng)即時，，則當(dāng)時，，單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，，不合題意；②.若即時，則當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，又，所以若滿足，只需，即，所以當(dāng)時，成立；③當(dāng)即時，，又由②可知時，成立，所以時，恒成立，所以時，滿足題意.綜上，.【整體點(diǎn)評】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點(diǎn)，本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題，常用方法技巧有：方法一，分離參數(shù)，優(yōu)勢在于分離后的函數(shù)是具體函數(shù)，容易研究；方法二，特值探路屬于小題方法，可以快速縮小范圍甚至得到結(jié)果，但是解答題需要證明，具有風(fēng)險性；方法三，利用指數(shù)集中，可以在求導(dǎo)后省去研究指數(shù)函數(shù)，有利于進(jìn)行分類討論，具有一定的技巧性！2．（2024·全國甲卷·高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求的極值；(2)當(dāng)時，，求的取值范圍．【答案】(1)極小值為，無極大值.(2)【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)可求函數(shù)的極值.（2）求出函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，就、、分類討論后可得參數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，，故，因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，故在上為增函數(shù)，而，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在處取極小值且極小值為，無極大值.（2），設(shè)，則，當(dāng)時，，故在上為增函數(shù)，故，即，所以在上為增函數(shù)，故.當(dāng)時，當(dāng)時，，故在上為減函數(shù)，故在上，即在上即為減函數(shù)，故在上，不合題意，舍.當(dāng)，此時在上恒成立，同理可得在上恒成立，不合題意，舍；綜上，.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)背景下不等式恒成立問題，往往需要利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，有時還需要對導(dǎo)數(shù)進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)研究其符號特征，處理此類問題時注意利用范圍端點(diǎn)的性質(zhì)來確定如何分類.3．（全國·高考真題）已知函數(shù)f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）為f（x）的導(dǎo)數(shù)．（1）證明：f′（x）在區(qū)間（0，π）存在唯一零點(diǎn)；（2）若x∈[0，π]時，f（x）≥ax，求a的取值范圍．【答案】（1）見解析；（2）.【分析】（1）求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)后，設(shè)為進(jìn)行再次求導(dǎo)，可判斷出當(dāng)時，，當(dāng)時，，從而得到單調(diào)性，由零點(diǎn)存在定理可判斷出唯一零點(diǎn)所處的位置，證得結(jié)論；（2）構(gòu)造函數(shù)，通過二次求導(dǎo)可判斷出，；分別在，，和的情況下根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號判斷單調(diào)性，從而確定恒成立時的取值范圍.【詳解】（1）令，則當(dāng)時，令，解得：當(dāng)時，；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減又，，即當(dāng)時，，此時無零點(diǎn)，即無零點(diǎn)

，使得又在上單調(diào)遞減

為，即在上的唯一零點(diǎn)綜上所述：在區(qū)間存在唯一零點(diǎn)（2）若時，，即恒成立令則，由（1）可知，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減且，，，①當(dāng)時，，即在上恒成立在上單調(diào)遞增，即，此時恒成立②當(dāng)時，，，，使得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減又，在上恒成立，即恒成立③當(dāng)時，，，使得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增時，，可知不恒成立④當(dāng)時，在上單調(diào)遞減

可知不恒成立綜上所述：【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)、根據(jù)恒成立的不等式求解參數(shù)范圍的問題.對于此類端點(diǎn)值恰為恒成立不等式取等的值的問題，通常采用構(gòu)造函數(shù)的方式，將問題轉(zhuǎn)變成函數(shù)最值與零之間的比較，進(jìn)而通過導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)來確定所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，從而得到最值.1．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)若對任意的恒成立，求的范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）求導(dǎo)后分和討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即可；（2）當(dāng)時，代入函數(shù)求出，當(dāng)時，分離參數(shù)并構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后再次構(gòu)造函數(shù)，再求導(dǎo)分析單調(diào)性，最終求出即可；【詳解】（1），當(dāng)時，恒成立，故在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，令，解得，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）當(dāng)時，，符合題意，此時；當(dāng)時，因?yàn)楹愠闪ⅲ春愠闪?，令，則，再令，則恒成立，則在單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，所以2．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)，，求的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）求導(dǎo)得，分是否小于0進(jìn)行討論即可求解；（2）顯然時，不等式恒成立，所以原題條件等價于，在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)求得其最大值即可得解.【詳解】（1）的定義域?yàn)?