第09講 解三角形中的最值及范圍問題（學(xué)生版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫

Page第09講解三角形中的最值及范圍問題（15類核心考點(diǎn)精講精練）命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較中等偏上，分值為13-15分【備考策略】1會(huì)利用基本不等式和相關(guān)函數(shù)性質(zhì)解決三角形中的最值及范圍問題2會(huì)利用正余弦定理及面積公式解決三角形的綜合問題【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容一般給以大題來命題、考查正余弦定理和三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，同時(shí)也結(jié)合基本不等式和相關(guān)函數(shù)性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)求解范圍及最值，需重點(diǎn)復(fù)習(xí)。知識(shí)講解解三角形最值及范圍問題中常用到的關(guān)聯(lián)知識(shí)點(diǎn)基本不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，其中叫做正數(shù)，的算術(shù)平均數(shù)，叫做正數(shù)，的幾何平均數(shù)，通常表達(dá)為：（積定和最?。?，應(yīng)用條件：“一正，二定，三相等”基本不等式的推論重要不等式（和定積最大）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)輔助角公式及三角函數(shù)值域形如，，其中，對(duì)于，類函數(shù)，叫做振幅，決定函數(shù)的值域，值域?yàn)?，有時(shí)也會(huì)結(jié)合其他函數(shù)的性質(zhì)和單調(diào)性來求解最值及范圍三角形中的邊角關(guān)系構(gòu)成三角形的條件是任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊在三角形中，大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角在三角形中,邊角以及角的三角函數(shù)值存在等價(jià)關(guān)系:即注意：在銳角中，任意一個(gè)角的正弦大于另一個(gè)角的余弦，如。事實(shí)上，由，即得。由此對(duì)任意銳角，總有。考點(diǎn)一、面積類最值及范圍問題1．（2024·上?！と＃┮阎膬?nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且．(1)求的值；(2)若，求面積的最大值．2．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）在銳角中，，，分別是角的對(duì)邊，.(1)求；(2)若，求的面積取值范圍.3．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面內(nèi)，四邊形滿足，點(diǎn)在的兩側(cè)，，，為正三角形，設(shè).

(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)當(dāng)變化時(shí)，求四邊形面積的最大值.4．（23-24高三上·江西撫州·階段練習(xí)）已知在平面四邊形中，，.(1)求的值；(2)記與的面積分別為和，求的最大值.1．（2024·廣東茂名·一模）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，且.(1)求的大??；(2)若是邊的中點(diǎn)，且，求面積的最大值.2．（2024·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）在中，點(diǎn)在邊上，且滿足.(1)求證：；(2)若，，求的面積的最小值.3．（2024·山東濟(jì)南·二模）如圖，已知平面四邊形中，.(1)若四點(diǎn)共圓，求；(2)求四邊形面積的最大值.4．（23-24高一下·吉林長(zhǎng)春·期中）已知銳角三角形的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.(1)求角的大??；(2)若，角與角的內(nèi)角平分線相交于點(diǎn)D，求面積的最大值.5．（23-24高三上·江西·期末）如圖，在△ABC中，AB=BC=2，D為△ABC外一點(diǎn)，AD=2CD=4，記∠BAD=α，∠BCD=β.(1)求的值；(2)若△ABD的面積為，△BCD的面積為，求的最大值.考點(diǎn)二、周長(zhǎng)類最值及范圍問題1．（2024·安徽淮北·二模）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知(1)試判斷的形狀；(2)若，求周長(zhǎng)的最大值.2．（2024·四川南充·模擬預(yù)測(cè)）在中，.(1)求；(2)若，求周長(zhǎng)的最大值.3．（2024·湖南常德·一模）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別是，且.(1)判斷的形狀；(2)若的外接圓半徑為，求周長(zhǎng)的最大值.4．（2024·山西·三模）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿足．(1)試判斷的形狀；(2)若的外接圓半徑為2，求周長(zhǎng)的最大值．1．（2024高三下·全國·專題練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，．(1)求A；(2)設(shè)，求周長(zhǎng)的最大值．2．（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知向量滿足，，且．(1)求角；(2)若是銳角三角形，且，求周長(zhǎng)的取值范圍．3．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測(cè)）已知在中，D為BC邊的中點(diǎn)，且．(1)若的面積為，，求；(2)若，求的周長(zhǎng)的最大值．4．（2024·貴州貴陽·三模）已知的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c，且滿足.請(qǐng)回答下列問題:(1)證明:為等腰三角形;(2)若的外接圓直徑為1，試求周長(zhǎng)的取值范圍.5．（2024·云南曲靖·二模）在中，角的對(duì)邊分別為，且.(1)求角的取值范圍；(2)已知內(nèi)切圓的半徑等于，求周長(zhǎng)的取值范圍.