第01講 數(shù)列的概念及其表示（含數(shù)列周期性單調(diào)性和數(shù)列通項公式的構(gòu)造）（學(xué)生版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點幫

Page第01講數(shù)列的概念及其表示（含數(shù)列周期性單調(diào)性和數(shù)列通項公式的構(gòu)造）（7類核心考點精講精練）1.5年真題考點分布5年考情考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點2024年新Ⅱ卷，第19題,17分由遞推關(guān)系證明等比數(shù)列求直線與雙曲線的交點坐標向量夾角的坐標表示2024年全國甲卷，第18題,12分利用an與sn關(guān)系求通項錯位相減法求和2023年全國甲卷（理科），第17題,10分利用與關(guān)系求通項或項錯位相減法求和2022年新I卷，第17題,10分利用與關(guān)系求通項或項累乘法求數(shù)列通項利用等差數(shù)列通項公式求數(shù)列中的項裂項相消法求和2022年全國甲卷（理科），第17題,10分求數(shù)列最值利用與關(guān)系求通項或項2022年全國乙卷（理科），第4題,5分判斷數(shù)列單調(diào)性數(shù)學(xué)新文化2021年全國甲卷（理科），第7題,10分判斷數(shù)列單調(diào)性充分條件與必要條件2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中等，小題分值為5-6分，大題13-17分【備考策略】1.掌握數(shù)列的有關(guān)概念和表示方法2.能利用與的關(guān)系以及遞推關(guān)系求數(shù)列的通項公式3.理解數(shù)列是一種特殊的函數(shù),能利用數(shù)列的周期性、單調(diào)性解決簡單的問題【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，常考查利用與關(guān)系求通項或項及通項公式構(gòu)造的相關(guān)應(yīng)用，需綜合復(fù)習(xí)知識講解1．數(shù)列的有關(guān)概念概念含義數(shù)列的定義按照一定順序排列的一列數(shù)數(shù)列的項數(shù)列中的每一個數(shù)數(shù)列的通項數(shù)列{an}的第n項an通項公式數(shù)列{an}的第n項an與n之間的關(guān)系能用公式an＝f(n)表示，這個公式叫做數(shù)列的通項公式前n項和數(shù)列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做數(shù)列的前n項和2.數(shù)列的分類分類標準類型滿足條件項數(shù)有窮數(shù)列項數(shù)有限無窮數(shù)列項數(shù)無限項與項間的大小關(guān)系遞增數(shù)列an＋1＞an其中n∈N*遞減數(shù)列an＋1＜an常數(shù)列an＋1＝an擺動數(shù)列從第二項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列數(shù)列的表示方法列表法列表格表示n與an的對應(yīng)關(guān)系圖象法把點(n，an)畫在平面直角坐標系中公式法通項公式把數(shù)列的通項使用公式表示的方法遞推公式使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示數(shù)列的方法4．若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，通項公式為an，則an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))（1）已知Sn求an的三個步驟(1)先利用a1＝S1求出a1.(2)用n－1替換Sn中的n得到一個新的關(guān)系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出當n≥2時an的表達式．(3)注意檢驗n＝1時的表達式是否可以與n≥2的表達式合并．（2）Sn與an關(guān)系問題的求解思路根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問題向兩個不同的方向轉(zhuǎn)化．(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求解．(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解．5．在數(shù)列{an}中，若an最大，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1.))若an最小，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1.))6.根據(jù)形如an＋1＝an＋f(n)(f(n)是可以求和的)的遞推公式求通項公式時，常用累加法求出an－a1與n的關(guān)系式，進而得到an的通項公式．7.根據(jù)形如an＋1＝an·f(n)(f(n)是可以求積的)的遞推公式求通項公式時，常用累乘法求出eq\f(an,a1)與n的關(guān)系式，進而得到an的通項公式．8.形如an＋1＝eq\f(pan,qan＋r)(p，q，r是常數(shù))的數(shù)列，將其變形為eq\f(1,an＋1)＝eq\f(r,p)·eq\f(1,an)＋eq\f(q,p).若p＝r，則eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差數(shù)列，且公差為eq\f(q,p)，即可用公式求通項．9.根據(jù)形如an＋1＝pan＋q的遞推關(guān)系式求通項公式時，一般先構(gòu)造公比為p的等比數(shù)列{an＋x}，即將原遞推關(guān)系式化為an＋1＋x＝p(an＋x)的形式，再求出數(shù)列{an＋x}的通項公式，最后求{an}的通項公式．10.數(shù)列的周期性對于無窮數(shù)列,如果存在一個正整數(shù),對于任意正整數(shù)恒有成立,則稱是周期為的周期數(shù)列.的最小值稱為最小正周期,簡稱周期.考點一、數(shù)列周期性的應(yīng)用1．（湖南·高考真題）已知數(shù)列滿足，，則（