，，?dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時，顯然成立，此時可為任意實(shí)數(shù)；當(dāng)時，由，在上恒成立，得，令，，則，設(shè)，由（1）可知，在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；則，所以，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.3．（2024·廣西·三模）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的極值；(2)若對任意，求的取值范圍.【答案】(1)的極小值為，無極大值.(2)【分析】（1）求導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，即為的極值點(diǎn)，然后解不等式，，確定極大值和極小值；（2）構(gòu)造函數(shù)，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，在求最值過程中，注意對參數(shù)a的分類討論.【詳解】（1），得，當(dāng)時，，函數(shù)在單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)在單調(diào)遞增，所以的極小值為，無極大值.（2）對任意，即，設(shè)，①當(dāng)時，在單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，，成立；②當(dāng)時，令在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，，成立；③當(dāng)時，當(dāng)時，單調(diào)遞減，單調(diào)遞減，，不成立.綜上可知.4．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個數(shù)；(2)若時，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)1個零點(diǎn)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)可得在單調(diào)遞減，結(jié)合零點(diǎn)存在定理即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由端點(diǎn)效應(yīng)可得，然后證明當(dāng)時，，均有即可.【詳解】（1）當(dāng)時，，令，則，當(dāng)時，，在單調(diào)遞減，即在單調(diào)遞減，且，，，使，在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減；，，在有1個零點(diǎn)；（2），注意到，要使，則須滿足，即，得．下證：當(dāng)時，，均有．當(dāng)時，此時在單調(diào)遞減，此時．當(dāng)時，，必存在，使在單調(diào)遞增，那么均有，矛盾．綜上所述：要使成立的的取值范圍為：．5．（2024·云南昆明·一模）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時，，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解；（2）由題意，將問題轉(zhuǎn)化為（）恒成立，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】（1）由于，則切點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)?，所以切線斜率為，故切線方程為，即．（2）當(dāng)時，等價于，令，，恒成立，則恒成立，，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，不符合題意；當(dāng)時，由，得，時，，函數(shù)單調(diào)遞減，，不符合題意；當(dāng)時，，因?yàn)?，所以，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，，符合題意．綜上所述，．6．（2024·安徽池州·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)．(1)當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即得切線方程；（2）先將不等式變形，將條件轉(zhuǎn)化為對恒成立，再通過導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性即知的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，，可得，所以，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．（2）由條件知，即，即，即，當(dāng)時，不等式恒成立；當(dāng)時，我們有．所以命題等價于對恒成立，令，則：，而當(dāng)時，，故，當(dāng)時，，故在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以．綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為．7．（2024·山西·三模）已知函數(shù)(1)當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；(2)當(dāng)時，恒成立，求的取值范圍【答案】(1)(2)【分析】（1）直接代入求導(dǎo)，計(jì)算出切線方程，求出截距計(jì)算面積即可；（2）首先研究函數(shù)在上的最小值大于0，再分離參數(shù)得，最后設(shè)新函數(shù)研究其最大值即可.【詳解】（1）當(dāng)時，，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，直線在軸，軸上的截距分別為，因此所求三角形的面積為.（2）當(dāng)時，不等式恒成立，即恒成立.令，則，設(shè)令，解得.當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增；所以.所以在上單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時，恒成立.所以當(dāng)時，恒成立.令，則.由于時，恒成立，即，所以，則，當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)，單調(diào)遞減；因此當(dāng)時，取得極大值也是最大值，則，所以，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是.8．（2024·四川遂寧·二模）已知函數(shù)．(1)若在區(qū)間存在極值，求的取值范圍；(2)若，，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）對分類討論研究單調(diào)性后，結(jié)合極值的定義計(jì)算即可得；（2）設(shè)，原問題即為在時恒成立，多次求導(dǎo)后，對時及時分類討論，結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理與函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】（1）由，得，當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，不存在極值，當(dāng)時，令，則，若，則，單調(diào)遞減；若，則，單調(diào)遞增，所以是的極小值點(diǎn)，因?yàn)樵趨^(qū)間存在極值，則，即，所以，在區(qū)間存在極值時，的取值范圍是；（2）由在時恒成立，即在時恒成立，設(shè)，則在時恒成立，則，令，則，令，則，時，，則，時，，則，所以時，，則即單調(diào)遞增，所以，則即單調(diào)遞增，所以，①當(dāng)時，，故，，則單調(diào)遞增，所以，所以在時恒成立，②當(dāng)時，，，故在區(qū)間上函數(shù)存在零點(diǎn)，即，由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，則時，，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時，函數(shù)，不合題意，綜上所述，的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：最后一問關(guān)鍵點(diǎn)在于多次求導(dǎo)后，得到，從而通過對及進(jìn)行分類討論.9．