考點(diǎn)三、邊長(zhǎng)類最值及范圍問題1．（2024·陜西西安·一模）已知△ABC為鈍角三角形，它的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且，，．(1)求的值；(2)若△ABC的面積為，求c的最小值．2．（2024·貴州遵義·一模）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)求A；(2)若為銳角三角形，，求b的取值范圍．3．（2024·山西晉中·三模）在中，角的對(duì)邊分別為，已知.(1)求；(2)若，在邊上（不含端點(diǎn)）存在點(diǎn)，使得，求的取值范圍．1．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，滿足．(1)求角．(2)當(dāng)面積的最大值為時(shí)，求的值．2．（2024·四川·三模）三角形中，角的對(duì)邊分別為，且.(1)求；(2)若邊上的中線長(zhǎng)為2，求的最小值.3．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）記銳角三角形的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．(1)求的大?。?2)若的面積為，求的取值范圍．考點(diǎn)四、邊長(zhǎng)和差類最值及范圍問題1．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且．(1)求角；(2)若，且，求的最小值．8．8．2．（2024·上海嘉定·二模）在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，．(1)求角，并計(jì)算的值；(2)若，且是銳角三角形，求的最大值．3．（2024·廣東湛江·一模）已知在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)求A；(2)若外接圓的直徑為，求的取值范圍．1．（2024·湖北·二模）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，，．(1)求A；(2)者，，求的取值范圍．2．（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）在中，角，，所對(duì)的邊分別記為，，，且．(1)若，求的大小．(2)若，求的取值范圍．3．（2024·山西呂梁·一模）設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．(1)求；(2)設(shè)的角平分線交于點(diǎn)，求的最小值．4．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知__________.在①，②，③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)填在上面的橫線上，并解答問題.(1)求角；(2)若的面積為，求的最小值.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.考點(diǎn)五、邊長(zhǎng)積商類最值及范圍問題1．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知銳角的三內(nèi)角的對(duì)邊分別是，且，(1)求角的大??；(2)如果該三角形外接圓的半徑為，求的取值范圍．2．（2024·寧夏固原·一模）在銳角中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，且．(1)求證：；(2)求的取值范圍．3．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）在銳角三角形中，角的對(duì)邊分別為，且滿足．(1)若，求的大?。?2)求的取值范圍．1．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）記銳角的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.(1)證明：；(2)求的取值范圍.2．（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）在中，已知角，，所對(duì)的邊分別為，，，．(1)求角的大??；(2)若為銳角三角形，求的取值范圍．3．（2024·山西朔州·一模）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，向量，且．(1)求；(2)求的最小值．考點(diǎn)六、中線最值及范圍問題1．（2024·四川·三模）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且滿足.(1)求；(2)若的面積為，為的中點(diǎn)，求的最小值.2．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且(1)求；(2)設(shè)為邊的中點(diǎn)，，求線段長(zhǎng)度的最大值.3．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）在中，已知，D為的中點(diǎn).(1)求A；(2)當(dāng)時(shí)，求的最大值.1．（2024·四川南充·二模）在①；②；③；這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答問題.在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且滿足______.(1)求；(2)若的面積為，為的中點(diǎn)，求的最小值.2．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）在中，角的對(duì)邊分別為，且.(1)求角的大?。?2)若邊，邊的中點(diǎn)為，求中線長(zhǎng)的最大值.3．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）在銳角中，角的對(duì)邊分別為，且．(1)求角的大??；(2)若是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，，求的最大值．考點(diǎn)七、角平分線最值及范圍問題1．（2023·浙江·二模）在銳角中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，，，滿足，且.(1)求證：；(2)已知是的平分線，若，求線段長(zhǎng)度的取值范圍.2．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知銳角中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，其中，，且．