）A． B．C． D．2．（2024·山東濟寧·三模）已知數(shù)列中，，則（

）A． B． C．1 D．23．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，，，數(shù)列，滿足，則數(shù)列的前2024項的和為．6．1．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）在數(shù)列中，，若對，則（

）A． B．1 C． D．2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，數(shù)列的首項為1，且滿足．若，則數(shù)列的前2023項和為（

）A．0 B．1 C．675 D．20233．（2024·山東濱州·二模）已知函數(shù)，數(shù)列滿足，，，則．考點二、數(shù)列單調(diào)性的應(yīng)用1．（2022·全國·高考真題）嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進行深空探測，成為我國第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造行星，為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列：，，，…，依此類推，其中．則（

）A． B． C． D．2．（2024·江西·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，則“”是是遞增數(shù)列的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．（2024·四川雅安·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，，，單調(diào)遞增，則的取值范圍為.4．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列是遞減數(shù)列，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（2024·陜西漢中·二模）已知正項數(shù)列的前n項和為，且，數(shù)列的前n項積為且，下列說法錯誤的是（

）A． B．為遞減數(shù)列C． D．1．（2024·北京東城·一模）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則“”是“為遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，若是遞減數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．（2024·江西·二模）已知數(shù)列的首項為常數(shù)且，，若數(shù)列是遞增數(shù)列，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．4．（2020·北京·高考真題）在等差數(shù)列中，，．記，則數(shù)列（

）．A．有最大項，有最小項 B．有最大項，無最小項C．無最大項，有最小項 D．無最大項，無最小項考點三、用與的關(guān)系求通項或項1．（2024·全國·高考真題）記為數(shù)列的前項和，已知．(1)求的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．2．（2024·全國·高考真題）已知等比數(shù)列的前項和為，且.(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和.3．（2023·全國·高考真題）設(shè)為數(shù)列的前n項和，已知．(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和．4．（2022·全國·高考真題）記為數(shù)列的前n項和．已知．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．1．（2024·江蘇揚州·模擬預(yù)測）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列前項和為，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)證明：．2．（2024·四川自貢·三模）已知數(shù)列的前項和為，且．(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)若，，成等比數(shù)列，求的最大值．3．（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，，是數(shù)列的前項和，對任意，有(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求的前100項的和.4．（2024·全國·二模）已知數(shù)列的前n項和為，且，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和為.考點四、累加法求數(shù)列通項公式1．（2024·福建福州·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，（）．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記數(shù)列的前項和為，證明：．2．（全國·高考真題）已知數(shù)列滿足．(1)求；(2)證明：．3．（2024·湖北·模擬預(yù)測）數(shù)列中，，，且，(1)求數(shù)列的通項公式；(2)數(shù)列的前項和為，且滿足，，求．1．（2024·遼寧丹東·二模）已知數(shù)列中，，．(1)求的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，記為數(shù)列的前n項和，，，求．2．（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為,且.(1)求的通項公式；(2)若,求數(shù)列的前項和.考點五、累乘法求數(shù)列通項公式1．（23-24高二上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·階段練習(xí)）已知數(shù)列中，，，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和．2．（23-24高二上·江蘇蘇州·期末）已知數(shù)列的前項和為，且（）．(1)求的通項公式；(2)記，求數(shù)列的前項和．1．（23-24高三下·黑龍江哈爾濱·開學(xué)考試）記數(shù)列的前項和，對任意正整數(shù)，有，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)對所有正整數(shù)，若，則在和兩項中插入，由此得到一個新數(shù)列，求的前91項和.2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知（常數(shù)），數(shù)列的前項和為，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記，數(shù)列的前項和為，求證：．3．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）設(shè)數(shù)列的前項和為，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，數(shù)列的前項和為恒成立，求實數(shù)的最小值．考點六、遞推數(shù)列構(gòu)造等差數(shù)列1．（2023·全國·模擬預(yù)測）在數(shù)列中，，且，其中．(1)求的通項公式；(2)求的前項和．2．（23-24高三上·河南焦作·期末）已知數(shù)列中，，．(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和．1．（23-24高三上·江蘇南京·期末）已知數(shù)列滿足，且對任意都有.(1)設(shè)，證明：是等差數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.2．（2024·山東青島·二模）已知數(shù)列滿足，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，若，求的最小值.考點七、遞推數(shù)列構(gòu)造等比數(shù)列1．（重慶·高考真題）數(shù)列中，若=1，=2+3（n≥1），則該數(shù)列的通項=2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，記．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)已知，記數(shù)列的前項和為．求證：．3．（四川·高考真題）設(shè)數(shù)列的前n項和為，已知．(1)證明：當時，是等比數(shù)列；(2)求的通項公式．1．（2024·安徽·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的首項，且滿足．(1)求的通項公式；(2)已知，求使取得最大項時的值．（參考值：）2．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）設(shè)數(shù)列滿足：，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和．3．（23-24高三上·重慶·期中）設(shè)數(shù)列的前項之積為，滿足.(1)設(shè)，求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項之和為，證明：.一、單選題1．（2023·浙江寧波·模擬預(yù)測）數(shù)列滿足，，則（