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)在上單調(diào)遞增．(2)【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)單調(diào)性，（2）將問題轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)確定函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合分類討論即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時，，所以，令，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，從而函數(shù)在上單調(diào)遞增．（2）因?yàn)椋?，又，恒成立等價于恒成立．記，所以．令，所以．設(shè)，從而，則在上單調(diào)遞增，故有，則在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，故有．當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增，從而，滿足題意．當(dāng)時，，且在上單調(diào)遞增，，，故存在滿足，當(dāng)，則在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，，不滿足題意．綜上，的取值范圍為．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：1.導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．2.利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.3.證明不等式，構(gòu)造一個適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.10．（2024·陜西咸陽·三模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求函數(shù)極值；(2)若對任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)極大值，無極小值；(2).【分析】（1）把代入，并求出函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)探討極值即可得解.（2）變形給定不等式，證明并分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最小值即得.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時，，求導(dǎo)得，由，得，由，得，由，得，因此在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，無極小值.（2）函數(shù)，，，設(shè)，，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，即，因此，令，，求導(dǎo)得，令，，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，即，因此函數(shù)在上是增函數(shù)，，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：涉及不等式恒成立問題，將給定不等式等價轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探求函數(shù)單調(diào)性、最值是解決問題的關(guān)鍵.1．（全國·高考真題）已知函數(shù)f(x)＝ex(ex－a)－a2x，其中參數(shù)a≤0.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)≥0，求a的取值范圍.【答案】(1)f(x)在上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.（2）【分析】(1)求f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)＝(2ex＋a)(ex－a)，通過討論a，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.(2)因?yàn)閒(x)≥0，所以即求f(x)的最小值大于等于0，由第(1)的結(jié)果求的f(x)的最小值，解關(guān)于a的不等式即可求出a的范圍.【詳解】(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，＋∞)，且a≤0.f′(x)＝2e2x－aex－a2＝(2ex＋a)(ex－a).①若a＝0，則f(x)＝e2x，在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增.②若a<0，則由f′(x)＝0，得x＝ln.當(dāng)x∈時，f′(x)<0；當(dāng)x∈時，f′(x)>0.故f(x)在上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.(2)①當(dāng)a＝0時，f(x)＝e2x≥0恒成立.②若a<0，則由(1)得，當(dāng)x＝ln時，f(x)取得最小值，最小值為f＝a2，故當(dāng)且僅當(dāng)a2≥0，即0>a≥時，f(x)≥0.綜上a的取值范圍是[，0].【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查函數(shù)的恒成立問題，同時考查了分類討論的思想和學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題.2．（山東·高考真題）設(shè)函數(shù)，其中.（Ⅰ）討論函數(shù)極值點(diǎn)的個數(shù)，并說明理由；（Ⅱ）若成立，求的取值范圍.【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）的取值范圍是.【詳解】試題分析：（Ⅰ）先求，令通過對的取值的討論，結(jié)合二次函數(shù)的知識，由導(dǎo)數(shù)的符號得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）根據(jù)（1）的結(jié)果這一特殊性，通過對參數(shù)的討論確定的取值范圍.試題解析：函數(shù)的定義域?yàn)榱?，?）當(dāng)時，，在上恒成立所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增無極值；（2）當(dāng)時，①當(dāng)時，，所以，，函數(shù)在上單調(diào)遞增無極值；②當(dāng)時，設(shè)方程的兩根為因?yàn)樗?，由可得：所以，?dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