(1)求證：；(2)已知點(diǎn)在線段上，且，求的取值范圍．1．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）已知內(nèi)角的對(duì)邊分別為，．(1)求A；(2)A的平分線交于點(diǎn)，，求的最大值．2．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）已知中內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足．(1)求角A的大小；(2)若D是邊BC上一點(diǎn)，且AD是角A的角平分線，求的最小值．3．（2023·河南·三模）在銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，且．(1)求證：；(2)若的平分線交AC于D，且，求線段BD的長(zhǎng)度的取值范圍．考點(diǎn)八、高線最值及范圍問題1．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，，．(1)求角；(2)設(shè)是的高，求的最大值．2．（2023·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考一模）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，．若．(1)求角；(2)若，求邊上的高的取值范圍．1．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，設(shè)為曲線的對(duì)稱中心．(1)求；(2)記的角對(duì)應(yīng)的邊分別為，若，求邊上的高長(zhǎng)的最大值．2．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學(xué)校?？家荒＃┰阡J角中，設(shè)邊所對(duì)的角分別為，且．(1)求角的取值范圍；(2)若，求中邊上的高的取值范圍．3．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）在銳角三角形中，，．(1)求．(2)求邊上的高的取值范圍．考點(diǎn)九、其他線段類最值及范圍問題1．（23-24高三下·河南周口·開學(xué)考試）在中，角的對(duì)邊分別為．(1)求角；(2)若為邊上一點(diǎn)，，求的最大值．2．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且．(1)求；(2)若，連接，求的值．3．（23-24高一下·吉林白山·階段練習(xí)）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且．(1)求角的大小；(2)若為銳角三角形，點(diǎn)為的垂心，，求的取值范圍．4．（2024·廣東廣州·三模）在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)求A；(2)若D是邊上一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），且，求的取值范圍．1．（2024·貴州貴陽·模擬預(yù)測(cè)）已知在中，，(1)求A；(2)若點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)，，△ABC的面積為，求AD的最小值.2．（22-23高一下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，．(1)求的大小；(2)若，D是邊AB上的一點(diǎn)，且，求線段CD的最大值．3．（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且.(1)求角A的大小；(2)若為銳角三角形，點(diǎn)F為的垂心，，求的取值范圍.4．（2024·河北衡水·一模）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，三角形面積為，若為邊上一點(diǎn)，滿足，且.(1)求角；(2)求的取值范圍.考點(diǎn)十、外接圓及內(nèi)切圓半徑類最值及范圍問題1．（2024·吉林·二模）已知的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別為的外接圓半徑為，且.(1)求;(2)求的內(nèi)切圓半徑的取值范圍2．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知中，角，，的對(duì)邊分別是，，，．(1)求角的大小；(2)若，外接圓的半徑為，內(nèi)切圓半徑為，求的最小值．2．1．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．(1)求；(2)若，求內(nèi)切圓半徑取值范圍．2．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）在“①；②；③”這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答．在中，角所對(duì)的邊分別為，且______．(1)求角的大小；(2)若表示內(nèi)切圓的半徑，求的最大值．考點(diǎn)十一、角度類最值及范圍問題1．（2023·海南?？凇ば？寄M預(yù)測(cè)）在中，角、、所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為，若成等比數(shù)列，則角的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（2024·山東菏澤·二模）已知在中，的面積為．(1)求角的度數(shù)；(2)若是上的動(dòng)點(diǎn)，且始終等于，記．當(dāng)取到最小值時(shí)，求的值．1．（2023春·上海寶山·高一?？计谥校┤绻娜叀?、滿足，則角的取值范圍為．2．（2024·上海奉賢·三模）已知三角形的三個(gè)角對(duì)應(yīng)的邊分別為、、(1)求證：存在以為三邊的三角形；(2)若以為三邊的三角形為等腰直角三角形，求三角形的最小角．考點(diǎn)十二、正余弦類最值及范圍問題1．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角所對(duì)邊分別為，已知．(1)證明：；(2)求的最小值．2．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別是，已知．(1)證明：；(2)若為銳角三角形，求的取值范圍．3．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）已知在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．