）A． B． C． D．32．（2023·河南鄭州·模擬預(yù)測）已知數(shù)列各項均為正數(shù)，，且有，則（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2023·海南省直轄縣級單位·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的首項，則（

）A．為等差數(shù)列 B．C．為遞增數(shù)列 D．的前20項和為10三、填空題4．（2024·四川·模擬預(yù)測）已知為正項數(shù)列的前項和，且，則.四、解答題5．（2024·四川雅安·三模）已知數(shù)列的前項和為.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)令，求數(shù)列的前項和.6．（2024·山西·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，且.(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和.7．（2024·河北滄州·三模）已知數(shù)列滿足，，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，求證：.8．（2024·貴州貴陽·三模）已知正項數(shù)列的前項和為，且滿足.試求:(1)數(shù)列的通項公式;(2)記，數(shù)列的前項和為，當時，求滿足條件的最小整數(shù).9．9．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為．(1)求．(2)若，則當取最小值時，求的值．10．（2024·河北保定·二模）已知數(shù)列的前n項和為，且.(1)求的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，求的前項和.一、單選題1．（2024·安徽合肥·三模）已知數(shù)列的前項和為，首項，且滿足，則（

）A． B． C． D．2．（2024·江蘇蘇州·二模）已知數(shù)列的前項和為，，若對任意的恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·福建泉州·一模）已知數(shù)列滿足，，則下列說法正確的是（

）A．當時， B．當時，數(shù)列是常數(shù)列C．當時， D．當時，數(shù)列單調(diào)遞減三、填空題4．（2024·浙江紹興·三模）記為正項數(shù)列的前項積，已知，則；．5．（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測）已知正項數(shù)列的前項和為，且，則的最小值為．四、解答題6．（2024·山東·模擬預(yù)測）設(shè)數(shù)列滿足，且．(1)求的通項公式；(2)求的前項和．7．（2024·吉林·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，且.(1)求實數(shù)的值和數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和.8．（2024·江西宜春·模擬預(yù)測）數(shù)列滿足．(1)求的通項公式；(2)若，求的前項和．9．（2024·江蘇無錫·二模）已知正項數(shù)列的前項和為，滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)為數(shù)列的前項和.若對任意的恒成立，求k的取值范圍.10．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）記數(shù)列的前n項和為，已知．(1)若，證明：是等比數(shù)列；(2)若是和的等差中項，設(shè)，求數(shù)列的前n項和為．1．（2023·北京·高考真題）已知數(shù)列滿足，則（