(1)求C；(2)求的最大值．4．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為．(1)求角的大??；(2)求的最小值．5．（23-24高三上·江蘇南京·期中）在中，所對(duì)的邊分別為，已知.(1)若，求的值；(2)若是銳角三角形，求的取值范圍．1．（2024·陜西寶雞·二模）中，為邊的中點(diǎn)，.(1)若的面積為，且，求的值；(2)若，求的取值范圍．2．（23-24高三上·山東棗莊·期末）在中，角所對(duì)的邊分別為.若.(1)求；(2)若為銳角三角形，求的取值范圍.3．（2024·河南·一模）中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足.(1)求證：；(2)若為銳角三角形，求的取值范圍.73．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為．(1)判斷的形狀，并證明；(2)求的最小值．4．（2024·遼寧·一模）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，滿足.(1)求證：；(2)若為銳角三角形，求的最大值．5．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）在中，角所對(duì)的邊分別為，其中，．(1)求角的大小；(2)如圖，為外一點(diǎn)，，，求的最大值．考點(diǎn)十三、正切類最值及范圍問題1．（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測(cè)）在中，角所對(duì)的邊分別為.已知(1)若，判斷的形狀；(2)若，求的最大值.1．（2024·云南·二模）中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，B是與的等差中項(xiàng).(1)若，判斷的形狀;(2)若是銳角三角形，求的取值范圍.考點(diǎn)十四、向量類最值及范圍問題1．（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測(cè)）周長(zhǎng)為4的，若分別是的對(duì)邊，且，則的取值范圍為．2．（23-24高三上·北京·階段練習(xí)）在中，．(1)求C；(2)若，求的最小值．3．（2024·湖南邵陽·一模）在中，內(nèi)角滿足.(1)求角的大??；(2)若，求的最大值.1．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）如圖在中，，滿足.

(1)若，求的余弦值；(2)點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，且滿足，若的面積為，求的最小值.2．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知．(1)求角A的大?。?2)若，且，求AP的最小值．考點(diǎn)十五、參數(shù)類最值及范圍問題1．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考一模）的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）在銳角三角形中，角所對(duì)的邊分別為，，且．(1)求；(2)若，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍．1．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知在中，角所對(duì)的邊分別為，且.(1)求的值；(2)若，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.2．（2023·湖北咸寧·模擬預(yù)測(cè)）在中，角所對(duì)的邊分別為，滿足，.(1)證明：外接圓的半徑為；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.1．（2024·陜西寶雞·一模）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.(1)求角A；(2)若的面積為1，求的最小值.2．（21-22高二下·山西·期中）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．(1)求角B；(2)若，，求的取值范圍．3．（23-24高三上·河南·期中）在銳角中，角所對(duì)的邊分別為，已知．(1)求；(2)若，求周長(zhǎng)的最大值．4．（22-23高二上·河南省直轄縣級(jí)單位·期末）已知為銳角三角形，角的對(duì)邊分別為，且.(1)求角的大小；(2)若，求的取值范圍.5．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）在銳角中，角所對(duì)的邊分別為，已知，且的面積.(1)求；(2)求的最小值.6．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）在中，角所對(duì)的邊分別為，已知．(1)求；(2)若外接圓的半徑為，求的面積最大值．7．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積依次為，，.已知.(1)證明：；(2)若，求周長(zhǎng)的最大值.8．（2017·安徽淮北·模擬預(yù)測(cè)）在中，角A，B，C的對(duì)角分別為a，b，c且．(1)求；(2)若D為AC邊的中點(diǎn)，且，求面積的最大值．9．（2023·四川綿陽·模擬預(yù)測(cè)）在斜三角形中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知．(1)證明：；(2)若，求的最小值．10．（23-24高三上·山東威?！て谀┰谥?，角所對(duì)的邊分別為記的面積為，已知.(1)求角的大??；(2)若，求的最大值.1．（2024·青?！つM預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)求B；(2)若，的面積為S．周長(zhǎng)為L(zhǎng)，求的最大值．2．（2024·山東濟(jì)南·二模）如圖，在平面四邊形ABCD中，，，，.(1)若，，求的大?。?2)若求四邊形ABCD面積的最大值.3．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）在中，角的對(duì)邊分別為，且.

(1)求；(2)如圖所示，為平面上一點(diǎn)，與構(gòu)成一個(gè)四邊形，且，若，求的最大值.4．（2024·重慶·三模）已知在數(shù)列中，．(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)